(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la nota anterior vimos que si consideramos las combinaciones lineales de un conjunto $S\subseteq \mathbb R^n$, este conjunto al que denotamos $\mathscr C(S)$ tiene estructura de espacio vectorial. En la presente nota continuaremos con el estudio de subespacios vectoriales, y haremos énfasis en una definición, la de subespacio generado por un conjunto $S$.

Demos entonces la definición de subespacio generado.

Definición

Sea $S$ un subconjunto de $\mathbb R^n$. El subespacio de $\mathbb R^n$ generado por $S$ es el conjunto de combinaciones lineales de $S$ si $S\neq \emptyset$, o bien $\set{\bar{0}}$ si $S=\emptyset$.

Se denota por $\langle S \rangle$ (en algunos textos lo denotan por $Span(S)$.

Decimos que $S$ genera a $\langle S\rangle $ o que $S$ es un conjunto generador de $\langle S \rangle $.

Notación

Sean $v_1,\dotsc,v_m\in \mathbb R^n.$

$\langle \set{v_1,\dotsc,v_m}\rangle$ se denota por $\langle v_1,\dotsc,v_m\rangle .$

Ejemplos

$1.$ Consideremos $\mathbb R^3$

$S=\set{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}=\set{e_1,e_2,e_3}.$

Claramente $\langle S\rangle \subseteq \mathbb R^3$. Además, si $(a,b,c)\in \mathbb R^3$

$(a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,01)\in \langle S\rangle .$

Concluimos que $\langle S\rangle =\mathbb R^3$ y decimos entonces que $S$ genera a $\mathbb R^3$.

$2.$ ¿El vector $(7,5,9)$ se encuentra en el generado por el conjunto $S=\set{(2,1,3),(1,1,1)}$?, es decir

¿$(7,5,9)\in \langle (2,1,3),(1,1,1)\rangle $?

Veamos si existen $\lambda, \mu\in \mathbb R$ tales que:

$(7,5,9)=\lambda (2,1,3)+\mu (1,1,1).$

En otras palabras buscamos $\lambda, \mu\in \mathbb R$ tales que:

$(7,5,9)= (2 \lambda+\mu,\lambda+\mu,3\lambda+\mu).$

Comparando coordenada a coordenada obtenemos que:

$2 \lambda+\mu=7$

$ \lambda+\mu=5$

$3\lambda+\mu=9.$

Esto lo resolvemos restando a la ecuación $1$ la $2$, y obtenemos que:

$\lambda=2,$

y como $ \lambda+\mu=5$, entonces $\mu=5-\lambda=5-2=3$.

Además con estos valores de $\lambda$ y de $\mu$ se satisface la ecuación $3$, pues $3\lambda+\mu=3\cdot 2+3=9.$

Tenemos entonces que:

$(7,5,9)=2 (2,1,3)+3 (1,1,1)$ y por lo tanto $(7,5,9)\in \langle (2,1,3),(1,1,1)\rangle $.

$3.$ ¿$(1,1,2,3)\in \langle (1,1,1,4),(1,-1,1,5)\rangle $?

Buscamos $\lambda, \mu\in \mathbb R$ tales que:

$(1,1,2,3)=\lambda (1,1,1,4)+\mu (1,-1,1,5)$

Desarrollando obtenemos:

$(1,1,2,3)=(\lambda+\mu,\lambda-\mu,\lambda+\mu,4\lambda+5 \mu).$

Comparando coordenada a coordenada obtenemos que:

$\lambda+\mu=1$

$\lambda-\mu=1$

$\lambda+\mu=2$

$4 \lambda+5 \mu=3.$

Observamos que si esto ocurriera tendríamos que $\lambda+\mu=1$ y al mismo tiempo $\lambda+\mu=2$, y por lo tanto $1=2$ lo cual es una contradicción. De modo que no existen $\lambda, \mu\in \mathbb R$ que satisfagan esas condiciones y así $(1,1,2,3)\notin \langle (1,1,1,4),(1,-1,1,5)\rangle .$

$4.$ Consideremos $\mathbb R^3$ y $S=\set{(1,1,1),(1,-1,0),(1,0,0)}.$

¿Será acaso que $\langle S\rangle =\mathbb R^3$?

Sabemos que $\langle S\rangle \subseteq \mathbb R^3$. Ahora si $(a,b,c)\in \mathbb R^3$, ¿$(a,b,c)\in \langle S\rangle $?, ¿existirán $\lambda, \mu,\nu \in \mathbb R$ tales que:

$(a,b,c)=\lambda (1,1,1)+\mu (1,-1,0)+\nu (1,0,0) $?

