(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota analizaremos a las funciones observando las imágenes de subconjuntos del dominio, y los elementos del dominio que bajo la función son asignados a ciertos elementos tomados del codominio. Empecemos estableciendo cuándo dos funciones son iguales:

Definición

Sean $A$ y $B$ conjuntos, dos funciones $f: A\to B$ y $g: A\to B$ son iguales si $f(x)=g(x)$ para toda $x\in A$ (es decir si tienen la misma regla de correspondencia).

Nota

$f=g$ se usará cuando $f$ y $g$ tengan el mismo dominio, mismo codominio y misma regla de correspondencia.

Definición

Sean $A$ y $B$ conjuntos, $f: A\to B$ una función. Dado $A’\subseteq A$, la imagen directa de $A’$ bajo $f$ es:

$f[A’]=\set{f(x)\in B\mid x\in A’}.$

Dado $B’\subseteq B$ la imagen inversa de $B’$ bajo $f$ es:

$f^{-1}[B’]=\set{x\in A\mid f(x)\in B’}.$

Observa que:

$f[A’]\subseteq B$ y que $f^{-1}[B’]\subseteq A$, además $f[A]=Imf$.

Ejemplos

1. $f:\set{1,2,3,4,5}\rightarrow\ \set{-2,-1,0,1}$.

$f(1)= f(2)=-1$, $ f(3)= f(4)=0$, $ f(5)=1$.

Si $A’=\set{1,2,5}$ entonces $f[A’]=\set{-1,1}$.

Mientas que si $B’=\set{-2,0,1}$ entonces $f[B’]=\set{3,4,5}$.

2. $g:\mathbb R\to \mathbb R$, $g(x)=x^2$

$A’=[-1,2]$

$g[A’]=\set{x\in \mathbb R\mid 0\leq x\leq 4}$

Observa el siguiente clip donde se asignan los elementos de $A’$ que se muestran en verde, a los elementos de su imagen directa $f[A]$ que se muestran en rojo.

Ahora considera $A^{\prime\prime}=[0,2]$

$g[A^{\prime\prime}]=\set{x\in \mathbb R\mid 0\leq x\leq 4}$

Observa el siguiente clip

Observa que aunque $A’\neq A^{\prime\prime}$ tienen la misma imagen directa $g[A’]= g[A^{\prime\prime}]$

Ahora analicemos la definición de imagen inversa con el mismo ejemplo.

Si $B’=[0,1]$, la imagen inversa de $B’$ bajo $f$ es:

$f^{-1}[B’ ]=\set {x\in \mathbb R\mid g(x)\in [0,1]}$

$f^{-1}[B’ ] = \set{x\in \mathbb R\mid -1\leq x\leq 1}$

En el siguiente clip se muestran en rojo los elementos de $B’$ y en verde los elementos de $f^{-1}[B’]$.

Observa que si $B^{\prime\prime}=[-1,1]$, la imagen inversa de $B^{\prime\prime}$ bajo $f$ es la misma que $B’$, $f^{-1}[B^{\prime\prime}] = \set{x\in \mathbb R\mid -1\leq x\leq 1}$, pues no hay números reales elevados al cuadrado que vayan a dar números negativos. Observa el siguiente clip:

Si $C=[-2,-1]$ entonces $f^{-1}[C]=\emptyset$, por que para todo $x\in \mathbb R$, $f(x)=x^2\notin [-2,-1]$.

Proposición

Sean $A$ y $B$ conjuntos $f: A\to B$, una función, $A’\subseteq A$, $B’\subseteq B$. Se cumple que:

1. $A’\subseteq f^{-1}[f[A’]]$
2. $f[f^{-1}[B’]]\subseteq B’$

Demostración

Demostración de 1

Por demostrar que $A’\subseteq f^{-1}[f[A’]]$

Sea $a\in A’\subseteq A$, entonces $f(a)\in f[A’]=\set{f(x)\in B\mid x\in A’}$, así $a$ cumple con la propiedad del siguiente conjunto $\set{x\in A\mid f(x)\in f[A’]}$, es decir $ a\in \set{x\in A\mid f(x)\in f[A’]}$ que es por definición $f^{-1}[f[A’]]$ y por lo tanto $A’\subseteq f^{-1}[f[A’]]$.

Demostración de 2

Por de mostrar que $f[f^{-1}[B’]]\subseteq B’$.

Sea $b\in f[f^{-1}[B’]]=\set{f(x)\mid x\in f^{-1}[B’] }$, eso nos indica que existe $a\in f^{-1}[B’]=\set{x\in A\mid f(x)\in B’}$ tal que $f(a)=b$, $a$ cumple la propiedad del conjunto y por lo tanto $b=f(a)\in B’$, y así $f[f^{-1}[B’]]\subseteq B’$.

$\square$

Tarea moral

Considera la siguiente función:

$f:\mathbb R\to \mathbb R$ dada por $f(x)=-3x^2 $

• Para $A=[-3,4]$ calcula $f^{-1}[f[A]]$. ¿Qué relación tiene con $A$?.
• Para $B=[-12,1]$ calcula $f[f^{-1}[B]]$. ¿Qué relación tiene con $B$?

