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Nota 9. Composición de funciones.

Por Julio César Soria Ramírez

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Bajo ciertas condiciones, dadas dos funciones podemos evaluar el resultado de una en otra, es decir aplicar una función seguida de la otra, para formar una nueva función. A esta operación entre funciones se le llama la composición y la estudiaremos en esta entrada. Esta operación nos dará una amplia gama de funciones muy útiles como lo son la composición de las funciones trigonométricas con las funciones lineales. Para motivar el tema trata de obtener la siguiente familia de funciones con geogebra, sen(kx+t), con k,tR, en la que primero mandamos a x a kx+t y luego le aplicamos la función seno; éstas te darán una serie de curvas con las que se pueden describir distintos tipos de ondas. Te invitamos a revisar el recurso de geogebra donde se usa la función seno y se compone con funciones lineales para modelar ondas sonoras, y a darle un vistazo al siguiente video donde se habla de música y matemáticas.

Definición

Sean A,B,C,D conjuntos, f:AB, g:CD funciones, con ImfC. Definimos la composición de f seguida de g como:

gf:AD

con regla de correspondencia gf(x)=g(f(x)), para todo xA. Observa que escribiremos la composición de derecha a izquierda, aunque existen autores que la escriben de izquierda a derecha.

Ejemplos

1. Sean f:RR y g:RR con

f(x)=3x2+1, g(x)=2x1, para toda xR.

La composición gf:RR manda a cada xR en

gf(x)=g(f(x))=g(3x2+1)=2(3x2+1)1=6x2+1,

mientras que la composición fg:RR manda a cada xR en

fg(x)=f(g(x))=f(2x1)=3(2x1)2+1=12x212x+4.

2. Sean α:{1,2,3}{1,2,3}, β:{1,2,3}{1,2,3} con

α=(123231)

β=(123213)

Las composiciones βα:{1,2,3}{1,2,3} y αβ:{1,2,3}{1,2,3} son

βα=(123132)

αβ=(123321)

3. Sean a,k,tR. Considera las funciones f:RR, g:RR con f(x)=asen(x), g(x)=kx+t para toda xR. Tenemos que fg:RR con fg(x)=f(g(x))=f(kx+t)=asen(kx+t) para toda xR.

En el siguiente recurso de geogebra mueve los deslizadores a, k y t para obtener la gráfica de asen(kx+t).

Teorema

Sean A,B,C,D conjuntos, f:AB, g:BC y h:CD, entonces h(gf)=(hg)f, es decir la composición es asociativa.

Demostración

Para esta prueba usaremos el hecho de que dos funciones son iguales si tienen el mismo dominio, el mismo codominio, y la misma regla de correspondencia. Empecemos probando que h(gf) y (hg)f tienen el mismo dominio y el mismo codominio.

Como gf:AC y h:CD, entonces h(gf):AD.

Como f:AB y hg:BD, entonces (hg)f:AD.

Así, h(gf) y (hg)f tienen el mismo dominio y el mismo codominio.

Para ver que tienen la misma regla de correspondencia hagamos lo siguiente:

Sea xA.

Sabemos que h(gf)(x)=h(gf(x))=h(g(f(x))).

Por otro lado, (hg)f(x)=hg(f(x))=h(g(f(x))).

Entonces h(gf)(x)=(hg)f(x) para toda xA.

Así, h(gf)=(hg)f .

◻

Definición

Sea A un conjunto. La función identidad en A es:

idA:AA

con regla de correspondencia idA(x)=x para toda xA.

Proposición

Sean A,B conjuntos, f:AB una función. Se cumple que:

  1. fidA=f,
  2. idBf=f.

Demostración

Demostración de 1

Por demostrar que fidA=f.

fidA y f tienen dominio A y codominio B.

Vamos a ver que tienen la misma regla de correspondencia.

Sea xA. De acuerdo a la definición de composición fidA(x)=f(idA(x)) y por definición de identidad tenemos que f(idA(x))=f(x). Concluimos que fidA(x)=f(x).

Así, fidA y f tienen el mismo dominio, el mismo condominio y la misma regla de correspondencia, por lo tanto fidA=f.

Demostración de 2

idBf y f tienen dominio A y codominio B.

Sea xA. De acuerdo a la definición de composición idBf(x)=idB(f(x)) y por definición de la función identidad tenemos que idB(f(x))=f(x). Concluimos que idBf(x)=f(x).

