(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Bajo ciertas condiciones, dadas dos funciones podemos evaluar el resultado de una en otra, es decir aplicar una función seguida de la otra, para formar una nueva función. A esta operación entre funciones se le llama la composición y la estudiaremos en esta entrada. Esta operación nos dará una amplia gama de funciones muy útiles como lo son la composición de las funciones trigonométricas con las funciones lineales. Para motivar el tema trata de obtener la siguiente familia de funciones con geogebra, $sen(kx+t)$, con $k,t\in \mathbb R$, en la que primero mandamos a $x$ a $kx+t$ y luego le aplicamos la función seno; éstas te darán una serie de curvas con las que se pueden describir distintos tipos de ondas. Te invitamos a revisar el recurso de geogebra donde se usa la función seno y se compone con funciones lineales para modelar ondas sonoras, y a darle un vistazo al siguiente video donde se habla de música y matemáticas.

Definición

Sean $A,B,C,D$ conjuntos, $f:A\rightarrow B$, $g:C\rightarrow D$ funciones, con $Im\,f\subseteq C$. Definimos la composición de $f$ seguida de $g$ como:

$$g\circ f:A\to D$$

con regla de correspondencia $g\circ f(x)=g(f(x))$, para todo $ x\in A.$ Observa que escribiremos la composición de derecha a izquierda, aunque existen autores que la escriben de izquierda a derecha.

Ejemplos

1. Sean $f:\mathbb R\to \mathbb R $ y $g:\mathbb R\to \mathbb R $ con

$f(x)=3x^2+1$, $g(x)=2x-1$ para toda $x\in \mathbb R$.

La composición $g\circ f:\mathbb R\to \mathbb R$ manda a cada $x\in \mathbb R$ en

$g\circ f(x)=g(f(x))=g(3x^2+1)=2(3x^2+1)-1=6x^2+1,$

mientras que la composición $f\circ g:\mathbb R\to \mathbb R$ manda a cada $x\in \mathbb R$ en

$f\circ g(x)=f(g(x))=f(2x-1)=3(2x-1)^2+1=12x^2-12x+4.$

2. Sean $\alpha:\set{1,2,3}\to \set{1,2,3}$, $\beta:\set{1,2,3}\to \set{1,2,3}$ con

$\alpha=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\
2 & 3 & 1\end{pmatrix} $

$\beta =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 3\end{pmatrix} $

Las composiciones $\beta\circ \alpha:\set{1,2,3}\to \set{1,2,3}$ y $\alpha\circ \beta:\set{1,2,3}\to \set{1,2,3}$ son

$\beta\circ \alpha=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\
1 & 3 & 2\end{pmatrix} $

$\alpha\circ \beta=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\
3 & 2 & 1\end{pmatrix} $

3. Sean $a,k,t\in \mathbb R.$ Considera las funciones $f:\mathbb R\to \mathbb R $, $g:\mathbb R\to \mathbb R $ con $f(x)=a \, sen(x)$, $g(x)=kx+t$ para toda $x\in \mathbb R.$ Tenemos que $f\circ g:\mathbb R\to \mathbb R $ con $f\circ g(x)=f(g(x))=f(kx+t)=a \, sen(kx+t)$ para toda $x\in \mathbb R.$

En el siguiente recurso de geogebra mueve los deslizadores $a$, $k$ y $t$ para obtener la gráfica de $a \, sen(kx+t)$.

Teorema

Sean $A,B,C,D$ conjuntos, $f:A\to B$, $g:B\to C$ y $h:C\to D$, entonces $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$, es decir la composición es asociativa.

Demostración

Para esta prueba usaremos el hecho de que dos funciones son iguales si tienen el mismo dominio, el mismo codominio, y la misma regla de correspondencia. Empecemos probando que $h\circ (g\circ f) $ y $(h\circ g)\circ f$ tienen el mismo dominio y el mismo codominio.

Como $g\circ f: A\to C$ y $h: C\to D$ entonces $h\circ (g\circ f): A\to D..$

Como $f: A\to B$ y $h\circ g: B\to D$ entonces $(h\circ g)\circ f: A\to D.$

Así, $h\circ (g\circ f ) $ y $(h\circ g)\circ f$ tienen el mismo dominio y el mismo codominio.

Para ver que tienen la misma regla de correspondencia hagamos lo siguiente:

Sea $x\in A$.

Sabemos que $h\circ (g\circ f )(x)=h( g\circ f(x) )=h(g(f(x))).$

Por otro lado, $(h\circ g)\circ f(x)= h\circ g (f(x))=h(g(f(x))).$

Entonces $h\circ (g\circ f )(x)=(h\circ g)\circ f(x)$ para toda $x\in A$.

Así, $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ .

$\square$

Definición

Sea $A$ un conjunto. La función identidad en $A$ es:

$id_A:A\to A$

con regla de correspondencia $id_A(x)=x$ para toda $ x\in A$.