Mas adelante

En la siguiente nota hablaremos de la composición de funciones y derivaremos propiedades la composición.

Enlaces relacionados

Página principal del curso

Enlace a la nota anterior. Nota 7 Relaciones y funciones.

Enlace a la nota siguiente. Nota 9. Composición de funciones.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota hablaremos de lo que es una relación entre dos conjuntos $A$ y $B$, utilizaremos ese concepto para poder definir lo que significa una función entre dos conjuntos $A$ y $B$, que será una relación en la que cada elemento de $A$ se relaciona con uno y sólo uno de $B$.

Definición

Sean $A$ y $B$ conjuntos, una relación de $A$ con $B$ es un subconjunto de $A\times B$, es decir un conjunto $\mathcal R$ tal que $\mathcal R\subseteq A\times B$.

El dominio de $\mathcal R$ es:

$Dom \mathcal R =\set{a\in A\mid \exists b\in B\,\,tal \,\,que \,\, (a,b)\in \mathcal R}$

La imagen de $\mathcal R$ es:

$Im \mathcal R =\set{b\in B\mid \exists a\in A\,\,tal \,\,que \,\, (a,b)\in \mathcal R}$

El codominio de $\mathcal R$ es el conjunto $B$. Si $(a,b)\in R$ diremos que $a$ está relacionado con $b$ y en ocasiones también se denota por $aRb$.

Ejemplos

1 .$A=\set{Juan,Carlos,Norma,Pedro, Jazmín}$
$B=\set{ teoría\,\,de \,\, juegos, estadística, álgebra, cálculo}$
$\mathcal R=\set{(Juan, teoría\,\,de \,\, juegos),(Carlos, estadística),(Norma, álgebra)}$ es una relación de $A$ con $B$.
$Dom \mathcal R =\set{Juan, Carlos, Norma}$
$Im \mathcal R =\set{teoría\,\,de \,\, juegos, estadística, álgebra}$
A continuación se muestra el producto cruz de ambos conjuntos.

Cualquier subconjunto del producto cruz será una relación de los dos conjuntos.

2. $\mathcal R\subseteq \mathbb N\times \mathbb N$
$\mathcal R=\set{(1,1),(1,3),(1,4),(2,5)}$
$Dom \mathcal R =\set{1,2}$
$Im \mathcal R =\set{1,3,4,5}$

3. $\mathcal R\subseteq \mathbb R\times \mathbb R$
$\mathcal R=\set{(x,y)\in\mathbb R\times \mathbb R \mid \left|x \right|=\left|y \right|}$.
Observa que:
$(1,-1)\in \mathcal R$ ya que $\left|1 \right|=\left|-1\right|,$
$(1,1)\in \mathcal R$ ya que $\left|1 \right|=\left|1\right|,$
$(-\pi,\pi)\in \mathcal R$ ya que $\left|-\pi \right|=\left|\pi \right|,$
$(1,5)\notin \mathcal R$ ya que $\left|1 \right|=\left|5 \right|,$
$(3,-7)\notin \mathcal R$ ya que $\left|3 \right|=\left|-7\right|.$
De manera más general observamos que todos los puntos de las rectas $y=-x$ y $y=x$ están en la relación. Mueve los puntos por las rectas en el siguiente recurso de geogebra y constátalo.

4. $\mathcal R\subseteq \mathbb Z\times \mathbb Z$
$\mathcal R=\set{(a,b)\in\mathbb Z\times \mathbb Z \mid\,\,a\,\,y\,\,b\,\,tienen\,\,la\,\,misma\,\,paridad}$.
$(5,-1)\in \mathcal R$, $(2,6)\in \mathcal R$, $(0,-4)\in \mathcal R$, $(3,8)\notin \mathcal R$.

Observa que la relación se puede describir como $\mathcal R=\set{(k,-k+2n)\in \mathbb Z\times \mathbb Z \mid k\in \mathbb Z,n\in \mathbb Z}$. En el siguiente clip se muestra gráficamente la disposición de algunas de estas parejas ordenadas.

En el siguiente recurso de geogebra mueve el valor de los deslizadores $n$ y de $k$ para obtener los puntos en el plano con la misma paridad.

5. $\mathcal R=[-1,2]\times (2,3)\subseteq \mathbb R^2$
$\mathcal R=\set{(x,y)|-1\leq x\leq 2,2<y<3}$
$Dom \mathcal R =[-1,2]$
$Im \mathcal R =(2,3)$
La siguiente imagen nos muestra gráficamente la relación:

Notemos que los conjuntos $A$ y $B$ no necesariamente son iguales y su elementos no siempre son números:

6. $\mathcal R\subseteq\mathbb R^2\times \set{\mathcal l\mid\mathcal l\,\,es\,\,una\,\,línea\,\,en\,\,el\,\,plano}$, $(p,\mathcal l)\in \mathcal R$ si y sólo si $p\in \mathcal l$.
$Dom \mathcal R =\mathbb R^2$
$Im \mathcal R$ son todas las líneas del plano.