Así, idBf y f tienen el mismo dominio, el mismo condominio y la misma regla de correspondencia, por lo tanto idBf=f.

◻

El siguiente ejemplo aparece en el libro Curso introductorio de Álgebra I de Avella y Campero, mencionado en la bibliografía, Ejemplo 4.54.

Ejemplo

f:R[0,), xx2

g:[0,)R, x+x

fg:[0,)[0,)

fg(x)=f(g(x))=f(+x)=(+x)2=x

gf:RR

gf(x)=g(f(x))=g(x2)=+x2=|x|

Observa el siguiente clip

Aquí fg=id[0,), pero gfidR.

En el siguiente recurso de geogebra cambia los valores de f y g, observa cómo son fg y gf.

Tarea Moral

1. Considera las funciones

f:RR con f(x)=x2+5

g:R+R con g(x)=3x1.

Calcula, si es posible, las composiciones gf y fg:

2. ¿Existirán dos funciones f y g de R a R tales que fg pero gf=fg?

3. f:{5,6,7}{0,2,4,6}, f(5)=0, f(6)=4, f(7)=6,

g:{0,2,4,6}{5,6,7}, g(0)=g(2)=5, g(4)=6, g(6)=7.

Calcula las composiciones gf y fg . ¿Qué puedes decir del comportamiento de las composiciones? ¿Y si ahora g(2)=7?

Más adelante

En la siguiente nota hablaremos del concepto de función inversa y daremos condiciones para que una función sea invertible.

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Enlace a la nota anterior. Nota 8. Imagen directa e inversa de una función.

Enlace a la nota siguiente. Nota 10. Función inversa.

Nota 8. Imagen directa e inversa de una función.

Por Julio César Soria Ramírez

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota analizaremos a las funciones observando las imágenes de subconjuntos del dominio y los elementos del dominio que bajo la función son asignados a ciertos elementos tomados del codominio.

Definición

Sean A y B conjuntos, f:AB una función. Dado AA, la imagen directa de A bajo f es:

f[A]={f(x)xA}.

Dado BB la imagen inversa de B bajo f es:

f1[B]={xAf(x)B}.

Observa que:

f[A]B y que f1[B]A, además f[A]=Imf.

Ejemplos

1. f:{1,2,3,4,5} {2,1,0,1}.

f(1)=f(2)=1, f(3)=f(4)=0, f(5)=1.

Si A={1,2,5}, entonces f[A]={1,1}.

Mientas que si B={2,0,1}, entonces f1[B]={3,4,5}.

2. g:RR, g(x)=x2

A=[1,2]

g[A]={xR0x4}

Observa el siguiente clip donde se asigna a los elementos de A que se muestran en verde, a los elementos de su imagen directa g[A] que se muestran en rojo.

Ahora considera A=[0,2]

g[A]={xR0x4}

Observa el siguiente clip

Observa que, aunque AA, tienen la misma imagen directa g[A]=g[A].

Ahora analicemos la definición de imagen inversa con el mismo ejemplo.

Si B=[0,1], la imagen inversa de B bajo f es:

f1[B]={xRg(x)[0,1]}

f1[B]={xR1x1}

En el siguiente clip se muestran en rojo los elementos de B y en verde los elementos de f1[B].

Observa que si B=[1,1], la imagen inversa de B bajo f es la misma que B, f1[B]={xR1x1}, pues no hay números reales elevados al cuadrado que vayan a dar números negativos. Observa el siguiente clip:

Si C=[2,1] entonces f1[C]=, por que para todo xR, f(x)=x2[2,1].

Proposición

Sean A y B conjuntos, f:AB una función, AA, BB. Se cumple que:

  1. Af1[f[A]]
  2. f[f1[B]]B

Demostración

Demostración de 1

Por demostrar que Af1[f[A]]

Sea aAA, entonces f(a)f[A]={f(x)BxA}, así a cumple con la propiedad del siguiente conjunto {xAf(x)f[A]}, es decir a{xAf(x)f[A]} que es por definición f1[f[A]], entonces af1[f[A]].

Por lo tanto Af1[f[A]].

Demostración de 2

Por demostrar que f[f1[B]]B.

Sea bf[f1[B]]={f(x)xf1[B]}, eso nos indica que existe af1[B]={xAf(x)B} tal que f(a)=b y, como a cumple las características que definen a los elementos del conjunto {xAf(x)B}, tenemos que f(a)B. Así, b=f(a)B.