Proposición

Sean $A,B$ conjuntos, $f:A\to B$ una función. Se cumple que:

1. $f\circ id_A=f,$
2. $id_B\circ f=f.$

Demostración

Demostración de 1

Por demostrar que $f\circ id_A=f$.

$f\circ id_A$ y $f$ tienen dominio $A$ y codominio $B$.

Vamos a ver que tienen la misma regla de correspondencia.

Sea $x\in A$. De acuerdo a la definición de composición $f\circ id_A(x)=f(id_A(x))$ y por definición de identidad tenemos que $f(id_A(x))=f(x)$. Concluimos que $f\circ id_A(x)=f(x)$.

Así, $f\circ id_A$ y $f$ tienen el mismo dominio, el mismo condominio y la misma regla de correspondencia, por lo tanto $f\circ id_A=f$.

Demostración de 2

$id_B\circ f$ y $f$ tienen dominio $A$ y codominio $B$.

Sea $x\in A$. De acuerdo a la definición de composición $id_B\circ f(x)=id_B(f(x))$ y por definición de la función identidad tenemos que $id_B(f(x))=f(x)$. Concluimos que $id_B\circ f(x)=f(x)$.

Así, $id_B\circ f$ y $f$ tienen el mismo dominio, el mismo condominio y la misma regla de correspondencia, por lo tanto $id_B\circ f=f$.

$\square$

El siguiente ejemplo aparece en el libro de Avella y Campero, mencionado en la bibliografía, Ejemplo 4.54.

Ejemplo

$f:\mathbb R\to [0,\infty)$, $x\longmapsto x^2$

$g:[0,\infty)\to \mathbb R$, $x\longmapsto +\sqrt{x}$

$f\circ g:[0,\infty)\to [0,\infty)$

$f\circ g(x)=f(g(x))=f(+\sqrt{x} )=( +\sqrt{x} )^2=x$

$g\circ f:\mathbb R\to \mathbb R $

$g\circ f(x)=g(f(x))=g(x^2)=+\sqrt{x^2} =|x|$

Observa el siguiente clip

Aquí $f\circ g=id_{[0,\infty)}$, pero $g\circ f\neq id_{\mathbb R}$.

En el siguiente recurso de geogebra cambia los valores de $f$ y $g$, observa cómo son $f\circ g$ y $g\circ f$.

Tarea Moral

1. Considera las funciones

$f:\mathbb R\to \mathbb R$ con $f(x)=x^2+5$

$g:\mathbb R^+\to \mathbb R$ con $g(x)=\frac{3}{x}-1.$

Calcula, si es posible, las composiciones $g\circ f$ y $f\circ g$:

2. ¿Existirán dos funciones $f$ y $g$ de $\mathbb R$ a $\mathbb R$ tales que $f\neq g$ pero $g\circ f=f\circ g$?

3. $f:\set{5,6,7}\to \set{0,2,4,6}$, $f(5)=0$, $f(6)=4$, $f(7)=6$,

$g:\set{ 0,2,4,6 }\to \set{5,6,7}$, $g(0)=g(2)=5$, $g(4)=6$, $g(6)=7$.

Calcula las composiciones $g\circ f$ y $f\circ g$ . ¿Qué puedes decir del comportamiento de las composiciones? ¿Y si ahora $g(2)=7$?

Más adelante

En la siguiente nota hablaremos del concepto de función inversa y daremos condiciones para que una función sea invertible.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 8. Imagen directa e inversa de una función.

Enlace a la nota siguiente. Nota 10. Función inversa.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota analizaremos a las funciones observando las imágenes de subconjuntos del dominio y los elementos del dominio que bajo la función son asignados a ciertos elementos tomados del codominio.

Definición

Sean $A$ y $B$ conjuntos, $f: A\to B$ una función. Dado $A’\subseteq A$, la imagen directa de $A’$ bajo $f$ es:

$f[A’]=\set{f(x)\mid x\in A’}.$

Dado $B’\subseteq B$ la imagen inversa de $B’$ bajo $f$ es:

$f^{-1}[B’]=\set{x\in A\mid f(x)\in B’}.$

Observa que:

$f[A’]\subseteq B$ y que $f^{-1}[B’]\subseteq A$, además $f[A]=Imf$.

Ejemplos

1. $f:\set{1,2,3,4,5}\rightarrow\ \set{-2,-1,0,1}$.

$f(1)= f(2)=-1$, $ f(3)= f(4)=0$, $ f(5)=1$.

Si $A’=\set{1,2,5}$ entonces $f[A’]=\set{-1,1}$.

Mientas que si $B’=\set{-2,0,1}$ entonces $f^{-1}[B’]=\set{3,4,5}$.