Si esto ocurriera tendríamos entonces:

$(a,b,c)=\lambda (1,1,1)+\mu (1,-1,0)+\nu (1,0,0)$

y desarrollando, esto implicaría que:

$(a,b,c)= (\lambda+\mu+\nu ,\lambda-\mu,\lambda)+\nu (1,0,0)$

Comparando coordenada a coordenada obtendríamos que:

$\lambda+\mu+\nu =a$

$\lambda-\mu=b$

$\lambda=c$

Así $\lambda=c$. Como además $\lambda-b=\mu$, entonces $\mu=c-b$. Finalmente sustituyendo los valores de $\lambda=c$ y $\mu=c-b$ en la primera ecuación obtenemos que:

$\nu=a-\mu-\lambda=a-(c-b)-c=a-c+b-c=a+b-2c.$

Así:

$(a,b,c)=c (1,1,1)+(c-b) (1,-1,0)+(a+b-2c)(1,0,0)$.

Concluimos que $\mathbb R^3\subseteq \langle S\rangle $ y por lo tanto $\langle S\rangle =\mathbb R^3$. Decimos entonces que $S$ es un generador de $ \mathbb R^3$.

Importante

Si $W\subseteq \langle S\rangle $ pero $W\neq \langle S\rangle $, entonces el generado de $S$ no es $W$.

Por ejemplo:

Si $W=\set{(a,a)\mid a\in \mathbb R}$ y $S=\set{(1,0),(0,1)}$, el generado de $S$, es $\mathbb R^2=\langle S\rangle $, observa que $W\subseteq \langle S\rangle $, pero $S$ no genera a $W$, si no a algo más amplio que es $\mathbb R^2$.

Tarea Moral

$1.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Determina si el vector $v$ pertenece al subespacio $W$ dado.

$i)$ $v=(2,-3,7)$ y $W=\langle (1,0,0),(1,-1,0),(1,-1,-1)\rangle .$

$ii)$ $v=(1,-4,3,-1)$ y $W=\langle (1,1,1,0),(1,0,1,1)\rangle .$

$2.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Describe al subespacio $W=\langle (3,1,2),(-4,-5,1)\rangle .$

Más adelante

En la siguiente nota veremos los conceptos de dependencia e independencia lineal.

Enlaces relacionados

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Nota anterior. Nota 28 Combinaciones lineales.

Nota siguiente. Nota 30. Dependencia e independencia lineal.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la presente nota definiremos lo que son las combinaciones lineales de los elementos de un subconjunto de $\mathbb R^n$, veremos que si iniciamos con cualquier subconjunto no vacío de $\mathbb R^n$ y consideramos todas sus combinaciones lineales, este conjunto tendrá siempre la estructura de espacio vectorial.

Iniciemos con la definición de combinaciones lineales.

Definición

Sean $m\in \mathbb N^+$ y $v_1,\dotsc,v_m\in \mathbb R^n$, una combinación lineal de $v_1,\dotsc,v_m$ es una expresión de la forma:

$\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_m v_m$

con $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.

De modo más general, si $S$ es un subconjunto de $\mathbb R^n$, una combinación lineal de vectores de $S$ es un vector de la forma:

$\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_m v_m$,

con $v_1,\dotsc,v_m\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.

Ejemplos

$1.$ Considera al conjunto $S=\set{(1,0,0),(1,-1,0),(1,1,-1)}.$

$2(1,0,0)-(1,-1,0)+5(1,1,-1)=(6,6,-5)$

$-3(1,0,0)+0(1,-1,0)+(1,1,-1)=(-2,1,-1)$

$0(1,0,0)+(1,-1,0)+5(1,1,-1)=(6,4,-1)$

son combinaciones lineales de vectores de $S.$

$2.$ Considera al conjunto $S=\set{ (1,2,0,5),(-1,3,2,-\frac{1}{2}) }.$

$4(1,2,0,5)+9(-1,3,2,-\frac{1}{2})=(-5,35,18,\frac{39}{2})$

es una combinación lineal de vectores de $S$.