Por lo tanto f[f1[B]]B.

◻

Tarea moral

Considera la siguiente función:

f:RR dada por f(x)=3x2

  • Para A=[3,4] calcula f1[f[A]]. ¿Qué relación tiene con A?
  • Para B=[12,1] calcula f[f1[B]]. ¿Qué relación tiene con B?

Más adelante

En la siguiente nota hablaremos de la composición de funciones y sus propiedades.

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Enlace a la nota anterior. Nota 7 Relaciones y funciones.

Enlace a la nota siguiente. Nota 9. Composición de funciones.

Nota 7. Relaciones y funciones

Por Julio César Soria Ramírez

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota hablaremos de lo que es una relación entre dos conjuntos A y B, utilizaremos ese concepto para poder definir lo que significa una función entre dos conjuntos A y B, que será una relación en la que cada elemento de A se relaciona con uno y sólo uno de B.

Definición

Sean A y B conjuntos, una relación de A con B es un subconjunto de A×B, es decir un conjunto R tal que RA×B.

El dominio de R es:

DomR={aAbBtalque(a,b)R}

La imagen de R es:

ImR={bBaAtalque(a,b)R}

El codominio de R es el conjunto B. Si (a,b)R diremos que a está relacionado con b y en ocasiones también se denota por aRb.

Ejemplos

1. Sean A={Juan,Carlos,Norma,Pedro,Jazmín} y
B={teoríadejuegos,estadística,álgebra,cálculo}.


Entonces R={(Norma,estadística),(Norma,álgebra),(Pedro,estadística),(Pedro,álgebra),(Jazmín,estadística),(Jazmín,álgebra),(Jazmín,cálculo)}

es una relación de A con B.
DomR={Norma,Pedro,Jazmín}
ImR={estadística,álgebra,cálculo}
A continuación se muestra el producto cartesiano de ambos conjuntos.

Producto cruz de A y B


Cualquier subconjunto del producto cartesiano será una relación de los dos conjuntos. Por ejemplo consideremos los siguientes subconjuntos:

Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4

Dejamos como ejercicio al lector que escriba las relaciones anteriores mediante un conjunto de parejas ordenadas.

5. RN×N
R={(1,1),(1,3),(1,4),(2,5)}
DomR={1,2}
ImR={1,3,4,5}


6. RR×R
R={(x,y)R×R|x|=|y|}.
Observa que:
(1,1)R ya que |1|=|1|,
(1,1)R ya que |1|=|1|,
(π,π)R ya que |π|=|π|,
(1,5)R ya que |1|=|5|,
(3,7)R ya que |3|=|7|.
De manera más general observamos que todos los puntos de las rectas y=x y y=x están en la relación. Mueve los puntos por las rectas en el siguiente recurso de geogebra y constátalo.

7. RZ×Z
R={(a,b)Z×Zaybtienenlamismaparidad}.
(5,1)R, (2,6)R, (0,4)R, (3,8)R.

Observa que la relación se puede describir como R={(k,k+2n)Z×ZkZ,nZ}. En el siguiente clip se muestra gráficamente la disposición de algunas de estas parejas ordenadas.


En el siguiente recurso de geogebra mueve el valor de los deslizadores n y de k para obtener los puntos en el plano con la misma paridad.

8. R=[1,2]×(2,3)R2
R={(x,y)|1x2,2<y<3}
DomR=[1,2]
ImR=(2,3)
La siguiente imagen nos muestra gráficamente la relación:

Notemos que los conjuntos A y B no necesariamente son iguales y su elementos no siempre son números:

9. RR2×{llesunalíneaenelplano}, (p,l)R si y sólo si pl.
DomR=R2
ImR son todas las líneas del plano.

Definición

Sean A y B conjuntos y f una relación de A con B. Decimos que f es una función de A en B si:

  1. Domf=A.
  2. Cada elemento xA está relacionado con un solo elemento de B.

Es decir para todo xA existe un único yB tal que (x,y)f, a y se le llama el valor de f en x, o f evaluada en x.


Notación: f:AB, y=f(x) es el valor de f en x, para indicar que la función f le asigna a x el valor f(x) en ocasiones se escribe xf(x), para indicar la regla de correspondencia de x un elemento del domino de la función f a su correspondiente f(x) en el codominio de la función.


