Introducción
La multiplicación de matrices es una operación que se define para dos matrices $A$ y $B$, donde el número de columnas de $A$ es igual al número de filas de $B$. El resultado de la multiplicación de matrices $AB$ es una matriz $C$, donde el elemento en la fila $i$ y columna $j$ de $C$ es igual a la suma de los productos de los elementos de la fila $i$ de $A$ y los elementos de la columna $j$ de $B.$
La matriz identidad es una matriz cuadrada que tiene unos en su diagonal principal y ceros en todas las demás posiciones. La multiplicación de cualquier matriz por la matriz identidad da como resultado la misma matriz.
La matriz inversa de una matriz cuadrada $A$ es una matriz que, cuando se multiplica por $A$, da como resultado la matriz identidad. No todas las matrices tienen una matriz inversa, y una matriz solo tiene una matriz inversa si su determinante es distinto de cero.
La transpuesta de una matriz $A$ se obtiene intercambiando sus filas por columnas. La matriz transpuesta se denota por $A^T$. Si $A$ tiene dimensiones $m \times n$, entonces $A^T$ tiene dimensiones $n \times m$. La transpuesta se utiliza en cálculos como la inversión de matrices, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y la multiplicación de matrices.
En la presente nota usaremos las propiedades del producto punto para las pruebas, puedes consultarlas en el siguiente enlace: Propiedades del producto punto
Definición
Sean $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R),\,\, B\in \mathscr M_{n\times r}(\mathbb R)$.
El producto de $A$ con $B$ es $AB\in \mathscr M_{m\times r}(\mathbb R)$ tal que:
$(AB)_{ij}=a_{i1}b_{1j}+\cdots+a_{in}b_{nj}$
Notación:
$ren_i A=(a_{i1},\dotsc,a_{in})$
$col_j B=(b_{1j},\dotsc,b_{nj}).$
Con esta notación $(AB)_{ij}=ren_i A\cdot col_j B,$ es decir, la entrada $ij$ de $AB$ es el producto punto del renglón $i$ de $A$ con la columna $j$ de $B$.
Ejemplos
$1.$ $A=\begin{equation*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ \end{pmatrix} \end{equation*}$, $ B=\begin{equation*} \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\6 \\ \end{pmatrix} \end{equation*}$.
$AB=\begin{equation*} \begin{pmatrix} (2)(4)+(-1)(5)+3(6)\\(0)(4)+(1)(5)+(4)(6) \\ \end{pmatrix} \end{equation*}=$ $\begin{equation*} \begin{pmatrix} 21 \\ 29 \\ \end{pmatrix} \end{equation*} $
$3.$ $A=\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 3\\ \end{pmatrix} \end{equation*}$, $ B=\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix} \end{equation*}$.
$AB=\begin{equation*}\begin{pmatrix} (1)(1)+(4)(2) & (1)(0)+(4)(3) \\ (1)(1)+(3)(2) & (1)(0)+(3)(3) \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 9 & 12 \\ 7 & 9 \\ \end{pmatrix} \end{equation*}.$
Proposición
Sean $A, \overline{A} \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $B, \overline{B} \in \mathscr M_{n\times r}(\mathbb R)$, sea $C \in \mathscr M_{r\times s}(\mathbb R)$, y $\lambda \in \mathbb R.$
$a)$ $A(BC)=(AB)C.$
$b)$ $(A+\overline{A})B=AB+\overline{A}B.$
$c)$ $A(B+\overline{B})=AB+A\overline{B}.$
$d)$ $\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B).$
Se harán las demostraciones de $b)$ y $d)$, las dos restantes quedan de tarea moral.
