(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Una matriz es una estructura de datos matemática que se compone de una colección ordenada de números, llamados elementos, dispuestos en filas y columnas. Las matrices se utilizan en numerosas áreas de las matemáticas, la física, la informática, la ingeniería y otras disciplinas para representar datos, realizar cálculos y resolver problemas. Las matrices pueden ser sumadas, multiplicadas, invertidas y transformadas mediante operaciones matriciales para obtener información relevante. Las matrices también se utilizan en la representación de sistemas lineales de ecuaciones y en el análisis de datos en forma de tablas o conjuntos de variables.

Ve el siguiente video:

Definición

Una matriz $A$ con $m$ renglones y $n$ columnas y entradas en un conjunto $K$; es una función:

$A:\set{1,2,\dotsc,m}\times \set{1,2,\dotsc,n}\to K.$

Decimos en este caso que $A$ es una matriz de tamaño $m\times n$ o simplemente una matriz $m\times n$.

A $A(i,j)$ se le llama la entrada $i\,j$ de $A$.

Decimos que $A$ es una matriz cuadrada si $m=n$, que es una matriz renglón si $m=1$, y que es una matriz columna si $n=1.$

Notación

$A(i,j)$ se denotará por $A_{ij}$ o por $a_{ij}$

$A$ se describira mediante una tabla con $m$ renglones y $n$ columnas.

$A=\begin{equation*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \end{equation*}=(a_{ij})$

Nota: Usualmente consideraremos $K=\mathbb R$, o de modo más general $K$ un campo.

Ejemplos

$1.$ Considera la siguiente matriz:

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 0 & \frac{1}{2}\\ 4 & \pi \\ -7 & 0 \\ \end{array} \right) \end{equation*}$.

Es una matrix de tamaño $3\times 2$.

$A_{11}=0,\,A_{12}=\frac{1}{2},\,A_{21}=4,\,A_{22}=\pi,\,A_{31}=-7,\,A_{32}=0.$

$2.$ Considera la siguiente matriz:

$B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 5\\ 5 & -2 \\ \end{array} \right)\end{equation*}$.

Es una matriz de $2\times 2$, es decir una matriz cuadrada .

$B_{11}=1,\,B_{12}=5,\,B_{21}=5,\,B_{22}=-2.$

$3.$ Considera la siguiente matriz:

$C=\begin{equation*} \left(\begin{array}{r} 3 \\ 9 \\ -5\\ \end{array} \right)\end{equation*}$.

Es una matriz de $3\times 1$, es decir una matriz columna .

$C_{11}=3,\,C_{21}=9,\,C_{31}=-5.$

$4.$ Considera la siguiente matriz:

$D=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -3 & 4\\ \end{array} \right) \end{equation*}$.

Es una matriz de $1\times 4$, es decir una matriz renglón.

$D_{11}=1,\,D_{12}=2,\,D_{13}=-3,\,D_{14}=4.$

Definición

Sea $A$ una matriz $m\times n$, $B$ una matriz $r\times s.$

Decimos que $A$ es igual a $B$ si: $m=r,\,n=s$ y $A_{ij}=B_{ij}\,\,\, \forall i\in \set{1,\dotsc, n},\,\,\,\forall j\in \set{1,\dotsc, n}.$

Es decir dos matrices son iguales si tienen la misma cantidad de renglones, la misma cantidad de columnas, y coinciden entrada a entrada.

Definición

Sean $A$ y $B$ matrices $m\times n$ con entradas en $\mathbb R$. La suma de $A$ y $B$ es la matriz $A+B$ de $m\times n$ tal que $(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}.$

Dado $\lambda\in \mathbb R$ el producto escalar de $\lambda$ por $A$ es la matriz $\lambda A$ de $m\times n$ tal que $(\lambda A)_{ij}=\lambda A_{ij}.$

Notación.

$\mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)=\set{A\mid A\,\,es\,\,una\,\,matriz\,\,m\times n\,\,con\,\,entradas\,\,reales}.$

Ejemplos

$1.$ $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 0 & 4\\ 3 & \frac{1}{2} & 1 & -5 \end{array} \right) \end{equation*}$, $ B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 2 & 0 & -3 & -5\\ 7 & 1 & \frac{1}{4} & 2 \end{array} \right) \end{equation*}$.

