(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En la nota anterior vimos que si consideramos las combinaciones lineales de un conjunto $S\subseteq \mathbb R^n$, este conjunto al que denotamos $\mathscr C(S)$ tiene estructura de espacio vectorial. En la presente nota continuaremos con el estudio de subespacios vectoriales, y haremos énfasis en una definición, la de subespacio generado por un conjunto $S$.
Demos entonces la definición de subespacio generado.
Definición
Sea $S$ un subconjunto de $\mathbb R^n$. El subespacio de $\mathbb R^n$ generado por $S$ es el conjunto de combinaciones lineales de $S$ si $S\neq \emptyset$, o bien $\set{\bar{0}}$ si $S=\emptyset$.
Se denota por $\langle S \rangle$ (en algunos textos lo denotan por $Span(S)$.
Decimos que $S$ genera a $\langle S\rangle $ o que $S$ es un conjunto generador de $\langle S \rangle $.
Notación
Sean $v_1,\dotsc,v_m\in \mathbb R^n.$
$\langle \set{v_1,\dotsc,v_m}\rangle$ se denota por $\langle v_1,\dotsc,v_m\rangle .$
Ejemplos
$1.$ Consideremos $\mathbb R^3$
$S=\set{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}=\set{e_1,e_2,e_3}.$
Claramente $\langle S\rangle \subseteq \mathbb R^3$. Además, si $(a,b,c)\in \mathbb R^3$
$(a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,01)\in \langle S\rangle .$
Concluimos que $\langle S\rangle =\mathbb R^3$ y decimos entonces que $S$ genera a $\mathbb R^3$.
$2.$ ¿El vector $(7,5,9)$ se encuentra en el generado por el conjunto $S=\set{(2,1,3),(1,1,1)}$?, es decir
¿$(7,5,9)\in \langle (2,1,3),(1,1,1)\rangle $?
Veamos si existen $\lambda, \mu\in \mathbb R$ tales que:
$(7,5,9)=\lambda (2,1,3)+\mu (1,1,1).$
En otras palabras buscamos $\lambda, \mu\in \mathbb R$ tales que:
$(7,5,9)= (2 \lambda+\mu,\lambda+\mu,3\lambda+\mu).$
Comparando coordenada a coordenada obtenemos que:
$2 \lambda+\mu=7$
$ \lambda+\mu=5$
$3\lambda+\mu=9.$
Esto lo resolvemos restando a la ecuación $1$ la $2$, y obtenemos que:
$\lambda=2,$
y como $ \lambda+\mu=5$, entonces $\mu=5-\lambda=5-2=3$.
Además con estos valores de $\lambda$ y de $\mu$ se satisface la ecuación $3$, pues $3\lambda+\mu=3\cdot 2+3=9.$
Tenemos entonces que:
$(7,5,9)=2 (2,1,3)+3 (1,1,1)$ y por lo tanto $(7,5,9)\in \langle (2,1,3),(1,1,1)\rangle $.
$3.$ ¿$(1,1,2,3)\in \langle (1,1,1,4),(1,-1,1,5)\rangle $?
Buscamos $\lambda, \mu\in \mathbb R$ tales que:
$(1,1,2,3)=\lambda (1,1,1,4)+\mu (1,-1,1,5)$
Desarrollando obtenemos:
$(1,1,2,3)=(\lambda+\mu,\lambda-\mu,\lambda+\mu,4\lambda+5 \mu).$
Comparando coordenada a coordenada obtenemos que:
$\lambda+\mu=1$
$\lambda-\mu=1$
$\lambda+\mu=2$
$4 \lambda+5 \mu=3.$
Observamos que si esto ocurriera tendríamos que $\lambda+\mu=1$ y al mismo tiempo $\lambda+\mu=2$, y por lo tanto $1=2$ lo cual es una contradicción. De modo que no existen $\lambda, \mu\in \mathbb R$ que satisfagan esas condiciones y así $(1,1,2,3)\notin \langle (1,1,1,4),(1,-1,1,5)\rangle .$
$4.$ Consideremos $\mathbb R^3$ y $S=\set{(1,1,1),(1,-1,0),(1,0,0)}.$
¿Será acaso que $\langle S\rangle =\mathbb R^3$?
Sabemos que $\langle S\rangle \subseteq \mathbb R^3$. Ahora si $(a,b,c)\in \mathbb R^3$, ¿$(a,b,c)\in \langle S\rangle $?, ¿existirán $\lambda, \mu,\nu \in \mathbb R$ tales que:
$(a,b,c)=\lambda (1,1,1)+\mu (1,-1,0)+\nu (1,0,0) $?
Si esto ocurriera tendríamos entonces:
$(a,b,c)=\lambda (1,1,1)+\mu (1,-1,0)+\nu (1,0,0)$
y desarrollando, esto implicaría que:
$(a,b,c)= (\lambda+\mu+\nu ,\lambda-\mu,\lambda)+\nu (1,0,0)$
Comparando coordenada a coordenada obtendríamos que:
$\lambda+\mu+\nu =a$
$\lambda-\mu=b$
$\lambda=c$
Así $\lambda=c$. Como además $\lambda-b=\mu$, entonces $\mu=c-b$. Finalmente sustituyendo los valores de $\lambda=c$ y $\mu=c-b$ en la primera ecuación obtenemos que:
$\nu=a-\mu-\lambda=a-(c-b)-c=a-c+b-c=a+b-2c.$
Así:
$(a,b,c)=c (1,1,1)+(c-b) (1,-1,0)+(a+b-2c)(1,0,0)$.
Concluimos que $\mathbb R^3\subseteq \langle S\rangle $ y por lo tanto $\langle S\rangle =\mathbb R^3$. Decimos entonces que $S$ es un generador de $ \mathbb R^3$.
Importante
Si $W\subseteq \langle S\rangle $ pero $W\neq \langle S\rangle $, entonces el generado de $S$ no es $W$.
Por ejemplo:
Si $W=\set{(a,a)\mid a\in \mathbb R}$ y $S=\set{(1,0),(0,1)}$, el generado de $S$, es $\mathbb R^2=\langle S\rangle $, observa que $W\subseteq \langle S\rangle $, pero $S$ no genera a $W$, si no a algo más amplio que es $\mathbb R^2$.
Tarea Moral
$1.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Determina si el vector $v$ pertenece al subespacio $W$ dado.
$i)$ $v=(2,-3,7)$ y $W=\langle (1,0,0),(1,-1,0),(1,-1,-1)\rangle .$
$ii)$ $v=(1,-4,3,-1)$ y $W=\langle (1,1,1,0),(1,0,1,1)\rangle .$
$2.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Describe al subespacio $W=\langle (3,1,2),(-4,-5,1)\rangle .$
Más adelante
En la siguiente nota veremos los conceptos de dependencia e independencia lineal.
Enlaces relacionados
Nota anterior. Nota 28 Combinaciones lineales.
Nota siguiente. Nota 30. Dependencia e independencia lineal.