Definición.

Sean $A$ y $B$ conjuntos, $f$ una relación de $A$ con $B$. Decimos que $f$ es una función de $A$ en $B$ si:

1. $Dom\, f=A.$
2. Cada elemento $x\in A$ está relacionado con un solo elemento de $B$.

Es decir para todo $x\in A$ existe un único $y\in B$ tal que $(x,y)\in f$, a $y$ se le llama el valor de $f$ en $x$, o $f$ evaluada en $x$.

Notación: $g: A\to B$, $y=f(x)$ es el valor de $f$ en $x$, para indicar que la función $f$ le asigna a $x$ el valor $f(x)$ en ocasiones se escribe $ x\longmapsto f(x)$.

Observa que la imagen de $f$ es:
$Im\, f =\set{y\in B\mid \,\, (x,y)\in f\,\,para \,\, alguna \,\, x\in A}$

=$ \set{y\in B\mid\,\,y=f(x)\,\,para \,\, alguna \,\, x\in A}$

=$\set{f(x)\mid x\in A}$

Ejemplos

1. $A=\set{1,2,3}$, $B=\set{8,9,10,11}$,

$f:\set{1,2,3}\to \set{8,9,10,11}$ con $f=\set{(1,8),(2,11),(3,11)}$, es decir
$f(1)=8$, $f(2)=f(3)=11$. $Dom\,f=\set{1,2,3}$, $Im\,f=\set{8,11}$ , $B$ es el codominio de $f$

2. $g:\mathbb R\to \mathbb R$

$(x,y)\in g$ si y sólo si $y=x^2$
En este caso $g(x)=x^2.$
$Dom\,g=\mathbb R$, $\mathbb R$ es el codominio de $g$, mientras que $Im\,g=\set{g(x)\mid x\in \mathbb R}=\set{x^2\mid x\in \mathbb R }= \mathbb R^+\cup \set{0}$

3. $h: \mathbb R^+\cup \set{0}\to \mathbb R$

$x\longmapsto +\sqrt{x} +1$

$h(0)=+\sqrt{0}+1=1$, $h(4)=+\sqrt{4}+1=2+1=3$
$Dom\,h= : \mathbb R^+\cup \set{0}$

$\mathbb R$ es el codominio de $h$.
$Im\,h=\set{h(x)\mid x\in \mathbb R^+\cup \set{0}}=\set{y\in \mathbb R\mid y\geq 1}= [1,\infty]$

Notación

Si $f:A\to B$ y $A$ es un conjunto finito $A=\set{a_1,\dotsi ,a_n}$, con $n$ elementos, podemos describir la regla de correspondencia de $f$ como :

\begin{pmatrix}a_1 & \dotsi & a_n\\
f(a_1) & \dotsi & f(a_n)\end{pmatrix}

Tarea Moral

Determina el dominio, el codominio y la imagen de las siguientes relaciones $\mathcal R$ de $A$ con $B$ y determina si las relaciones son funciones de $A$ en $B$.

1. $A=\set{2,8,5,6}$, $B=\set{-4,9,1,7,2}$
   $\mathcal R=\set{(2,-4),(2,1,(5,9),(6,-4)}$
2. $A=B=\mathbb R$, $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $a=|b|$
3. $A=B=\mathbb R$, $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $|a|=b$

Sean $A=B=\set{x\in \mathbb R\mid -1\leq x\leq 1}$ y considera el subconjunto de $A\times B$, $C=\set{(x,y)\in \mathbb R\times \mathbb R\mid x^2+y^2=1}$.

¿Es $C$ una función de $A$ en $B$?

Más Adelante

En la siguiente nota seguiremos usando el concepto de función y estableceremos dos definiciones importantes, la de la imagen directa y la de imagen inversa y deduciremos algunas propiedades básicas pero muy importantes.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

• Enlace a la nota anterior. Nota 6 Conjunto Potencia y el producto cartesiano.
• Enlace a la nota siguiente. Nota 8 Imagen directa e inversa de una función.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta sección daremos la definición del conjunto potencia, y continuaremos hablando de relaciones entre conjuntos, en particular de la relación de parejas, como en el plano, llamado en honor del matemático francés René Descartes el producto cartesiano, ve el siguiente video para que te enteres quien fue él.

Definición

Sea $A$ un conjunto, la potencia de $A$ es la colección de todos los subconjuntos de $A$ y la denotaremos por $\mathcal{P}(A)$, es decir

$\mathcal{P}(A)=\set{S\mid S\subseteq A}.$

Aunque $\mathcal{P}(A)$ es un conjunto que tiene en general más elementos que $A$, no habrá problema en considerarlo también como un conjunto y lo establecemos así en el siguiente axioma:

Axioma del conjunto potencia

Dado un conjunto $A$, $\mathcal{P}(A)$ también es un conjunto.