$A+B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 3 & -2 & -3 & -1\\ 10 & \frac{3}{2} & \frac{5}{4} & -3 \end{array} \right) \end{equation*}.$

Si $\lambda =2$

$\lambda A=2 A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 2 & -4 & 0 & 8\\ 6 & 1 & 2 & -10 \end{array} \right) \end{equation*}.$

$2.$ $A=\begin{equation*}\left(\begin{array}{rr} 1 & \frac{1}{2}\\ 0 & \frac{1}{3} \end{array} \right) \end{equation*}$, $ B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 2 & 0\\ 4 & 8 \end{array} \right) \end{equation*}.$

$A+B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 3 & \frac{1}{2}\\ 4 & \frac{25}{3} \\ \end{array} \right) \end{equation*}.$

Si $\lambda =\frac{1}{4}$

$\lambda B=\frac{1}{4} B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} \frac{1}{2} & 0\\ 1 & 2 \end{array} \right) \end{equation*}.$

Proposición

Sean $A,B,C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R),\,\,\lambda,\mu \in \mathbb R .$

Se cumplen las siguientes propiedades:

$1.$ $(A+B)+C=A+(B+C)$

$2.$ $A+B=B+A$

$3.$ Existe $\theta \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ tal que:

$A+\theta=\theta+A=A\,\,\,\forall A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$.

$4.$ Para cada $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ existe $\tilde{A}\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ tal que:

$A+\tilde{A}=\tilde{A}+A=\theta$

$5.$ $1A=A\,\,\forall A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$

$6.$ $\lambda(\mu A)=(\lambda\mu)A$

$7.$ $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$

$8.$ $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$

Con estas propiedades satisfechas$\mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$, es un $\mathbb R$-espacio vectorial.

El neutro aditivo $\theta$ es único y es la matriz de ceros. La prueba de la unicidad se deja de tarea moral.

El inverso aditivo de $A$ es único y es $(-1)A$, se denota por $-A$. Esta prueba se deja de tarea moral.

Vamos a probar las propiedades 1,3,7. Las demás son también directas. Recuerda no confundir las operaciones entre matrices, con las operaciones en los números reales.

Demostración de la propiedad $1$

Sean $A,B,C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R),\,\,\lambda, \mu \in \mathbb R .$

Por demostrar que $(A+B)+C=A+(B+C).$

Como $A+B\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ entonces $(A+B)+C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$.

Como $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $B+C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ entonces $A+(B+C)\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$

Considera a $i \in \set{1,\dotsc,m},\,\, j \in \set{1,\dotsc,n}$

	Explicación de las igualdades
$(A+(B+C))_{ij}=$	Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $A+(B+C).$
$=A_{ij}+(B+C)_{ij}$	Por definición de suma de matrices.
$=A_{ij}+(B_{ij}+C_{ij})$	Por definición de suma de matrices.
$=(A_{ij}+B_{ij})+C_{ij}$	Por asociatividad en $\mathbb R.$
$=(A+B)_{ij}+C_{ij}$	Por definición de suma de matrices.
$=((A+B)+C)_{ij}$	Por definición de suma de matrices.

Por lo tanto $A+(B+C)$ y $(A+B)+C$ son matrices del mismo tamaño y para toda $i$ y para toda $j$ tenemos que $(A+(B+C))_{ij}=((A+B)+C)_{ij}$. Así $A+(B+C)=(A+B)+C.$

Demostración de la propiedad $3$

Sea $\theta\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ tal que $\theta_{ij}=0\,\,\forall i,j$. Sea $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$

Por demostrar que $A+\theta=\theta +A=A.$

Sabemos que $A+\theta\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$. Sean $i \in \set{1,\dotsc,m},\,\, j \in \set{1,\dotsc,n}.$

	Explicación de las igualdades
$(A+\theta)_{ij}=$	Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $A+\theta .$
$=A_{ij}+\theta_{ij}$	Por definición de suma de matrices.
$=A_{ij}+0$	Por definición de $\theta$: $\theta_{ij}=0,\,\,\,\forall i,j.$
$=A_{ij}$	$0$ es el neutro en $\mathbb R .$

Por lo tanto $A+\theta$ y $A$ son matrices del mismo tamaño y para toda $i$ y para toda $j$ tenemos que $(A+\theta)_{ij}=A_{ij}$. Así, $A+\theta=A$. Análogamente $\theta +A=A.$

Demostración de la propiedad $7$

Por demostrar que $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A.$

Sabemos que $(\lambda+\mu)A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$. Sean $i \in \set{1,\dotsc,m},\,\, j \in \set{1,\dotsc,n}.$

	Explicación de las igualdades
$((\lambda+\mu)A)_{ij}=$	Partimos un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $(\lambda+\mu)A.$
$=(\lambda+\mu)A_{ij}$	Por definición del producto de matrices.
$=\lambda A_{ij}+\mu A_{ij}$	Por la distributividad en $\mathbb R.$
$=(\lambda A)_{ij}+(\mu A)_{ij}$	Por definición del producto de matrices.
$=(\lambda A+\mu A)_{ij}$	Por definición de suma de matrices.