2. $g:\mathbb R\to \mathbb R$, $g(x)=x^2$

$A’=[-1,2]$

$g[A’]=\set{x\in \mathbb R\mid 0\leq x\leq 4}$

Observa el siguiente clip donde se asignan los elementos de $A’$ que se muestran en verde, a los elementos de su imagen directa $f[A]$ que se muestran en rojo.

Ahora considera $A^{\prime\prime}=[0,2]$

$g[A^{\prime\prime}]=\set{x\in \mathbb R\mid 0\leq x\leq 4}$

Observa el siguiente clip

Observa que aunque $A’\neq A^{\prime\prime}$ tienen la misma imagen directa $g[A’]= g[A^{\prime\prime}]$

Ahora analicemos la definición de imagen inversa con el mismo ejemplo.

Si $B’=[0,1]$, la imagen inversa de $B’$ bajo $f$ es:

$f^{-1}[B’ ]=\set {x\in \mathbb R\mid g(x)\in [0,1]}$

$f^{-1}[B’ ] = \set{x\in \mathbb R\mid -1\leq x\leq 1}$

En el siguiente clip se muestran en rojo los elementos de $B’$ y en verde los elementos de $f^{-1}[B’]$.

Observa que si $B^{\prime\prime}=[-1,1]$, la imagen inversa de $B^{\prime\prime}$ bajo $f$ es la misma que $B’$, $f^{-1}[B^{\prime\prime}] = \set{x\in \mathbb R\mid -1\leq x\leq 1}$, pues no hay números reales elevados al cuadrado que vayan a dar números negativos. Observa el siguiente clip:

Si $C=[-2,-1]$ entonces $f^{-1}[C]=\emptyset$, por que para todo $x\in \mathbb R$, $f(x)=x^2\notin [-2,-1]$.

Proposición

Sean $A$ y $B$ conjuntos, $f: A\to B$ una función, $A’\subseteq A$, $B’\subseteq B$. Se cumple que:

1. $A’\subseteq f^{-1}[f[A’]]$
2. $f[f^{-1}[B’]]\subseteq B’$

Demostración

Demostración de 1

Por demostrar que $A’\subseteq f^{-1}[f[A’]]$

Sea $a\in A’\subseteq A$, entonces $f(a)\in f[A’]=\set{f(x)\in B\mid x\in A’}$, así $a$ cumple con la propiedad del siguiente conjunto $\set{x\in A\mid f(x)\in f[A’]}$, es decir $ a\in \set{x\in A\mid f(x)\in f[A’]}$ que es por definición $f^{-1}[f[A’]]$, entonces $a\in f^{-1}[f[A’]]$.

Por lo tanto $A’\subseteq f^{-1}[f[A’]]$.

Demostración de 2

Por demostrar que $f[f^{-1}[B’]]\subseteq B’$.

Sea $b\in f[f^{-1}[B’]]=\set{f(x)\mid x\in f^{-1}[B’] }$, eso nos indica que existe $a\in f^{-1}[B’]=\set{x\in A\mid f(x)\in B’}$ tal que $f(a)=b$ y como $a$ cumple las características que definen a los elementos del conjunto $\set{x\in A\mid f(x)\in B’}$ tenemos que $f(a)\in B’$. Así, $b=f(a)\in B’$.

Por lo tanto $f[f^{-1}[B’]]\subseteq B’$.

$\square$

Tarea moral

Considera la siguiente función:

$f:\mathbb R\to \mathbb R$ dada por $f(x)=-3x^2 $

• Para $A=[-3,4]$ calcula $f^{-1}[f[A]]$. ¿Qué relación tiene con $A$?
• Para $B=[-12,1]$ calcula $f[f^{-1}[B]]$. ¿Qué relación tiene con $B$?

Más adelante

En la siguiente nota hablaremos de la composición de funciones y sus propiedades.

Enlaces relacionados

Página principal del curso

Enlace a la nota anterior. Nota 7 Relaciones y funciones.

Enlace a la nota siguiente. Nota 9. Composición de funciones.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota hablaremos de lo que es una relación entre dos conjuntos $A$ y $B$, utilizaremos ese concepto para poder definir lo que significa una función entre dos conjuntos $A$ y $B$, que será una relación en la que cada elemento de $A$ se relaciona con uno y sólo uno de $B$.

Definición

Sean $A$ y $B$ conjuntos, una relación de $A$ con $B$ es un subconjunto de $A\times B$, es decir un conjunto $\mathcal R$ tal que $\mathcal R\subseteq A\times B$.

El dominio de $\mathcal R$ es:

$Dom \mathcal R =\set{a\in A\mid \exists b\in B\,\,tal \,\,que \,\, (a,b)\in \mathcal R}$

La imagen de $\mathcal R$ es:

$Im \mathcal R =\set{b\in B\mid \exists a\in A\,\,tal \,\,que \,\, (a,b)\in \mathcal R}$

El codominio de $\mathcal R$ es el conjunto $B$. Si $(a,b)\in R$ diremos que $a$ está relacionado con $b$ y en ocasiones también se denota por $aRb$.

