Es momento de interactuar entre dos espacios métricos, $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$, cada uno con su respectivo conjunto de puntos y métrica definida en ellos. Podemos relacionar puntos del espacio métrico $X$ con puntos en el espacio métrico $Y$. Será natural preguntarse qué ocurre con las distancias en el nuevo espacio métrico, en comparación con el de origen. Considera la siguiente:
Definición de imagen de un conjunto. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos. Si $A \subset X$ y $f: X \to Y$, es una función, entonces $f \,$ define un conjunto en $Y$ dado por $f(A):=\{f(x)|x\in A\}$, que llamaremos la imagen de $A$ bajo $f \,$ y es la colección de elementos que se le asignan a cada elemento de $A$.
Función $f: A \subset X \to Y$
Ahora preguntamos: ¿bajo qué circunstancias una función envía puntos de $A \subset X$ a puntos en $Y$ que se aproximan a algún punto $L \in Y$?
Si $x_0$ es un punto de acumulación en $A$, por definición, todas sus bolas abiertas tienen elementos en $A$ distintos de $x_0$. Podemos así, identificar puntos cercanos a $x_0$, según la distancia $d_X$, que bajo la función $f$ sean enviados a puntos en $Y$ que estén cerca de un punto $L$, según la distancia $d_Y$. Como los puntos cerca de $L$ en $(Y,d_Y)$ son los que están en la bola de radio $\varepsilon$ con centro en $L,$ se busca conseguir que los puntos cerca de $x_0$ caigan justamente en $B_Y(L,\varepsilon)$. (El subíndice $Y$ en $B_Y$ nos recuerda en qué espacio métrico es considerada la bola abierta. Recuerda que pueden ser diferentes, según la métrica a la que se refiera).
Un elemento de la bola abierta con centro en $x_0$ «cae dentro» de la bola abierta con centro en «L.»
De manera formal tenemos la siguiente:
Definición límite de una función: Sea $f: X \to Y$ una función entre espacios métricos y $x_0$ un punto de acumulación de $A$. Decimos que el límite de $f$, cuando $x$ tiende al punto $x_0$ es $L \in Y$, si ocurre que para todo $\varepsilon >0$ existe $\delta > 0$ tal que para todo $x\neq x_0, \text{ si } d(x,x_0)< \delta$ entonces $d(f(x),L)<\varepsilon$. Se denota como: $$\underset{x \to x_0}{lim} \,f(x) \,=L$$ Se dice entonces que $f(x) \to L$ cuando $x \to x_0$.
Esta definición se puede expresar en términos de bolas abiertas como sigue: $\, \underset{x \to x_0}{lim} \,f(x) \,=L \,$ si para todo $\varepsilon >0$ existe $\delta > 0$ tal que $f(B_X(x_0,\delta) \setminus \{x_0\}) \subset B_Y(L,\varepsilon)$.
Veamos un resultado que nos permite concluir límites a partir de sucesiones.
Proposición: Considera $A \subset X$ y $x_0 \in A$ un punto de acumulación en $A$. Entonces $$\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x) \,=L$$ si y solo si para toda sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $A \setminus \{x_0\}$ tal que $x_n \to x_0$ ocurre que $$\underset{n \to \infty}{lim} \, f(x_n) \,=L$$. Demostración: Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión en $A \setminus \{x_0\}$ que converge a $x_0$ y sea $\varepsilon >0$. Como $\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x) \,=L$ entonces existe $\delta>0$ tal que para todo $x\neq x_0, \text{ si } d(x,x_0)< \delta \,$ entonces $\, d(f(x),L)<\varepsilon$.
Si $(x_n) \to x_0$ en $X$ entonces $(f(x_n)) \to L$ en $Y$
Como $(x_n) \to x_0$, entonces existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $\forall \, n\geq N, \, d(x_n,x_0)< \delta$, así $\forall \, n \geq N, \, d(f(x_n),L) < \varepsilon$ por lo tanto $f(x_n) \to L\, $ en $\, Y$.
Ahora supón que el recíproco no es cierto. Entonces existe $\varepsilon_0 >0$ tal que $\forall \, \delta>0$ existe $x_0 \neq x_0 \,$ con $\, d_X(x_0,x_0)<\delta$ pero $\, d_Y(f(x_0),L)> \varepsilon$.
De modo que para cada bola abierta con centro en $x_0$ y radio $\frac{1}{n}$ con $n \in \mathbb{N}$ podemos elegir un punto $x_n \in (B_X(x_0,\frac{1}{n}) \setminus \{x_0\})$ pero $\, d_Y(f(x_n),L)> \varepsilon_0$.
Hay un punto en $B_X(x_0,1)$ que $f$ envía fuera de $B_Y(L,\varepsilon_0)$
La sucesión $x_n \to x_0$ pero la sucesión $(f(x_n))_{n \in \mathbb{N}} \,$ al quedarse siempre fuera de la bola abierta $B_Y(L,\varepsilon_0)$ no converge a $L$, lo cual es una contradicción.
Hay un punto en $B_X(x_0,1/2)$ que $f$ envía fuera de $B_Y(L,\varepsilon_0)$
Por lo tanto $\, \underset{x \to x_0}{lim} \, f(x) \,=L$.
Hay un punto en $B_X(x_0,1/n)$ que $f$ envía fuera de $B_Y(L,\varepsilon_0)$
Las siguientes proposiciones son propiedades de límites de funciones en los espacios métricos mencionados:
Proposición: Sean $f:A \to \mathbb{C}$ y $g:A \to \mathbb{C}$. Si $x_0$ es un punto de acumulación en $A$ y $\underset{x \to x_0}{lim}\, f(x) \,=L_1 \,$ y $\, \underset{x \to x_0}{lim}\, g(x) \,=L_2$, se tiene que:
a) $\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x) \pm g(x) \,=L_1 \pm L_2$ b) $\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x)g(x) \,=L_1 L_2$ c) $\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x) / g(x) \,=L_1 / L_2$ cuando $L_2 \neq 0$
La demostración se deja como ejercicio.
Proposición: Sean $f,g: A \subset X \to \mathbb{R}^n\, $ Si se definen $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ y $(f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x)$ entonces si $x_0$ es un punto de acumulación en $A$ y $\underset{x \to x_0}{lim}\, f(x) \,=L_1 \,$ y $\, \underset{x \to x_0}{lim} \,g(x) \,=L_2$, se tiene que:
Veremos el caso para cuando la función sí está definida en $x_0 \in A \subset X$ y más aún, la función tiene como límite al punto $f(x_0)$. Hablaremos así de funciones continuas en un punto $x_0$ y observaremos el efecto que estas funciones producen en subconjuntos abiertos y cerrados de un espacio métrico.
En esta entrada vamos a ver una forma de definir distancias (sí, de nuevo) pero ahora no directamente entre los elementos de un conjunto, sino entre los subconjuntos de un espacio métrico. Entonces, los subconjuntos pasarán a ser vistos como elementos de un nuevo espacio con cierta métrica. Al final haremos sucesiones de conjuntos. Descubriremos bajo qué condiciones estas sucesiones de conjuntos convergen. Será emocionante descubrir que dos conjuntos están cerca uno de otro, cuando son muy parecidos entre sí (en forma y tamaño). Esta entrada está basada en el contenido del libro «A course in Metric Geometry», escrito por Dmitri Burago, Yuri Burago y Sergei Ivanov (páginas 252 y 253). Omitiremos las demostraciones de las proposiciones, pues no son parte de los objetivos del curso. El lector puede consultarlas en el libro mencionado si así lo desea.
