Nota 29. Subespacio generado

Por Julio César Soria Ramírez

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la nota anterior vimos que si consideramos las combinaciones lineales de un conjunto $S\subseteq \mathbb R^n$, este conjunto al que denotamos $\mathscr C(S)$ tiene estructura de subespacio vectorial. En la presente nota continuaremos con el estudio de subespacios vectoriales y definiremos lo que es un subespacio generado por un conjunto de vectores.

Definición

Sea $S$ un subconjunto de $\mathbb R^n$. El subespacio de $\mathbb R^n$ generado por $S$ es el conjunto de combinaciones lineales de $S$, si $S\neq \emptyset$, o bien $\set{\bar{0}}$, si $S=\emptyset$.

Se denota por $\langle S \rangle$ (en algunos textos lo denotan por $Span(S)$.

Decimos que $S$ genera a $\langle S\rangle $ o que $S$ es un conjunto generador de $\langle S \rangle $.

Notación

Sean $m$ un natural positivo y $v_1,\dotsc,v_m\in \mathbb R^n.$

$\langle \set{v_1,\dotsc,v_m}\rangle$ se denota por $\langle v_1,\dotsc,v_m\rangle .$

Ejemplos

$1.$ Consideremos $\mathbb R^3$

$S=\set{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}=\set{e_1,e_2,e_3}.$

Claramente $\langle S\rangle \subseteq \mathbb R^3$. Además, si $(a,b,c)\in \mathbb R^3$

$(a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,01)\in \langle S\rangle .$

Concluimos que $\langle S\rangle =\mathbb R^3$ y decimos entonces que $S$ genera a $\mathbb R^3$.

$2.$ ¿El vector $(7,5,9)$ se encuentra en el generado por el conjunto $S=\set{(2,1,3),(1,1,1)}$?, es decir

¿$(7,5,9)\in \langle (2,1,3),(1,1,1)\rangle $?

Veamos si existen $\lambda, \mu\in \mathbb R$ tales que:

$(7,5,9)=\lambda (2,1,3)+\mu (1,1,1).$

En otras palabras buscamos $\lambda, \mu\in \mathbb R$ tales que:

$(7,5,9)= (2 \lambda+\mu,\lambda+\mu,3\lambda+\mu).$

Comparando coordenada a coordenada obtenemos que:

$2 \lambda+\mu=7$

$ \lambda+\mu=5$

$3\lambda+\mu=9.$

Esto lo resolvemos restando a la ecuación $1$ la $2$, y obtenemos que:

$\lambda=2,$

y como $ \lambda+\mu=5$, entonces $\mu=5-\lambda=5-2=3$.

Además con estos valores de $\lambda$ y de $\mu$ se satisface la ecuación $3$, pues $3\lambda+\mu=3\cdot 2+3=9.$

Tenemos entonces que:

$(7,5,9)=2 (2,1,3)+3 (1,1,1)$ y por lo tanto $(7,5,9)\in \langle (2,1,3),(1,1,1)\rangle $.

$3.$ ¿$(1,1,2,3)\in \langle (1,1,1,4),(1,-1,1,5)\rangle $?

Buscamos $\lambda, \mu\in \mathbb R$ tales que:

$(1,1,2,3)=\lambda (1,1,1,4)+\mu (1,-1,1,5)$

Desarrollando obtenemos:

$(1,1,2,3)=(\lambda+\mu,\lambda-\mu,\lambda+\mu,4\lambda+5 \mu).$

Comparando coordenada a coordenada obtenemos que:

$\lambda+\mu=1$

$\lambda-\mu=1$

$\lambda+\mu=2$

$4 \lambda+5 \mu=3.$

Observamos que si esto ocurriera tendríamos que $\lambda+\mu=1$ y al mismo tiempo $\lambda+\mu=2$, y por lo tanto $1=2$ lo cual es una contradicción. De modo que no existen $\lambda, \mu\in \mathbb R$ que satisfagan esas condiciones y así $(1,1,2,3)\notin \langle (1,1,1,4),(1,-1,1,5)\rangle .$

$4.$ Consideremos $\mathbb R^3$ y $S=\set{(1,1,1),(1,-1,0),(1,0,0)}.$

¿Será acaso que $\langle S\rangle =\mathbb R^3$?

Sabemos que $\langle S\rangle \subseteq \mathbb R^3$. Ahora si $(a,b,c)\in \mathbb R^3$, ¿$(a,b,c)\in \langle S\rangle $?, ¿existirán $\lambda, \mu,\nu \in \mathbb R$ tales que:

$(a,b,c)=\lambda (1,1,1)+\mu (1,-1,0)+\nu (1,0,0) $?

Siupongamos que sí existen $\lambda, \mu,\nu \in \mathbb R$ tales que:

$(a,b,c)=\lambda (1,1,1)+\mu (1,-1,0)+\nu (1,0,0)$.

Desarrollando, esto implicaría que:

$(a,b,c)= (\lambda+\mu+\nu ,\lambda-\mu,\lambda).$

Comparando coordenada a coordenada obtendríamos que:

$\lambda+\mu+\nu =a$

$\lambda-\mu=b$

$\lambda=c$

Así, $\lambda=c$. despejando $\mu$ de la segunda ecuación tenemos que $\mu=\lambda-b$, entonces $\mu=c-b.$ Finalmente, despejando $\nu$ de la primera ecuación y sustituyendo los valores de $\lambda=c$ y $\mu=c-b$ obtenemos que:

$\nu=a-\mu-\lambda=a-(c-b)-c=a-c+b-c=a+b-2c.$

Así:

$(a,b,c)=c (1,1,1)+(c-b) (1,-1,0)+(a+b-2c)(1,0,0)$.

Concluimos que $\mathbb R^3\subseteq \langle S\rangle $ y por lo tanto $\langle S\rangle =\mathbb R^3$. Decimos entonces que $S$ es un generador de $ \mathbb R^3$.

Importante

Si $W\subseteq \langle S\rangle $ pero $W\neq \langle S\rangle $, entonces el generado de $S$ no es $W$.

Por ejemplo:

Si $W=\set{(a,a)\mid a\in \mathbb R}$ y $S=\set{(1,0),(0,1)}$, el generado de $S$, es $\mathbb R^2=\langle S\rangle $, observa que $W\subseteq \langle S\rangle $, pero $S$ no genera a $W$, si no a algo más amplio que es $\mathbb R^2$.

Tarea Moral

$1.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Determina si el vector $v$ pertenece al subespacio $W$ dado.

$i)$ $v=(2,-3,7)$ y $W=\langle (1,0,0),(1,-1,0),(1,-1,-1)\rangle .$

$ii)$ $v=(1,-4,3,-1)$ y $W=\langle (1,1,1,0),(1,0,1,1)\rangle .$

$2.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Describe al subespacio $W=\langle (3,1,2),(-4,-5,1)\rangle .$

Más adelante

En la siguiente nota veremos los conceptos de dependencia e independencia lineal.

Enlaces relacionados

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