(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota se realizarán demostraciones de las propiedades de las operaciones que cumplen los números naturales. El objetivo de esta nota es hacer uso del quinto axioma de Peano, que estudiamos en este trabajo a partir de la construcción de los números naturales, para mostrar que estas operaciones cumplen con los principios que hemos estado utilizando desde nuestra educación inicial: existe un elemento neutro, las operaciones son asociativas, conmutativas, distributivas, entre otras.

Dado que el argumento fundamental en el que se basan las siguientes demostraciones se refiere al quinto axioma de Peano o principio de inducción, ver la nota 16, recordemos a qué se refiere. Este axioma nos dice que si un subconjunto $A$ de números naturales cumple que $0\in A$ y que cada vez que $n\in A$, también $n^{+}\in A$, entonces podemos afirmar que $A=\mathbb{N}$.

Dado que queremos demostrar que todos los naturales cumplen con alguna propiedad $P$, vamos a considerar el subconjunto $A\subseteq \mathbb{N}$ dado por $A=\{n\in \mathbb{N}\mid n\text{ cumple la propiedad }P\}$. Usaremos el quinto axioma de Peano o principio de inducción para demostrar que $A$ es el conjunto de números naturales, probando así que todos los naturales cumplen la propiedad $P$.

Estas pruebas entonces tienen dos momentos:

1. Base de inducción: En este paso verificaremos que $0\in A$, es decir, que $0$ cumple la propiedad $P$ que caracteriza a los elementos de $A$.
2. Paso inductivo: En este paso supondremos que $n\in A$, es decir, que $n$ cumple la propiedad $P$ que caracteriza a los elementos de $A$ (a esta hipótesis se le llama la hipótesis de inducción (HI)). A partir de ello demostraremos que el sucesor de $n$, que es $n^{+}$ o $n+1$, también satisface la propiedad $P$ que caracteriza a los elementos de $A$, es decir, que $n+1\in A$.

Habiendo realizado estos dos pasos podemos afirmar, gracias al quinto axioma de Peano, que $A=\mathbb{N}$ y, por lo tanto, todos los números naturales satisfacen la propiedad $P$.

Recordemos la definición de las dos operaciones básicas de los números naturales: la suma y la multiplicación, ver la nota 16.

Empecemos recordando la definición de la suma.

Definición. Suma en $\mathbb{N}$

Dado $n\in \mathbb{N}$ definimos:

$n+0=n,$

para todo $m\in \mathbb{N}$, $n+m^{+}=(n+m{)}^{+}.$

Propiedades de la suma

Sean $n,m,l\in \mathbb{N}.$

1. $0+n=n$. Neutro aditivo.
2. $(n+m)+l=n+(m+l)$. Asociatividad.
3. Si $n+l=m+l$, entonces $n=m$. Cancelación.
4. $n+m=m+n$. Conmutatividad.
5. Si $n\ne 0$ o $m\ne 0$, entonces $n+m\ne 0$

Demostración.

Demostración de la propiedad 1. El neutro aditivo.

Veamos que para cualquier natural $n$ se cumple que $0+n=0$.

Sea $A=\{n\in \mathbb{N}\mid 0+n=n\}$ y veamos que $A=\mathbb{N}$.

Base de inducción.

Observa que $0\in A$, pues por definición de la suma $0+0=0.$

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que $m\in A$, es decir que $0+m=m.$

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que $m^{+}\in A$ usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que $0+m^{+}=m^{+}.$

$$\begin{array}{rlr}0+m^{+}& =(0+m{)}^{+}& \text{(Por definición de la suma)}\\ & =m^{+}& \text{(Por hipótesis de inducción)}\end{array}$$

Entonces $m^{+}\in A$.

Así, por el quinto axioma de Peano, $A=\mathbb{N}$.

Hemos probado así que para cualquier natural $n$ se cumple que $0+n=0$.

Observación 1. Notemos que, por la definición de la suma, $n+0=n$, y nosotros acabamos de mostrar que $0+n=n$; por lo tanto, $n+0=0+n=n$, siendo así el cero el neutro de la suma en los naturales.

Demostración de la propiedad 2. Ley Asociativa de la suma.

Veamos que para cualesquiera $n,m,l\in \mathbb{N}$, se cumple que $(n+m)+l=n+(m+l)$.

Sean $n$ y $m$ cualesquiera naturales, considera el siguiente conjunto:

$A=\{l\in \mathbb{N}\mid (n+m)+l=n+(m+l)\}.$

Veamos que $A=\mathbb{N}$.

Base de inducción.

Observa que $0\in A$ pues por definición de la suma $(n+m)+0=n+m=n+(m+0)$.

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que $l\in A$, es decir que $(n+m)+l=n+(m+l)$.

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que $l^{+}\in A$ usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que $(n+m)+l^{+}=n+(m+l^{+})$.

$$\begin{array}{rlr}(n+m)+l^{+}& =((n+m)+l{)}^{+}& \text{(Por definición de suma)}\\ & =(n+(m+l){)}^{+}& \text{(Por hipótesis de inducción)}\\ & =n+(m+l{)}^{+}& \text{(Por definición de la suma)}\\ & =n+(m+l^{+})& \text{(Por definición de la suma)}\end{array}$$

De esta manera, $l^{+}\in A$.

Por el quinto axioma de Peano, $A=\mathbb{N}$, lo que implica que todos los números naturales cumplen la ley asociativa.