Observa que la imagen de f es:
Imf={yB(x,y)fparaalgunaxA}

={yBy=f(x)paraalgunaxA}

={f(x)xA}

Ejemplos

1. A={1,2,3}, B={8,9,10,11},

f:{1,2,3}{8,9,10,11} con f={(1,8),(2,11),(3,11)}, es decir
f(1)=8, f(2)=f(3)=11. Domf={1,2,3}, Imf={8,11} , B es el codominio de f


2. g:RR

(x,y)g si y sólo si y=x2
En este caso g(x)=x2.
Domg=R, R es el codominio de g, mientras que Img={g(x)xR}={x2xR}=R+{0}

3. h:R+{0}R

x+x+1

h(0)=+0+1=1, h(4)=+4+1=2+1=3
Domh=:R+{0}

R es el codominio de h.
Imh={h(x)xR+{0}}={yRy1}=[1,]

Notación

Si f:AB y A es un conjunto finito A={a1,,an}, con n elementos, podemos describir la regla de correspondencia de f como :

(a1anf(a1)f(an))

Para terminar esta entrada debemos mencionar que, aunque las funciones son relaciones entre conjuntos, y, por lo tanto, conjuntos de parejas ordenadas, son un caso particular de relaciones muy importante y dado que en Álgebra será esencial no sólo la regla de correspondencia de una función sino su dominio y su codominio, la igualdad de dos funciones no se establecerá como la igualdad de los conjuntos de parejas ordenadas que las conforman sino que se establecerá una definición diferente. Cabe mencionar que sólo definiremos la igualdad de dos funciones cuando tengan el mismo dominio y el mismo codominio y en este caso estableceremos que son iguales cuando además coincida su regla de correspondencia:

Definición

Sean A y B conjuntos, dos funciones f:AB y g:AB son iguales ,f=g, si f(x)=g(x) para toda xA (es decir, si tienen la misma regla de correspondencia).

Tarea Moral

Determina el dominio, el codominio y la imagen de las siguientes relaciones R de A con B y determina si las relaciones son funciones de A en B.

  1. A={2,8,5,6}, B={4,9,1,7,2}
    R={(2,4),(2,1,(5,9),(6,4)}
  2. A=B=R, (a,b)R si y sólo si a=|b|
  3. A=B=R, (a,b)R si y sólo si |a|=b

Sean A=B={xR1x1} y considera el subconjunto de A×B, C={(x,y)R×Rx2+y2=1}.

¿Es C una función de A en B?

Más Adelante

En la siguiente nota seguiremos usando el concepto de función y estableceremos dos definiciones importantes, la de la imagen directa y la de imagen inversa y deduciremos algunas propiedades básicas pero muy importantes.

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Nota 6. Conjunto potencia y el producto cartesiano

Por Julio César Soria Ramírez

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Las matemáticas nos ofrecen herramientas sorprendentes para explorar combinaciones y posibilidades, en esta sección daremos la definición del conjunto potencia y del producto cartesiano. En el primero formaremos un conjunto cuyos elementos sean los subconjuntos de un conjunto dado, en el segundo consideraremos parejas formadas con los elementos de dos conjuntos cualesquiera.

Definición

Sea A un conjunto, la potencia de A es la colección de todos los subconjuntos de A y la denotaremos por P(A), es decir

P(A)={SSA}.

Aunque P(A) es una colección que tiene en general más elementos que A, no habrá problema en considerarlo también como un conjunto y lo establecemos así en el siguiente axioma:

Axioma del conjunto potencia

Dado un conjunto A, P(A) también es un conjunto.

Ejemplos

  • Si A={a,b}, entonces
    P(A)={,{a},{b},{a,b}}.
  • Si B={a,{b},{a,b}}, entonces
    P(B)={,{a},{{b}},{{a,b}},{a,{b}},{a,{a,b}},{{b},{a,b}},B}.

Observa que:

Para cualquier conjunto A, P(A) y AP(A).

Definición

Sea X un conjunto universo, a,bX.

El par ordenado de los objetos a y b es:

(a,b)={{a},{a,b}}

Observa que:

  1. (b,a)={{b},{b,a}}.
  2. (a,a)={{a},{a,a}}={{a},{a}}={{a}}.

Proposición

Sea X un conjunto universo, a,b,c,dX. Tenemos que

(a,b)=(c,d)a=cyb=d

Demostración

La siguiente demostración es la que se presenta en el Apartado 2.10 del libro Curso introductorio de Álgebra I de Avella y Campero que se encuentra en la bibliografía de este curso.