Ejemplos

• $A=\set{a,b}$
  $\mathcal{P}(A)=\set{\emptyset,\set{a},\set{b},\set{a,b}}$
• $B=\set{a,\set{b},\set{a,b}}$
  $\mathcal{P}(B)=\set{\emptyset,\set{a},\set{\set{b}},\set{\set{a,b}},\set{a,\set{b}},\set{a,\set{a,b}}, \set{\set{b},\set{a,b}},B}$

Observa que:

Para cualquier conjunto $\emptyset \in \mathcal{P}(A)$ y $A\in \mathcal{P}(A)$.

Definición

Sea $X$ el conjunto universo, $a,b\in X$

El par ordenado de los objetos $a$ y $b$ es:

$(a,b)=\set{\set{a}, \set{a,b}}$

Observa que:

1. $(b,a)=\set{\set{b}, \set{b,a}}$
2. $(a,a)=\set{\set{a}, \set{a,a}}=\set{\set{a}, \set{a}}=\set{\set{a}}$

Proposición

Sea $X$ el conjunto universo, $a,b,c,d\in X$.

$(a,b)=(c,d) \Longleftrightarrow a=c\, \, \,y \, \, \, b=d$

Demostración

$\Longrightarrow $ Demostración de la implicación de ida

Supongamos que $(a,b)=(c,d)$, con la intención de mostrar que $a=c\, \, \,y \, \, \, b=d$.

Como $(a,b)=(c,d)$ entonces por definición de par ordenado:

$\set{\set{a}, \set{a,b}}=\set{\set{c}, \set{c,d}}$

La demostración se hace por casos.

Caso 1

Si $\set{a}= \set{c}$ y $\set{a,b}= \set{c,d}$ entonces $a=c$ de lo que se sigue que $\set{a,b}= \set{a,d}$ y entonces $b=d$, fíjate que demostramos que $a=c$ y $b=d$, que es lo que queríamos.

Caso 2

Si $\set{a}= \set{c,d}$ y $\set{a,b}= \set{c}$, entonces $a=c=d$ y $a=b=c$, así $a=b=c=d$, en particular $a=c$ y $b=d$

$\Longleftarrow $ Demostración de la implicación de regreso

Supongamos que $a=c$ y que $b=d$, por demostrar que $(a,b)=(c,d)$.

Por definición de par ordenado:

$(a,b)=\set{\set{a}, \set{a,b}}$

$(c,d)=\set{\set{c}, \set{c,d}}$

si $a=c$ y que $b=d$ entonces $(a,b)=\set{\set{a}, \set{a,b}}= \set{\set{c}, \set{c,a}}=(c,d)$, que es lo que queríamos demostrar.

Como se cumplen las dos implicaciones la prueba está completa

$\square$

Generalizando:

La terna $(a,b,c)$, es por definición el par $((a,b),c)$. En general si $(a_1,…,a_n)$ está definido, se define $(a_1,…a_{n+1})$ como: $( (a_1,…,a_n),a_{n+1})$ y se cumple que:

$(a_1,…,a_n)=(b_1,…,b_n)$ $ \Longleftrightarrow $ $a_i=b_i$, $\forall i$, $1\leq i\leq n$.

Definición

Sean $A$, $B$ conjuntos. El producto cartesiano de $A$ con $B$ es:

$A\times B=\set{(a,b)\mid a\in A,b\in B}$

Ejemplos

• $A=\set{\pi,2}, B=\set{3,4,5}$
  $A\times B=\set{(\pi,3), (\pi,4), (\pi,5),(2,3),(2,4),(2,5)}$
  $B\times A=\set{(3,\pi), (4,\pi), (5,\pi),(3,2),(4,2),(5,2)}$
• Sea $\mathbb N=\set{0,1,2,4,\dotsi}$, y $\set{1,2}$
  $\set{1,2}\times \mathbb N =\set{(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),\dotsc ,(2,0),(2,1),(2,2),(2,3)\dotsc }$}
  

• $\mathbb R\times \mathbb R=\set{(x,y)\mid x,y\in \mathbb R}$, y de denota por $\mathbb R^2$, que son las parejas ordenadas del plano cartesiano.

En el siguiente recurso de Geogebra da los conjuntos $A$ y $B$ y obtén una representación gráfica de los mismos.

Generalizando:

Si $A_1,\dotsi,A_n$ son conjuntos, $A_1\times \dotsi \times A_n = \set{(a_1,\dotsi,a_n)\mid a_i\in A_i,1\leq i\leq n)}$.

Si $A_1=\dotsi =A_n=A$, para algún conjunto $A$, el producto de esos $n$ conjuntos $A\times \dotsi \times A$ se denota como $\mathbb A^n$.