$3.$ Considera al conjunto $S=\set{(\frac{1}{n},\frac{1}{n})\mid n\in \mathbb N^+}$. Observa que

$S=\set{(1,1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2}),(\frac{1}{3},\frac{1}{3})\dotsc}.$

Entonces

$2(\frac{1}{2} , \frac{1}{2})+3(\frac{1}{6} ,\frac{1}{6} )-4(\frac{1}{12}, \frac{1}{12})=(\frac{7}{6} , \frac{7}{6})$

es una combinación lineal de vectores de $S$.

Importante

Aunque el conjunto $S$ sea infinito, en una combinación lineal sólo se usa una cantidad finita de vectores de $S$.

Proposición

Sea $S$ un subconjunto no vacío de $\mathbb R^n$. El conjunto de todas las combinaciones lineales de $S$, que denotamos por $\mathscr C(S)$, cumple lo siguiente:

$i)$ Es un subespacio de $\mathbb R^n$, es decir $\mathscr C(S)\leq \mathbb R^n$.

$ii)$ Contiene al conjunto $S$, es decir $S\subseteq \mathscr C(S)$.

$iii)$ El conjunto $\mathscr C(S)$ está contenido en cualquier subespacio $W$ de $\mathbb R^n$ que contenga a $S$.

Demostración

Demostración de $i)$.

Por demostrar que $\mathscr C(S)\leq \mathbb R^n$.

Como $S\neq \emptyset$, sea $v\in S$. Tenemos que $\bar{0}=0v\in \mathscr C(S).$

Sean $v,w\in \mathscr C(S)$, por demostrar que $v+w\in \mathscr C(S).$

Como $v,w\in \mathscr C(S)$ tenemos que

$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n$, con $n\in \mathbb N^+$, $v_1,\dotsc,v_n\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n\in \mathbb R$, y

$w= \mu_1 w_1+\dotsc+ \mu_m w_m$, con $m\in \mathbb N^+$, $w_1,\dotsc,w_m\in S$ y $\mu_1,\dotsc,\mu_m\in \mathbb R$.

Entonces

$v+w=(\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n) + (\mu_1 w_1+\dotsc+ \mu_m w_m)$

por lo cual la suma $v+w$ es otra combinación lineal de elementos de $S,$ y por lo tanto $v+w\in \mathscr C(S)$.

Sea $v\in \mathscr C(S)$ y $\gamma\in \mathbb R.$

Por demostrar que $\gamma v\in \mathscr C(S).$

Como $v\in \mathscr C(S)$ tenemos que

$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n$, con $n\in \mathbb N^+$, $v_1,\dotsc,v_m\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.

Observa entonces que:

$\gamma v=\gamma (\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n)=(\gamma \lambda_1) v_1+\dotsc+ (\gamma \lambda_n )v_n$

que también es una combinación lineal de los elementos de $S$ y por lo tanto $\gamma v\in \mathscr C(S)$.

Y como $\bar{0}\in \mathscr C(S)$, $v+w\in \mathscr C(S)$ para todos $v,w\in \mathscr C(S)$, y $\gamma v\in \mathscr C(S)$ para todo $\gamma \in \mathbb R$ y todo $ v\in \mathscr C(S)$, concluimos que $\mathscr C(S)$ es un subespacio de $\mathbb R^n$.

Demostración de $ii)$

Por demostrar que $S\subseteq \mathscr C(S)$.

Sea $v\in S$, por demostrar que $v\in \mathscr C(S)$.

Como $v=1v$, entonces es una combinación lineal y por tanto $v\in \mathscr C(S)$, así $S\subseteq \mathscr C(S)$.

Demostración de $iii)$

Sea $W$ un subespacio de $\mathbb R^n$ que contiene a $S$, es decir tal que $S\subseteq W$.

Por demostrar que $\mathscr C(S)\subseteq W.$

Sea $v\in \mathscr C(S).$

$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n$, con $n\in \mathbb N^+$, $v_1,\dotsc,v_m\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.

Para cada $i$, $v_i\in S$ y $S\subseteq W$, entonces $v_i\in W$ para todo $i$.

Como $W$ es un subespacio vectorial el producto por escalares es cerrado y entonces $\lambda_i v_i\in W$ para todo $i$, además la suma es cerrada en $W$ por lo que:

$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n\in W$.

Por lo tanto $\mathscr C(S)\subseteq W$.

Tarea Moral

$1.$ Sea $S=\set{(1,1,1),(-4,-4,-4)}$. En caso de ser posible, halla $3$ subespacios de $\mathbb R^3$ que contengan a $S$, si no es posible explica por qué.

$2$. Sea $S=\set{(2,-5,3),(4,-1,0)}$. En caso de ser posible, encuentra $3$ subespacios de $\mathbb R^3$ que contengan a $S$, si no es posible explica por qué.