Ejemplos

1 .$A=\set{Juan,Carlos,Norma,Pedro, Jazmín}$
$B=\set{ teoría\,\,de \,\, juegos, estadística, álgebra, cálculo}$

$\begin{array}{ll}\mathcal R&=\{(Norma, estadística),(Norma, álgebra), (Pedro, estadística),\\&(Pedro, álgebra), (Jazmín, estadística),(Jazmín, álgebra),(Jazmín, cálculo)\}\end{array}$

es una relación de $A$ con $B$.
$Dom \mathcal R =\set{Norma, Pedro, Jazmín}$
$Im \mathcal R =\set{estadística, álgebra, cálculo}$
A continuación se muestra el producto cartesiano de ambos conjuntos.

Cualquier subconjunto del producto cartesiano será una relación de los dos conjuntos. Por ejemplo consideremos los siguientes subconjuntos:

Dejamos como ejercicio al lector que escriba las relaciones anteriores mediante un conjunto de parejas ordenadas.

5. $\mathcal R\subseteq \mathbb N\times \mathbb N$
$\mathcal R=\set{(1,1),(1,3),(1,4),(2,5)}$
$Dom \mathcal R =\set{1,2}$
$Im \mathcal R =\set{1,3,4,5}$

6. $\mathcal R\subseteq \mathbb R\times \mathbb R$
$\mathcal R=\set{(x,y)\in\mathbb R\times \mathbb R \mid \left|x \right|=\left|y \right|}$.
Observa que:
$(1,-1)\in \mathcal R$ ya que $\left|1 \right|=\left|-1\right|,$
$(1,1)\in \mathcal R$ ya que $\left|1 \right|=\left|1\right|,$
$(-\pi,\pi)\in \mathcal R$ ya que $\left|-\pi \right|=\left|\pi \right|,$
$(1,5)\notin \mathcal R$ ya que $\left|1 \right|=\left|5 \right|,$
$(3,-7)\notin \mathcal R$ ya que $\left|3 \right|=\left|-7\right|.$
De manera más general observamos que todos los puntos de las rectas $y=-x$ y $y=x$ están en la relación. Mueve los puntos por las rectas en el siguiente recurso de geogebra y constátalo.

7. $\mathcal R\subseteq \mathbb Z\times \mathbb Z$
$\mathcal R=\set{(a,b)\in\mathbb Z\times \mathbb Z \mid\,\,a\,\,y\,\,b\,\,tienen\,\,la\,\,misma\,\,paridad}$.
$(5,-1)\in \mathcal R$, $(2,6)\in \mathcal R$, $(0,-4)\in \mathcal R$, $(3,8)\notin \mathcal R$.

Observa que la relación se puede describir como $\mathcal R=\set{(k,-k+2n)\in \mathbb Z\times \mathbb Z \mid k\in \mathbb Z,n\in \mathbb Z}$. En el siguiente clip se muestra gráficamente la disposición de algunas de estas parejas ordenadas.

En el siguiente recurso de geogebra mueve el valor de los deslizadores $n$ y de $k$ para obtener los puntos en el plano con la misma paridad.

8. $\mathcal R=[-1,2]\times (2,3)\subseteq \mathbb R^2$
$\mathcal R=\set{(x,y)|-1\leq x\leq 2,2<y<3}$
$Dom \mathcal R =[-1,2]$
$Im \mathcal R =(2,3)$
La siguiente imagen nos muestra gráficamente la relación:

Notemos que los conjuntos $A$ y $B$ no necesariamente son iguales y su elementos no siempre son números:

9. $\mathcal R\subseteq\mathbb R^2\times \set{\mathcal l\mid\mathcal l\,\,es\,\,una\,\,línea\,\,en\,\,el\,\,plano}$, $(p,\mathcal l)\in \mathcal R$ si y sólo si $p\in \mathcal l$.
$Dom \mathcal R =\mathbb R^2$
$Im \mathcal R$ son todas las líneas del plano.

Definición

Sean $A$ y $B$ conjuntos, $f$ una relación de $A$ con $B$. Decimos que $f$ es una función de $A$ en $B$ si:

1. $Dom\, f=A.$
2. Cada elemento $x\in A$ está relacionado con un solo elemento de $B$.

Es decir para todo $x\in A$ existe un único $y\in B$ tal que $(x,y)\in f$, a $y$ se le llama el valor de $f$ en $x$, o $f$ evaluada en $x$.

Notación: $f: A\to B$, $y=f(x)$ es el valor de $f$ en $x$, para indicar que la función $f$ le asigna a $x$ el valor $f(x)$ en ocasiones se escribe $ x\longmapsto f(x)$, para indicar la regla de correspondencia de $x$ un elemento del domino de la función $f$ a su correspondiente $f(x)$ en el codominio de la función.