Demostración de la propiedad 3. Ley de cancelación de la suma.

Veamos que para cualesquiera $n,m,l\in \mathbb{N}$, si $n+l=m+l$, entonces $n=m$.

Sea $A=\{l\in \mathbb{N}\mid n+l=m+l⟹n=m\}$ y veamos que $A=\mathbb{N}$.

Base de inducción.

Observa que $0\in A$, pues si $n+0=m+0$, por definición de la suma, $n+0=n$ y $m+0=m$ teniendo entonces que $n=m$.

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que $l\in A$, es decir, que si $n+l=m+l$, entonces $n=m$.

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que $l^{+}\in A$ usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que $n+l^{+}=m+l^{+}$ implica que $n=m$. Supongamos entonces que $n+l^{+}=m+l^{+}$.

$$\begin{array}{rlr}n+l^{+}& =m+l^{+}& \text{(Partimos de esta hipótesis)}\\ (n+l{)}^{+}& =(m+l{)}^{+}& \text{(Por definición de la suma)}\\ n+l& =m+l& \text{(Por el axioma 4 de Peano)}\\ n& =m& \text{(Por hipótesis de inducción, pues ya tenemos que }n+l=m+l\text{)}\end{array}$$

De esta manera, $l^{+}\in A$.

Por el quinto axioma de Peano, $A=\mathbb{N}$, lo que implica que todos los números naturales cumplen la ley de cancelación de la suma.

Observación: La demostración de la propiedad 4 requerirá de un lema que se muestra a continuación, cuya demostración se realiza a su vez por inducción.

Lema: Para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$ se tiene que $m^{+}+n=(m+n{)}^{+}$.

Demostración:

Sea $m\in \mathbb{N}$. Consideremos

$S=\{n\in \mathbb{N}\mid m^{+}+n=(m+n{)}^{+}\}$ y veamos que $S=\mathbb{N}.$

Veamos que $S=\mathbb{N}$.

Base de inducción.

Observa que $0\in S$, pues:

$$m^{+}+0=m^{+}=(m+0{)}^{+}.$$

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que $n\in S$, es decir, que $m^{+}+n=(m+n{)}^{+}$.

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que $n^{+}\in S$ usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que $m^{+}+n^{+}=(m+n^{+}{)}^{+}$.

$$\begin{array}{rlr}{m}^{+}+n^{+}& =(m^{+}+n{)}^{+}& \text{(Por definición de la suma)}\\ & =((m+n{)}^{+}{)}^{+}& \text{(Por hipótesis de inducción)}\\ & =(m+n^{+}{)}^{+}& \text{(Por definición de la suma)}.\end{array}$$

De esta manera, $n^{+}\in S$.

Por el quinto axioma de Peano, $S=\mathbb{N}$.

En consecuencia, $m^{+}+n=(m+n{)}^{+}$ para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$.

Observa que, por definición, $(m+n{)}^{+}=m+n^{+}$, y de acuerdo a lo que acabamos de probar $m^{+}+n=(m+n{)}^{+}=m+n^{+}$.

Demostración de la propiedad 4. Ley de conmutatividad de la suma.

Veamos que para cualesquiera naturales $n$ y $m$, $m+n=n+m$

Sea $m\in \mathbb{N}$. Consideremos

$A=\{n\in \mathbb{N}\mid m+n=n+m\}$ y veamos que $A=\mathbb{N}$.

Base de inducción.

Observa que $0\in A$ se da gracias a la propiedad 1, pues $m+0=m=0+m$.

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que $n\in A$, es decir que $m+n=n+m.$

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que $n^{+}\in A$ usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que $m+n^{+}=n^{+}+m.$

$$\begin{array}{rlr}m+n^{+}& =(m+n{)}^{+}& \text{(Por definición de la suma)}\\ & =(n+m{)}^{+}& \text{(Por hipótesis de inducción)}\\ & =n^{+}+m& \text{(Por el lema)}\end{array}$$

De esta manera, $n^{+}\in A$

Por el quinto axioma de Peano, $A=\mathbb{N}$, lo que implica que todos los números naturales cumplen la ley de la conmutatividad de la suma.

Las pruebas para las propiedades de la multiplicación también se harán por inducción.

Empecemos recordando la definición de la multiplicación en $\mathbb{N}$.

Definición. Producto en $\mathbb{N}$

Dado $n\in \mathbb{N}$ definimos:

$n\cdot 0=0,$

para todo $m\in \mathbb{N}$, $n\cdot m^{+}=n\cdot m+n$.

Recordemos también que podemos escribir $nm$ en lugar de $n\cdot m$.

Propiedades del producto

Sean $n,m,l\in \mathbb{N}.$

1. $1\cdot n=n$. Neutro multiplicativo.
2. $(n+m)\cdot l=n\cdot l+m\cdot l$. Distributividad.
3. $n\cdot m=m\cdot n$. Conmutatividad.
4. $(n\cdot m)\cdot l=n\cdot (m\cdot l)$. Asociatividad.
5. Si $n\ne 0$ y $m\ne 0$, entonces $n\cdot m\ne 0$
6. Si $l\ne 0$ y $n\cdot l=m\cdot l$ entonces $n=m$. Cancelación.

Demostración de la propiedad 1. Neutro multiplicativo.

Veamos que para cualquier natural $n$ se cumple que $1\cdot n=n$.

Sea $A=\{n\in \mathbb{N}\mid 1\cdot n=n\}$ y veamos que $A=\mathbb{N}$.

