(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Las matemáticas nos ofrecen herramientas sorprendentes para explorar combinaciones y posibilidades, en esta sección daremos la definición del conjunto potencia, y del producto cartesiano, en el primero haremos las combinaciones de todos sus elementos y consideraremos los subconjuntos que resulten de ello, en el siguiente consideraremos todos los posibles apareamientos entre los elementos de dos conjuntos cualesquiera.

Definición

Sea $A$ un conjunto, la potencia de $A$ es la colección de todos los subconjuntos de $A$ y la denotaremos por $\mathcal{P}(A)$, es decir

$\mathcal{P}(A)=\set{S\mid S\subseteq A}.$

Aunque $\mathcal{P}(A)$ es un conjunto que tiene en general más elementos que $A$, no habrá problema en considerarlo también como un conjunto y lo establecemos así en el siguiente axioma:

Axioma del conjunto potencia

Dado un conjunto $A$, $\mathcal{P}(A)$ también es un conjunto.

Ejemplos

• $A=\set{a,b}$
  $\mathcal{P}(A)=\set{\emptyset,\set{a},\set{b},\set{a,b}}$
• $B=\set{a,\set{b},\set{a,b}}$
  $\mathcal{P}(B)=\set{\emptyset,\set{a},\set{\set{b}},\set{\set{a,b}},\set{a,\set{b}},\set{a,\set{a,b}}, \set{\set{b},\set{a,b}},B}$

Observa que:

Para cualquier conjunto $\emptyset \in \mathcal{P}(A)$ y $A\in \mathcal{P}(A)$.

Definición

Sea $X$ el conjunto universo, $a,b\in X$

El par ordenado de los objetos $a$ y $b$ es:

$(a,b)=\set{\set{a}, \set{a,b}}$

Observa que:

1. $(b,a)=\set{\set{b}, \set{b,a}}$
2. $(a,a)=\set{\set{a}, \set{a,a}}=\set{\set{a}, \set{a}}=\set{\set{a}}$

Proposición

Sea $X$ el conjunto universo, $a,b,c,d\in X$.

$(a,b)=(c,d) \Longleftrightarrow a=c\, \, \,y \, \, \, b=d$

Demostración

$\Longrightarrow $ Demostración de la implicación de ida

Supongamos que $(a,b)=(c,d)$, con la intención de mostrar que $a=c\, \, \,y \, \, \, b=d$.

Como $(a,b)=(c,d)$ entonces por definición de par ordenado:

$\set{\set{a}, \set{a,b}}=\set{\set{c}, \set{c,d}}$

La demostración se hace por casos.

Caso 1

Si $\set{a}= \set{c}$ y $\set{a,b}= \set{c,d}$ entonces $a=c$ de lo que se sigue que $\set{a,b}= \set{a,d}$ y entonces $b=d$, fíjate que demostramos que $a=c$ y $b=d$, que es lo que queríamos.

Caso 2

Si $\set{a}= \set{c,d}$ y $\set{a,b}= \set{c}$, entonces $a=c=d$ y $a=b=c$, así $a=b=c=d$, en particular $a=c$ y $b=d$

$\Longleftarrow $ Demostración de la implicación de regreso

Supongamos que $a=c$ y que $b=d$, por demostrar que $(a,b)=(c,d)$.

Por definición de par ordenado:

$(a,b)=\set{\set{a}, \set{a,b}}$

$(c,d)=\set{\set{c}, \set{c,d}}$

si $a=c$ y que $b=d$ entonces $(a,b)=\set{\set{a}, \set{a,b}}= \set{\set{c}, \set{c,a}}=(c,d)$, que es lo que queríamos demostrar.

Como se cumplen las dos implicaciones la prueba está completa

$\square$

Generalizando:

La terna $(a,b,c)$, es por definición el par $((a,b),c)$. En general si $(a_1,…,a_n)$ está definido, se define $(a_1,…a_{n+1})$ como: $( (a_1,…,a_n),a_{n+1})$, se tiene que observar que la terna es un par ordenado y la n-ada también es un par ordenado, y se cumple que:

$(a_1,…,a_n)=(b_1,…,b_n)$ $ \Longleftrightarrow $ $a_i=b_i$, $\forall i$, $1\leq i\leq n$.

Definición

Sean $A$, $B$ conjuntos. El producto cartesiano de $A$ con $B$ es:

$A\times B=\set{(a,b)\mid a\in A,b\in B}$

Ejemplos

• $A=\set{\pi,2}, B=\set{3,4,5}$
  $A\times B=\set{(\pi,3), (\pi,4), (\pi,5),(2,3),(2,4),(2,5)}$
  $B\times A=\set{(3,\pi), (4,\pi), (5,\pi),(3,2),(4,2),(5,2)}$
• Sea $\mathbb N=\set{0,1,2,4,\dotsi}$, y $\set{1,2}$
  $\set{1,2}\times \mathbb N =\set{(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),\dotsc ,(2,0),(2,1),(2,2),(2,3)\dotsc }$}
  

• $\mathbb R\times \mathbb R=\set{(x,y)\mid x,y\in \mathbb R}$, y de denota por $\mathbb R^2$, que son las parejas ordenadas del plano cartesiano.

En el siguiente recurso de Geogebra da los conjuntos $A$ y $B$ y obtén una representación gráfica de los mismos.

Generalizando:

Si $A_1,\dotsi,A_n$ son conjuntos, $A_1\times \dotsi \times A_n = \set{(a_1,\dotsi,a_n)\mid a_i\in A_i,1\leq i\leq n)}$.

Si $A_1=\dotsi =A_n=A$, para algún conjunto $A$, el producto de esos $n$ conjuntos $A\times \dotsi \times A$ se denota como $\mathbb A^n$.

Tarea moral

1. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Si $A\subseteq B$, ¿existe alguna relación de contención entre $\mathcal{P}(A)$ y $\mathcal{P}(B)$?.
2. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Responde y justifica:
   a) ¿Son iguales $\mathcal{P}(A)\cup \mathcal{P}(B)$ y $\mathcal{P}(A\cup B)$?
   b) ¿Son iguales $\mathcal{P}(A)\cap \mathcal{P}(B)$ y $\mathcal{P}(A\cup B)$?
3. Sea $A=\set{5,\emptyset,\set{\emptyset},\set{\emptyset,4},\set{\pi}}$
   $B_1=\set{2,\set{5,\set{\emptyset}}}$
   $B_2=\set{\set{\pi},\set{5,\emptyset}}$
   $B_3=\set{5,\emptyset}$
   Encuentra al siguiente conjunto: $\mathcal{P}(A)\cap (B_1\cup (B_2\cup B_3))$
4. Dados $a$,$b$,$c$ objetos define la terna $(a,b,c)$ como el conjunto $\set{\set{a},\set{a,b},\set{a,b,c}}$.
   ¿Con está definición de terna se cumple que $(a,b,c)=(d,e,f)$ si y solo si $a=d$, $b=e$ y $c=f$?. Justifica tu respuesta.

Más adelante

En la nota siguiente definiremos lo que es una relación entre dos conjuntos, encaminados a dar una definición formal del concepto de función, ampliamente usado en el mundo de las matemáticas.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

• Enlace a la nota anterior. Nota 5. Leyes de Morgan y la diferencia simétrica.
• Enlace a la nota siguiente. Nota 7. Relaciones y funciones.