Por lo tanto $(\lambda+\mu)A$ y $\lambda A+\mu A$ son matrices del mismo tamaño y para toda $i$ y para toda $j$ tenemos que $((\lambda+\mu)A)_{ij}=(\lambda A+\mu A)_{ij}$. Así, $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A.$

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Considera la matriz:

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} \frac{4}{3} & -9 & 7 & -1 \\ -\frac{2}{3} & -3 & 4 & 0 \\ 1 & 22 & -11 & \pi \\ \end{array} \right)\end{equation*}$

$i)$ Encuentra el tamaño de $A.$

$ii)$ Determina cuál es la entrada $A_{24}.$

$iii)$ Expresa al primer renglón de $A$ como una matriz renglón y a la tercera columna de $A$ como una matriz columna, indicando en cada caso el tamaño de ambas matrices.

$2.$ Considera las siguientes matrices:

$A=\begin{equation*}\left(\begin{array}{rrr} -3 & 5 & 2 \\ 7 & -4 & 11 \\ \end{array} \right) \end{equation*}$ y $B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 6 & -\frac{3}{4} & 0 \\ 4 & 1 & -5 \\ \end{array} \right) \end{equation*}$

Obtén $-7A+B$ y encuentra la matriz $X$ tal que $\frac{1}{5}B+4X=-A.$

$3.$ Compara las propiedades de suma y producto por escalar de matrices con las de $\mathbb R^n.$

$4.$ Prueba que el neutro aditivo de $\mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ es único.

$5.$ Prueba que cada $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ tiene un único inverso aditivo.

$6.$ Sean $A,B,C \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $\lambda\in \mathbb R$. Prueba o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones.

$i)$ Si $A+C=B+C$, entonces $A=B.$

$ii)$ Si $\lambda A$ es la matriz nula, entonces $\lambda=0.$

$iii)$ Si $\lambda A=A$, entonces $\lambda=1.$

$iv)$ $(-1)A$ es el inverso aditivo de $A.$

$7.$Sea $n\in \mathbb N$. ¿Podremos sumar $A\,\,\,n\,\,\,veces$, sin importar qué tan grande sea $n$?, ¿podremos sumar $A$ una infinidad de veces?

Más adelante

En la siguiente nota definiremos la multiplicación de matrices, así como la matriz identidad, las matrices inversas y las transpuestas.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 32. Dimensión de un $\mathbb R-$espacio vectorial

Enlace a la nota siguiente. Nota 34. Multiplicación de matrices, identidad, inversas y transpuesta.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la presente nota entenderemos lo que es la dimensión de un espacio vectorial. Ésta será la cardinalidad de cualquiera de sus bases, y está bien definida ya que como hemos visto todas las bases tienen la misma cantidad de elementos. Así como podemos completar un conjunto linealmente independiente de $V$ agregando vectores hasta obtener una base de $V$, también podemos a partir de un conjunto generador $\gamma$ de $V$ obtener una base de $V$ quitando vectores.

Definición

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. La dimensión de $V$ es la cardinalidad de cualquiera de sus bases.

Notación: $dim_{\mathbb R}V$ o simplemente $dim\,\,V$.

Ejemplos

$1.$ $dim\,\,\mathbb R^n=n$ ya que $\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es una base de $\mathbb R^n$.

$2.$ Considera el siguiente subespacio de $\mathbb R^2$

$\begin{align*} V &=\set{(x,y)\in \mathbb R^2\mid x+3y=0}\\ \, &=\set{(x,y)\in \mathbb R^2\mid x=-3y}\\ \, &=\set{(-3y,y)\in \mathbb R^2\mid y\in \mathbb R}\\ \, &=\set{y(-3,1)\in \mathbb R^2\mid y\in \mathbb R}\\ \, &=\langle (-3,1) \rangle .\\ \end{align*}$

Así, $\set{(-3,1)}$ genera a $V$, y como además $\set{(-3,1)}$ es $l.i$ entonces es una base de $V$. Por lo tanto $dim\,\,V=1.$

$3.$ Considera el siguiente subespacio de $\mathbb R^4$

$\begin{align*} W &=\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid 3x+2y-z+4w=0}\\ \, &=\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid x= -\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}z-\frac{4}{3}w }\\ \, &=\bigg\{ \left( -\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}z-\frac{4}{3}w ,y,z,w\right) \in \mathbb R^4\mid y,z,w\in \mathbb R\bigg\} \\ &=\bigg\{ y \left(-\frac{2}{3},1,0,0\right)+z \left(\frac{1}{3},0,1,0\right)+w \left(-\frac{4}{3},0,0,1\right)\in \mathbb R^4\mid y,z,w\in \mathbb R\bigg\}\\ \, &=\bigg\langle \left(-\frac{2}{3},1,0,0\right), \left(\frac{1}{3},0,1,0\right), \left(-\frac{4}{3},0,0,1\right) \bigg\rangle .\\ \end{align*}$