Observa que la imagen de $f$ es:
$Im\, f =\set{y\in B\mid \,\, (x,y)\in f\,\,para \,\, alguna \,\, x\in A}$

=$ \set{y\in B\mid\,\,y=f(x)\,\,para \,\, alguna \,\, x\in A}$

=$\set{f(x)\mid x\in A}$

Ejemplos

1. $A=\set{1,2,3}$, $B=\set{8,9,10,11}$,

$f:\set{1,2,3}\to \set{8,9,10,11}$ con $f=\set{(1,8),(2,11),(3,11)}$, es decir
$f(1)=8$, $f(2)=f(3)=11$. $Dom\,f=\set{1,2,3}$, $Im\,f=\set{8,11}$ , $B$ es el codominio de $f$

2. $g:\mathbb R\to \mathbb R$

$(x,y)\in g$ si y sólo si $y=x^2$
En este caso $g(x)=x^2.$
$Dom\,g=\mathbb R$, $\mathbb R$ es el codominio de $g$, mientras que $Im\,g=\set{g(x)\mid x\in \mathbb R}=\set{x^2\mid x\in \mathbb R }= \mathbb R^+\cup \set{0}$

3. $h: \mathbb R^+\cup \set{0}\to \mathbb R$

$x\longmapsto +\sqrt{x} +1$

$h(0)=+\sqrt{0}+1=1$, $h(4)=+\sqrt{4}+1=2+1=3$
$Dom\,h= : \mathbb R^+\cup \set{0}$

$\mathbb R$ es el codominio de $h$.
$Im\,h=\set{h(x)\mid x\in \mathbb R^+\cup \set{0}}=\set{y\in \mathbb R\mid y\geq 1}= [1,\infty]$

Notación

Si $f:A\to B$ y $A$ es un conjunto finito $A=\set{a_1,\dotsi ,a_n}$, con $n$ elementos, podemos describir la regla de correspondencia de $f$ como :

\begin{pmatrix}a_1 & \dotsi & a_n\\
f(a_1) & \dotsi & f(a_n)\end{pmatrix}

Para terminar esta entrada debemos mencionar que aunque las funciones son relaciones entre conjuntos y por lo tanto conjuntos de parejas ordenadas, son un caso particular de relaciones muy importante y dado que en Álgebra será esencial no sólo la regla de correspondencia de una función sino su dominio y su codominio, la igualdad de dos funciones no se establecerá como la igualdad de los conjuntos de parejas ordenadas que las conforman sino que se establecerá una definición diferente. Cabe mencionar que sólo definiremos la igualdad de dos funciones cuando tengan el mismo dominio y el mismo codominio y en este caso estableceremos que son iguales cuando además coincida su regla de correspondencia:

Definición

Sean $A$ y $B$ conjuntos, dos funciones $f: A\to B$ y $g: A\to B$ son iguales ,$f=g$, si $f(x)=g(x)$ para toda $x\in A$ (es decir, si tienen la misma regla de correspondencia).

Tarea Moral

Determina el dominio, el codominio y la imagen de las siguientes relaciones $\mathcal R$ de $A$ con $B$ y determina si las relaciones son funciones de $A$ en $B$.

1. $A=\set{2,8,5,6}$, $B=\set{-4,9,1,7,2}$
   $\mathcal R=\set{(2,-4),(2,1,(5,9),(6,-4)}$
2. $A=B=\mathbb R$, $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $a=|b|$
3. $A=B=\mathbb R$, $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $|a|=b$

Sean $A=B=\set{x\in \mathbb R\mid -1\leq x\leq 1}$ y considera el subconjunto de $A\times B$, $C=\set{(x,y)\in \mathbb R\times \mathbb R\mid x^2+y^2=1}$.

¿Es $C$ una función de $A$ en $B$?

Más Adelante

En la siguiente nota seguiremos usando el concepto de función y estableceremos dos definiciones importantes, la de la imagen directa y la de imagen inversa y deduciremos algunas propiedades básicas pero muy importantes.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

• Enlace a la nota anterior. Nota 6 Conjunto Potencia y el producto cartesiano.
• Enlace a la nota siguiente. Nota 8 Imagen directa e inversa de una función.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Las matemáticas nos ofrecen herramientas sorprendentes para explorar combinaciones y posibilidades, en esta sección daremos la definición del conjunto potencia y del producto cartesiano. En el primero formaremos un conjunto cuyos elementos sean los subconjuntos de un conjunto dado, en el segundo consideraremos parejas formadas con los elementos de dos conjuntos cualesquiera.