Demostración
Sean $A, \overline{A} \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $B, \overline{B} \in \mathscr M_{n\times r}(\mathbb R)$, sea $C \in \mathscr M_{r\times s}(\mathbb R)$, y $\lambda \in \mathbb R.$
Demostración de $b)$
Por demostrar que $(A+\overline{A})B=AB+\overline{A}B.$
Observa que tanto $(A+\overline{A})B$ como $AB+\overline{A}B$ pertenecen a $\mathscr M_{m\times r}(\mathbb R).$
Sean $i\in \set{1,\dotsc,m}, j\in \set{1,\dotsc,r}.$
| Expresión | Explicación |
| $((A+\overline{A})B)_{ij}=$ | Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $(A+\overline{A})B.$ |
| $=ren_i (A+\overline{A})\cdot col_j B$ | Por definición de producto de matrices. |
| $=(ren_i A+ren_i \overline{A})\cdot col_j B$ | Por definición de suma de matrices. |
| $=ren_i A\cdot col_j B+ren_i \overline{A}\cdot col_j B$ | Por las propiedades del producto punto. |
| $=(AB)_{ij}+(\overline{A} B)_{ij}$ | Por definición de producto de matrices. |
| $=(AB+\overline{A} B)_{ij}$ | Por definición de suma de matrices. |
Así, $((A+\overline{A})B)_{ij}=(AB+\overline{A}B)_{ij}$.
Concluimos que $(A+\overline{A})B$ y $AB+\overline{A}B$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $(A+\overline{A})B=AB+\overline{A}B.$
Demostración de $b)$
Por demostrar que $\lambda (AB)=A(\lambda B).$
Tanto $(A+\overline{A})B$ como $AB+\overline{A}B$ pertenecen a $\mathscr M_{m\times r}(\mathbb R)$.
Sean $i\in \set{1,\dotsc,m}, j\in \set{1,\dotsc,r}.$
| Expresión | Explicación |
| $(\lambda (AB))_{ij}=$ | Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $\lambda (AB)$ |
| $=\lambda (AB)_{ij}$ | Por la definición de producto escalar. |
| $=\lambda (ren_i A\cdot col_j B)$ | Por la definición de producto de matrices. |
| $=ren_i A\cdot (\lambda col_j B)$ | Por las propiedades del producto punto. |
| $=ren_i A\cdot col_j (\lambda B)$ | Por la definición de producto escalar. |
| $=(A(\lambda B))_{ij}$ | Por la definición de producto de matrices. |
Así, $(\lambda (AB))_{ij}=(A(\lambda B))_{ij}$.
Concluimos que $\lambda (AB)$ y $A(\lambda B)$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $\lambda (AB)=A(\lambda B)$.
Definición
La matriz identidad de tamaño $n\times n$ es:
$I_n=\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}$
es decir, la matriz $n\times n$ con unos en la diagonal y ceros fuera de la diagonal.
Proposición.
Sea $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$
$1.$ $A\,I_n=A.$
$2.$ $I_mA=A.$
La demostración se deja como tarea moral.
Definición
Sea $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$. Decimos que $A$ es una matriz invertible si existe $B\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ tal que:
$AB=BA=I_n.$
En este caso decimos que $B$ es una inversa de $A.$
Observación
Si $A$ es invertible su inversa es única.
Demostración
Sea $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ invertible, $B,\,C\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ inversas de $A$. Entonces $AB=BA=I_n=AC=CA$. Así, tenemos que $AB=AC$, y multiplicando por la izquierda por $B$ a ambos lados de la igualdad tenemos que $B(AB)=B(AC)$. En virtud de la asociatividad de la multiplicación de matrices obtenemos que $(BA)B=(BA)C$, y como $BA=I_n$ se tiene que $I_nB=I_nC$. Así, $B=C$ y por lo tanto la inversa es única.
Notación: Si $A$ es invertible denotaremos por $A^{-1}$ a la matriz inversa de $A$.
Definición
Sea $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$. La transpuesta de $A$ es la matriz $A^t\in \mathscr M_{n\times m}(\mathbb R)$ tal que:
$(A^t)_{ij}=A_{ji}$
Ejemplos
$1.$ $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & \pi &\frac{1}{4} \\ 0 & 2 & -1 & 8\\ \end{array}\right) \end{equation*}$, $ A^t =\begin{equation*} \left(\begin{array}{cr} 1 &0 \\ 3 &2 \\ \pi & -1 \\ \frac{1}{4} & 8 \\ \end{array}\right)\end{equation*}$.