Así, $\big\{ \left(-\frac{2}{3},1,0,0\right), \left(\frac{1}{3},0,1,0\right), \left(-\frac{4}{3},0,0,1\right) \big\}$ genera a $W$, y como además $\big\{ \left(-\frac{2}{3},1,0,0\right), \left(\frac{1}{3},0,1,0\right), \left(-\frac{4}{3},0,0,1\right) \big\}$ es $l.i$ entonces es una base de $W$ y por lo tanto $dim\,\,W=3.$

Lema

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$ y $v_1,\dotsc,v_m\in V$ distintos tales que $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ es $l.d.$ Entonces existe $v_j\in \set{v_1,\dotsc,v_m}$ tal que $\langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle=\langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle.$

Demostración

Sean $V\leq \mathbb R^n$ y $v_1,\dotsc,v_m\in V$ distintos tales que $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ es $l.d.$ Existen entonces $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$ no todos nulos tales que:

$\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_m v_m=\bar{0}.$

Como $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m$ no son todos nulos, sea $\lambda_j\neq 0$, así:

$\begin{align} v_j &=-\frac{\lambda_1}{\lambda_j}v_1-\cdots- \frac{\lambda_{j-1}}{\lambda_j}v_{j-1}-\frac{\lambda_{j+1}}{\lambda_j}v_{j+1}-\cdots-\frac{\lambda_{m}}{\lambda_j}v_{m} \\ \label{ec1} \, &=\sum_{i\in\{1,\dots ,m\}, i\neq j} -\frac{\lambda_i}{\lambda_j}v_i . \\ \end{align}$

Sabemos que $ \langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle \subseteq \langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle.$

Ahora si $w\in \langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle$ existen $\mu_1,\dotsc,\mu_m \in \mathbb R$ tales que:

$\begin{align*} w &=\mu_1v_1 + \cdots + \mu_j v_j+\cdots+\mu_m v_m .\\ \end{align*}$

y sustituyendo $v_j$ de acuerdo a su expresión en \ref{ec1}

$\begin{align*} w &= \mu_1v_1 + \cdots + \mu_j \sum_{i\in\{1,\dots ,m\}, i\neq j} -\frac{\lambda_i}{\lambda_j}v_i +\cdots+\mu_m v_m . \\ \end{align*}$

Entonces $w$ es una combinación lineal del conjunto $\set{v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m}$ y por lo tanto $w\in \langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle$, probando con ello que $ \langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle \subseteq \langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle .$ Así tenemos la igualdad buscada:

$\langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle=\langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle.$

$\square$

Teorema

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Todo conjunto generador finito de $V$ se puede reducir a una base de $V$.

Demostración

Sea $V\leq \mathbb R^n$, $v_1,\dotsc,v_m\in V$ distintos tales que $S=\set{v_1,\dotsc,v_m}$ genera a $V$.

Si $S$ es $l.i.$, entonces es una base de $V$.

Si $S$ es $l.d.$, por el lema existe $v_j\in S$ tal que $\langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle=\langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle=V.$

Si $\{ v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \}$ es $l.i.$, entonces es una base de $V$.

Si $\{ v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \}$ es $l.d.$ continuamos con este procedimiento hasta obtener un subconjunto $\beta$ de $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ $l.i.$ y tal que $\langle \beta \rangle=V$. $\beta$ será entonces una base de $V$.

$\square$

Corolario

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$ de dimensión $m$ entonces:

$a)$ Cualquier conjunto generador de $V$ con $m$ elementos es una base de $V$.

$b)$ Cualquier conjunto linealmente independiente con $m$ elementos es base de $V$.

Demostración

La demostración se deja como tarea moral.

Teorema

Sean $V$ y $W$ subespacios de $\mathbb R^n$ con $W\subseteq V$.

$a)$ Toda base de $W$ se puede completar a una base de $V.$

$b)$ $dim\, W\leq dim\, V.$

$c)$ Si $dim\, W=dim\,V$, entonces $W=V.$

Demostración

Demostración de $a)$

Esta demostración es consecuencia del corolario de la nota anterior.

Demostración de $b)$

Sean $\gamma$ una base de $W$ y $\beta$ una base de $V$. Como $\gamma$ es $l.i.$ en $V$ y $\beta$ es un generador de $V$ por la una nota en la entrada anterior se tiene que $dim\,W=\#\gamma\leq \#\beta=dim\,V.$

Demostración de $c)$

Supongamos que $dim\, W=dim\,V=m.$

Sea $\gamma$ una base de $W$. Sabemos que $\gamma$ es $l.i.$ en $V$ con $dim\,W=m$. Por el corolario anterior $\gamma$ es una base de $V$, y entonces $W=\langle \gamma \rangle=V$.