Base de inducción.

$0\in A$, pues por definición del producto $1\cdot 0=0.$

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que $m\in A$, es decir que $1\cdot m=m$.

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que $m^{+}\in A$ usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que $1\cdot m^{+}=m^{+}.$

$$\begin{array}{rlr}1\cdot m^{+}& =1\cdot m+1& \text{(Por definición del producto)}\\ & =m+1& \text{(Por hipótesis de inducción)}\\ & =m^{+}& \text{(Dado que }m+1=m^{+}\text{)}\end{array}$$

Entonces $m^{+}\in A$.

Por el quinto axioma de Peano, $A=\mathbb{N}$, lo que implica que el $1$ es el neutro multiplicativo.

Observación 2. Notemos que dado $n\in \mathbb{N}$ tenemos que $$n\cdot 1=n\cdot 0^{+}=n\cdot 0+n=0+n=n,$$ y junto con lo anterior podemos afirmar que $1\cdot n=n=n\cdot 1$ para toda $n\in \mathbb{N}$. Así, $1$ es el neutro multiplicativo en los naturales.

Demostración de la propiedad 2. Ley distributiva del producto.

Veamos que para cualesquiera naturales $l,n,m$ se cumple que $(n+m)\cdot l=n\cdot l+m\cdot l$. Sean $n,m\in \mathbb{N}$ y consideremos el conjunto

$A=\{l\in \mathbb{N}\mid (n+m)\cdot l=n\cdot l+m\cdot l\}$.

Veamos que $A=\mathbb{N}$.

Base de inducción.

$0\in A$ pues:

$$\begin{array}{rlr}(n+m)\cdot 0& =0& \text{(Por definición del producto)}\\ & =n\cdot 0& \text{(Por definición del producto)}\\ & =n\cdot 0+0& \text{(Por definición de la suma)}\\ & =n\cdot 0+m\cdot 0& \text{(Por definición del producto)}\end{array}$$

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que $l\in A$, es decir que $(n+m)\cdot l=n\cdot l+m\cdot l$

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que $l^{+}\in A$ usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que $(n+m)\cdot l^{+}=n\cdot l^{+}+m\cdot l^{+}$

$$\begin{array}{rlr}(n+m)\cdot l^{+}& =(n+m)\cdot l+(n+m)& \text{(Por definición del producto)}\\ & =n\cdot l+m\cdot l+n+m& \text{(Por hipótesis de inducción)}\\ & =(n\cdot l+n)+(m\cdot l+m)& \text{(Por conmutatividad y asociatividad de la suma)}\\ & =n\cdot l^{+}+m\cdot l^{+}& \text{(Por definición del producto)}\end{array}$$

Entonces $l^{+}\in A$.

Por el quinto axioma de Peano, $A=\mathbb{N}$, lo que implica que todos los números naturales cumplen la ley de distributividad del producto.

Demostración de la propiedad 3. Conmutatividad del producto.

Se deja de Tarea Moral.

Demostración de la propiedad 4. Asociatividad del producto.

Veamos que para cualesquiera naturales $l,n,m$ se cumple que $(n\cdot m)\cdot l=n\cdot (m\cdot l)$. Para ello sean $n,m\in \mathbb{N}$ y consideremos el conjunto

$A=\{l\in \mathbb{N}\mid (n\cdot m)\cdot l=n\cdot (m\cdot l)\}.$

Veamos que $A=\mathbb{N}$.

Base de inducción.

$0\in A$ pues:

$$\begin{array}{rlr}(n\cdot m)\cdot 0& =0& \text{(Por definición del producto)}\\ & =n\cdot 0& \text{(Por definición del producto)}\\ & =n\cdot (m\cdot 0)& \text{(Por definición del producto)}\end{array}$$

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que $l\in A$, es decir que $(n\cdot m)\cdot l=n\cdot (m\cdot l)$.

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que $l^{+}\in A$ usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que $(n\cdot m)\cdot l^{+}=n\cdot (m\cdot l^{+})$

$$\begin{array}{rlr}(n\cdot m)\cdot l^{+}& =(n\cdot m)\cdot l+(n\cdot m)& \text{(Por definición del producto)}\\ & =n\cdot (m\cdot l)+n\cdot m& \text{(Por hipótesis de inducción)}\\ & =(m\cdot l)\cdot n+m\cdot n& \text{(Por conmutatividad del producto)}\\ & =(m\cdot l+m)\cdot n& \text{(Por distributividad producto)}\\ & =(m\cdot l^{+})\cdot n& \text{(Por definición del producto)}\\ & =n\cdot (m\cdot l^{+})& \text{(Por conmutatividad del producto)}\end{array}$$

entonces $l^{+}\in A$.

Por el quinto axioma de Peano, $A=\mathbb{N}$, lo que implica que todos los números naturales cumplen la ley de asociativa del producto.

Demostración de la propiedad 5.

Se deja de Tarea Moral.

Demostración de la propiedad 6. Cancelación del producto.

Veamos que para cualesquiera naturales $l,n,m$ se cumple que si $l\ne 0$, entonces, $n\cdot l=m\cdot l$ implica que $n=m.$ Dado que trabajaremos con $l\ne 0$ sabemos por un ejercicio en la nota 18 que $l$ es el sucesor de algún natural, por lo que $l=k^{+}$ para alguna $k$ natural. Así, el enunciado a probar se puede reescribir como: para cualesquiera naturales $k,n,m$ se cumple que $n\cdot k^{+}=m\cdot k^{+}$ implica que $n=m.$ Sean $n,m\in \mathbb{N}$ y consideremos el conjunto

$A=\{k\in \mathbb{N}\mid n\cdot k^{+}=m\cdot k^{+}⟹n=m\}$.