Más adelante

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Nota anterior. Nota 27. Subespacios vectoriales.

Nota siguiente. Nota 29. Subespacio generado.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Un subespacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial, que mantiene la estructura de espacio vectorial, procederemos a identificarlos para el espacio vectorial $\mathbb R^n$.

Un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^n$ es un conjunto de vectores que satisface ciertas propiedades y forma una estructura algebraica dentro del espacio vectorial $\mathbb{R}^n$. En pocas palabras, es un conjunto de vectores contenidos en $\mathbb{R}^n$ que es cerrado bajo la adición de vectores y la multiplicación por escalares.

Formalmente, un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^n$ es un conjunto $W$ de vectores en $\mathbb{R}^n$ que cumple con tres propiedades:

1. Contiene el vector cero: El vector cero, denotado por $\bar{0}$, siempre pertenece al subespacio vectorial $W$. Es decir, $\bar{0} \in W$.
2. Cerrado bajo la adición: Si $u$ y $v$ son vectores en $W$, entonces la suma $u + v$ también pertenece a $W$. Es decir, $u + v \in W$ para cualquier $u,v \in W$.
3. Cerrado bajo la multiplicación por escalares: Si $w$ es un vector en $W$ y $\lambda$ es un escalar, entonces el producto escalar $\lambda\,w$ también pertenece a $W$. Es decir, $\lambda w \in W$ para cualquier $w \in W$ y cualquier escalar $\lambda$.

Estas tres propiedades aseguran que el subespacio vectorial $W$ es un conjunto que contiene el vector cero, es cerrado bajo la adición de vectores y la multiplicación por escalares.

Los subespacios vectoriales de $\mathbb{R}^n$ pueden tener dimensiones diferentes. Un subespacio vectorial unidimensional, por ejemplo, sería una línea recta que pasa por el origen en $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$. Un subespacio vectorial bidimensional sería un plano que pasa por el origen, y así sucesivamente. Estos subespacios pueden ser utilizados para describir y analizar diversas propiedades y estructuras geométricas en el espacio vectorial $\mathbb{R}^n$.

Prueba moviendo los puntos $A$ y $B$ de los vectores en rojo y verde, observa que cualquier combinación de esos vectores se queda contenida en el plano y que se ilustra con el vector en color negro. Todas las combinaciones lineales de los vectores en rojo y el verde dan origen a un plano que pasa por el origen, este lugar geométrico tiene la característica de ser un sub espacio vectorial de $\mathbb R^3$.

Definición

Sea $W$ un subconjunto de $\mathbb R^n$. Decimos que $W$ es un subespacio de $\mathbb R^n$ si:

i) $\bar{0}\in W$.

ii) $u+v\in W\,\,\,\,\forall u,v\in W$.

iii) $\lambda w\in W\,\,\,\,\forall \lambda \in \mathbb R\,\,\,\,\forall w \in W$.

Notación

$W\leq \mathbb R^n$ denotará que $W$ es un subespacio de $\mathbb R^n$.

Ejemplos

1. $\set{(x,y,0)\mid x,y\in \mathbb R}\leq \mathbb R^n$.

2. $\set{\bar{0}}\leq \mathbb R^n$.

3. $\mathbb R^n\leq \mathbb R^n$.

4. $W=\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid 2x-y+3z-w=0}$.

Demostración de 4

Tenemos que probar que el conjunto $W$ satisface las $3$ condiciones de la definición.

Satisface la propiedad $i$ pues $\bar{0}\in W$, ya que: $2\cdot 0-0+3\cdot 0-0=0$.

Veamos que satisface también la propiedad $ii$, es decir que $u+v\in W\,\,\,\,\forall u,v\in W$.

Sean $u,v\in W$, si $u=(x,y,z,w)$ y $v=(a,b,c,d)$, entonces por ser elementos de $W$ cumplen que:

$2x-y+3z-w=0$

$2a-b+3c-d=0$

Sumando estas expresiones obtenemos $2(x+a)-(y+b)+3(z+c)-(w+d)=0$, haciendo evidente que el vector $(x+a,y+b,x+c,w+d)\in W$, pero $(x+a,y+b,x+c,w+d)=(x,y,z,w)+(a,b,c,d)=u+v$, y por lo tanto $u+v\in W$.

Veamos que satisface la propiedad $iii$, es decir que $W$ es un conjunto cerrado bajo producto por escalares.