Tarea moral

1. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Si $A\subseteq B$, ¿existe alguna relación de contención entre $\mathcal{P}(A)$ y $\mathcal{P}(B)$?.
2. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Responde y justifica:
   a) ¿Son iguales $\mathcal{P}(A)\cup \mathcal{P}(B)$ y $\mathcal{P}(A\cup B)$?
   b) ¿Son iguales $\mathcal{P}(A)\cap \mathcal{P}(B)$ y $\mathcal{P}(A\cup B)$?
3. Sea $A=\set{5,\emptyset,\set{\emptyset},\set{\emptyset,4},\set{\pi}}$
   $B_1=\set{2,\set{5,\set{\emptyset}}}$
   $B_2=\set{\set{\pi},\set{5,\emptyset}}$
   $B_3=\set{5,\emptyset}$
   Encuentra al siguiente conjunto: $\mathcal{P}(A)\cap (B_1\cup (B_2\cup B_3))$
4. Dados $a$,$b$,$c$ objetos define la terna $(a,b,c)$ como el conjunto $\set{\set{a},\set{a,b},\set{a,b,c}}$.
   ¿Con está definición de terna se cumpre que $(a,b,c)=(d,e,f)$ si y solo si $a=d$, $b=e$ y $c=f$?. Justifica tu respuesta.

Más adelante

En la nota siguiente definiremos lo que es una relación entre dos conjuntos, encaminados a dar una definición formal del concepto de función, ampliamente usado en el mundo de las matemáticas.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

• Enlace a la nota anterior. Nota 5. Leyes de Morgan y la diferencia simétrica.
• Enlace a la nota siguiente. Nota 7. Relaciones y funciones.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción.

En esta nota, veremos que hay dos operaciones binarias que podemos considerar en los conjuntos. Dados dos conjuntos, podemos formar por un lado la unión de ellos, que resulta ser un nuevo conjunto y consta de los elementos de ambos conjuntos, y por otro lado la intersección que es el conjunto que consiste de los elementos comunes de ambos.

Definición:

Sea $X$ el conjunto universo, $A$, $B$ subconjuntos de $X$.

La unión de $A$ con $B$ es:

$A\cup B=\set{x\in X\mid x\in A \, \, o \, \, x\in B}.$

La intersección de $A$ con $B$ es:

$A\cap B=\set{x\in X\mid x\in A \, \, y \, \, x\in B}.$

Corrobora con el siguiente recurso de Geogebra que entiendes la definición de unión e intersección de conjuntos, escribe en las barras en blanco separados por comas, los elementos de $A\cup B$ y $A\cap B$, no es necesario poner las llaves de los conjuntos, solo los elementos.

Ejemplos:

1. $A=\set{-2,-1,0,1,2}$ y $B=\set{0,2,4,6}$
   $A\cup B=\set{-2,-1,0,1,2,4,6}$
   $A\cap B=\set{0,2}.$
2. $A=\set{x\in \mathbb Z\mid x>0}$ y $B=\set{x\in \mathbb Z\mid x\,es\,múltiplo\,de\,tres}$
   $A\cup B=\set{x\in \mathbb Z\mid x>0\,o\,x\,es\,múltiplo\,de\,tres}$
   $A\cup B=\set{…,-12,-9,-6,-3,0,1,2,3,4,…}$
   $A\cap B=\set{x\in \mathbb Z\mid\,x>0\,\,y\,\,x\,\,es\,\,múltiplo\,\,de\,\,3}$
   $A\cap B=\set{3,6,9,12,…}.$

Propiedades

Sean $X$ el conjunto universo, $A$,$B$,$C$, subconjuntos de $X$. Se cumplen las siguientes afirmaciones:

Además se tienen las siguientes propiedades distributivas:

9. $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).$
10. $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C).$

Se harán las demostraciones de las propiedades 1,3,6,8 y 10, las demás se dejan como ejercicio.

Demostración de la propiedad 1, $A\subseteq A\cup B$.

Sea $z\in A$, veamos que $z\in A\cup B$. Como $z\in A$, entonces es cierto que $z\in A$ o $z\in B$. Además, como $A\subseteq X$ (por ser $X$ el conjunto universo) tenemos que $z\in X$. Así, $z\in \set{x\in X\mid x\in A\,\,o\,\,x\in B}$ por lo tanto $A\subseteq A\cup B$.

Demostración de la propiedad 3, $A\cup B=B\cup A.$

$z\in A\cup B \Longleftrightarrow z\in A \, \, \, o \, \, \, z\in B \Longleftrightarrow z\in B \, \, \, o \, \, \, z\in A \Longleftrightarrow z\in B\cup A.$

Por lo tanto $A\cup B= B\cup A.$

Demostración de la propiedad 6, $(A\cap B) \cap C=A\cap (B\cap C).$

Tenemos que:

$z\in A\cap (B\cap C)$$\Longleftrightarrow$ $z\in A$ y $z\in B\cap C$

$\phantom{z\in A\cap (B\cap C)}$ $\Longleftrightarrow$ $z\in A$ y $z\in B$ y $z\in C$

$\phantom{z\in A\cap (B\cap C)}$$\Longleftrightarrow$ $z\in A\cap B$ y $z\in C$

$\phantom{z\in A\cap (B\cap C)}$$\Longleftrightarrow$ $z\in (A\cap B) \cap C $

$\therefore$ $(A\cap B) \cap C=A\cap (B\cap C).$

Demostración de la propiedad 8, $A\cap X=A.$

La demostración se hará por doble contención.