Veamos que $A=\mathbb{N}.$

Base de inducción.

$0\in A$ ya que si $n\cdot 0^{+}=m\cdot 0^{+}$, tenemos que $n\cdot 1=m\cdot 1$ y por la observación 2 sabemos $n\cdot 1=n$ y $m\cdot 1=m$, entonces $n=n\cdot 1=m\cdot 1=m$, concluyendo así que $n=m$.

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que $k\in A$, es decir que $n\cdot k^{+}=m\cdot k^{+}⟹n=m$.

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que $k^{+}\in A$ usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que $n\cdot (k^{+}{)}^{+}=m\cdot (k^{+}{)}^{+}⟹n=m$. Supongamos entonces que $n\cdot (k^{+}{)}^{+}=m\cdot (k^{+}{)}^{+}$.

$$\begin{array}{rlr}n\cdot (k^{+}{)}^{+}& =m\cdot (k^{+}{)}^{+}& \text{(Empezamos con esta hipótesis)}\\ n\cdot k^{+}+k^{+}& =m\cdot k^{+}+k^{+}& \text{(Por definición del producto)}\\ n\cdot k^{+}& =m\cdot k^{+}& \text{(Por cancelación de la suma)}\\ n& =m& \text{(Por hipótesis de inducción, pues ya tenemos que }n\cdot (k^{+})=m\cdot (k^{+})\text{)}\end{array}$$

entonces $k^{+}\in A$.

Por el quinto axioma de Peano, $A=\mathbb{N}$, y así se vale la cancelación de factores no nulos en los naturales.

Tarea Moral

1. Demostrar la propiedad 5 de la suma.
2. Demostrar que para $n^{+}\cdot m=n\cdot m+m$ $\mathrm{\forall }m\in \mathbb{N}.$
3. Demostrar la propiedad 3 del producto.
4. Demostrar la propiedad 5 del producto.
5. Revisar la demostración de la propiedad de tricotomía del orden de los números naturales en el libro de Avella y Campero que se indica en la bibliografía del curso.

Más adelante

En la siguiente nota formalizaremos la noción intuitiva que tenemos acerca del tamaño de un conjunto usando para ello funciones. Veremos que la noción intuitiva de que dos conjuntos sean del mismo tamaño se formalizará pidiendo que exista una función biyectiva entre ambos.

Enlaces relacionados.

Página principal del curso.

Nota anterior. Nota 18. El principio de inducción matemática.

Nota siguiente. Nota 19. Conjuntos equivalentes y cardinalidad.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta entrada definiremos el producto de matrices que se realiza para dos matrices $A$ y $B$ tales que el número de columnas de $A$ es igual al número de filas de $B$. Veremos que la forma de multiplicar matrices es más elaborada que la suma de matrices, pero esto se debe a que el producto así definido resulta muy útil para trabajar con matrices, en particular para representar sistemas de ecuaciones de forma matricial. Veremos qué ocurre al analizar el concepto de neutro multiplicativo y de inversos multiplicativos que conocemos para el conjunto de número reales, pero ahora en el caso de las matrices, tratando de adaptar las nociones conocidas a este nuevo contexto. Finalmente definiremos la transpuesta de una matriz $A$, que se obtiene intercambiando sus filas por columnas.

En la presente nota usaremos las propiedades del producto punto de elementos en ${\mathbb{R}}^n$ para las pruebas, puedes consultarlas en el siguiente enlace: Propiedades del producto punto.

Definición

Sean $n,m$ y $r$ naturales positivos, $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R}),B\in {\mathcal{M}}_{n\times r}(\mathbb{R})$.

El producto de $A$ con $B$ es la matriz $AB\in {\mathcal{M}}_{m\times r}(\mathbb{R})$ tal que:

$(AB{)}_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}.$

Notación:

$re{n}_{i}A=(a_{i1},\dots ,a_{in})$

$co{l}_{j}B=(b_{1j},\dots ,b_{nj}).$

Con esta notación $(AB{)}_{ij}=re{n}_{i}A\cdot co{l}_{j}B,$ es decir, la entrada $ij$ de $AB$ es el producto punto del renglón $i$ de $A$ con la columna $j$ de $B$.

Ejemplos

$1.$ $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 0& 1& 4\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 6\end{array}\right)$.

$AB=\left(\begin{array}{c}(2)(4)+(-1)(5)+3(6)\\ (0)(4)+(1)(5)+(4)(6)\end{array}\right)=$ $\left(\begin{array}{c}21\\ 29\end{array}\right)$

$3.$ $A=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 1& 3\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 3\end{array}\right)$.

$AB=\left(\begin{array}{cc}(1)(1)+(4)(2)& (1)(0)+(4)(3)\\ (1)(1)+(3)(2)& (1)(0)+(3)(3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9& 12\\ 7& 9\end{array}\right).$

Proposición

Sean $n,m,r$ y $s$ naturales positivos, $A,\bar{A}\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$, $B,\bar{B}\in {\mathcal{M}}_{n\times r}(\mathbb{R})$, $C\in {\mathcal{M}}_{r\times s}(\mathbb{R})$ y $\lambda \in \mathbb{R}.$

$a)$ $A(BC)=(AB)C.$

$b)$ $(A+\bar{A})B=AB+\bar{A}B.$

$c)$ $A(B+\bar{B})=AB+A\bar{B}.$

$d)$ $\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B).$

Demostración

Se harán las demostraciones de $b)$ y $d)$, las dos restantes quedan de tarea moral.