Sean $u=(x,y,z,w)\in W,$ $\lambda\in \mathbb R$.

Por demostrar que $\lambda w\in W$.

Como $u\in W$ entonces:

$2x-y+3x-w=0.$

Multiplicando por $\lambda$ obtenemos:

$\lambda (2x-y+3x-w)=0$

y entonces:

$2(\lambda x)-(\lambda y)+3(\lambda z)-(\lambda w)=0$.

Esto nos muestra que el vector $(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda w)\in W$, y como $(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda w)=\lambda (x,y,z,w)=\lambda u,$ concluimos que $\lambda u\in W$.

Observación

Nota que la definición de subespacio vectorial se puede acortar.

Si $W\subseteq \mathbb R^n$, tenemos que $W\leq \mathbb R^n$ si y sólo si se cumplen:

I) $\bar{0}\in W$

II) $\lambda u+v\in W\,\,\,\,\forall u,v\in W\,\,\,\,\forall \lambda\in \mathbb R^n$.

La demostración queda como tarea moral.

Proposición

La intersección de dos subespacios de $\mathbb R^n$ es un subespacio de $\mathbb R^n$.

Demostración

Sean $U,W$ subespacios de $\mathbb R^n$.

Por demostrar que $U\cap W$ es un subespacio de $\mathbb R^n$. Usaremos para ello la observación anterior.

Como $U$ y $W$ son subespacios, $\bar{0}\in U$ y $\bar{0}\in W$, por lo tanto $\bar{0}\in U\cap W$.

Sean $\lambda \in \mathbb R$, $v_1,v_2\in \mathbb R^n$, por demostrar que $\lambda v_1+v_2\in U\cap W$

Como $v_1,v_2\in U$ y $v_1,v_2\in W$, por ser $U$ y $W$ subespacios tenemos que:

$\lambda v_1+v_2\in U$ y $\lambda v_1+v_2\in W.$

Y por lo tanto $\lambda v_1+v_2\in U\cap W$.

Como se cumplieron las propiedades I y II tenemos que $U\cap W\leq \mathbb R^n$.

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Demostrar la observación de la nota.

$2.$ Sea $W$ un subconjunto de $\mathbb R^n$. Para que $W$ sea un subespacio de $\mathbb R^n$ ¿es necesario pedir que $\bar{0}\in W$ o se puede deducir de que $W$ es cerrado bajo producto escalar?

$3.$ Sea $W$ un subconjunto de $\mathbb R^2$. Prueba o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:

a) Si $W$ es cerrado bajo la suma y $\bar{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de $\mathbb R^2$.

b) Si $W$ es cerrado bajo producto por escalares y $\bar{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de $\mathbb R^2$.

c) Si $W$ es cerrado bajo la suma, bajo inversos aditivos y ademas $\bar{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de $\mathbb R^2$.

$4.$ Determina cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios de los correspondientes $\mathbb R^n$.

i) $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x\, y\, z=0}$.

ii) $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x+ y+ z=-x}$.

iii) $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid y\geq 0}$.

iv) $\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid x+y+3z-1=-7}$.

v) $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid \, z\,\,\,es\,\,\,racional}$.

Más adelante

En la siguiente nota veremos el concepto de combinaciones lineales.

Enlaces relacionados

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Nota anterior.Nota 26. Propiedades de $\mathbb R^n$.

Nota siguiente. Nota 28. Combinaciones lineales.

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Introducción

Con esta nota empezamos la unidad 3, haremos el estudio de un tipo particular de estructura algebraica llamada espacio vectorial, el plano y el espacio cartesiano tienen esta estructura de espacio vectorial, seguramente en este momento de tu educación ya los has utilizado; ahí los vectores son representados con flechas dirigidas a un punto. Podemos sumar esos vectores o flechas, y multiplicarlos por números reales para cambiarles su tamaño o sentido.

Veremos que no sólo $\mathbb R^2$ y $\mathbb R^3$ son espacios vectoriales, si no que $\forall n\in \mathbb N$, se cumple que $\mathbb R^n$ es un espacio vectorial. Primero estableceremos dos operaciones llamadas suma y producto por escalar, y luego veremos que estas operaciones cumplen ciertas propiedades.

No será objeto de estudio de este curso, la construcción y propiedades de los números reales, pero es importante aclarar que el conjunto $\mathbb R$ también tiene una estructura particular denominada campo. Mencionemos, sin profundizar más en ello, las propiedades que cumplen los números reales con las operaciones de suma y producto, debido a las cuales se le llama un campo.

