Nota 6. Conjunto potencia y el producto cartesiano

Por Julio César Soria Ramírez

Introducción

En esta sección daremos la definición del conjunto potencia, y continuaremos hablando de relaciones entre conjuntos, en particular de la relación de parejas, como en el plano, llamado en honor del matemático francés René Descartes el producto cartesiano, ve el siguiente video para que te enteres quien fue él.

Definición

Sea $A$ un conjunto, la potencia de $A$ es la colección de todos los subconjuntos de $A$ y la denotaremos por $\mathcal{P}(A)$, es decir

$\mathcal{P}(A)=\set{S\mid S\subseteq A}.$

Aunque $\mathcal{P}(A)$ es un conjunto que tiene en general más elementos que $A$, no habrá problema en considerarlo también como un conjunto y lo establecemos así en el siguiente axioma:

Axioma del conjunto potencia

Dado un conjunto $A$, $\mathcal{P}(A)$ también es un conjunto.

Ejemplos

  • $A=\set{a,b}$
    $\mathcal{P}(A)=\set{\emptyset,\set{a},\set{b},\set{a,b}}$
  • $B=\set{a,\set{b},\set{a,b}}$
    $\mathcal{P}(B)=\set{\emptyset,\set{a},\set{\set{b}},\set{\set{a,b}},\set{a,\set{b}},\set{a,\set{a,b}}, \set{\set{b},\set{a,b}},B}$

Observa que:

Para cualquier conjunto $\emptyset \in \mathcal{P}(A)$ y $A\in \mathcal{P}(A)$.

Definición

Sea $X$ el conjunto universo, $a,b\in X$

El par ordenado de los objetos $a$ y $b$ es:

$(a,b)=\set{\set{a}, \set{a,b}}$

Observa que:

  1. $(b,a)=\set{\set{b}, \set{b,a}}$
  2. $(a,a)=\set{\set{a}, \set{a,a}}=\set{\set{a}, \set{a}}=\set{\set{a}}$

Proposición

Sea $X$ el conjunto universo, $a,b,c,d\in X$.

$(a,b)=(c,d) \Longleftrightarrow a=c\, \, \,y \, \, \, b=d$

Demostración

$\Longrightarrow $ Demostración de la implicación de ida

Supongamos que $(a,b)=(c,d)$, con la intención de mostrar que $a=c\, \, \,y \, \, \, b=d$.

Como $(a,b)=(c,d)$ entonces por definición de par ordenado:

$\set{\set{a}, \set{a,b}}=\set{\set{c}, \set{c,d}}$

La demostración se hace por casos.

Caso 1

Si $\set{a}= \set{c}$ y $\set{a,b}= \set{c,d}$ entonces $a=c$ de lo que se sigue que $\set{a,b}= \set{a,d}$ y entonces $b=d$, fíjate que demostramos que $a=c$ y $b=d$, que es lo que queríamos.

Caso 2

Si $\set{a}= \set{c,d}$ y $\set{a,b}= \set{c}$, entonces $a=c=d$ y $a=b=c$, así $a=b=c=d$, en particular $a=c$ y $b=d$

$\Longleftarrow $ Demostración de la implicación de regreso

Supongamos que $a=c$ y que $b=d$, por demostrar que $(a,b)=(c,d)$.

Por definición de par ordenado:

$(a,b)=\set{\set{a}, \set{a,b}}$

$(c,d)=\set{\set{c}, \set{c,d}}$

si $a=c$ y que $b=d$ entonces $(a,b)=\set{\set{a}, \set{a,b}}= \set{\set{c}, \set{c,a}}=(c,d)$, que es lo que queríamos demostrar.

Como se cumplen las dos implicaciones la prueba está completa

$\square$

Generalizando:

La terna $(a,b,c)$, es por definición el par $((a,b),c)$. En general si $(a_1,…,a_n)$ está definido, se define $(a_1,…a_{n+1})$ como: $( (a_1,…,a_n),a_{n+1})$ y se cumple que:

$(a_1,…,a_n)=(b_1,…,b_n)$ $ \Longleftrightarrow $ $a_i=b_i$, $\forall i$, $1\leq i\leq n$.

Definición

Sean $A$, $B$ conjuntos. El producto cartesiano de $A$ con $B$ es:

$A\times B=\set{(a,b)\mid a\in A,b\in B}$

Ejemplos

  • $A=\set{\pi,2}, B=\set{3,4,5}$
    $A\times B=\set{(\pi,3), (\pi,4), (\pi,5),(2,3),(2,4),(2,5)}$
    $B\times A=\set{(3,\pi), (4,\pi), (5,\pi),(3,2),(4,2),(5,2)}$
  • Sea $\mathbb N=\set{0,1,2,4,\dotsi}$, y $\set{1,2}$
    $\set{1,2}\times \mathbb N =\set{(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),\dotsc ,(2,0),(2,1),(2,2),(2,3)\dotsc }$}
  • $\mathbb R\times \mathbb R=\set{(x,y)\mid x,y\in \mathbb R}$, y de denota por $\mathbb R^2$, que son las parejas ordenadas del plano cartesiano.

En el siguiente recurso de Geogebra da los conjuntos $A$ y $B$ y obtén una representación gráfica de los mismos.

Generalizando:

Si $A_1,\dotsi,A_n$ son conjuntos, $A_1\times \dotsi \times A_n = \set{(a_1,\dotsi,a_n)\mid a_i\in A_i,1\leq i\leq n)}$.

Si $A_1=\dotsi =A_n=A$, para algún conjunto $A$, el producto de esos $n$ conjuntos $A\times \dotsi \times A$ se denota como $\mathbb A^n$.

Tarea moral

  1. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Si $A\subseteq B$, ¿existe alguna relación de contención entre $\mathcal{P}(A)$ y $\mathcal{P}(B)$?.
  2. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Responde y justifica:
    a) ¿Son iguales $\mathcal{P}(A)\cup \mathcal{P}(B)$ y $\mathcal{P}(A\cup B)$?
    b) ¿Son iguales $\mathcal{P}(A)\cap \mathcal{P}(B)$ y $\mathcal{P}(A\cup B)$?
  3. Sea $A=\set{5,\emptyset,\set{\emptyset},\set{\emptyset,4},\set{\pi}}$
    $B_1=\set{2,\set{5,\set{\emptyset}}}$
    $B_2=\set{\set{\pi},\set{5,\emptyset}}$
    $B_3=\set{5,\emptyset}$
    Encuentra al siguiente conjunto: $\mathcal{P}(A)\cap (B_1\cup (B_2\cup B_3))$
  4. Dados $a$,$b$,$c$ objetos define la terna $(a,b,c)$ como el conjunto $\set{\set{a},\set{a,b},\set{a,b,c}}$.
    ¿Con está definición de terna se cumpre que $(a,b,c)=(d,e,f)$ si y solo si $a=d$, $b=e$ y $c=f$?. Justifica tu respuesta.

Más adelante

En la nota siguiente definiremos lo que es una relación entre dos conjuntos, encaminados a dar una definición formal del concepto de función, ampliamente usado en el mundo de las matemáticas.

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