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales y el subespacio:

$W=\langle (1,-7,-5), (2,10,2),(-3,-11,-1),(1,5,1) \rangle .$

Encuentra una base de $W$ reduciendo el conjunto generador dado.

$2.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales y los subespacios de $\mathbb R^3$ dados por:

$W=\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid y=-2x,z=-3x}$

$V=\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x+2y=z}.$

Encuentra una base para cada subespacio y determina con ello su dimensión.

$3.$ Demuestra el corolario de la presente nota.

Más adelante

Con esta nota terminamos la unidad 3, en la siguiente y última unidad haremos un estudio de las matrices y sus determinantes.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 31. Bases de $\mathbb R^n$.

Enlace a la nota siguiente. Nota 33. Matrices.

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Introducción

En la presente nota veremos el concepto de base de un espacio vectorial, veremos que es un conjunto de vectores linealmente independiente, cuyo generado nos da el espacio vectorial. Precisemos esto y demos la definición.

Definición

Sean $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$ y $\beta$ un subconjunto de $V$. Decimos que $\beta$ es una base de $V$ si genera a $V$ y es linealmente independiente. Decimos que $V$ es de dimensión finita si tiene una base finita.

Ejemplos

$1.$ En este ejemplo obtendremos la base para el espacio vectorial $\mathbb R^n$. Considera el vector cuyas entradas son todas cero excepto la $i$-ésima que es uno:

$e_i=(0,\dotsc,1,\dotsc,0).$

Veamos que $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es $l.i.$ Sean $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n\in \mathbb R^n$ tales que:

$\lambda_1 e_1+\dotsc +\lambda_n e_n =\bar{0}.$

Entonces tenemos

$\lambda_1 (1,0,\dotsc, 0) + \lambda_2 (0,1,\dotsc, 0)+ \cdots + \lambda_n (0,0,\dotsc,0,1)= (0,0,\dotsc, 0).$

Desarrollando resulta que

$(\lambda_1,\lambda_2,\dotsc,\lambda_n)=(0,0,\dotsc, 0)$

y comparando coordenada a coordenada concluimos que

$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0.$

Y por lo tanto $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es $l.i.$

Veamos que $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ genera a $\mathbb R^n$. Sabemos que $\langle \mathscr C \rangle \subseteq \mathbb R^n$ ya que $e_1,\dotsc,e_n\in \mathbb R^n$, y por lo tanto toda combinación lineal de ellos es un vector en $\mathbb R^n $.

Ahora si $ (x_1,x_2,\dotsc, x_n)\in \mathbb R^n$

$(x_1,x_2,\dotsc,x_n)=x_1(1,0,\dotsc,0)+x_2(0,1,\dotsc,0)+\dotsc+x_n(0,0,\dotsc,1).$

Observa que $x_1(1,0,\dotsc,0)+x_2(0,1,\dotsc,0)+\dotsc+x_n(0,0,\dotsc,1)$ es una combinación lineal de los elementos de $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$, es decir $x_1(1,0,\dotsc,0)+x_2(0,1,\dotsc,0)+\dotsc+x_n(0,0,\dotsc,1)\in \langle \mathscr C \rangle$. Así, cualquier vector en $\mathbb R^n$ es un elemento en $ \langle \mathscr C \rangle$, es decir $\mathbb R^n \subseteq \langle \mathscr C \rangle$.

Concluimos que $\mathbb R^n = \langle \mathscr C \rangle$.

Como el conjunto $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es linealmente independiente y genera a $\mathbb R^n$, es una base de $\mathbb R^n$, se le llama la base canónica de $\mathbb R^n$.

$2.$ Consideremos el subespacio de $\mathbb R^3$ dado por $W=\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x-y+2z=0}$. Busquemos una base de $W$.

Notemos que si $(x,y,z)\in W$, entonces $ x-y+2z=0$, o bien:

$x=y-2z.$

Así, $(x,y,z)=(y-2z,y,z)=y(1,1,0)+z(-2,0,1).$

Entonces

$W=\set{y(1,1,0)+z(-2,0,1)\mid y,z\in \mathbb R}=\langle (1,1,0), (-2,0,1) \rangle .$

Con ello hemos probado que el conjunto $S=\{(1,1,0),(-2,0,1)\}$ genera a $W$, así que sólo falta ver que es un conjunto linealmente independiente para verificar que es una base de $W$.