Sean $n,m,r$ y $s$ naturales positivos, $A,\bar{A}\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$, $B,\bar{B}\in {\mathcal{M}}_{n\times r}(\mathbb{R})$, $C\in {\mathcal{M}}_{r\times s}(\mathbb{R})$ y $\lambda \in \mathbb{R}.$

Demostración de $b)$

Por demostrar que $(A+\bar{A})B=AB+\bar{A}B.$

Observa que tanto $(A+\bar{A})B$ como $AB+\bar{A}B$ pertenecen a ${\mathcal{M}}_{m\times r}(\mathbb{R}).$

Sean $i\in \{1,\dots ,m\},j\in \{1,\dots ,r\}.$

Expresión	Explicación
$((A+\bar{A})B{)}_{ij}=$	Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $(A+\bar{A})B.$
$=re{n}_i(A+\bar{A})\cdot co{l}_{j}B$	Por definición de producto de matrices.
$=(re{n}_{i}A+re{n}_i\bar{A})\cdot co{l}_{j}B$	Por definición de suma de matrices.
$=re{n}_{i}A\cdot co{l}_{j}B+re{n}_i\bar{A}\cdot co{l}_{j}B$	Por las propiedades del producto punto.
$=(AB{)}_{ij}+(\bar{A}B{)}_{ij}$	Por definición de producto de matrices.
$=(AB+\bar{A}B{)}_{ij}$	Por definición de suma de matrices.

Así, $((A+\bar{A})B{)}_{ij}=(AB+\bar{A}B{)}_{ij}$.

Concluimos que $(A+\bar{A})B$ y $AB+\bar{A}B$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $(A+\bar{A})B=AB+\bar{A}B.$

Demostración de $b)$

Por demostrar que $\lambda (AB)=A(\lambda B).$

Tanto $\lambda (AB)$ como $A(\lambda B)$ pertenecen a ${\mathcal{M}}_{m\times r}(\mathbb{R})$.

Sean $i\in \{1,\dots ,m\},j\in \{1,\dots ,r\}.$

Expresión	Explicación
$(\lambda (AB){)}_{ij}=$	Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $\lambda (AB)$
$=\lambda (AB{)}_{ij}$	Por la definición de producto por escalar.
$=\lambda (re{n}_{i}A\cdot co{l}_{j}B)$	Por la definición de producto de matrices.
$=re{n}_{i}A\cdot (\lambda co{l}_{j}B)$	Por las propiedades del producto punto.
$=re{n}_{i}A\cdot co{l}_j(\lambda B)$	Por la definición de producto por escalar.
$=(A(\lambda B){)}_{ij}$	Por la definición de producto de matrices.

Así, $(\lambda (AB){)}_{ij}=(A(\lambda B){)}_{ij}$.

Concluimos que $\lambda (AB)$ y $A(\lambda B)$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $\lambda (AB)=A(\lambda B)$.

Definición

Sea $n$ un natural positivo. La matriz identidad de tamaño $n\times n$ es:

$I_n=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$

es decir, la matriz $n\times n$ con unos en la diagonal y ceros fuera de la diagonal.

Proposición.

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R}).$

$1.$ $A{I}_n=A.$

$2.$ $I_{m}A=A.$

La demostración se deja como tarea moral.

Definición

Sean $n$ un natural positivo, $A\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$. Decimos que $A$ es una matriz invertible si existe $B\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$ tal que:

$AB=BA=I_n.$

En este caso decimos que $B$ es una inversa de $A.$

Observación

Si $A$ es invertible su inversa es única.

Demostración

Sean $n$ un natural positivo, $A\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$ invertible, $B,C\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$ inversas de $A$. Entonces $AB=BA=I_n=AC=CA$. Así, tenemos que $AB=AC$, y multiplicando por la izquierda por $B$ a ambos lados de la igualdad tenemos que $B(AB)=B(AC)$. En virtud de la asociatividad de la multiplicación de matrices obtenemos que $(BA)B=(BA)C$, y como $BA=I_n$ se tiene que $I_{n}B=I_{n}C$. Así, $B=C$ y por lo tanto la inversa es única.

Notación: Si $A$ es invertible denotaremos por $A^{-1}$ a la matriz inversa de $A$.

Definición

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$. La transpuesta de $A$ es la matriz $A^t\in {\mathcal{M}}_{n\times m}(\mathbb{R})$ tal que:

$(A^t{)}_{ij}=A_{ji}$

Ejemplos

$1.$ $A=\left(\begin{array}{rrrr}1& 3& \pi & \frac{1}{4}\\ 0& 2& -1& 8\end{array}\right)$, $A^t=\left(\begin{array}{cr}1& 0\\ 3& 2\\ \pi & -1\\ \frac{1}{4}& 8\end{array}\right)$.

$2.$ $A=\left(\begin{array}{r}0.7\\ -1\\ 10\end{array}\right)$, $A^t=\left(\begin{array}{ccc}0.7& -1& 10\end{array}\right)$.