Demostración de la implicación de ida

Supongamos que (a,b)=(c,d), con la intención de mostrar que a=cyb=d.

Como (a,b)=(c,d) entonces por definición de par ordenado:

{{a},{a,b}}={{c},{c,d}}

La demostración se hace por casos.

Caso 1

Si {a}={c}, entonces a=c. Como {a,b}{{c},{c,d}} tenemos que {a,b}={c}, o {a,b}={c,d}. Si {a,b}={c}, entonces a=b=c, por lo que {{c}}={{a},{a,b}}={{c},{c,d}} de lo que se sigue que {c}={c,d} y por lo tanto c=d. Por otro lado, en el caso en que {a,b}={c,d}, como a=c tenemos que b=d. En ambos casos fíjate que demostramos que a=c y b=d, que es lo que queríamos.

Caso 2

Si {a}={c,d}, entonces a=c=d. Como {a,b}{{c},{c,d}} tenemos que {a,b}={c}, o {a,b}={c,d}. Si {a,b}={c}, entonces a=b=c, por lo que a=b=c=d. Por otro lado , en el caso en que {a,b}={c,d}, como además a=c=d tenemos que {a,b}={c,d}={a}, entonces a=b y así a=b=c=d. ambos casos hemos demostrado que a=c y b=d, que es lo que queríamos.

Demostración de la implicación de regreso

Supongamos que a=c y que b=d, por demostrar que (a,b)=(c,d).

Por definición de par ordenado:

(a,b)={{a},{a,b}}

(c,d)={{c},{c,d}}

si a=c y que b=d entonces {a}={c} y {a,b}={c,d}, por lo tanto (a,b)={{a},{a,b}}={{c},{c,a}}=(c,d), que es lo que queríamos demostrar.

Como se cumplen las dos implicaciones la prueba está completa.

◻

Generalizando:

La terna (a,b,c), es por definición el par ((a,b),c). En general si (a1,,an) está definido, se define (a1,an+1) como: ((a1,,an),an+1). Notemos que tanto la terna como la n-ada son un par ordenado. Usando la proposición anterior y la definición de n-ada se puede probar con la técnica de inducción que se verá más adelante que:

(a1,,an)=(b1,,bn) ai=bi, i, 1in.

Definición

Sean A, B conjuntos. El producto cartesiano de A con B es:

A×B={(a,b)aA,bB}

Ejemplos

  • Sean A={π,2},B={3,4,5}, entonces
    A×B={(π,3),(π,4),(π,5),(2,3),(2,4),(2,5)}, y
    B×A={(3,π),(4,π),(5,π),(3,2),(4,2),(5,2)}.
  • Sea N={0,1,2,4,}, y {1,2}
    {1,2}×N={(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),,(2,0),(2,1),(2,2),(2,3)}}
  • R×R={(x,y)x,yR}, y se denota por R2, que son las parejas ordenadas del plano cartesiano.

En el siguiente recurso de Geogebra da los conjuntos A y B y obtén una representación gráfica de los mismos.

Generalizando:

Si A1,,An son conjuntos, A1××An={(a1,,an)aiAi,1in)}.

Si A1==An=A, para algún conjunto A, el producto de esos n conjuntos A××A se denota como An.

Tarea moral

  1. Sean A y B conjuntos. Si AB, ¿existe alguna relación de contención entre P(A) y P(B)?.
  2. Sean A y B conjuntos. Responde y justifica:
    a) ¿Son iguales P(A)P(B) y P(AB)?
    b) ¿Son iguales P(A)P(B) y P(AB)?
  3. Sea A={5,,{},{,4},{π}}
    B1={2,{5,{}}}
    B2={{π},{5,}}
    B3={5,}
    Encuentra al siguiente conjunto: P(A)(B1(B2B3))
  4. Dados a,b,c objetos define la terna (a,b,c) como el conjunto {{a},{a,b},{a,b,c}}.
    ¿Con esta definición de terna se cumple que (a,b,c)=(d,e,f) si y sólo si a=d, b=e y c=f? Justifica tu respuesta.

Más adelante

En la nota siguiente definiremos lo que es una relación entre dos conjuntos, encaminados a dar una definición formal del concepto de función ampliamente usado en el mundo de las matemáticas.

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Nota 4. Unión e intersección de Conjuntos.

Por Julio César Soria Ramírez

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción.