Distancia entre dos puntos y entre dos conjuntos de un espacio métrico
Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Visualiza un conjunto $A \subset X$ y un punto arbitrario $x \in A$.
$x$ está en $A$
Sea $\varepsilon >0$. Este valor define a $B(x,\varepsilon)$.
$x$ está en la bola de radio $\varepsilon$
Visualiza la unión de todas las bolas de radio $\varepsilon$. Definimos el conjunto $U_\varepsilon(A) =: \underset{x\in A}{\cup}B(x,\varepsilon)$. Nota que este conjunto contiene al conjunto $A$.
Todas las bolas de radio $\varepsilon$ con centro en un punto de $A$
El conjunto $U_\varepsilon(A)$ es la unión de todas las bolas
Asímismo, todos los elementos de $U_\varepsilon(A)$ distan en menos que $\varepsilon$ a algún elemento de $A$, pues están en una de las bolas de radio $\varepsilon$.
Un punto $y$ en $U_\varepsilon(A)$ tiene distancia menor que $\varepsilon$ a un punto en $A$
Pensemos ahora en los conjuntos definidos de esta forma en $A$ pero buscando que también contengan a un conjunto $B \subset X$
Se puede dar el caso en que aunque $U_\varepsilon(A)$ contiene a $A,$ no contiene al conjunto $B.$
$U_\varepsilon(A)$ no cubre a $B$ completamente
Identificando valores para $\varepsilon >0$ suficientemente grandes, se logra la contención deseada:
$U_{\varepsilon’}(A)$ también contiene a $B$
Podemos identificar al ínfimo de los $\varepsilon$´s $>0$ y encontrar así un conjunto $U_{\varepsilon´´}(A)$ más ajustado pero que sigue conteniendo a ambos conjuntos.
$U_{\varepsilon´´}(A)$ es el conjunto más pequeño que cubre lo deseado
Análogamente, vamos a identificar los conjuntos $U_\varepsilon(B)$ que también contienen a $A$.
Se puede dar el caso en que aunque $U_\varepsilon(B)$ contiene a $B,$ no contiene al conjunto $A.$
$U_\varepsilon(B)$ no cubre a $A$ completamente
Identificando valores para $\varepsilon >0$ suficientemente grandes, se logra la contención deseada:
$U_{\varepsilon’}(B)$ también contiene a $A$
Podemos identificar al ínfimo de los $\varepsilon$´s $>0$ y encontrar así un conjunto $U_{\varepsilon´´}(B)$ más ajustado pero que sigue conteniendo a ambos conjuntos.
$U_{\varepsilon´´}(B)$ es el conjunto más pequeño que cubre lo deseado
Si seleccionamos al ínfimo de los $\varepsilon$’s tales que ambos conjuntos quedan contenidos de la forma $A \subset U_\varepsilon(B)$ y $B \subset U_\varepsilon(A)$. Podemos definir la distancia de Hausdorff entre $A$ y $B$ como ese ínfimo. Formalmente: $$d_H(A,B) =: inf \{\varepsilon>0: A \subset U_\varepsilon(B) \,y\, B \subset U_\varepsilon(A) \}$$
$A \subset U_\varepsilon(B)$ y $B \subset U_\varepsilon(A)$
Sean $A\subset X$ y $B\subset X$ y $\varepsilon >0$. Si definimos $\text{dist}(a,B) =: \underset{b \in B}{inf} \, d(a,b)$ para cada $a \in A$ y análogamente $\text{dist}(b,A) =: \underset{a \in A}{inf} \, d(a,b)$ para $b \in B$ entonces las siguientes son propiedades de la distancia de Hausdorff.
Las líneas señalan las distancias «más grandes» que hay de algún punto de $A$ al conjunto $B$ y de un punto de $B$ al conjunto $A$. Se garantiza que el máximo define el radio de las bolas que hace que los dos conjuntos $U_{\varepsilon}(A)$ y $U_{\varepsilon}(B)$ contengan tanto a $A$ como a $B$.
b) $d_H(A,B) \leq \varepsilon$ si y solo si para todo $a \in A,$ $\text{dist}(a,B) \leq \varepsilon$ y para todo $b \in B, \, \text{dist}(b,A) \leq \varepsilon.$ Esto puede no ocurrir si cambiamos «$\leq$» por «$<$».
Anteriormente hemos hablado de la definición de una función acotada (Espacios de funciones) y de una sucesión acotada (Convergencia), veamos esta definición de un modo más general:
Definición conjunto acotado. Sea $A \subset X$ decimos que $A$ es un conjunto acotado en $X$ si existe un punto $x_0 \in X$ y $M >0$ tal que para toda $x \in A$ se cumple que $d(x,x_0)<M$. Nota que esto es equivalente a decir que $A \subset B(x_0,M)$.
Proposición: Si $(X,d)$ es un espacio métrico, entonces $d_H$ define una métrica en el conjunto de conjuntos cerrados y acotados $\mathcal{M}(X):=\{F \subset X: F \text{ es cerrado y acotado}\}$. (En el libro de Burago la métrica puede tomar el valor infinito, en ese sentido $d_H$ también sería una métrica en el conjunto de los subconjuntos cerrados de $X$, incluyendo los no acotados).
Eso significa que $A,B \in \mathcal{M}(X)$ cumplen:
1) $d_H(A,B)=0$ si y solo si los conjuntos son iguales. En este caso tendremos que para todo $\varepsilon>0$ $A \subset U_\varepsilon(B)$ y $B \subset U_\varepsilon(A)$. Además $U_\varepsilon(B)=U_\varepsilon(A).$
$d_H = 0$ entre conjuntos iguales
2) La propiedad de simetría en espacios métricos dice que $d_H(A,B) = d_H(B,A)$
La distancia $d_H$ es simétrica
3) Se cumple la desigualdad del triángulo entre conjuntos: $$d_H(A,B) \leq d_H(A,C) + d_H(C,B)$$. Para fines ilustrativos de esta propiedad recordemos que: $d_H(A,B) = max\{\underset{a \in A}{sup} \, \text{dist}(a,B),\underset{b \in B}{sup} \, \text{dist}(b,A)\}.$ $d_H(A,C) = max\{\underset{a \in A}{sup} \, \text{dist}(a,C),\underset{c \in C}{sup} \, \text{dist}(c,A)\}.$ $d_H(B,C) = max\{\underset{b \in B}{sup} \, \text{dist}(b,C),\underset{c \in C}{sup} \, \text{dist}(c,B)\}.$ La imagen siguiente representa esas distancias.
Desigualdad del triángulo a partir de máximos
A continuación, visualizaremos ejemplos de sucesiones en el espacio métrico de Hausdorff. Entonces los elementos de las sucesiones serán conjuntos cerrados y acotados. Si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es una sucesión de conjuntos de un espacio métrico y $A_n \to A$ en la métrica de Hausdorff, entonces $d_H(A_n,A) \to 0$ en $\mathbb{R}.$ Eso significa que los conjuntos indicados por la sucesión no solo se van a acercar (en posición, si podemos pensarlo así) al conjunto $A$, sino que se van a ver como éste (pues cuando $d_H =0$ los conjuntos son iguales).