Empecemos entonces por esta importante nota.

Nota

$\mathbb R$ es un conjunto con dos operaciones binarias, $+$ y $\cdot$, en el que se cumplen las siguientes propiedades:

Con estas propiedades satisfechas decimos que $\mathbb R$ es un campo y a sus elementos les llamamos escalares.

El siguiente teorema nos hará evidente que $\mathbb R^n$ es un espacio vectorial, pues se verán satisfechas $8$ propiedades de sus dos operaciones, que hacen que un conjunto $V$, en este caso, $V=\mathbb R^n$ cumpla con ser un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb R$.

Teorema

El conjunto $\mathbb R^n$ con las operaciones de suma $\oplus$ y producto por escalar $\odot$ definidas como:

La suma de dos vectores se suma coordenada a coordenada.

$(x_1,\dotsc,x_n)\oplus (y_1,\dotsc,y_n)=(x_1+y_1,\dotsc,x_n+y_n)$

En el siguiente recurso de geogebra puedes jugar moviendo $u$ y el vector $v$, y obteniendo su suma geométricamente en $\mathbb R^2$.

La multiplicación por escalares multiplica cada una de las coordenadas.

$\lambda \odot (x_1,\dotsc,x_n)=(\lambda x_1,\dotsc,\lambda x_n)$

$\forall (x_1,\dotsc,x_n),(y_1,\dotsc,y_n)\in \mathbb R^n\,\;y\,\;\forall \lambda \in \mathbb R$

Con estas dos operaciones $\mathbb R^n$ cumple la siguiente lista de propiedades y por lo tanto será llamado un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb R$ o un $\mathbb R$-espacio vectorial:

1. $(u\oplus v)\oplus w=u\oplus (v\oplus w)\,\,\,\,\forall u,v,w\in \mathbb R^n$, es decir la suma es asociativa.

2. $u\oplus v=v\oplus u\,\,\,\forall u,v\in \mathbb R^n$, es decir la suma es conmutativa.

3. $\exists \bar{0}\in \mathbb R^n$ tal que $u\oplus \bar{0}=\bar{0}\oplus u=u\,\,\,\forall u\in \mathbb R^n$, a $\bar{0}$ se le llama un neutro aditivo de $\mathbb R^n$.

4. Para todo $u\in \mathbb R^n$ existe $\tilde{u}\in \mathbb R^n$, tal que $u\oplus \tilde{u}=\tilde{u}\oplus u=\bar{0}$, a $\tilde{u}$ se le llama un inverso aditivo de $u$.

Estas primeras $4$ propiedades refieren únicamente a la suma $\oplus$, tendremos otras dos que se refieren sólo al producto por escalar:

5. $1\odot v=v\,\,\,\, \forall v\in \mathbb R^n$, existencia del neutro multiplicativo.

6. $\lambda\odot (\mu\odot v)=(\lambda\mu)\odot v \,\,\,\, \forall v\in \mathbb R^n\,\;\forall \lambda,\mu\in \mathbb R$, asociatívidad del producto.

Y por último dos propiedades que son la distributividad del producto sobre la suma, tanto de escalares como de $n-$adas.

7. $(\lambda+\mu)\odot v=\lambda\odot v\oplus \mu\odot v\,\;\forall \lambda,\mu\in \mathbb R\,\;\forall v\in \mathbb R^n$.

8. $\lambda\odot(v\oplus u)=\lambda\odot v\oplus\lambda\odot u\,\;\forall \lambda\in \mathbb R\,\;\forall v,u\in \mathbb R^n$.

Como veremos inmediatamente $\mathbb R^n$ satisface esas propiedades y se dice entonces que $\mathbb R^n,\oplus,\odot$ es un espacio vectorial sobre el campo$\mathbb R$, o un $\mathbb R$-espacio vectorial, a los elementos de $\mathbb R^n$ les llamaremos vectores.

Demostración de que $\mathbb R^n$ con sus operaciones $\oplus$ y $\odot$, cumple las $8$ propiedades dadas anteriormente.

Mostraremos las propiedades 2,3,4,6,7 y las propiedades 1,5 y 8 se dejan como tarea moral.

Demostración de 2

Sean $u=(x_1,\dotsc, x_n),v=(y_1,\dotsc, y_n)\in \mathbb R^n,\,\,\,\,\lambda,\mu\in \mathbb R$.