Definición

Sea $A$ un conjunto, la potencia de $A$ es la colección de todos los subconjuntos de $A$ y la denotaremos por $\mathcal{P}(A)$, es decir

$\mathcal{P}(A)=\set{S\mid S\subseteq A}.$

Aunque $\mathcal{P}(A)$ es una colección que tiene en general más elementos que $A$, no habrá problema en considerarlo también como un conjunto y lo establecemos así en el siguiente axioma:

Axioma del conjunto potencia

Dado un conjunto $A$, $\mathcal{P}(A)$ también es un conjunto.

Ejemplos

• $A=\set{a,b}$
  $\mathcal{P}(A)=\set{\emptyset,\set{a},\set{b},\set{a,b}}$
• $B=\set{a,\set{b},\set{a,b}}$
  $\mathcal{P}(B)=\set{\emptyset,\set{a},\set{\set{b}},\set{\set{a,b}},\set{a,\set{b}},\set{a,\set{a,b}}, \set{\set{b},\set{a,b}},B}$

Observa que:

Para cualquier conjunto $\emptyset \in \mathcal{P}(A)$ y $A\in \mathcal{P}(A)$.

Definición

Sea $X$ el conjunto universo, $a,b\in X$.

El par ordenado de los objetos $a$ y $b$ es:

$(a,b)=\set{\set{a}, \set{a,b}}$

Observa que:

1. $(b,a)=\set{\set{b}, \set{b,a}}$
2. $(a,a)=\set{\set{a}, \set{a,a}}=\set{\set{a}, \set{a}}=\set{\set{a}}$

Proposición

Sea $X$ el conjunto universo, $a,b,c,d\in X$. Tenemos que

$(a,b)=(c,d) \Longleftrightarrow a=c\, \, \,y \, \, \, b=d$

Demostración

$\Longrightarrow $ Demostración de la implicación de ida

Supongamos que $(a,b)=(c,d)$, con la intención de mostrar que $a=c\, \, \,y \, \, \, b=d$.

Como $(a,b)=(c,d)$ entonces por definición de par ordenado:

$\set{\set{a}, \set{a,b}}=\set{\set{c}, \set{c,d}}$

La demostración se hace por casos.

Caso 1

Si $\set{a}= \set{c}$ y $\set{a,b}= \set{c,d}$ entonces $a=c$ de lo que se sigue, dado que $\set{a,b}= \set{a,d}$, que $b=d$, fíjate que demostramos que $a=c$ y $b=d$, que es lo que queríamos.

Caso 2

Si $\set{a}= \set{c,d}$ y $\set{a,b}= \set{c}$, entonces $a=c=d$ y $a=b=c$, así $a=b=c=d$, en particular $a=c$ y $b=d$

$\Longleftarrow $ Demostración de la implicación de regreso

Supongamos que $a=c$ y que $b=d$, por demostrar que $(a,b)=(c,d)$.

Por definición de par ordenado:

$(a,b)=\set{\set{a}, \set{a,b}}$

$(c,d)=\set{\set{c}, \set{c,d}}$

si $a=c$ y que $b=d$ entonces $\{a\}=\{c\}$ y $\{a,b\}=\{c,d\}$, por lo tanto $(a,b)=\set{\set{a}, \set{a,b}}= \set{\set{c}, \set{c,a}}=(c,d)$, que es lo que queríamos demostrar.

Como se cumplen las dos implicaciones la prueba está completa.

$\square$

Generalizando:

La terna $(a,b,c)$, es por definición el par $((a,b),c)$. En general si $(a_1,…,a_n)$ está definido, se define $(a_1,…a_{n+1})$ como: $( (a_1,…,a_n),a_{n+1})$. Notemos que tanto la terna como la n-ada son un par ordenado. Usando la proposición anterior y la definición de n-ada se puede probar que:

$(a_1,…,a_n)=(b_1,…,b_n)$ $ \Longleftrightarrow $ $a_i=b_i$, $\forall i$, $1\leq i\leq n$.

Definición

Sean $A$, $B$ conjuntos. El producto cartesiano de $A$ con $B$ es:

$A\times B=\set{(a,b)\mid a\in A,b\in B}$

Ejemplos

• $A=\set{\pi,2}, B=\set{3,4,5}$
  $A\times B=\set{(\pi,3), (\pi,4), (\pi,5),(2,3),(2,4),(2,5)}$
  $B\times A=\set{(3,\pi), (4,\pi), (5,\pi),(3,2),(4,2),(5,2)}$
• Sea $\mathbb N=\set{0,1,2,4,\dotsi}$, y $\set{1,2}$
  $\set{1,2}\times \mathbb N =\set{(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),\dotsc ,(2,0),(2,1),(2,2),(2,3)\dotsc }$}
  

• $\mathbb R\times \mathbb R=\set{(x,y)\mid x,y\in \mathbb R}$, y se denota por $\mathbb R^2$, que son las parejas ordenadas del plano cartesiano.