La sucesión presentada muestra estrellas de la misma forma y tamaño pero distinta posición en $\mathbb{R}^2$ cada vez más grandes pero proporcionales entre sí. Para cada $n \in \mathbb{N}$ la estrella $A_n$ tiene su centro en el punto $(\frac{1}{n},0)$. Entonces la sucesión $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ converge a la estrella con centro en $(0,0)$.
La sucesión de huellas de perrito muestra manchas cada vez más pequeñas que convergen a las manchas verdes.
Tenemos una sucesión de conos $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ definida como sigue: para cada $n \in \mathbb{N}$ el cono $A_n$ tiene su centro en $(0,\frac{-3}{n},0)$, altura $\frac{2}{n}$ y radio $1$. Entonces los conos ven disminuída su altura hasta llegar a $0$ mientras que el centro se desplaza al origen. Finalmente convergen al círculo unitario en el plano horizontal.
Formalmente, tenemos los siguientes:
Ejemplos de sucesiones de conjuntos en espacios euclidianos que convergen a un conjunto $A$ en el espacio de Hausdorff.
Para cada $n \in \mathbb{N}$ considera en el espacio euclidiano $\mathbb{R}^2$ el conjunto $A_n =: \overline{B}(0,1+\frac{1}{n})$. Entonces $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ es una sucesión en el espacio de Hausdorff que converge al conjunto $A=:\overline{B}(0,1)$.
Basta con demostrar que $d_{H}(A_n,A) = max\{\underset{a \in A_n}{sup} \, \text{dist}(a,A),\underset{b \in A}{sup} \, \text{dist}(b,A_n)\} \to 0$ en $\mathbb{R}$. Es sencillo probar que para cada $n \in \mathbb{N}, \,d_{H}(A_n,A) = \frac{1}{n} \to 0 \in \mathbb{R}$ por lo tanto $A_n \to A$.
Presentamos una sucesión de prismas ubicadas en el espacio euclidiano $\mathbb{R}^3$ como muestra la imagen.
Los prismas convergen a la cara del fondo
Prisma $A_k$
Sea $A$ el triángulo que es una cara del prisma y está en el plano $X_2, X_3$. Nota que para cada $k \in \mathbb{N}$, $d_{H}(A_k,A) = max\{\underset{a \in A_k}{sup} \, \text{dist}(a,A),\underset{b \in B}{sup} \, \text{dist}(b,A_k)\}= \frac{1}{k}$
Entonces $d_{H}(A_n,A) = \frac{1}{n} \to 0 \in \mathbb{R}$ por lo tanto $A_n \to A$.
La demostración de las siguientes dos sucesiones se dejará como ejercicio.
Tenemos una sucesión de polígonos regulares en $\mathbb{R}^2$ $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ donde, para cada natural $n$, $ A_n$ es el polígono regular de $\, n \,$ lados con centro en $(0,0)$ y circunscrito en el círculo con centro en $(0,0)$ y radio $1$. Demuestra que $A_n \to \overline{B}(0,1)$ en el espacio de Hausdorff.
Los polígonos convergen al círculo unitario
Como sugerencia, puedes demostrar que la medida del apotema vista como $\, cos \alpha \,$ tiende a $1$ en $\mathbb{R}$.
La siguiente sucesión muestra cilindros en $\mathbb{R}^3$.
Los cilindros convergen al segmento del centro
Para cada $n \in \mathbb{N}$ considera $A_n$ como el cilindro que tiene de base al círculo con centro en el origen, radio $\frac{1}{n}$ y altura $2$. Demuestra que la sucesión $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ converge al segmento $\{(0,0,x_3): x_3 \in [0,2]\}$.
Ahora presentaremos algunas condiciones que garantizan la convergencia en sucesiones de conjuntos. En la última se menciona la noción de compacidad, concepto del que se hablará en entradas próximas. Por el momento podemos imaginar el resultado en espacios euclidianos, donde los compactos son los conjuntos cerrados y acotados.
Proposición: Sea $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión en $\mathcal{M}(X)$ tal que $A_n \to A$ en $\mathcal{M}(X)$. Entonces:
a) $A$ es el conjunto de límites de todas las sucesiones convergentes $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $X$ tales que para toda $n \in \mathbb{N}, \, a_n \in A_n$.
Los puntos de convergencia están en el conjunto de convergencia
b) El conjunto al que converge la sucesión está dado por: $A = \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} (\overline{\underset{m \geq n}{\cup} A_m})$.
Esto significa que en cada iteración, vamos a considerar la cerradura de la unión de todos los conjuntos, exceptuando los de las primeras posiciones (según la iteración en la que vayamos). Esto define nuevos conjuntos, cuya intersección es el conjunto al que la sucesión converge.
La intersección de todos los conjuntos de este estilo es el conjunto al que la sucesión converge:
Proposición: Sea $(X,d)$ un espacio métrico compacto y $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de subespacios compactos en él, entonces: a) Si $A_{n+1} \subset A_n$, entonces $A_n \to \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap}A_n$ en $\mathcal{M}(X)$.
Entonces cuando una sucesión es tal que cada término está contenido en el anterior, la sucesión converge a la intersección de todos los conjuntos.
Sucesión de cilindros
b) Si para todo $n \in \mathbb{N}, \, A_n \subset A_{n+1}$, entonces $A_n \to \overline{\underset{n \in \mathbb{N}}{\cup}A_n}$ en $\mathcal{M}(X)$.
Entonces cuando una sucesión es tal que cada término contiene al anterior, la sucesión converge a la cerradura de la unión de todos los conjuntos.
En el dibujo la sucesión $(A_n)_n \in \mathbb{N}$ tiene como conjunto $A_n = \overline{B}(0,2-\frac{1}{n})$ para cada $n \in \mathbb{N}$. Es sencillo demostrar que $A_n \to \overline{B}(0,2)$ en $\mathbb{R}^2.$
Más adelante…
Ya que hemos estudiado algunas propiedades en un espacio métrico, comenzaremos a relacionar un espacio con otros a través de funciones. Veremos bajo qué circunstancias es posible hablar de “cercanía” en puntos del contradominio cuando se parte de puntos cercanos en el espacio métrico del dominio.
Tarea moral
Describe las características de las sucesión definida como: $A_1=[0,1]$ $A_2=[0,1] \setminus (\frac{1}{3},\frac{2}{3})=[0,\frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3},1],$ $A_3=[0,\frac{1}{3}] \setminus (\frac{1}{9},\frac{2}{9}) \cup [\frac{2}{3},1]\setminus (\frac{7}{9},\frac{8}{9})=[0,\frac{1}{9}] \cup [\frac{2}{9},\frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3},\frac{7}{9}] \cup[\frac{8}{9},1]$ Y así, recursivamente, se va quitando la tercera parte central, de cada intervalo que quedaba. La intersección de estos conjuntos es conocido como el conjunto de Cantor. ¿Bajo qué resultados mencionados en esta entrada podemos concluir la convergencia de la sucesión?
El copo de nieve de Koch es la curva a la que converge una sucesión definida como sigue: $A_1$ es un triángulo equilátero. $A_2$ sustituye la tercera parte central de cada lado por dos aristas de la misma medida. $A_3$ Hace lo mismo. Se repite el proceso recursivamente ¿Qué puedes decir del área encerrada por las curvas a medida que la sucesión aumenta? ¿Hay condiciones suficientes para concluir la convergencia de estos conjuntos?