$3.$ $A=\left(\begin{array}{rr}2& -3\\ 3& 1\end{array}\right)$, $A^t=\left(\begin{array}{rr}2& 3\\ -3& 1\end{array}\right).$

Proposición

Sean $n,m$ y $r$ naturales positivos, $A,B\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$, $C\in {\mathcal{M}}_{n\times r}(\mathbb{R})$ y $\lambda \in \mathbb{R}$.

$a)$ $(A^t{)}^t=A.$

$b)$ $(A+B{)}^t=A^t+B^t.$

$c)$ $(\lambda A{)}^t=\lambda (A^t).$

$d)$ $(AC{)}^t=C^t{A}^t.$

Demostración

Se hará la demostración de $a)$, $b)$ y $d)$, el inciso $c)$ queda como tarea moral.

Sean $n,m$ y $r$ naturales positivos, $A,B\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$, $C\in {\mathcal{M}}_{n\times r}(\mathbb{R})$ y $\lambda \in \mathbb{R}$.

Demostración de $a)$

Observemos que $(A^t{)}^t,A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$.

Sean $i\in \{1,\dots ,m\},j\in \{1,\dots ,n\}.$

Expresión	Explicación
$((A^t{)}^t{)}_{ij}=$	Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $(A^t{)}^t.$
$=(A^t{)}_{ji}$	Por la definición de transpuesta.
$=A_{ij}$	Por la definición de transpuesta.

Así, $((A^t{)}^t{)}_{ij}=A_{ij}$.

Concluimos que $(A^t{)}^t$ y $A$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $(A^t{)}^t=A.$

Demostración de $b)$

Observemos que $(A+B{)}^t,A^t+B^t\in {\mathcal{M}}_{n\times m}(\mathbb{R})$.

Sean $i\in \{1,\dots ,n\},j\in \{1,\dots ,m\}.$

Expresión	Explicación
$((A+B{)}^t){)}_{ij}=$	Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $(A+B{)}^t.$
$=(A+B{)}_{ji}$	Por la definición de transpuesta.
$=A_{ji}+B_{ji}$	Por la definición de la suma de matrices.
$=(A^t{)}_{ij}+(B^t{)}_{ij}$	Por la definición de transpuesta.
$=(A^t+B^t{)}_{ij}$	Por la definición de la suma de matrices.

Así, $((A+B{)}^t{)}_{ij}=(A^t+B^t{)}_{ij}$.

Concluimos que $(A+B{)}^t$ y $A^t+B^t$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $(A+B{)}^t=A^t+B^t.$

Demostración de $d).$

Notemos que $(AC{)}^t,C^t{A}^t\in {\mathcal{M}}_{r\times m}(\mathbb{R}).$

Sean $i\in \{1,\dots ,r\},j\in \{1,\dots ,m\}.$

Expresión	Explicación
$((AC{)}^t{)}_{ij}=$	Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $(AC{)}^t).$
$=(AC{)}_{ji}$	Por la definición de transpuesta.
$=re{n}_{j}A\cdot co{l}_{i}C$	Por la definición del producto de matrices.
$=co{l}_j{A}^t\cdot re{n}_j{C}^t$	Por la definición de transpuesta.
$=re{n}_i{C}^t\cdot co{l}_j{A}^t$	Por la conmutatividad del producto punto.
$=(C^t{A}^t{)}_{ij}$	Por la definición del producto de matrices.

Así, $((AC{)}^t{)}_{ij}=(C^t{A}^t{)}_{ij}$.

Concluimos que $(AC{)}^t$ y $C^t{A}^t$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $(AC{)}^t=C^t{A}^t.$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Tarea Moral

$1.$ Considera las siguientes matrices:

$A=\left(\begin{array}{rr}3& 0\\ -1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{rr}4& -1\\ 0& 2\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{rrr}1& 4& 2\\ 3& 1& 5\end{array}\right)$, $D=\left(\begin{array}{rrr}1& 5& 2\\ -1& 0& 1\\ 3& 2& 4\end{array}\right)$, $E=\left(\begin{array}{rrr}6& 1& 3\\ -1& 1& 2\\ 4& 1& 3\end{array}\right).$

Calcula, si es posible: $DA-A$, $-7E$, $A(BC)$, $(4B)C+2B.$

$2.$ Una matriz cuadrada $A$ es diagonal si todos los elementos que están fuera de la diagonal principal son cero ($A_{ij}=0$ si $i\ne j$). ¿Qué ocurre al multiplicar dos matrices diagonales?

$3.$ Sean $n$ un natural positivo, $A\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$. Dado $t$ un natural positivo definimos $A^t$ como el producto de $A$ consigo misma $t$ veces. Demuestra o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:

$i)$ $(AB{)}^2=A^2{B}^2$

$ii)$ $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$

$4.$ La traza de una matriz cuadrada $A$ es la suma de los elementos de su diagonal y se denota por $tr(A)$. Calcula la traza de las matrices cuadradas del ejercicio $1.$

$5.$ Sean $n$ un natural positivo, $A,B\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$ invertibles. ¿Puedes construir una matriz inversa para $AB$ usando $A^{-1}$ y $B^{-1}$?.

$6.$ Sea $A=\left(\begin{array}{rr}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2\times 2}(\mathbb{R})$. Demuestra que si $ad-bc\ne 0$, entonces $A=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{rr}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$ es la matriz inversa de $A$.

Más adelante

En la siguiente nota veremos las operaciones elementales por renglones para matrices, definiremos una equivalencia por renglones en las matrices y notaremos que las operaciones elementales por matrices pueden expresarse como multiplicaciones por matrices adecuadas.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 33. Matrices.