En el siguiente recurso de Geogebra da los conjuntos $A$ y $B$ y obtén una representación gráfica de los mismos.

Generalizando:

Si $A_1,\dotsi,A_n$ son conjuntos, $A_1\times \dotsi \times A_n = \set{(a_1,\dotsi,a_n)\mid a_i\in A_i,1\leq i\leq n)}$.

Si $A_1=\dotsi =A_n=A$, para algún conjunto $A$, el producto de esos $n$ conjuntos $A\times \dotsi \times A$ se denota como $ A^n$.

Tarea moral

1. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Si $A\subseteq B$, ¿existe alguna relación de contención entre $\mathcal{P}(A)$ y $\mathcal{P}(B)$?.
2. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Responde y justifica:
   a) ¿Son iguales $\mathcal{P}(A)\cup \mathcal{P}(B)$ y $\mathcal{P}(A\cup B)$?
   b) ¿Son iguales $\mathcal{P}(A)\cap \mathcal{P}(B)$ y $\mathcal{P}(A\cup B)$?
3. Sea $A=\set{5,\emptyset,\set{\emptyset},\set{\emptyset,4},\set{\pi}}$
   $B_1=\set{2,\set{5,\set{\emptyset}}}$
   $B_2=\set{\set{\pi},\set{5,\emptyset}}$
   $B_3=\set{5,\emptyset}$
   Encuentra al siguiente conjunto: $\mathcal{P}(A)\cap (B_1\cup (B_2\cup B_3))$
4. Dados $a$,$b$,$c$ objetos define la terna $(a,b,c)$ como el conjunto $\set{\set{a},\set{a,b},\set{a,b,c}}$.
   ¿Con esta definición de terna se cumple que $(a,b,c)=(d,e,f)$ si y sólo si $a=d$, $b=e$ y $c=f\text{?}$ Justifica tu respuesta.

Más adelante

En la nota siguiente definiremos lo que es una relación entre dos conjuntos, encaminados a dar una definición formal del concepto de función ampliamente usado en el mundo de las matemáticas.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

• Enlace a la nota anterior. Nota 5. Leyes de Morgan y la diferencia simétrica.
• Enlace a la nota siguiente. Nota 7. Relaciones y funciones.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción.

En esta nota veremos que hay dos operaciones binarias que podemos considerar en los conjuntos. Dados dos conjuntos, podemos formar por un lado la unión de ellos, que resulta ser un nuevo conjunto y consta de los elementos de ambos conjuntos, y por otro lado la intersección que es el conjunto que consiste de los elementos comunes a ambos.

Definición:

Sea $X$ el conjunto universo, $A$, $B$ subconjuntos de $X$.

La unión de $A$ con $B$ es:

$A\cup B=\set{x\in X\mid x\in A \, \, o \, \, x\in B}.$

La intersección de $A$ con $B$ es:

$A\cap B=\set{x\in X\mid x\in A \, \, y \, \, x\in B}.$

Diremos que $A$ y $B$ son ajenos o disjuntos cuando $A\cap B=\emptyset$.

Corrobora con el siguiente recurso de Geogebra que entiendes la definición de unión e intersección de conjuntos, escribe en las barras en blanco separados por comas, los elementos de $A\cup B$ y $A\cap B$, no es necesario poner las llaves de los conjuntos, sólo los elementos.

Ejemplos:

1. $A=\set{-2,-1,0,1,2}$ y $B=\set{0,2,4,6}$
   $A\cup B=\set{-2,-1,0,1,2,4,6}$
   $A\cap B=\set{0,2}.$
2. $A=\set{x\in \mathbb Z\mid x>0}$ y $B=\set{x\in \mathbb Z\mid x\,es\,múltiplo\,de\,tres}$
   $A\cup B=\set{x\in \mathbb Z\mid x>0\,o\,x\,es\,múltiplo\,de\,tres}$
   $A\cup B=\set{…,-12,-9,-6,-3,0,1,2,3,4,…}$
   $A\cap B=\set{x\in \mathbb Z\mid\,x>0\,\,y\,\,x\,\,es\,\,múltiplo\,\,de\,\,3}$
   $A\cap B=\set{3,6,9,12,…}.$

Propiedades

Sean $X$ el conjunto universo, $A$,$B$,$C$, subconjuntos de $X$. Se cumplen las siguientes afirmaciones:

1. $A\subseteq A\cup B.$		5. $A\cap B\subseteq A.$
2. $(A\cup B) \cup C=A\cup (B\cup C).$	Asociatividad	6. $(A\cap B) \cap C=A\cap (B\cap C).$
3. $A\cup B=B\cup A.$	Conmutatividad	7. $A\cap B=B\cap A.$
4. $A\cup \emptyset=A.$		8. $A\cap X=A.$

Además se tienen las siguientes propiedades distributivas:

9. $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).$
10. $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C).$

Se harán las demostraciones de las propiedades 1,3,6,8 y 10, las demás se dejan como ejercicio.