Demuestra la convergencia en el espacio de Hausdorff de la sucesión de polígonos circunscritos descrita anteriormente.
Demuestra la convergencia en el espacio de Hausdorff de la sucesión de cilindros expresada anteriormente.
Ante el modelado de situaciones, resulta útil identificar qué tan lejos está un objeto de convertirse en otro. Si se identifica una secuencia o patrón entre una situación y la siguiente, posiblemente se pueda comprobar que, tras varios cambios, nos aproximaremos a algún resultado específico. El Análisis Matemático ofrece herramientas que formalizan este estudio. En la sección que a continuación presentamos trabajaremos más con la noción de cercanía a través de distancias que van tendiendo a cero. Esta vez lo haremos con una sucesión que toma elementos del espacio métrico. Se verá bajo qué condiciones estos puntos se acercan cada vez más a cierto punto en el espacio métrico. Comencemos con la siguiente:
Definición sucesión: Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Decimos que una función $x: \mathbb{N} \to X$ es una sucesión en $X$.
Podemos pensar entonces que una sucesión elige, para cada número natural $n$, un elemento $x_n$ del conjunto $X$. Vamos a denotar una sucesión como $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}.$
Representación de una sucesión en $(X,d)$
¿Bajo qué condiciones podemos decir que la sucesión se aproxima cada vez más a cierto punto $x$ en $(X,d)$? Para que esto ocurra se espera que, siempre que se fije una distancia $\varepsilon >0$ como referencia, se pueda asegurar que los últimos elementos de la sucesión, tengan una distancia al punto $x$ menor que $\varepsilon$, es decir, que exista un número natural $N \,$ de modo que todos los puntos asignados por la sucesión a partir de la posición $N$, estén “dentro” de la bola de radio $\varepsilon$ con centro en $x$, el punto de convergencia. De manera formal, tenemos la:
Definición sucesión convergente: Vamos a decir que una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es convergente en $(X,d)$ si existe $x \in X$ tal que para todo $\varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N$ ocurre que $d(x_n,x)<\varepsilon$.
Los últimos puntos de la sucesión están dentro de la bola de radio $\varepsilon$ con centro en $x$.
Si es así, diremos que $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge a $x$ y se indicará en la notación como: $$x_n \to x$$ o como: $$\underset{n \to \infty}{lim} \, x_n =x$$ Nota: $x_n \to x \text{ en } X \iff d(x_n,x) \to 0 \text{ en } \mathbb{R}$. Si la sucesión no es convergente decimos que es divergente.
Ahora veamos que una sucesión no puede converger a dos puntos diferentes:
Proposición: Si $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es una sucesión convergente en $X$ entonces el límite $\underset{n \to \infty}{lim} \, x_n$ es único. Demostración: Supongamos que $x_n \to x_a \,$ y $\, x_n \to x_b \,$ en $X$. Sea $\varepsilon>0$. Siguiendo la definición de convergencia se tiene que para todo $\frac{\varepsilon}{2} >0$ existen números naturales $N_a\, $ y $\, N_b\, $ tales que para todo $n\geq N_a, \, d(x_n,x_a)< \frac{\varepsilon}{2}$ y para todo $n\geq N_b, \, d(x_n,x_b)< \frac{\varepsilon}{2}$. Si elegimos $N = max\{N_a,N_b\}$ las dos condiciones anteriores se satisfacen. Entonces, para toda $n\geq N$, $0 \leq d(x_a,x_b) \leq d(x_a,x_n)+d(x_n,x_b) \leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}= \varepsilon$ Nota entonces que $\forall \, \varepsilon >0,$ la distancia entre $x_a$ y $x_b$ queda acotada por $0 \leq d(x_a,x_b) \leq \varepsilon.$ En conclusión, $d(x_a,x_b)=0$, por lo tanto los puntos de convergencia son iguales.
Es importante mencionar que la convergencia de una sucesión depende tanto de la métrica como del conjunto a considerar. Una sucesión puede ser convergente en un espacio métrico pero no serlo en otro. Por ejemplo, la sucesión que a cada natural $n$ le asigna el número $\frac{1}{n}$ cumple que $(\frac{1}{n}) \to 0$ en $\mathbb{R}$ con la métrica euclideana, pero en el subespacio euclideano $(0,1]$ no es convergente, pues $0$ no está en el subespacio.
Definición subsucesión de $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Una subsucesión $(x_{k(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ es una composición de la sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ con una función estrictamente creciente, $k:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$. Esto significa que una subsucesión tomará elementos en $X$ de la sucesión, en el mismo orden en que aparecen, aunque es posible que vaya descartando algunos.
Los puntos en verde señalan un ejemplo de subsucesión.
Hay una relación entre el límite de una sucesión y los de sus subsucesiones:
Proposición: Una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge a $x$ en $X$ si y solo si toda subsucesión $(x_{k(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ converge a $x$ en $X$.
Tanto los últimos puntos de la sucesión como los de la subsucesión se aproximan al punto de convergencia.
Demostración: Sea $(x_{k(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ una subsucesión de $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Como $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge entonces existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N, \, d(x_n,x) < \varepsilon$. Ya que $k: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ es estrictamente creciente, tenemos que para todo $j \geq N, \, k(j) \geq k(N) \geq N$. Así, $d(x_k(j),x)< \varepsilon$, lo cual demuestra que $(x_{k(n)}) \to x$. El regreso es trivial, pues es posible definir una subsucesión como la sucesión misma.
Definición: Diremos que una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $X$ es acotada si existe $M \in \mathbb{R}$ y $x \in X$ tales que $\forall \, n \in \mathbb{N}$ ocurre que $d(x,x_n) \leq M$. Esto significa que una sucesión es acotada si todos los puntos $x_n,$ con $n \in \mathbb{N}$ están en una bola abierta con centro en algún punto $x$ del espacio métrico.
Representación de una sucesión acotada.
¿Es posible concluir que una sucesión es convergente si sabemos que es una sucesión acotada? Al final se te propondrá dar un ejemplo de una sucesión acotada que no sea convergente. En contraparte, tenemos la siguiente:
Proposición: Toda sucesión convergente es acotada. Demostración: Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión que converge a $x$ en $X$. Buscamos «encerrar» todos los puntos de la sucesión en una bola abierta. Si suponemos $\varepsilon = 1$, existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N, \, d(x_n,x)<1$. Hasta aquí ya logramos «encerrar» todos los puntos de la sucesión a partir de $x_N$.
A partir de $x_N$, los puntos de la sucesión están en una bola abierta.
Para encerrar los elementos que van antes en la sucesión, considera las distancias entre $x$ y cada uno de esos puntos como $d_i = d(x_i,x), \, i=1,…,N-1$.
Si hacemos $M = máx\{d_i,1\}, \, i=1,…,N-1$, se consigue que para todo $n \in \mathbb{N}, \, d(x_n,x)<M$ con lo cual se demuestra que la sucesión es acotada.
Todos los puntos de la sucesión están en una bola abierta.
Los últimos resultados que expondremos en esta entrada son muy importantes, en el sentido en que suele acudirse a ellos para otras demostraciones. Te sugerimos tenerlos presentes.