Primera contención, veamos que $A\cap X\subseteq A.$

Sea $z\in A\cap X$, entonces $z\in A$ y $z\in X$, en particular $z\in A$. Así, $A\cap X\subseteq A$

Segunda contención, veamos ahora que $A\subseteq A \cap X. $

Sea $z\in A$, como $A\subseteq X$, también $z\in X$, así $z\in A$ y $z\in X$, entonces $z\in A\cap X$.

Como se cumplen las dos contenciones, tenemos que $A\cap X=A$ .

Demostración de la propiedad 10, $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C).$

La demostración se hará por doble contención:

Primera contención, veamos que $A\cap (B\cup C)\subseteq (A\cap B)\cup (A\cap C).$

Tenemos que:

$z\in A\cap (B\cup C)$ $\Longrightarrow$ $z\in A$ y $z\in B\cup C$ $\Longrightarrow$ $z\in A$, y además $z\in B$ o $z\in C$.

Si $z\in B$, como $z\in A$, entonces $z\in A\cap B.$

Si $z\in C$, como $z\in A$, entonces $z\in A\cap C.$

Así $z\in A\cap B$ o $z\in A\cap C$, de donde concluimos que $z\in (A\cap B)\cup (A\cap C) .$

Segunda contención, veamos ahora que $ (A\cap B)\cup (A\cap C) \subseteq A\cap (B\cup C). $

Sea $z\in (A\cap B)\cup (A\cap C)$ $\Longrightarrow$ $z\in A\cap B$ o $z\in A\cap C$.

Si $z\in A\cap B$, entonces $z\in A$ y $z\in B$, por lo que $z\in A$ y $z\in B\cup C$. En este caso tendríamos que $z\in A\cap (B\cup C)$.

Si $z\in A\cap C$, entonces $z\in A$ y $z\in C$, por lo que $z\in A$ y $z\in B\cup C$. En este caso tendríamos también que $z\in A\cap (B\cup C)$.

Asi, $ (A\cap B)\cup (A\cap C) \subseteq A\cap (B\cup C) .$

Dado que se cumplen las dos contenciones, se cumple la igualdad, y entonces:

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ .

Tarea Moral.

Demuestra las propiedades 2,4,5,7,9.

Más adelante.

En la siguiente nota hablaremos de las leyes De Morgan que garantizan cierta relación entre el complemento con la unión e intersección de conjuntos, así mismo daremos una definición y propiedades de la diferencia simétrica.

Entradas relacionadas.

Página principal del curso.

• Entrada anterior del curso: Nota 3. El complemento de un conjunto.
• Entrada siguiente del curso. Nota 5. Las leyes de Morgan y la diferencia simétrica.

Nota. Las imágenes mostradas para ilustrar los conjuntos no fueron de diseño propio, y se da las gracias a: https://www.spanish.cl/ por sus divertidos dibujos. Se deja el link de donde se obtuvieron: https://www.spanish.cl/vocabulario/animales-de-la-granja.htm.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción.

En este capítulo veremos las leyes de De Morgan, que nos hablan de cómo es el complemento de una unión o de una intersección de conjuntos. Para ello usaremos los resultados adquiridos en notas anteriores, notando que cuando un elemento del conjunto universo no es parte de un conjunto, es por que no cumple con la propiedad que caracteriza sus elementos, y por tanto cumple la negación de esa propiedad.

Una vez con las leyes de De Morgan en un nuestro repertorio de proposiciones adquiridas, junto con algunas propiedades de la diferencia de conjuntos, definiremos la diferencia simétrica y usaremos los resultados previos para obtener algunas propiedades derivadas.

Teorema. Leyes de De Morgan.

Sea $X$ el conjunto universo, $A$ y $B$ subconjuntos de $X$.

1. $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$
2. $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$

Demostración

Demostración de la propiedad 1.

Por demostrar que $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$.

Esta prueba la haremos por doble contención, la cadena de implicaciones de ida y regreso nos dará la prueba por doble contención.

Prueba condensada.	Explicación de las implicaciones de ida que probarán la primera contención $(A\cup B)^c\subseteq A^c\cap B^c$	Explicación de las implicaciones de regreso que probarán la segunda contención $(A\cup B)^c\supseteq A^c\cap B^c$
$z\in (A\cup B)^c$	Empezamos la prueba tomándonos un elemento en el conjunto $(A\cup B)^c$ , con la intención de mostrar que también está en $A^c\cap B^c$	Por definición de complemento.
$\Longleftrightarrow$ $z\notin A\cup B$	Esto es por la definición de complemento.	Si el elemento cumple con no estar ni en $A$ ni en $B$ entonces no está en la unión.
$\Longleftrightarrow$ $z\notin A$ y $z\notin B$ $\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, $	Si $z$ no está en la unión, no cumple con la propiedad que caracteriza a los elementos de la unión, es decir $z$ no cumple que $z\in A$ o $z\in B$, por lo que $z$ no puede estar ni en $A$ ni en $B$, es decir $z\notin A$ y $z\notin B$. Nota cómo la negación de la disyunción es la conjunción.	Por definición de complemento.
$\Longleftrightarrow$ $z\in A^c$ y $z\in B^c$	Si $z$ no está en $A$, está en su complemento, y lo mismo pasa con $B$.	Por definición de intersección.
$\Longleftrightarrow$ $z\in A^c\cap B^c$	Por definición de intersección.	Empezamos la prueba tomándonos un elemento en el conjunto $A^c\cap B^c$, con la intención de mostrar que también está en $(A\cup B)^c$.