Enlace a la nota siguiente. Nota 35. Operaciones elementales, matrices equivalentes y matrices elementales.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta entrada estudiaremos la operaciones elementales por renglones, que son transformaciones que se pueden aplicar a las filas de una matriz con el objetivo de simplificarla, lo que ayuda por ejemplo a resolver sistemas de ecuaciones lineales. Estas operaciones incluyen intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un número distinto de cero y sumar un múltiplo de una fila a otra fila.

Usando las operaciones elementales por renglones estableceremos una relación de equivalencia entre matrices del mismo tamaño. Las matrices equivalentes tienen propiedades algebraicas y geométricas similares. Veremos también cómo codificar la aplicación de las operaciones elementales mediante productos adecuados de matrices, para lo cual definiremos las matrices elementales. que se obtienen de una matriz identidad aplicando una sola operación elemental.

Operaciones elementales de renglones

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R}),$ $\lambda \in \mathbb{R}$ con $\lambda \ne 0$, $r,s\in \{1,\dots ,m\}$. Las operaciones elementales por renglones que podemos realizar en $A$ son de tres tipos:

$1.$ Intercambiar dos renglones $r$ y $s$.

$2.$ Multiplicar el renglón $r$ por el escalar $\lambda \in \mathbb{R},\lambda \ne 0.$

$3.$ Sumar al renglón $r$, $\lambda$ veces el renglón $s$, con $\lambda \in \mathbb{R}.$

Notación

Denotaremos por $e$ a la operación elemental y por $e(A)$ a la matriz que se obtiene de $A$ al aplicar la operación $e$.

Observación

Cada operación elemental tiene una operación elemental inversa del mismo tipo.

Ejemplos

$1.$ Considera la matriz:

$A=\left(\begin{array}{rrr}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)$.

Sea $e$ la operación elemental de sumar al primer renglón $3$ veces el segundo.

$e(A)=\left(\begin{array}{rrr}13& 17& 21\\ 4& 5& 6\end{array}\right).$

$2.$ Considera la matriz:

$B=\left(\begin{array}{rr}-1& 0\\ 2& 4\\ 3& 5\end{array}\right)$.

Sea $e$ la operación elemental que intercambia los renglones $1$ y $3.$

$e(B)=\left(\begin{array}{rr}3& 5\\ 2& 4\\ -1& 0\end{array}\right)$.

$3.$ Considera la matriz:

$C=\left(\begin{array}{rrrr}3& -6& 12& 9\\ 1& 3& -2& 4\end{array}\right)$.

Sea $e$ la operación elemental que multiplica al primer renglón por $\frac{1}{3}.$

$e(C)=\left(\begin{array}{rrrr}1& -2& 4& 3\\ 1& 3& -2& 4\end{array}\right)$.

Definición

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A,B\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R}).$ Decimos que $B$ es equivalente por renglones a $A$ si $B$ se obtiene de $A$ mediante una sucesión finita de operaciones elementales.

Notación

$A\sim B$ denota que $B$ es equivalente a $A.$

Para ser más precisos, si $B$ se obtiene de $A$ intercambiando los renglones $r$ y $s$, lo denotaremos por $A\begin{array}{c}\phantom{nnn}\\ \sim \\ R_r\leftrightarrow R_s\end{array}B,$ si $B$ se obtiene de $A$ multiplicando el renglón $r$ por el escalar $\lambda$, lo denotaremos por $A\begin{array}{c}\phantom{nnn}\\ \sim \\ \lambda R_r\end{array}B,$ y si $B$ se obtiene de $A$ sumando al renglón $r$, $\lambda$ veces el renglón $s$, lo denotaremos por $A\begin{array}{c}\phantom{nnn}\\ \sim \\ R_r\to R_r+\lambda R_s\end{array}B$.

Definición

Sean $n$ un natural positivo, $E\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$. Decimos que $E$ es una matriz elemental si se obtiene de la matriz identidad $I_n$ aplicando una sola operación elemental.

Ejemplos

$1.$ Las siguientes matrices son equivalentes

$\left(\begin{array}{rr}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\begin{array}{c}\phantom{nnn}\\ \sim \\ R_1\leftrightarrow R_2\end{array}\left(\begin{array}{rr}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

La matriz $\left(\begin{array}{rr}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ es una matriz elemental, pues se obtiene de la identidad aplicando una sola operación elemental.

Considera la matriz $A=\left(\begin{array}{rr}a& b\\ c& d\end{array}\right)$.

Si intercambiamos sus renglones obtenemos la matriz equivalente $\left(\begin{array}{rr}c& d\\ a& b\end{array}\right)$.

Observa que ésta se obtiene multiplicando la matriz elemental $\left(\begin{array}{rr}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ por la matriz $A$:

$\left(\begin{array}{rr}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}c& d\\ a& b\end{array}\right)$.

$2.$ Las siguientes matrices son equivalentes

$\left(\begin{array}{rr}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\begin{array}{c}\phantom{nnn}\\ \sim \\ 5R_2\end{array}\left(\begin{array}{rr}1& 0\\ 0& 5\end{array}\right)$.

La matriz $\left(\begin{array}{rr}1& 0\\ 0& 5\end{array}\right)$ es una matriz elemental, pues se obtiene de la identidad aplicando una sola operación elemental.

Considera la matriz $A=\left(\begin{array}{rr}a& b\\ c& d\end{array}\right)$.