Proposición: Si $x_n \to x$ en $X$ entonces $x$ es un punto de contacto del conjunto $\{x_n \,|n \in \mathbb{N}\}$. Según la definición, basta con demostrar que toda bola abierta de radio $\varepsilon >0$ con centro en $x$ interseca al conjunto $\{x_n\}$. La demostración se deja como ejercicio.
Toda bola abierta con centro en el punto de convergencia tiene elementos de la sucesión.
Proposición: Sea $A \subset X$ y $x \in X$. Entonces $x \in \overline{A}$ si y solo si existe una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $A$ tal que $x_n \to x$ en $X$.
Demostración: El regreso se concluye a partir de la proposición anterior. Si $x \in \overline{A}$ entonces todas las bolas abiertas con centro en $x$ intersecan al conjunto $A$. Así, para cada $n \in \mathbb{N}$, podemos elegir un punto $x_n \in B(x, \frac{1}{n}) \cap A$. Como $d(x,x_n)< \frac{1}{n} \to 0$ en $\mathbb{R}$, se concluye que $x_n \to x$ en $X$.
Todo punto de contacto de un conjunto tiene una sucesión en el conjunto, convergente.
Más adelante…
Tendremos un acercamiento a un espacio métrico cuyos elementos son los subconjuntos cerrados de otro espacio métrico. Al definir la distancia entre estos subconjuntos cerrados veremos que, si una sucesión de ellos converge, entonces lo hace en un subconjunto cerrado. Ya que eso significa que la distancia tiende a cero, y la distancia entre dos elementos es cero cuando son iguales, podemos esperar que los subconjuntos de la sucesión se parecerán cada vez más, al subconjunto al cual convergen.
Tarea moral
Prueba que si $(x_n) \to x$ en $X$ entonces $x$ es un punto de contacto del conjunto $\{x_n \,|n \in \mathbb{N}\}$.
Demuestra que una sucesión constante converge.
¿Puede una sucesión ser convergente en el espacio discreto? ¿Bajo qué condiciones?
Da un ejemplo de una sucesión en $\mathbb{Q}$ que converge en $\mathbb{R}$ pero no en $\mathbb{Q}$.
Sea $A \subset X$. Demuestra que $x$ es un punto interior de $A$ si y solo si para toda $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ que converge a $x$ en $X$, existe $N>0$ tal que $\forall \, n \geq N, x_n \in A$.
Demuestra que $x \in X$ es un punto frontera de $A \subset X$ si y solo si existen sucesiones $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $A$ y $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $X\setminus A$ que convergen a $x$.
Demuestra que si la imagen de una sucesión es finita entonces la sucesión es convergente.
Da un ejemplo de una sucesión acotada que no sea convergente.
En las entradas anteriores hablamos de métricas definidas en distintos conjuntos. Trabajamos a partir de las distancias entre elementos representados como puntos. La mayoría de estos ejemplos fueron sobre el conjunto $\mathbb{R}^n$ pero, ¿será posible considerar como elementos objetos, aparentemente más complejos? Observemos ahora conjuntos de funciones y veamos si es posible definir una métrica entre ellas.
Considera el conjunto $C^0[a,b]$, que es el conjunto de funciones continuas que van del intervalo $[a,b] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Sean $f,g \in C^0[a,b]$. La suma de funciones y el producto de una función por un escalar para $\lambda \in \mathbb{R}$ definidos como:
Nos permiten considerar $C^0[a,b]$ como un espacio vectorial. Presentamos algunas normas para este espacio:
$$\norm{f}_p:= (\int_{a}^{b} |f(x)|^p \,dx)^{1/p} , \text{si } p \in [1,\infty),$$
$$\norm{f}_\infty:= máx\{|f(x)|:a\leq x \leq b \}.$$
En la sección de Espacios normados pudimos observar que una norma induce una métrica en un espacio vectorial. Es importante observar que la distancia entre funciones puede ser diferente según la métrica que se considere. Como ejemplo, consideremos las funciones en $C^0[0,1]$ definidas como:
\begin{align*} f_k(x) &= \left\{ \begin{array}{lcc} 1-kx & si & 0\leq x \leq \frac{1}{k}\\ 0 & si & \frac{1}{k} \leq x \leq 1 \end{array} \right.\\ g(x)&= 0, \forall x \in [0,1] \end{align*}
A continuación visualizamos el comportamiento de $f_k(x)$ para $k=1,2,3.$
Mientras que la función $g$ permanece sobre el eje horizontal.
Si calculamos la distancia entre $f_k(x)$ y $g(x)$ con la norma $||\cdot||_\infty$, podemos ver que $\forall \, k \geq 1$
\begin{align*} ||f_k(x)-g(x)||_\infty &= máx\{|f_k(x)-g(x)|:0\leq x \leq 1 \}\\ &= máx\{|1-kx-0|: 0\leq x \leq \frac{1}{k} \}\\ &= máx\{|1-kx|:0\leq x \leq \frac{1}{k} \}\\ &= 1 \end{align*}
La distancia es la línea más grande entre $f_k$ y el eje horizontal.
Pero si consideramos $||\cdot||_p$ para $p=1$ \begin{align*} \norm{f_k(x)-g(x)}_1&=\norm{f_k(x)-0}_1\\ &=\norm{f_k(x)}_1\\ &= \int_{0}^{1} |f(x)| \,dx)\\ &= \int_{0}^{1/k}1-kx\\ &=\dfrac{1}{2k} \end{align*}
De modo que cuando $k \to \infty, \norm{f_k(x)-g(x)}_1 \to 0$
La distancia es el área bajo la curva $f_k$
Esto muestra que la distancia entre dos funciones puede variar, considerablemente, al variar también la métrica usada.
Comentarios antes de la proposición
Nota que en el ejemplo anterior las funciones son acotadas, como lo son en general las funciones de $C^0[a,b]$, pues son continuas en un conjunto compacto en $\mathbb{R}$. ¿Qué pasa si alguna de las funciones no es acotada?
Sean $f:[0,1] \to \mathbb{R} \text{ y } g:[0,1] \to \mathbb{R}$ definidas como: \begin{align*} f(x) &= \left\{ \begin{array}{lcc} 1/x & si & 0 < x \leq 1\\ 0 & si & x = 0 \end{array} \right.\\ g(x)&= 0 \end{align*} Entonces $\forall x \in [0,1]$ $|f(x)-g(x)|=|f(x)-0|=|f(x)|=f(x)$ Como $f$ no es acotada en $[0,1]$ no podemos hablar del valor del supremo por lo que la métrica inducida por $\norm{.}_\infty$ no está definida en este caso.
La función no tiene supremo
¿Qué pasa si $f \text{ y }g$ son acotadas pero no necesariamente son continuas? Sean $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ y $g:[a,b] \to \mathbb{R}$ tales que $\forall \, x\in [a,b], |f(x)|\leq M_f \text{ y } |g(x)| \leq M_g$ para $M_f, M_g \in \mathbb{R}$ Entonces: \begin{align*} |f(x)-g(x)|&=|f(x)+(-g(x))|\\ &\leq|f(x)|+|g(x)|\\ &\leq M_f + M_g \end{align*}
Se concluye que el conjunto $\{|f(x)-g(x)|: x \in [a,b]|\}$ es acotado y por tanto aquí sí podemos hablar del supremo.
