(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En esta nota hablaremos de lo que es una relación entre dos conjuntos $A$ y $B$, utilizaremos ese concepto para poder definir lo que significa una función entre dos conjuntos $A$ y $B$, que será una relación en la que cada elemento de $A$ se relaciona con uno y sólo uno de $B$.
Definición
Sean $A$ y $B$ conjuntos, una relación de $A$ con $B$ es un subconjunto de $A\times B$, es decir un conjunto $\mathcal R$ tal que $\mathcal R\subseteq A\times B$.
El dominio de $\mathcal R$ es:
$Dom \mathcal R =\set{a\in A\mid \exists b\in B\,\,tal \,\,que \,\, (a,b)\in \mathcal R}$
La imagen de $\mathcal R$ es:
$Im \mathcal R =\set{b\in B\mid \exists a\in A\,\,tal \,\,que \,\, (a,b)\in \mathcal R}$
El codominio de $\mathcal R$ es el conjunto $B$. Si $(a,b)\in R$ diremos que $a$ está relacionado con $b$ y en ocasiones también se denota por $aRb$.
Ejemplos
1 .$A=\set{Juan,Carlos,Norma,Pedro, Jazmín}$
$B=\set{ teoría\,\,de \,\, juegos, estadística, álgebra, cálculo}$
$\mathcal R=\set{(Juan, teoría\,\,de \,\, juegos),(Carlos, estadística),(Norma, álgebra)}$ es una relación de $A$ con $B$.
$Dom \mathcal R =\set{Juan, Carlos, Norma}$
$Im \mathcal R =\set{teoría\,\,de \,\, juegos, estadística, álgebra}$
A continuación se muestra el producto cruz de ambos conjuntos.
Cualquier subconjunto del producto cruz será una relación de los dos conjuntos.
2. $\mathcal R\subseteq \mathbb N\times \mathbb N$
$\mathcal R=\set{(1,1),(1,3),(1,4),(2,5)}$
$Dom \mathcal R =\set{1,2}$
$Im \mathcal R =\set{1,3,4,5}$
3. $\mathcal R\subseteq \mathbb R\times \mathbb R$
$\mathcal R=\set{(x,y)\in\mathbb R\times \mathbb R \mid \left|x \right|=\left|y \right|}$.
Observa que:
$(1,-1)\in \mathcal R$ ya que $\left|1 \right|=\left|-1\right|,$
$(1,1)\in \mathcal R$ ya que $\left|1 \right|=\left|1\right|,$
$(-\pi,\pi)\in \mathcal R$ ya que $\left|-\pi \right|=\left|\pi \right|,$
$(1,5)\notin \mathcal R$ ya que $\left|1 \right|=\left|5 \right|,$
$(3,-7)\notin \mathcal R$ ya que $\left|3 \right|=\left|-7\right|.$
De manera más general observamos que todos los puntos de las rectas $y=-x$ y $y=x$ están en la relación. Mueve los puntos por las rectas en el siguiente recurso de geogebra y constátalo.
4. $\mathcal R\subseteq \mathbb Z\times \mathbb Z$
$\mathcal R=\set{(a,b)\in\mathbb Z\times \mathbb Z \mid\,\,a\,\,y\,\,b\,\,tienen\,\,la\,\,misma\,\,paridad}$.
$(5,-1)\in \mathcal R$, $(2,6)\in \mathcal R$, $(0,-4)\in \mathcal R$, $(3,8)\notin \mathcal R$.
Observa que la relación se puede describir como $\mathcal R=\set{(k,-k+2n)\in \mathbb Z\times \mathbb Z \mid k\in \mathbb Z,n\in \mathbb Z}$. En el siguiente clip se muestra gráficamente la disposición de algunas de estas parejas ordenadas.
En el siguiente recurso de geogebra mueve el valor de los deslizadores $n$ y de $k$ para obtener los puntos en el plano con la misma paridad.
5. $\mathcal R=[-1,2]\times (2,3)\subseteq \mathbb R^2$
$\mathcal R=\set{(x,y)|-1\leq x\leq 2,2<y<3}$
$Dom \mathcal R =[-1,2]$
$Im \mathcal R =(2,3)$
La siguiente imagen nos muestra gráficamente la relación:
Notemos que los conjuntos $A$ y $B$ no necesariamente son iguales y su elementos no siempre son números:
6. $\mathcal R\subseteq\mathbb R^2\times \set{\mathcal l\mid\mathcal l\,\,es\,\,una\,\,línea\,\,en\,\,el\,\,plano}$, $(p,\mathcal l)\in \mathcal R$ si y sólo si $p\in \mathcal l$.