Demostración de la propiedad 1, $A\subseteq A\cup B$.

Sea $z\in A$, veamos que $z\in A\cup B$. Como $z\in A$, entonces es cierto que $z\in A$ o $z\in B$. Además, como $A\subseteq X$ (por ser $X$ el conjunto universo) tenemos que $z\in X$. Así, $z\in \set{x\in X\mid x\in A\,\,o\,\,x\in B}$ por lo tanto $A\subseteq A\cup B$.

Demostración de la propiedad 3, $A\cup B=B\cup A.$

$z\in A\cup B \Longleftrightarrow z\in A \, \, \, o \, \, \, z\in B \Longleftrightarrow z\in B \, \, \, o \, \, \, z\in A \Longleftrightarrow z\in B\cup A.$

Por lo tanto $A\cup B= B\cup A.$

Demostración de la propiedad 6, $(A\cap B) \cap C=A\cap (B\cap C).$

Tenemos que:

$z\in A\cap (B\cap C)$$\Longleftrightarrow$ $z\in A$ y $z\in B\cap C$

$\phantom{z\in A\cap (B\cap C)}$ $\Longleftrightarrow$ $z\in A$ y $z\in B$ y $z\in C$

$\phantom{z\in A\cap (B\cap C)}$$\Longleftrightarrow$ $z\in A\cap B$ y $z\in C$

$\phantom{z\in A\cap (B\cap C)}$$\Longleftrightarrow$ $z\in (A\cap B) \cap C $

$\therefore$ $(A\cap B) \cap C=A\cap (B\cap C).$

Demostración de la propiedad 8, $A\cap X=A.$

La demostración se hará por doble contención.

Primera contención, veamos que $A\cap X\subseteq A.$

Sea $z\in A\cap X$, entonces $z\in A$ y $z\in X$, en particular $z\in A$. Así, $A\cap X\subseteq A$ (o bien se puede usar la propiedad 5 si ésta se ha demostrado antes).

Segunda contención, veamos ahora que $A\subseteq A \cap X. $

Sea $z\in A$, como $A\subseteq X$, también $z\in X$, así $z\in A$ y $z\in X$, entonces $z\in A\cap X$.

Como se cumplen las dos contenciones, tenemos que $A\cap X=A$ .

Demostración de la propiedad 10, $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C).$

La demostración se hará por doble contención:

Primera contención, veamos que $A\cap (B\cup C)\subseteq (A\cap B)\cup (A\cap C).$

Tenemos que:

$z\in A\cap (B\cup C)$ $\Longrightarrow$ $z\in A$ y $z\in B\cup C$ $\Longrightarrow$ $z\in A$, y además $z\in B$ o $z\in C$.

Si $z\in B$, como $z\in A$, entonces $z\in A\cap B.$

Si $z\in C$, como $z\in A$, entonces $z\in A\cap C.$

Así $z\in A\cap B$ o $z\in A\cap C$, de donde concluimos que $z\in (A\cap B)\cup (A\cap C) .$

Segunda contención, veamos ahora que $ (A\cap B)\cup (A\cap C) \subseteq A\cap (B\cup C). $

Sea $z\in (A\cap B)\cup (A\cap C)$ $\Longrightarrow$ $z\in A\cap B$ o $z\in A\cap C$.

Si $z\in A\cap B$, entonces $z\in A$ y $z\in B$, por lo que $z\in A$ y $z\in B\cup C$. En este caso tendríamos que $z\in A\cap (B\cup C)$.

Si $z\in A\cap C$, entonces $z\in A$ y $z\in C$, por lo que $z\in A$ y $z\in B\cup C$. En este caso tendríamos también que $z\in A\cap (B\cup C)$.

Asi, $ (A\cap B)\cup (A\cap C) \subseteq A\cap (B\cup C) .$

Dado que se cumplen las dos contenciones, se cumple la igualdad, y entonces:

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ .

Tarea Moral.

Demuestra las propiedades $2,4,5,7$ y $9$.

Más adelante.

En la siguiente nota hablaremos de las leyes De Morgan que garantizan cierta relación entre el complemento y la unión e intersección de conjuntos, así mismo daremos la definición y propiedades de la diferencia simétrica.

Entradas relacionadas.

Página principal del curso.

• Entrada anterior del curso: Nota 3. El complemento de un conjunto.
• Entrada siguiente del curso. Nota 5. Las leyes de Morgan y la diferencia simétrica.

Nota. Las imágenes mostradas para ilustrar los conjuntos no fueron de diseño propio, y se da las gracias a: https://www.spanish.cl/ por sus divertidos dibujos. Se deja el link de donde se obtuvieron: https://www.spanish.cl/vocabulario/animales-de-la-granja.htm.