Las explicaciones de la prueba en la tabla se leen de arriba a abajo para la primera contención y de abajo a arriba en el caso de la segunda contención, para saber cómo cambiamos de paso, o empezamos la prueba, atendemos a la explicación, cada columna nos da una contención, la primera nos muestra que $(A\cup B)^c\subseteq A^c\cap B^c$, y la segunda nos muestra que $A^c\cap B^c\subseteq (A\cup B)^c$, lo que nos garantiza según el axioma de extensionalidad lo que queríamos probar: $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$

$\square$

Demostración de la propiedad 2.

Por demostrar que $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$

Prueba condensada.	Explicación de las implicaciones de ida que probarán la primera contención $(A\cap B)^c\subseteq A^c\cup B^c$	Explicación de las implicaciones de regreso que probarán la segunda contención $(A\cap B)^c\supseteq A^c\cup B^c$
$z\in (A\cap B)^c$	Empezamos la prueba tomándonos un elemento en el conjunto $(A\cap B)^c$, con la intención de mostrar que también está en $A^c\cup B^c.$	Por definición de complemento.
$\Longleftrightarrow$ $z\notin A\cap B$	Por definición de complemento.	Si el elemento cumple con no estar en $A$ o en $B$ entonces no está en la intersección.
$\Longleftrightarrow$ $z\notin A$ o $z\notin B$ $\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, $	Si z no está en la intersección, no cumple con la propiedad que cumplen los elementos de la intersección, es decir $z$ no cumple que $z\in A$ y $z\in B$, por lo que debe fallar al menos una de ambas condiciones, es decir $z\notin A$ o $z\notin B$. Nota cómo la negación de la conjunción $y$ es la disyunción $o$.	Por definición de complemento.
$\Longleftrightarrow$ $z\in A^c$ o $z\in B^c$	Si no está en $A$, está en su complemento, y lo mismo pasa con $B$.	Por definición de unión.
$\Longleftrightarrow$ $z\in A^c\cup B^c$	Por definición de unión.	Empezamos la prueba tomándonos un elemento en el conjunto $A^c\cup B^c$, con la intención de mostrar que también está en $(A\cap B)^c$

Igual que en la primera demostración las dos contenciones nos dan la igualdad y así:

$(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$, que es lo queríamos demostrar.

$\square$

Hay que estar atentos pues usaremos el resultado anterior para probar algunas propiedades de una operación destacable, la diferencia simétrica, pero antes de llegar a ello, definamos una operación más.

Definición

Sea $X$ el conjunto universo, $A$,$B$, subconjuntos de $X$.

La diferencia de $A$ con $B$ es el conjunto de los elementos que están en $A$, pero no están en $B$.

$A \setminus B = \set{x\in A\mid x\notin B}$

Proposición

1. $A\setminus B=A\cap B^c$
2. $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$
3. $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$

Demostración

Demostración de 1

Tenemos que:

$z\in A\setminus B = \set{x\in A\mid x\notin B}$ $\Longleftrightarrow$ $z\in A$ y $z\notin B$ $\Longleftrightarrow$ $z\in A$ y $z\in B^c$ $\Longleftrightarrow$ $z\in A\cap B^c$.

Nota que ésta es una prueba por doble contención, la cadena de si y sólo si ($\Longleftrightarrow$) nos dan las dos contenciones.

$\square$

Demostración de 2

De nuevo recurriremos a una tabla para ir mostrando los pasos, esta vez entre igualdades.

Prueba condensada	Explicación
$A\setminus (B\cap C)$ =	Empezamos considerando este conjunto.
$A\cap (B\cap C)^c$ =	Por lo mostrado en la proposición anterior $A\setminus B=A\cap B^c$.
$A\cap (B^c\cup C^c)$ =	Observa que en este paso nos valimos de las leyes de De Morgan y utilizamos que $(B\cap C)^c= B^c\cup C^c $.
$(A\cap B^c)\cup (A\cap C^c)$=	Esta igualdad es por la propiedad distributiva de la intersección.
$(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$	Por lo mostrado en la proposición anterior $A\setminus B=A\cap B^c$ y $A\setminus C=A\cap C^c$.

Por lo tanto $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$.