Para ver que $S$ es linealmente independiente veamos que la única manera de obtener al vector cero como combinación lineal de $(1,1,0),(-2,0,1)\in W$, es la trivial. Pero esto es cierto pues si $\lambda,\mu \in \mathbb R$ son tales que

$\lambda(1,1,0)+\mu(-2,0,1)=(0,0,0)$,

desarrollando tenemos que:

$(\lambda-2\mu,\lambda,\mu)=(0,0,0)$

y comparando coordenada a coordenada obtenemos que

$\begin{align} \lambda-2\mu &=0\\ \lambda &=0\\ \mu &=0.\\ \end{align}$

Por lo tanto $\lambda=\mu=0$.

Así $S=\set{(1,1,0),(-2,0,1)}$ es $l.i.$

Concluimos que $S$ es un conjunto de vectores $l.i$ y $\langle S \rangle=W$, entonces $S$ es una base de $W$. Así, $S=\set{(1,1,0),(-2,0,1)}$ es una base de $W$.

Entendamos un poco más quién es $W$. Observamos que de hecho $W$ es un plano que pasa por el origen, y tanto $(1,1,0)$ como $(-2,0,1)$ son vectores en dicho plano. $W$ es entonces el plano definido por estos dos vectores. Notemos que cualquier combinación lineal de $(1,1,0)$ y $(-2,0,1)$ será también un vector en el plano $W$ y todo vector en $W$ se puede obtener como una combinación lineal de dichos vectores. Además, como $(1,1,0)$ y $(-2,0,1)$ no son colineales, por el lema de la nota previa forman un conjunto linealmente independiente.

Observa en el siguiente recurso de geogebra cómo cualquier combinación lineal de los vectores $(1,1,0),(-2,0,1)$, es un elemento del plano que pasa por el origen y la punta de los dos vectores en color rosa. Este plano está en color azul, mientras que el plano en color gris es el plano $xy$.

Puedes mover los puntos $A$ y $B$ y ver que el generado de esos vectores, es un plano que pasa por el origen. Mueve $A$ y $B$ de manera que sean colineales y constata que el generado en ese caso se limita a una recta.

Nota

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Si $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ genera a $V$, todo conjunto $l.i$ de $V$ tiene a lo más $m$ elementos. En consecuencia todo conjunto $l.i$ de $\mathbb R^n$ tiene a lo más $n$ elementos.

Lema

Sea $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ un conjunto $l.i$ en $\mathbb R^n$. Si $w\in \mathbb R^n$ es tal que $w\notin \langle v_1,\dotsc,v_m \rangle$ entonces $\set{v_1,\dotsc,v_m,w}$ es $l.i.$

Demostración

Sean $\set{v_1,\dotsc,v_m}\subseteq \mathbb R^n$ un conjunto $l.i$ y $w\in \mathbb R^n$ con $w\notin \langle v_1,\dotsc,v_m \rangle$.

Sean $\lambda_1,\dotsc, \lambda_{m+1}\in \mathbb R$ tales que

$\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_m v_m+\lambda_{m+1} w=\bar{0}.$

Si $\lambda_{m+1}\neq 0$ tendríamos que

$w=-\frac{\lambda_1}{\lambda_{m+1}}v_1-\cdots-\frac{\lambda_m}{\lambda_{m+1}}v_m,$

entonces $w$ sería una combinación lineal de los elementos del conjunto $\set{v_1,\dotsc,v_m}$, y por lo tanto $w\in \langle v_1,\dotsc,v_m \rangle$. Pero esto es una contradicción a las hipoótesis, así $\lambda_{m+1}=0$, de donde $\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_m v_m=\bar{0}$ y como $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ es $l.i.$ tenemos que $\lambda_1=\lambda_1=\cdots=\lambda_m= \lambda_{m+1}=0$ y por lo tanto $\set{v_1,\dotsc,v_m,w}$ es $l.i.$

$\square$

Teorema

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Existe $\beta$ una base de $V$.

Demostración

Sea $V\leq \mathbb R^n$. Si $V=\set{\bar{0}}$, $\emptyset $ es $l.i$ y $\langle \emptyset \rangle =\set{\bar{0}}=V$.

Si $V\neq \set{\bar{0}}$ existe $v_1\in V$ tal que $v_1\neq \bar{0}.$

Puede suceder que $\langle v_1 \rangle=V$ en cuyo caso $\set{v_1}$ es una base de $V$.

Si $\langle v_1 \rangle\subsetneq V$, sea $v_2\in V\setminus \langle v_1 \rangle$. Por el lema antes probado $\set{v_1,v_2}$ es $l.i.$

Si $\set{v_1,v_2}$ genera a $V$, $\set{v_1,v_2}$ es una base de $V$.

