(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En esta nota analizaremos a las funciones observando las imágenes de subconjuntos del dominio, y los elementos del dominio que bajo la función son asignados a ciertos elementos tomados del codominio. Empecemos estableciendo cuándo dos funciones son iguales:
Definición
Sean $A$ y $B$ conjuntos, dos funciones $f: A\to B$ y $g: A\to B$ son iguales si $f(x)=g(x)$ para toda $x\in A$ (es decir si tienen la misma regla de correspondencia).
Nota
$f=g$ se usará cuando $f$ y $g$ tengan el mismo dominio, mismo codominio y misma regla de correspondencia.
Definición
Sean $A$ y $B$ conjuntos, $f: A\to B$ una función. Dado $A’\subseteq A$, la imagen directa de $A’$ bajo $f$ es:
$f[A’]=\set{f(x)\in B\mid x\in A’}.$
Dado $B’\subseteq B$ la imagen inversa de $B’$ bajo $f$ es:
$f^{-1}[B’]=\set{x\in A\mid f(x)\in B’}.$
Observa que:
$f[A’]\subseteq B$ y que $f^{-1}[B’]\subseteq A$, además $f[A]=Imf$.
Ejemplos
1. $f:\set{1,2,3,4,5}\rightarrow\ \set{-2,-1,0,1}$.
$f(1)= f(2)=-1$, $ f(3)= f(4)=0$, $ f(5)=1$.
Si $A’=\set{1,2,5}$ entonces $f[A’]=\set{-1,1}$.
Mientas que si $B’=\set{-2,0,1}$ entonces $f[B’]=\set{3,4,5}$.
2. $g:\mathbb R\to \mathbb R$, $g(x)=x^2$
$A’=[-1,2]$
$g[A’]=\set{x\in \mathbb R\mid 0\leq x\leq 4}$
Observa el siguiente clip donde se asignan los elementos de $A’$ que se muestran en verde, a los elementos de su imagen directa $f[A]$ que se muestran en rojo.
Ahora considera $A^{\prime\prime}=[0,2]$
$g[A^{\prime\prime}]=\set{x\in \mathbb R\mid 0\leq x\leq 4}$
Observa el siguiente clip
Observa que aunque $A’\neq A^{\prime\prime}$ tienen la misma imagen directa $g[A’]= g[A^{\prime\prime}]$
Ahora analicemos la definición de imagen inversa con el mismo ejemplo.
Si $B’=[0,1]$, la imagen inversa de $B’$ bajo $f$ es:
$f^{-1}[B’ ]=\set {x\in \mathbb R\mid g(x)\in [0,1]}$
$f^{-1}[B’ ] = \set{x\in \mathbb R\mid -1\leq x\leq 1}$
En el siguiente clip se muestran en rojo los elementos de $B’$ y en verde los elementos de $f^{-1}[B’]$.
Observa que si $B^{\prime\prime}=[-1,1]$, la imagen inversa de $B^{\prime\prime}$ bajo $f$ es la misma que $B’$, $f^{-1}[B^{\prime\prime}] = \set{x\in \mathbb R\mid -1\leq x\leq 1}$, pues no hay números reales elevados al cuadrado que vayan a dar números negativos. Observa el siguiente clip:
Si $C=[-2,-1]$ entonces $f^{-1}[C]=\emptyset$, por que para todo $x\in \mathbb R$, $f(x)=x^2\notin [-2,-1]$.
Proposición
Sean $A$ y $B$ conjuntos $f: A\to B$, una función, $A’\subseteq A$, $B’\subseteq B$. Se cumple que:
- $A’\subseteq f^{-1}[f[A’]]$
- $f[f^{-1}[B’]]\subseteq B’$
Demostración
Demostración de 1
Por demostrar que $A’\subseteq f^{-1}[f[A’]]$
Sea $a\in A’\subseteq A$, entonces $f(a)\in f[A’]=\set{f(x)\in B\mid x\in A’}$, así $a$ cumple con la propiedad del siguiente conjunto $\set{x\in A\mid f(x)\in f[A’]}$, es decir $ a\in \set{x\in A\mid f(x)\in f[A’]}$ que es por definición $f^{-1}[f[A’]]$ y por lo tanto $A’\subseteq f^{-1}[f[A’]]$.
Demostración de 2
Por de mostrar que $f[f^{-1}[B’]]\subseteq B’$.
Sea $b\in f[f^{-1}[B’]]=\set{f(x)\mid x\in f^{-1}[B’] }$, eso nos indica que existe $a\in f^{-1}[B’]=\set{x\in A\mid f(x)\in B’}$ tal que $f(a)=b$, $a$ cumple la propiedad del conjunto y por lo tanto $b=f(a)\in B’$, y así $f[f^{-1}[B’]]\subseteq B’$.
$\square$
Tarea moral
Considera la siguiente función:
$f:\mathbb R\to \mathbb R$ dada por $f(x)=-3x^2 $
- Para $A=[-3,4]$ calcula $f^{-1}[f[A]]$. ¿Qué relación tiene con $A$?.
- Para $B=[-12,1]$ calcula $f[f^{-1}[B]]$. ¿Qué relación tiene con $B$?
Mas adelante
En la siguiente nota hablaremos de la composición de funciones y derivaremos propiedades la composición.
Enlaces relacionados
Enlace a la nota anterior. Nota 7 Relaciones y funciones.
Enlace a la nota siguiente. Nota 9. Composición de funciones.