Podemos pensar que para generalizar esta distancia entre funciones, basta con que esa distancia esté acotada. Veamos lo siguiente:
Definición función acotada: Sea $S$ un conjunto y $X=(X,d)$ un espacio métrico. Decimos que una función $f:S \to X$ es acotada si existe $M \in \mathbb{R}$ y $x_0 \in X$ tales que $\forall \, y \in S$ ocurre que $d(f(y),x_0) \leq M$. El conjunto de funciones acotadas de $f$ en $X$ se denota como: $$\mathcal{B}(S,X):= \{ f:S \to X:f \text{ es acotada}\}$$.
La bola $B(x_0,M)$ contiene al conjunto $f(S)$
Proposición: La métrica $d$ en $X$ induce una métrica en $\mathcal{B}(S,X)$ dada por: $$d_\infty (f,g):= \underset{z\in S}{sup}\,d(f(z),g(z))$$ Y recibe el nombre de métrica uniforme. Demostración: Sean $f,g,h \in \mathcal{B}$ entonces: 1) \begin{align*} d_\infty(f,g)&=0 \\ \Leftrightarrow \underset{z\in S}{sup}\,d(f(z),g(z))&=0 \\ \Leftrightarrow \forall \, z \in S, d(f(z),g(z))&=0 \\ \Leftrightarrow \forall \, z \in S, f(z)&=g(z) \\ \Leftrightarrow f&=g. \\ \text{Por lo tanto: } d_\infty (f,g)=0 &\Leftrightarrow f=g \end{align*}
Veamos ejemplos de espacios de funciones y analicemos la cercanía entre ellas. Recordemos que esto lo hacemos a través de las bolas abiertas con centro en un elemento del espacio métrico. En este caso, el centro es una función.
Funciones continuas del intervalo $[0,1]$ en $\mathbb{R}$ Si consideramos a $C[0,1]$ podemos observar que la bola abierta con centro en $f=0$ y radio $1$ está dado por $\{h: |h(x)|<1,x \in [0,1]\}$. Entonces, una función $h$ que esté en $B(f=0,1)$ debe satisfacer que $\forall x \in [0,1], -1<h(x)<1$.
La distancia entre la función $h$ y $0$ es menor que $1$.
En consecuencia, la bola abierta queda representada por curvas cuyos puntos se encuentren entre las rectas $y=-1$ y $y=1$.
Funciones cuya distancia a la función $0$ es menor que $1$.
Por otro lado, si consideramos como centro la función identidad $I(x)=x$ la bola de radio $1$ está dada por $\{h:|h(x)-x|<1,x \in [0,1]\}$. Entonces, una gráfica $h$ que esté en $B(I,1)$ debe satisfacer que $\forall x \in [0,1], -1<h(x)-x<1$ es decir $\forall x \in [0,1], x-1<h(x)<x+1$.
La distancia entre la función $h$ y la identidad es menor que $1$.
Entonces, la bola abierta queda representada por curvas cuyos puntos se encuentren entre las rectas $y=x-1$ y $y=x+1$.
Funciones cuya distancia a la función identidad es menor que $1$.
De manera general si consideramos como centro una función $f(x)$ la bola de radio $1$ está dada por $\{h: |h(x)-f(x)|<1,x \in [0,1]\}$. Entonces, una gráfica $h$ que esté en $B(f,1)$ debe satisfacer que $\forall x \in [0,1], -1<h(x)-f(x)<1$ es decir $\forall x \in [0,1], f(x)-1<h(x)<f(x)+1$.
$f: [0,1] \to \mathbb{R}$
La distancia entre la función $h$ y $f$ es menor que $1$.
Entonces, la bola abierta queda representada por curvas cuyos puntos se encuentren entre las curvas de $f(x)-1$ y $f(x)+1$.
Funciones cuya distancia a la función $f$ es menor que $1$.
Funciones continuas del intervalo $[0,1]$ en $\mathbb{R}^2$ Consideremos a $\mathbb{R}^2$ con la métrica euclideana y a $C[0,1] \to \mathbb{R}^2$ el conjunto de funciones continuas. Una función en este conjunto se representa como una curva continua en $\mathbb{R}^2$
$h:[0,1] \to \mathbb{R}^2$
Entonces, una función $h$ que esté en la bola abierta con centro en $f=0$ y radio $1$ debe satisfacer $\{ h: \norm{h(x)-0}<1,x \in [0,1]\}$. Entonces su representación debe estar dentro de la bola de radio $1$ con centro en $0$.
La distancia entre la función $h$ y $0$ es menor que $1$.
Concluimos que $B(f=0,1)=\{ h: \norm{h(x)}<1, x \in [0,1], \}$. Dicho conjunto puede representarse de esta forma:
Funciones cuya distancia a la función $0$ es menor que $1$.
Funciones continuas de $[0,1]^2$ en $\mathbb{R}$
Ahora identifiquemos el conjunto $B(f=0,1)$ en el espacio $C^0[0,1]^2 \to \mathbb{R}$ El cuadrado $[0,1]^2$ visualizado en el plano $x_1 \, x_2$ se muestra como una sábana continua y representa la función $f(x)=0, x \in [0,1]^2$.
Función $f=0$.
Si $h$ está en $B(f=0,1)$ entonces $|h(x)-0|<1,x \in [0,1]^2$, es decir, para todo $x \in [0,1]^2, -1<h(x)<1$. De modo que su gráfica será una sábana que esté entre las gráficas de $f_1(x)=-1 \, y\, f_2(x)=1$.
La distancia entre la función $h$ y $0$ es menor que $1$.
La $B(f=0,1)$ será la colección de todas las sábanas que cumplan esas condiciones:
Funciones cuya distancia a la función $0$ es menor que $1$.
Ahora considera como centro la función $f(x_1,x_2)=x_1$. Observemos el conjunto $B(f,1)$ en el espacio $C^0[0,1]^2 \to \mathbb{R}$. La gráfica de $f$ se muestra a continuación.
Función $f$.
Si $h$ está en $B(f,1)$ entonces $|h(x)-f(x)|<1,x \in [0,1]^2$, es decir, para todo $x \in [0,1]^2, x_{1}-1<h(x_1,x_2)<x_{2}+1$. De modo que su gráfica será una sábana que esté entre las gráficas de $f_1(x_1,x_2)=x_{1}-1\, y \, f_2(x_1,x_2)=x_{1}+1$.
La distancia entre la función $h$ y $f$ es menor que $1$.
La $B(f,1)$ será la colección de todas las sábanas que cumplan esas condiciones:
Queda como ejercicio al lector hacer el análisis corresponiente para una bola abierta con centro en una función arbitraria.
Funciones cuya distancia a la función $f$ es menor que $1$.
Función $h:[0,1]^2 \to \mathbb{R}^2$
Funciones continuas de $[0,1]^2$ en $\mathbb{R}^2$
Considera $h$ una función en $C^0[0,1]^2 \to \mathbb{R}^2$. Bajo esa función, el cuadrado $[0,1]^2$ es transformado en una superficie como las mostradas en la imagen.
Si buscamos funciones que estén en la bola con centro en la función $0$ y radio $1$, demuestra que las figuras que representan la imagen de estas funciones estarán dentro del círculo unitario.