Por demostrar que $u\oplus v=v\oplus u.$

Por definición de la suma tenemos que:

$u\oplus v=(x_1,\dotsc, x_n)\oplus(y_1,\dotsc, y_n)=(x_1+y_1,\dotsc,x_n+y_n).$

Las sumas que aparecen en cada entrada son sumas en $\mathbb R$, y dado que la suma en $\mathbb R$ es conmutativa se tiene que $x_i+y_i=y_i+x_i$ para todo $1\leq i\leq n$, de forma que:

$(x_1+y_1,\dotsc,x_n+y_n)=(y_1+x_1,\dotsc,y_n+x_n).$

Y de nuevo por la definición de suma en $\mathbb R^n$ tenemos que:

$(y_1+x_1,\dotsc,y_n+x_n)=(y_1,\dotsc, y_n)\oplus(x_1,\dotsc, x_n)=v\oplus u.$

Por lo tanto concluimos que:

$u\oplus v=v\oplus u$.

Y así mostramos que la operación $\oplus$ es conmutativa.

Demostración de 3

Por demostrar que $\exists \bar{0}\in \mathbb R^n$ tal que $u\oplus \bar{0}=\bar{0}\oplus u=u\,\,\,\forall u\in \mathbb R^n.$

Propongamos al vector con sus $n$ entradas cero como neutro, es decir, consideremos $\bar{0}=(0,\dotsc,0)\in \mathbb R^n$.

Dado $u=(x_1,\dotsc, x_n)\in \mathbb R^n$ tenemos que:

$u\oplus\bar{0}=(x_1,\dotsc, x_n)\oplus(0,\dotsc, 0)$

y por la definición de suma en $\mathbb R^n$

$u\oplus\bar{0}=(x_1,\dotsc, x_n)\oplus(0,\dotsc, 0)=(x_1+0,\dotsc, x_n+0).$

Como $0$ es el neutro de $\mathbb R$ tenemos que $x_i+0=x_i$ para todo $1\leq i\leq n$, por lo tanto:

$u\oplus\bar{0}=(x_1,\dotsc, x_n)\oplus(0,\dotsc, 0)=(x_1+0,\dotsc, x_n+0)=(x_1,\dotsc, x_n)=u.$

Finalmente usando la conmutatividad que se probó en $2$ tenemos que $\bar{0}\oplus u=u\oplus \bar{0}=u$.

Demostración de 4

Sea $u=(x_1,\dotsc,x_n).$

Por demostrar que existe $\tilde{u}\in \mathbb R^n$, tal que $u\oplus \tilde{u}=\tilde{u}\oplus u=\bar{0}.$

Proponemos $\tilde{u}=(-x_1,\dotsc,-x_n).$ Tenemos que

$u\oplus \tilde{u}=(x_1,\dotsc,x_n)\oplus \left(-x_1,\dotsc,-x_n)=(x_1+(-x_1),\dotsc,x_n+(-x_n)\right).$

Como $-x_i$ es el inverso aditivo de $x_i$ en $\mathbb R$ para todo $1\leq i\leq n$, tenenemos que $x_i+(-x_i)=0$ para todo $1\leq i\leq n$. Concluimos que:

$u\oplus \tilde{u}=(x_1,\dotsc,x_n)\oplus \left(-x_1,\dotsc,-x_n)=(x_1+(-x_1),\dotsc,x_n+(-x_n)\right)=(0,\dotsc,0).$

Finalmente usando la conmutatividad que se probó en $2$ tenemos que $\tilde{u}\oplus u=u\oplus \tilde{u}=\bar{0}$.

Por lo tanto cada $u\in \mathbb R^n$ tiene un inverso aditivo.

Demostración de 6

Por demostrar que $\lambda\odot (\mu\odot v)=(\lambda\mu)\odot v \,\,\,\, \forall v\in \mathbb R^n\,\;\forall \lambda,\mu\in \mathbb R$.

Como $\lambda\odot (\mu\odot v)=\lambda\odot (\mu\odot(y_1,\dotsc,y_n))$, por definición del producto en $\mathbb R^n$ tenemos que

$\lambda\odot (\mu\odot v)=\lambda\odot (\mu\odot(y_1,\dotsc,y_n))=\lambda\odot (\mu y_1,\dotsc,\mu y_n).$

Aplicando de nuevo la definición de producto en $\mathbb R^n$ tenemos que:

$\lambda\odot (\mu\odot v)=\lambda\odot (\mu\odot(y_1,\dotsc,y_n))=\lambda\odot (\mu y_1,\dotsc,\mu y_n)=(\lambda(\mu y_1),\dotsc,\lambda(\mu y_1))$.