$\square$

Demostración de 3

Prueba condensada	Explicación
$A\setminus (B\cup C)$ =	Empezamos considerando este conjunto.
$A\cap (B\cup C)^c$ =	Por lo mostrado en la propiedad 1 $A\setminus B=A\cap B^c$.
$A\cap (B^c\cap C^c)$ =	Observa que en este paso nos valimos de las leyes de De Morgan y utilizamos que $(B\cup C)^c= B^c\cap C^c $.
$A\cap A\cap B^c \cap C^c$ =	Como $ A\cap A=A$, simplente reescribimos a $A$ de esta forma.
$(A\cap B^c)\cap (A \cap C^c)$ =	Por las propiedades de asociatividad y conmutatividad de la intersección.
$(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$	Por lo mostrado en la propiedad 1 $A\setminus B=A\cap B^c$.

Por lo tanto $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$.

$\square$

Con estas herramientas estamos listos para dar la definición de diferencia simétrica.

Definición

Sea $X$ el conjunto universo, $A$, $B$, subconjuntos de $X$, la diferencia simétrica de $A$ con $B$ es la diferencia de la unión de los dos conjuntos con su intersección:

$A\vartriangle B=(A\cup B)\setminus (A\cap B).$

Proposición

1. $A\vartriangle B=B\vartriangle A$
2. $A\vartriangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

Demostración de 1

$A\vartriangle B= (A\cup B)\setminus (A\cap B) = (B\cup A)\setminus (B\cap A) =B\vartriangle A$, nota que en la prueba se está usando la conmutatividad de la unión y de la intersección.

$\square$

Demostración de 2

Prueba condensada	Explicación
$A\vartriangle B$=	Empezamos con este conjunto.
$(A\cup B)\setminus (A\cap B)$=	Por definición de diferencia simétrica.
$(A\cup B)\cap (A\cap B)^c$=	Por lo mostrado en la propiedad 1 $A\setminus B=A\cap B^c$.
$(A\cup B)\cap (A^c\cup B^c)$=	Por las leyes de De Morgan.
$[(A\cup B)\cap A^c]\cup [(A\cup B) \cap B^c]$=	Por la propiedad distributiva de la intersección sobre la unión.
$[(A\cap A^c)\cup (B\cap A^c)]\cup [(A\cap B^c)\cup (B\cap B^c)]$=	Por la propiedad distributiva de la intersección sobre la unión.
$[\emptyset\cup (B\cap A^c)]\cup [(A\cap B^c)\cup \emptyset ]$=	La intersección de un conjunto con su complemento es el vacío.
$(B\cap A^c)\cup (A\cap B^c)$=	El vacío unión cualquier conjunto nos deja el mismo conjunto.
$(B\setminus A)\cup (A\setminus B)$	Por lo mostrado en la proposición anterior $A\setminus B=A\cap B^c$.

Esto muestra que $A\vartriangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$.

$\square$

Tarea Moral

En los siguientes incisos el conjunto universo es $X$, $A\subseteq X$, $B\subseteq X$.

i) Encuentra: $A^c$, $B^c$, $A^c\cup B^c$, $A^c\cap B^c$, $(A\cup B)^c$, $(A\cap B)^c$.

1. $X=\mathbb{N}$
   $A=\set{x\in \mathbb{N}\mid x\,\,es\,\,un\,\,primo}$
   $B=\set{x\in \mathbb{N}\mid x\,\,es\,\,un\,\,impar}$
2. $X=\mathbb{Z}$
   $A=\set{x\in \mathbb{Z}\mid x=4k+1,para\,\,alguna\,\,k\in \mathbb{Z}}$
   $B=\set{x\in \mathbb{N}\mid x\,\,es\,\,negativo}$
3. $X=\mathbb{N}$
   $A=\set{x\in \mathbb{N}\mid x\,\,es\,\,un\,\,irracional}$
   $B=\set{x\in \mathbb{N}\mid x>3}$
4. $X=\mathbb{N}$
   $A=\set{x\in \mathbb{N}\mid x\leq 5 }$
   $B=\set{x\in \mathbb{N}\mid 1\leq x<11}$

ii) Sean $A$ y $B$ conjuntos

• ¿Cómo son $A\cup (B\setminus A)$ y $A\cap (B\setminus A)$?
• ¿Cómo son $(B\setminus A)\cup (A\cap B)$ y $(B\setminus A)\cap (A\cap B)$

iii) Prueba que $A\vartriangle B\subseteq (A\vartriangle C)\cup (C\vartriangle B)$. Encuentra un ejemplo donde la contención sea propia y otro donde se dé la igualdad.

Más adelante

En la siguiente nota definiremos una manera de crear un nuevo subconjunto, estableceremos como un axioma que el conjunto de los subconjuntos de un conjunto dado $A$ también es un subconjunto y lo llamaremos el conjunto potencia, iremos encaminando nuestros esfuerzos para definir una de las mas útiles maneras de estudiar los distintos conjuntos, el concepto de función, pero para ello hablaremos de algo más primitivo, las relaciones entre conjuntos, que caracterizaremos y para las cuales deduciremos propiedades.

Entradas Relacionadas

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Nota Anterior del curso. Nota 4. Unión e intersección de conjuntos.

Nota siguiente del curso. Nota 6. Conjunto potencia y el producto cartesiano.