Más adelante…
Aprenderemos cómo identificar objetos que se aproximan entre sí y las condiciones que debe haber para que esto ocurra. Conoceremos el concepto de sucesión convergente en espacios métricos y descubriremos más particularidades que en el espacio euclideano no ocurren pero en otros espacios sí.
Tarea moral
Describe una representación de la bola abierta en $\mathbb{R}^2$ con un centro en una función distinta a la función cero.
Describe una representación de la bola abierta con centro en una función arbitraria en el espacio de funciones continuas de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}$.
En el espacio de funciones continuas de $[0,1]^2$ en $\mathbb{R}^2$ buscamos funciones que estén en la bola con centro en la función $0$ y radio $1$. Demuestra que las figuras que representan la imagen de estas funciones estarán dentro del círculo unitario.
Ya que hemos visto cómo son las bolas abiertas en diferentes métricas, procederemos a analizar cómo son cuando las comparamos con un conjunto $A \subset X$. Como recurso, usaremos imágenes representativas con la intención de ayudar en la abstracción de los conceptos que a continuación se anuncian. Aunque las bolas no necesariamente se representan siempre como circunferencias (métrica del taxista), o como objetos con bordes punteados (como el segmento vertical que forma parte de la bola abierta en la métrica del ascensor), para fines gráficos rescataremos la idea de usar líneas punteadas para hacer alusión al «borde» de una bola abierta, sugiriendo que son puntos en el conjunto $X$ que no están en ella. Por el contrario, representaremos con lineas continuas puntos que sí formen parte de un conjunto dado.
Unas breves comparaciones entre subconjuntos y puntos
Para iniciar, pensemos en un espacio métrico $(X,d)$:
Y en un conjunto $A$ contenido en $X$:
Identifiquemos puntos arbitrarios en $X$:
Entonces un punto $x \in X$ puede pertenecer o no al conjunto $A$. Si $x \in A$, entonces una bola abierta con centro en $x$ puede tener puntos tanto en $A$ como en $X \setminus A$.
o bien, puede tener todos sus puntos en $A$
¿Puede haber una bola con centro en un punto en $A$ que esté totalmente contenida en el conjunto $X \setminus A$?
Por otro lado, si consideramos ahora $x \notin A$ , una bola abierta con centro en $x$ podría tener puntos tanto en $A$ como en $X \setminus A$.
O bien, puede solo tener puntos en $X \setminus A$
¿Es posible que una bola con centro en un punto en $X \setminus A$ esté totalmente contenida en $A$?.
Habiendo hecho estos comentarios generales, asignemos términos a los puntos de $X$ según las condiciones que cumplan las bolas abiertas asociadas.
Conceptos topológicos en un espacio métrico
Definición punto interior de un conjunto: Sea $A$ un subconjunto del espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Decimos que $x$ es punto interior de $A$en $(X,d)$ si existe $\varepsilon > 0$ tal que $B(x,\varepsilon) \subset A$.
Aunque $x$ pueda tener alguna bola abierta que no esté totalmente contenida en A, basta con que exista una que sí lo esté para que a $x$ se le considere un punto interior.
De acuerdo a la definición, un punto $x \in X$ no será punto interior de $A$ cuando $\forall \varepsilon >0, B(x,\varepsilon)$ tiene puntos en $X \setminus A$. Los siguientes esquemas muestran puntos que no son puntos interiores del conjunto $A$ (tal vez sí lo sean de otro conjunto).
Definición interior de un conjunto: El conjunto formado por todos los puntos interiores de $A$ se denomina interior de $A$en $(X,d)$ y se denota como: $$Int (A) = : \{x \in X|x \text{ es punto interior de A}\}$$
El conjunto $Int(A)$ se representa de la siguiente manera:
Definición conjunto abierto: Diremos que $A \subset X$ es un conjunto abierto en $(X,d)$ si $A=Int(A)$.
Si pruebas que para todo $A \subset X$ se cumple que $Int(A) \subset A$ notarás que un conjunto $A$ es abierto cuando todos sus puntos son puntos interiores, es decir, cuando $A \subset Int(A)$. El conjunto $A$ que estamos considerando no es abierto, pues tiene puntos que no son puntos interiores.
Pero si consideramos un conjunto $A$ de esta forma, sí coincide con su interior y por lo tanto, es abierto.
Definición punto de contacto o punto de adherencia: Sea $A$ un subconjunto del espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Se dice que $x$ es punto de contacto (o de adherencia) de $A$ en $(X,d)$ si $\forall \, \varepsilon >0$ se cumple que $B(x,\varepsilon) \cap A \neq \emptyset$.
Incluso un punto que no esté en $A$ puede ser punto de contacto de $A$.
Incluso si alguna bola interseca al conjunto $A$, si hay alguna que no lo haga, no será punto de contacto de $A$.
Definición cerradura o adherencia de un conjunto: El conjunto formado por todos los puntos de contacto es denominado la cerradura de $A$ en $(X,d)$, y se denota como:
$$ \overline {A} =: \{x \in X| x \text{ es punto de contacto de A}\}$$
Todos los puntos de contacto de $A$.
Definición conjunto cerrado: Diremos que un conjunto $A \subset X$ es un conjunto cerrado en $(X,d)$ si $A=\overline{A}$. Si pruebas que para todo $A \subset X$ se satisface que $A \subset \overline{A}$ notarás que un conjunto $A$ es cerrado cuando todos sus puntos de contacto están en $A$, es decir, cuando $\overline{A} \subset A$. En el ejemplo que estamos manejando, $A$ no es cerrado, pues tiene puntos de contacto que no están en $A$:
Si $A$ fuera considerado inicialmente de esta forma, sí coincide con su cerradura y por tanto, es cerrado:
Al final de esta sección se te propondrá como ejercicio demostrar que $A \subset X$ es un conjunto cerrado en $(X,d)$ si y solo sí su complemento $X \setminus A$ es un conjunto abierto en $(X,d)$.
Definición bola cerrada: Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Considera un punto $x \in X$ y $\varepsilon \in \mathbb {R}, \varepsilon>0$. La bola cerrada con centro en $x$ y radio $\varepsilon$ se define como el conjunto de puntos en $X$ tales que el valor de su distancia al punto $x$ es menor o igual que $\varepsilon$. Se denota como:
$$\overline{B}(x,\varepsilon) := \{y \in X | d(x,y) \leq \varepsilon \}$$
Nota: A diferencia de la bola abierta, la bola cerrada sí incluye a los puntos cuya distancia al centro sea exactamente $\varepsilon$.
Antes de poner un círculo cerrado como representación de una bola cerrada, enunciemos la siguiente: Proposición: La cerradura de una bola abierta $B(x,\varepsilon)$ (denotado como $\overline{B(x,\varepsilon)}$) no coincide, necesariamente con la bola cerrada $\overline{B}(x,\varepsilon)$. Veamos un contraejemplo con la métrica discreta en $\mathbb{R}^2$ y con $\varepsilon=1$.
Dado un punto $x$ en $\mathbb{R}^2$, según la definición, la bola cerrada de radio $1$ con centro en $x$ es el conjunto:
Pues la distancia entre dos puntos en la métrica discreta solo puede ser $0$ o $1$.