Si multiplicamos el segundo renglón por $5$ obtenemos la matriz equivalente $\left(\begin{array}{rr}a& b\\ 5c& 5d\end{array}\right)$.

Observa que ésta se obtiene multiplicando la matriz elemental $\left(\begin{array}{rr}1& 0\\ 0& 5\end{array}\right)$ por la matriz $A$:

$\left(\begin{array}{rr}1& 0\\ 0& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}a& b\\ 5c& 5d\end{array}\right)$.

$3.$ Las siguientes matrices son equivalentes

$\left(\begin{array}{rr}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\begin{array}{c}\phantom{nnn}\\ \sim \\ R_2\to R_2+(-2)R_1\end{array}\left(\begin{array}{rr}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)$.

La matriz $\left(\begin{array}{rr}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)$ es una matriz elemental, pues se obtiene de la identidad aplicando una sola operación elemental.

Considera la matriz $A=\left(\begin{array}{rr}a& b\\ c& d\end{array}\right).$

Si sumamos al segundo renglón $-2$ veces el primero obtenemos la matriz equivalente $\left(\begin{array}{rr}a& b\\ -2a+c& -2b+d\end{array}\right)$.

Observa que ésta se obtiene multiplicando la matriz elemental $\left(\begin{array}{rr}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)$ por la matriz $A$:

$\left(\begin{array}{rr}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}a& b\\ -2a+c& -2b+d\end{array}\right)$.

Observación 1

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$ y $e$ una operación elemental, consideremos la matriz elemental $e(I_m)$ que se obtiene de $I_m$ aplicando $e$. Entonces:

$e(I_m)A=e(A)$.

La demostración se deja al lector.

Observación 2

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A,B\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$ tales que $A\sim B.$ Entonces existen $t$ un natural positivo y $E_1,\dots ,E_t$ matrices elementales tales que:

$B=E_t\cdots E_2{E}_{1}A$.

Ejemplo

Matrices equivalentes	Operación elemental
$A=\left(\begin{array}{rrr}1& 3& 5\\ 2& -1& -7\\ -5& 6& 26\end{array}\right)\sim$	$e_1:R_2\to R_2+(-2)R_1$
$\left(\begin{array}{rrr}1& 3& 5\\ 0& -7& -17\\ -5& 6& 26\end{array}\right)\sim$	$e_2:R_3\to R_3+5R_1$
$\left(\begin{array}{rrr}1& 3& 5\\ 0& -7& -17\\ 0& 21& 51\end{array}\right)\sim$	$e_3:R_3\to R_3+3R_2$
$\left(\begin{array}{rrr}1& 3& 5\\ 0& -7& -17\\ 0& 0& 0\phantom{.}\end{array}\right)\sim$	$e_4:(-\frac{1}{7})R_2$
$\left(\begin{array}{rrr}1& 3& 5\\ 0& 1& \frac{17}{7}\\ 0& 0& 0\phantom{.}\end{array}\right)\sim$	$e_5:R_1\to R_1+(-3)R_2$
$\left(\begin{array}{rrr}1& 0& -\frac{16}{7}\\ 0& 1& \frac{17}{7}\\ 0& 0& 0\phantom{.}\end{array}\right)=B$

Por la observación 2 tenemos que:

$\left(\begin{array}{rrr}1& 0& -\frac{16}{7}\\ 0& 1& \frac{17}{7}\\ 0& 0& 0\phantom{.}\end{array}\right)=$ $\left(\begin{array}{rrr}1& -3& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ $\left(\begin{array}{rrr}1& 0& 0\\ 0& -\frac{1}{7}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ $\left(\begin{array}{rrr}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 3& 1\end{array}\right)$ $\left(\begin{array}{rrr}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 5& 0& 1\end{array}\right)$ $\left(\begin{array}{rrr}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ $\left(\begin{array}{rrr}1& 3& 5\\ 2& -1& -7\\ -5& 6& 26\end{array}\right).$

De esta forma, si $E_t=e_t(I_3)$ para cada $t\in \{1,2,3,4,5\}$:

$B=E_5{E}_4{E}_3{E}_2{E}_{1}A$.

Tarea Moral

$1.$ Para cada operación elemental describe cuál es su operación inversa, analiza si es una operación elemental y en su caso de qué tipo es.

$2.$ Escribe un ejemplo de una matriz elemental de tamaño $2\times 2$, una de tamaño $3\times 3$ y una de tamaño $4\times 4.$

$3.$ Sea $E$ una matriz elemental:

$i)$ ¿Es $E$ invertible?

$ii)$ En caso que lo sea ¿Cuál será su inversa?

$4.$ Sean $n$ un natural positivo, $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$ y $e$ una operación elemental de matrices. Demuestra que $e(I_m)A=e(A).$

$5.$ Sea $n$ un natural positivo, $A\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$. Si $A\sim I_n$:

$i)$ ¿Cómo queda expresada $A$ en términos de $I_n$ y de matrices elementales?

$ii)$ ¿Cómo queda expresada $I_n$ en términos de $A$ y de matrices elementales?

Más adelante

En la siguiente nota daremos la definición de una matriz escalonada reducida por renglones y veremos que cualquier matriz $A$ es equivalente a una de estas matrices escalonadas reducida por renglones.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 34. Multiplicación de matrices, identidad, inversas y transpuesta.

Enlace a la nota siguiente. Nota 36. Matriz escalonada reducida por renglones.