(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Bajo ciertas condiciones, dadas dos funciones podemos evaluar el resultado de una en otra, es decir aplicar una función seguida de la otra, para formar una nueva función. A esta operación entre funciones se le llama la composición y la estudiaremos en esta entrada. Esta operación nos dará una amplia gama de funciones muy útiles como lo son la composición de las funciones trigonométricas con las funciones lineales. Para motivar el tema trata de obtener la siguiente familia de funciones con geogebra,
Definición
Sean
con regla de correspondencia
Ejemplos
1. Sean
La composición
mientras que la composición
2. Sean
Las composiciones
3. Sean
En el siguiente recurso de geogebra mueve los deslizadores
Teorema
Sean
Demostración
Para esta prueba usaremos el hecho de que dos funciones son iguales si tienen el mismo dominio, el mismo codominio, y la misma regla de correspondencia. Empecemos probando que
Como
Como
Así,
Para ver que tienen la misma regla de correspondencia hagamos lo siguiente:
Sea
Sabemos que
Por otro lado,
Entonces
Así,
Definición
Sea
con regla de correspondencia
Proposición
Sean
Demostración
Demostración de 1
Por demostrar que
Vamos a ver que tienen la misma regla de correspondencia.
Sea
Así,
Demostración de 2
Sea
Así,
El siguiente ejemplo aparece en el libro Curso introductorio de Álgebra I de Avella y Campero, mencionado en la bibliografía, Ejemplo 4.54.
Ejemplo
Observa el siguiente clip
Aquí
En el siguiente recurso de geogebra cambia los valores de
Tarea Moral
1. Considera las funciones
Calcula, si es posible, las composiciones
2. ¿Existirán dos funciones
3.
Calcula las composiciones
Más adelante
En la siguiente nota hablaremos del concepto de función inversa y daremos condiciones para que una función sea invertible.
Enlaces relacionados
Enlace a la nota anterior. Nota 8. Imagen directa e inversa de una función.
Enlace a la nota siguiente. Nota 10. Función inversa.