$Dom \mathcal R =\mathbb R^2$
$Im \mathcal R$ son todas las líneas del plano.
Definición.
Sean $A$ y $B$ conjuntos, $f$ una relación de $A$ con $B$. Decimos que $f$ es una función de $A$ en $B$ si:
- $Dom\, f=A.$
- Cada elemento $x\in A$ está relacionado con un solo elemento de $B$.
Es decir para todo $x\in A$ existe un único $y\in B$ tal que $(x,y)\in f$, a $y$ se le llama el valor de $f$ en $x$, o $f$ evaluada en $x$.
Notación: $g: A\to B$, $y=f(x)$ es el valor de $f$ en $x$, para indicar que la función $f$ le asigna a $x$ el valor $f(x)$ en ocasiones se escribe $ x\longmapsto f(x)$.
Observa que la imagen de $f$ es:
$Im\, f =\set{y\in B\mid \,\, (x,y)\in f\,\,para \,\, alguna \,\, x\in A}$
=$ \set{y\in B\mid\,\,y=f(x)\,\,para \,\, alguna \,\, x\in A}$
=$\set{f(x)\mid x\in A}$
Ejemplos
1. $A=\set{1,2,3}$, $B=\set{8,9,10,11}$,
$f:\set{1,2,3}\to \set{8,9,10,11}$ con $f=\set{(1,8),(2,11),(3,11)}$, es decir
$f(1)=8$, $f(2)=f(3)=11$. $Dom\,f=\set{1,2,3}$, $Im\,f=\set{8,11}$ , $B$ es el codominio de $f$
2. $g:\mathbb R\to \mathbb R$
$(x,y)\in g$ si y sólo si $y=x^2$
En este caso $g(x)=x^2.$
$Dom\,g=\mathbb R$, $\mathbb R$ es el codominio de $g$, mientras que $Im\,g=\set{g(x)\mid x\in \mathbb R}=\set{x^2\mid x\in \mathbb R }= \mathbb R^+\cup \set{0}$
3. $h: \mathbb R^+\cup \set{0}\to \mathbb R$
$x\longmapsto +\sqrt{x} +1$
$h(0)=+\sqrt{0}+1=1$, $h(4)=+\sqrt{4}+1=2+1=3$
$Dom\,h= : \mathbb R^+\cup \set{0}$
$\mathbb R$ es el codominio de $h$.
$Im\,h=\set{h(x)\mid x\in \mathbb R^+\cup \set{0}}=\set{y\in \mathbb R\mid y\geq 1}= [1,\infty]$
Notación
Si $f:A\to B$ y $A$ es un conjunto finito $A=\set{a_1,\dotsi ,a_n}$, con $n$ elementos, podemos describir la regla de correspondencia de $f$ como :
\begin{pmatrix}a_1 & \dotsi & a_n\\
f(a_1) & \dotsi & f(a_n)\end{pmatrix}
Tarea Moral
Determina el dominio, el codominio y la imagen de las siguientes relaciones $\mathcal R$ de $A$ con $B$ y determina si las relaciones son funciones de $A$ en $B$.
- $A=\set{2,8,5,6}$, $B=\set{-4,9,1,7,2}$
$\mathcal R=\set{(2,-4),(2,1,(5,9),(6,-4)}$ - $A=B=\mathbb R$, $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $a=|b|$
- $A=B=\mathbb R$, $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $|a|=b$
Sean $A=B=\set{x\in \mathbb R\mid -1\leq x\leq 1}$ y considera el subconjunto de $A\times B$, $C=\set{(x,y)\in \mathbb R\times \mathbb R\mid x^2+y^2=1}$.
¿Es $C$ una función de $A$ en $B$?
Más Adelante
En la siguiente nota seguiremos usando el concepto de función y estableceremos dos definiciones importantes, la de la imagen directa y la de imagen inversa y deduciremos algunas propiedades básicas pero muy importantes.
Enlaces relacionados
- Enlace a la nota anterior. Nota 6 Conjunto Potencia y el producto cartesiano.
- Enlace a la nota siguiente. Nota 8 Imagen directa e inversa de una función.