En virtud de la asociatividad del producto en $\mathbb R$ tenemos que $\lambda(\mu y_i)=(\lambda\mu) y_i$ para todo $1\leq i\leq n$, y así:

$\begin{align*} \lambda\odot (\mu\odot v)&=\lambda\odot (\mu\odot(y_1,\dotsc,y_n))=\lambda\odot (\mu y_1,\dotsc,\mu y_n)=(\lambda(\mu y_1),\dotsc,\lambda(\mu y_1))\\&=((\lambda\mu )y_1),\dotsc,(\lambda\mu) y_n).\end{align*}.$

Y por la definición del producto en $\mathbb R^n$ tenemos que:

$((\lambda\mu )y_1,\dotsc,(\lambda\mu) y_n)=(\lambda\mu)\odot(y_1,\dotsc,y_n)=(\lambda\mu)\odot v$.

Siguiendo la cadena de igualdades concluimos que:

$\lambda\odot (\mu\odot v)=(\lambda\mu)\odot v$.

Demostración de 7

Por demostrar que $(\lambda+\mu)\odot v=\lambda\odot v\oplus \mu\odot v\,\;\forall \lambda,\mu\in \mathbb R\,\;\forall v\in \mathbb R^n$.

Por definición del producto por escalar en $\mathbb R^n$ tenemos que:

$(\lambda+\mu)\odot v=(\lambda+\mu)\odot (y_1,\dotsc,y_n)=((\lambda+\mu)y_1,\dotsc,(\lambda+\mu)y_n).$

Gracias a la distributividad en el campo $\mathbb R$ tenemos que $(\lambda+\mu)y_i=\lambda y_i+\mu y_i$ para todo $1\leq i\leq n$ y así:

$((\lambda+\mu)y_1,\dotsc,(\lambda+\mu)y_n)=(\lambda y_1+\mu y_1,\dotsc,\lambda y_n+\mu y_n).$

Por la definición de la suma en $\mathbb R^n$ tenemos que:

$(\lambda y_1+\mu y_1,\dotsc,\lambda y_n+\mu y_n)=(\lambda y_1,\dotsc,\lambda y_n)\oplus (\mu y_1,\dotsc,\mu y_n).$

Usando la definición del producto en $\mathbb R^n$:

$\begin{align*}(\lambda y_1+\mu y_1,\dotsc,\lambda y_n+\mu y_n)&=(\lambda y_1,\dotsc,\lambda y_n)\oplus (\mu y_1,\dotsc,\mu y_n)\\ &=\lambda\odot (y_1,\dotsc, y_n)\oplus\mu\odot (y_1,\dotsc, y_n)=\lambda\odot v\oplus \lambda\odot v .\end{align*}$

Podemos concluir entonces que:

$(\lambda+\mu)\odot v=\lambda\odot v\oplus \mu\odot v$

que es lo que queríamos demostrar.

$\square$

Tarea Moral

1. Demostrar los puntos $1,5,8$ del teorema.

2. Consideremos$\mathbb R^2$, con la operación suma $\boxplus$ y producto por escalar $\boxdot$ definidos como sigue:

i) $(x,y)\boxplus (z,w)= (x+z,y+w)$ y $\lambda\boxdot (x,y)=(\lambda x,y)$

ii) $(x,y)\boxplus (z,w)= (x-z,y-w)$ y $\lambda\boxdot (x,y)=(-\lambda x,\lambda y)$

iii) $(x,y)\boxplus (z,w)= (x+z,0)$ y $\lambda\boxdot (x,y)=(\lambda x,0)$

para $(x,y),(z,w)\in \mathbb R^2$ y $\lambda\in \mathbb R$.

En cada caso analiza cuáles de las $8$ propiedades del espacio vectorial $\mathbb R^2$ con las operaciones usuales, se cumplen para $\mathbb R^2$ con estas nuevas operaciones.

3. Ve el siguiente vídeo para ampliar tu idea de lo que es un vector.

Más adelante

En la siguiente nota veremos algunas propiedades de estos $\mathbb R$-espacios vectoriales $\mathbb R^n$.

Enlaces relacionados.

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Nota anterior. Nota 24. El triángulo de Pascal y el binomio de Newton.

Nota siguiente. Nota 26. Propiedades de $\mathbb R^n$.