En esta nota veremos que hay dos operaciones binarias que podemos considerar en los conjuntos. Dados dos conjuntos, podemos formar por un lado la unión de ellos, que resulta ser un nuevo conjunto y consta de los elementos de ambos conjuntos, y por otro lado la intersección que es el conjunto que consiste de los elementos comunes a ambos.

Definición:

Sea X un conjunto universo, A, B subconjuntos de X.

La unión de A con B es:

AB={xXxAoxB}.

La intersección de A con B es:

AB={xXxAyxB}.

Diremos que A y B son ajenos o disjuntos cuando AB=.

Corrobora con el siguiente recurso de Geogebra que entiendes la definición de unión e intersección de conjuntos, escribe en las barras en blanco separados por comas, los elementos de AB y AB, no es necesario poner las llaves de los conjuntos, sólo los elementos.

Ejemplos:

  1. A={2,1,0,1,2} y B={0,2,4,6}
    AB={2,1,0,1,2,4,6}
    AB={0,2}.
  2. A={xZx>0} y B={xZxesmúltiplodetres}
    AB={xZx>0oxesmúltiplodetres}
    AB={,12,9,6,3,0,1,2,3,4,}
    AB={xZx>0yxesmúltiplode3}
    AB={3,6,9,12,}.

Propiedades

Sean X un conjunto universo, A,B,C, subconjuntos de X. Se cumplen las siguientes afirmaciones:

1. AAB.5. ABA.
2. (AB)C=A(BC).Asociatividad6. (AB)C=A(BC).
3. AB=BA.Conmutatividad7. AB=BA.
4. A=A.8. AX=A.

Además se tienen las siguientes propiedades distributivas:

9. A(BC)=(AB)(AC).
10. A(BC)=(AB)(AC).

Se harán las demostraciones de las propiedades 1,3,6,8 y 10, las demás se dejan como ejercicio.

Demostración de la propiedad 1, AAB.

Sea zA, veamos que zAB. Como zA, entonces es cierto que zA o zB. Además, como AX (por ser X el conjunto universo) tenemos que zX. Así, z{xXxAoxB} por lo tanto AAB.

Demostración de la propiedad 3, AB=BA.

zABzAozBzBozAzBA.

Por lo tanto AB=BA.

Demostración de la propiedad 6, (AB)C=A(BC).

Tenemos que:

zA(BC) zA y zBC

zA(BC) zA y zB y zC

zA(BC) zAB y zC

zA(BC) z(AB)C

(AB)C=A(BC).

Demostración de la propiedad 8, AX=A.

La demostración se hará por doble contención.

Primera contención, veamos que AXA.

Sea zAX, entonces zA y zX, en particular zA. Así, AXA (o bien se puede usar la propiedad 5 si ésta se ha demostrado antes).

Segunda contención, veamos ahora que AAX.

Sea zA, como AX, también zX, así zA y zX, entonces zAX.

Como se cumplen las dos contenciones, tenemos que AX=A .

Demostración de la propiedad 10, A(BC)=(AB)(AC).

La demostración se hará por doble contención:

Primera contención, veamos que A(BC)(AB)(AC).

Tenemos que:

zA(BC) zA y zBC zA, y además zB o zC.

Si zB, como zA, entonces zAB.

Si zC, como zA, entonces zAC.

Así zAB o zAC, de donde concluimos que z(AB)(AC).

Segunda contención, veamos ahora que (AB)(AC)A(BC).

Sea z(AB)(AC) zAB o zAC.

Si zAB, entonces zA y zB, por lo que zA y zBC. En este caso tendríamos que zA(BC).

Si zAC, entonces zA y zC, por lo que zA y zBC. En este caso tendríamos también que zA(BC).

Asi, (AB)(AC)A(BC).

Dado que se cumplen las dos contenciones, se cumple la igualdad, y entonces:

A(BC)=(AB)(AC) .

Tarea Moral.

Demuestra las propiedades 2,4,5,7 y 9.

Más adelante.

En la siguiente nota hablaremos de las leyes De Morgan que garantizan cierta relación entre el complemento y la unión e intersección de conjuntos, así mismo daremos la definición y propiedades de la diferencia simétrica.

Entradas relacionadas.

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Nota. Las imágenes mostradas para ilustrar los conjuntos no fueron de diseño propio, y se da las gracias a: https://www.spanish.cl/ por sus divertidos dibujos. Se deja el link de donde se obtuvieron: https://www.spanish.cl/vocabulario/animales-de-la-granja.htm.