Si $\langle v_1,v_2 \rangle\subsetneq V$, sea $v_3\in V\setminus \langle v_1,v_2 \rangle$. Por el lema antes probado $\set{v_1,v_2,v_3}$ es $l.i.$

Continuando de este modo obtenemos conjuntos $\set{v_1,\dotsc,v_t}\,\,\, l.i. $ en cada paso.

Por la nota $t\leq n$ así que el proceso es finito y en algún momento obtenemos que $\set{v_1,\dotsc,v_m}\subseteq V$ un conjunto $l.i$ que genera a $V$, por lo tanto es una base de $V$.

$\square$

Corolario

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Todo conjunto $l.i$ de $V$ se puede completar a una base de $V$.

Demostración

Esta demostración queda como tarea moral

Teorema

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Todo subconjunto $l.i$ de $V$ se puede completar a una base de $V$.

Demostración

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Todas las bases de $V$ son finitas y tienen el mismo número de elementos.

Demostración

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$, y sean $\beta,\beta’ $ bases de $V$.

Por la nota $\beta$ y $\beta’ $ son finitas y además:

$\beta $ es $l.i$ y $\beta’$ genera a $V$ entonces $\#\beta \leq \#\beta’$.

$\beta’ $ es $l.i$ y $\beta$ genera a $V$ entonces $\#\beta’ \leq \#\beta$.

Y por lo tanto $\#\beta =\#\beta’$.

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales y el subconjunto de $\mathbb R^3$ indicado en cada inciso. Encuentra una base de $\mathbb R^3$ que contenga a $S$:

$i)$ $S=\set{(1,0,1)}.$

$ii)$ $S=\set{(-2,1,5),(3,0,2)}.$

$2.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Encuentra al menos tres bases para el subespacio $W=\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x-3y+4z=0}$. ¿Cuántos elementos tienen estas bases?

$3.$ Encuentra bases para los siguientes subespacios del correspondiente $\mathbb R^n$ visto como espacio vectorial sobre los reales:

$i)$ $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid 3x-2y+5z=0}$

$ii)$ $\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid x=y+w}$

Más adelante

En la siguiente nota veremos el concepto de dimensión de un espacio vectorial.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 30. Dependencia e independencia lineal

Enlace a la nota siguiente. Nota 32. Dimensión de un $\mathbb R-$ espacio vectorial

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la siguiente nota veremos cuándo un conjunto de vectores en $\mathbb R^n$ es linealmente dependiente o linealmente independiente , veremos que esta idea está íntimamente relacionada a distinguir cuándo un conjunto de vectores tiene entre sus elementos algún vector que sea combinación lineal de los otros.

Definición

Sea $S=\set{v_1,\dotsc,v_m}\subseteq \mathbb R^n$ con $m$ vectores.

El conjunto es linealmente dependiente si existen $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$ no todos nulos tales que:

$\lambda_1 v_1+\dotsc +\lambda_m v_m=\bar{0}$

Decimos que es linealmente independiente si

$\lambda_1 v_1+\dotsc +\lambda_m v_m=\bar{0}$, entonces $\lambda_1=\cdots=\lambda_m=0$.

Es decir, la única manera de obtener una combinación lineal de esos vectores igual al vector cero, es si en ella todos los vectores están multiplicados por cero.

Abreviaremos $l.d$ o $l.i$ respectivamente.

Ejemplos

$1.$ Sean $v_1=(2,4),v_2=(-1,5),v_3=(-2,-4)$ vectores de $\mathbb R^2$.

Como $(0,0)=v_1+v_3=1 v_1+0 v_2+1 v_3+0 v_4$, el conjunto $\set{v_1,v_2,v_3,v_4}$ es $l.d.$

$2.$ Sean $v_1=(-1,2,4),v_2=(1,8,8),v_3=(1,3,2)$ vectores de $\mathbb R^3$.

Como $(0,0)=v_1-v_2+2 v_3 =1 v_1+(-1) v_2+2 v_3$, el conjunto $\set{v_1,v_2,v_3}$ es $l.d.$

$3.$ Sean $v_1=(-2,1,0,1),v_2=(1,0,-1,0),v_3=(0,1,3,2)$ vectores de $\mathbb R^4$. ¿Es $\set{v_1,v_2,v_3}$ linealmente independiente?