Pero si consideramos que para todos los puntos $y$ de $\mathbb{R}^2$ la bola abierta $B(y,1)= \{y\}$, (pues la distancia entre $y$ y el resto de los puntos en $\mathbb{R}^2$ no es menor que $1$), veremos que todos los puntos en $\mathbb{R}^2$ que son distintos de $x$ tienen una bola abierta que no interseca a $B(x,1)$, por lo tanto no hay ningún punto de $\mathbb{R}^2$ diferente de $x$ que esté en la cerradura de $B(x,1)= \{x\}$. En conclusión $\overline{B(x,1)}=\{x\}$.
Proposición. En espacios normados la cerradura de una bola abierta sí es la bola cerrada. Es decir $\overline{B(x,\varepsilon)} = \overline{B}(x,\varepsilon)$. La demostración se propone como ejercicio.
Definición punto de acumulación:Sea $A$ un subconjunto del espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Decimos que $x$ es punto de acumulación de $A$ en $(X,d)$ si $\forall \, \varepsilon >0$ se cumple que $(B(x,\varepsilon) \setminus \{ x \}) \cap A \neq \emptyset$. Nota que a diferencia del punto de contacto, el punto de acumulación se descarta de la intersección entre las bolas abiertas y $A$.
¿Es un punto de contacto también un punto de acumulación en cualquier métrica?
Proposición: Toda bola abierta que tiene un punto de acumulación de $A$, tiene también una cantidad infinita de puntos en A.
Demostración: Supón que $x \in X$ es un punto de acumulación de $A$ y que $x \in B(y,\varepsilon), y \in X, \varepsilon>0$.
Supón también que, contrario a lo que se quiere demostrar, esta bola abierta tiene una cantidad finita de puntos en $A$, digamos $\{x_1,x_2,…,x_n\}$ distintos de $x$.
Considera $\varepsilon_{i}=d(x,x_i), i=1,2,…,n$ la distancia entre cada uno de ellos a $x$. Sea $\varepsilon_0>0$ tal que $B(x,\varepsilon_0) \subset B(y,\varepsilon)$ y $\varepsilon_{m}= min\{\varepsilon_{i}|i=0,…,n\}$. Entonces el conjunto $B(x,\varepsilon_{m})\setminus \{x\}$ deja fuera todos los puntos de $A$, pues $\forall \, x_i, i=1,…,n$ pertenecientes a $A \cap B(y,\varepsilon), \varepsilon_{m} \leq d(x,x_i)$, por lo tanto existe una bola abierta que, al quitarle el punto $x$ no interseca a $A$.
Entonces $x$ no es un punto de acumulación de $A$, lo cual es una contradición a la hipótesis. Por lo tanto una bola abierta que tenga un punto de acumulación de $A$, tiene también una cantidad infinita de puntos en $A$.
Nota: Se puede concluir también que un conjunto finito no tiene puntos de acumulación.
Definición punto frontera de un conjunto. Sea $A$ un subconjunto del espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Decimos que $x$ es punto frontera de $A$ en $(X,d)$ si para toda $\varepsilon > 0$ se cumple que $B(x,\varepsilon) \cap A \neq \emptyset$ y también $B(x,\varepsilon) \cap (X/A) \neq \emptyset$ .
Definición conjunto frontera de un conjunto: El conjunto formado por todos los puntos frontera es denominado la frontera de $A$ en $(X,d)$, y se denota como:
$$\partial A =: \{x \in X| x \text{ es punto frontera de A}\}$$
Proposición: Prueba que $\partial A =: \overline{A} \setminus Int(A)$. La demostración se propone como ejercicio.
Para finalizar con esta sección, veamos por qué un espacio métrico es un espacio topológico:
Proposición. Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Entonces cumple con los siguientes axiomas:
1. Los conjuntos $X$ y $\emptyset$ son abiertos en $(X,d)$.
2. Si $\{U_i\}:i \in \mathcal{I}$ es una colección de conjuntos abiertos de $X$ entonces la unión $\cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$ es un conjunto abierto.
3. Si $U$ y $V$ son subconjuntos abiertos de $X$ entonces la intersección $U \cap V$ es un conjunto abierto en $X$.
Demostración: Para demostrar que $X$ es abierto, demostraremos que cada punto en $X$ es un punto interior de $X$. Sea $x \in X$ y $\varepsilon>0$, por definición $B(x,\varepsilon)= \{y \in X|d(x,y)<\varepsilon \} \subset X$ Por lo tanto $\forall \, x\in X, x \in Int(X)$. Se concluye que $X$ es abierto. La propiedad para el conjunto $\emptyset$ se cumple por vacuidad.
Sea $x \in \cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$ entonces $x \in U_{i_0}$ para algún $i_0 \in \mathcal{I}$. Como particularmente $U_{i_0}$ es un conjunto abierto, entonces existe $\varepsilon>0$ tal que$ B(x,\varepsilon) \subset U_{i_0} \subset \cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$. Por lo tanto $\forall \, x\in \cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$ se cumple que $x \in Int(\cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i)$, en consecuencia $\cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$ es un conjunto abierto en $X$.
Si $x \in U \cap V$ para $U,V$ abiertos en $X$, entonces $x \in U$ y $x \in V$ de modo que existen $\varepsilon_1 >0$ y $\varepsilon_2 >0$ tales que $B(x,\varepsilon_1) \subset U$ y $B(x,\varepsilon_2) \subset V$. Sea $\varepsilon= min \{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}$ entonces $B(x,\varepsilon) \subset B(x,\varepsilon_1) \subset U$ y $B(x,\varepsilon) \subset B(x,\varepsilon_2) \subset V$. Así, $B(x,\varepsilon) \subset U \cap V$, probando así que $\forall \, x \in U \cap V, x \in Int(U \cap V)$. Por lo tanto $U \cap V$ es un conjunto abierto en X.
Más adelante…
Pondremos en práctica las nociones aquí aprendidas para analizar espacios métricos de funciones. Una vez conocido mejor ese espacio, continuaremos con la generalización de definiciones vistas en los cursos de cálculo y hablaremos de convergencia de sucesiones, límite y continuidad en espacios métricos.
Tarea moral
Sea $X$ un espacio métrico y $A \subset X$. Demuestra que se cumplen las siguientes afirmaciones:
Una bola abierta en $X$ es un conjunto abierto.
El conjunto $Int(A)$ es abierto.
Para todo $A \subset X$, $Int(A) \subset A$.
Una bola cerrada en $X$ es un conjunto cerrado.
El conjunto $\overline{A}$ es cerrado.
$A = \overline{A}$ si y solo si $A$ es cerrado.
$A$ es un conjunto cerrado en $(X,d)$ si y solo sí su complemento $X \setminus A$ es un conjunto abierto.
La frontera de $A$ es un conjunto cerrado.
Si $A$ es finito, entonces es cerrado.
En espacios normados la cerradura de una bola abierta sí es la bola cerrada. Es decir $\overline{B(x,r)} = \overline{B}(x,r)$.
Es siempre la frontera de una bola abierta $B(x,d)$ el mismo conjunto de puntos $y \in X$ donde se cumple la igualdad $d(x,y)=\varepsilon$ Demuestra que en espacios normados sí ocurre.
$A_1$ es un triángulo equilátero.
$A_2$ sustituye la tercera parte central de cada lado por dos aristas de la misma medida.
$A_3$ Hace lo mismo. Se repite el proceso recursivamente