Sean $\lambda,\mu, \nu \in \mathbb R$ tales que:

$\lambda (-2,1,0,1)+\mu (1,0,-1,0)+\nu (0,1,3,2)=(0,0,0,0)$

Desarrollando la expresión anterior obtenemos que:

$(-2\lambda+\mu,\lambda+\nu,-\mu+3\nu,\lambda+2 \nu)=(0,0,0,0)$

Comparando coordenada a coordenada obtenemos:

$\begin{align} -2\lambda+\mu &=0\\ \lambda+\nu &=0\\-\mu+3\nu &=0\\ \lambda+2 \nu &=0 \end{align}$

Restando la ecuación $2$ a la $4$ tenemos que $\nu=0$, y entonces por la ecuación $3$ tenemos que $\mu=3\nu=3\cdot 0=0$. Además de la ecuación $2$ sabemos que $\lambda=-\nu=-0=0$, de forma que $\lambda=\mu=\nu=0$ y por lo tanto el conjunto $\set{v_1,v_2,v_3}$ es linealmente independiente.

Observa que lo que hemos tratado de exhibir en estos ejemplos para probar si un conjunto de vectores $v_1,\dotsc,v_m \in \mathbb R^n$ distintos, es $l.d$ o $l.i$, consiste en ver si existen $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m \in \mathbb R$ no todos nulos tales que $\lambda_1 v_1+\dotsc+\lambda_m v_m=\bar{0}$, o si la única forma de que $\lambda_1 v_1+\dotsc +\lambda_m v_m=\bar{0}$, es que $\lambda_1=\dotsc=\lambda_m =0$. En el primer caso el conjunto es $l.d$ y en el segundo $l.i.$

Observación 1

Sean $S$ y $S’$ subconjuntos finitos de $\mathbb R^n $ con $S’\subseteq S$.

$a)$ Si $S’$ es $l.d$, entonces $S$ es $l.d$.

$b)$ Si $S$ es $l.i$, entonces $S’$ es $l.i$.

Demostración de $a)$.

Sean $S’\subseteq S\subseteq \mathbb R^n$ con $S$ y $S’$ finitos. Entonces los conjuntos son de la forma

$S=\set{v_1,\dotsc,v_t}$

$S’=\set{v_1,\dotsc,v_t,v_{t+1},\dotsc,v_m}.$

Supongamos que $S’$ es $l.d$. Así, existen $\lambda_1,\dotsc,\lambda_t\in\mathbb R$ no todos nulos tales que $\lambda_1 v_1+\dotsc+\lambda_t v_t=\bar{0}$.

Tenemos entonces que $\lambda_1 v_1+\dotsc+\lambda_t v_t+0 v_{t+1}+\dotsc+0 v_m =\bar{0}$ con $\lambda_1,\dotsc,\lambda_t,0\in \mathbb R$ no todos nulos, por lo tanto $S$ es $l.d.$

Demostración de $b)$.

Es la contrapuesta de $a)$.

$\square$

Observación 2

Dos vectores en $\mathbb R^n $ forman un conjunto $l.d$ si y sólo si uno es múltiplo del otro.

Demostración

$\Longrightarrow$ Demostración de la implicación de ida

Supongamos que $\set{u,v}$ es $l.d$. Entonces existen $\lambda, \gamma \in \mathbb R$ no ambos nulos tales que $\lambda u+\gamma v=\bar{0}$, si $\lambda \neq 0$ tenemos que $u=-\frac{\gamma}{\lambda} v$, si $\gamma \neq 0$ tenemos que $v=-\frac{\lambda}{\gamma} u$.

$\Longleftarrow$ Demostración de la implicación de regreso

Sin pérdida de generalidad supongamos que $u=\mu v$ con $\mu\in \mathbb R$, entonces $1u+(-\mu)v=\bar{0}$ con $1\neq 0$. Así $\set{u,v}$ es $l.d$.

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Determina si los siguientes conjuntos son $l.i$.

$i.$ $\set{(1,2,4),(0,0,3),(0,1,7)}$

$ii.$ $\set{(1,2,4),(0,0,3),(0,1,7)}$

$2.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^2$ sobre el campo de los reales. ¿Para qué valores de $k$ el conjunto $\set{(3k,2),(-k,k+1)}$ es $l.i$?.

$3.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Sea $S=\set{v_1,v_2,v_3}$ un subjconjunto de $\mathbb R^3$ tal que ningun vector en él es múltiplo de otro. ¿Es $S$ linealmente independiente?

$4.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^n$ sobre el campo de los reales. Sea $S=\set{v_1,\dotsc,v_m}$ un subjconjunto de $\mathbb R^n$ tal que todo subconjunto de $S$ con $m-1$ vectores es linealmente independiente. ¿Es $S$ linealmente independiente?

Más adelante.

En la siguiente nota estudiaremos el concepto de base de un espacio vectorial, nuestro espacio vectorial en este curso es $\mathbb R^n$.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 29. Subespacio generado

Enlace a la nota siguiente. Nota 31. Bases de $\mathbb R^n$