$2.$ $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{r} 0.7 \\ -1\\ 10 \\ \end{array}\right) \end{equation*}$, $ A^t =\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0.7 &-1 & 10 \\ \end{pmatrix} \end{equation*}$.
$3.$ $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 2 & -3 \\ 3 &1 \\ \end{array}\right) \end{equation*}$, $ A^t =\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 2 &3 \\ -3 &1 \\ \end{array}\right) \end{equation*}.$
Proposición
Sean $A, B\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$, $C\in \mathscr M_{n\times r}(\mathbb R)$, y $\lambda \in \mathbb R$.
$a)$ $(A^t)^t=A.$
$b)$ $ (A+B)^t=A^t+B^t.$
$c)$ $(\lambda A)^t=\lambda(A^t).$
$d)$ $(AC)^t=C^tA^t.$
Se hará la demostración de $a)$, $b)$ y $d)$, el inciso $c)$ queda como tarea moral.
Demostración de $a)$
Observemos que $(A^t)^t,\,A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$.
Sean $i\in \set{1,\dotsc,m}, j\in \set{1,\dotsc,n}.$
| Expresión | Explicación |
| $((A^t)^t)_{ij}=$ | Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $(A^t)^t.$ |
| $=(A^t)_{ji}$ | Por la definición de transpuesta. |
| $=A_{ij}$ | Por la definición de transpuesta. |
Así, $((A^t)^t)_{ij}=A_{ij}$.
Concluimos que $(A^t)^t$ y $A$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $(A^t)^t=A.$
Demostración de $b)$
Observemos que $(A+B)^t,\,A^t+B^t \in \mathscr M_{n\times m}(\mathbb R)$.
Sean $i\in \set{1,\dotsc,n}, j\in \set{1,\dotsc,m}.$
| Expresión | Explicación |
| $((A+B)^t))_{ij}=$ | Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $(A+B)^t.$ |
| $=(A+B)_{ji}$ | Por la definición de transpuesta. |
| $=A_{ji}+B_{ji}$ | Por la definición de la suma de matrices. |
| $=(A^t)_{ij}+(B^t)_{ij}$ | Por la definición de transpuesta. |
| $=(A^t+B^t)_{ij}$ | Por la definición de la suma de matrices. |
Así, $((A+B)^t)_{ij}=(A^t+B^t)_{ij}$.
Concluimos que $(A+B)^t$ y $A^t+B^t$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $(A+B)^t=A^t+B^t.$
Demostración de $d).$
Notemos que $(AC)^t,\,C^tA^t \in \mathscr M_{r\times m}(\mathbb R).$
Sean $i\in \set{1,\dotsc,r}, j\in \set{1,\dotsc,m}.$
| Expresión | Explicación |
| $((AC)^t)_{ij}=$ | Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $(AC)^t).$ |
| $=(AC)_{ji}$ | Por la definición de transpuesta. |
| $=ren_j A\cdot col_i C$ | Por la definición del producto de matrices. |
| $=col_j A^t\cdot ren_j C^t$ | Por la definición de transpuesta. |
| $=ren_i C^t\cdot col_jA^t$ | Conmutatividad del producto punto. |
| $=(C^tA^t)_{ij}$ | Por la definición del producto de matrices. |
Así, $((AC)^t)_{ij}=(C^tA^t)_{ij}$.
Concluimos que $(AC)^t$ y $C^tA^t$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $(AC)^t=C^tA^t.$
$\square$
Tarea Moral
$1.$ Considera las siguientes matrices:
$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 3 & 0 \\ -1 & 2\\ 1 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$, $B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 4 & -1 \\ 0 & 2 \end{array}\right) \end{equation*}$, $C=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & 5 \end{array}\right) \end{equation*}$, $D=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrR} 1 & 5 & 2 \\ -1 & 0 & 1\\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right) \end{equation*}$, $E=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 6 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 2\\ 4 & 1 & 3 \end{array}\right) \end{equation*}.$
Calcula, si es posible: $DA-A$, $-7E$, $A(BC)$, $(4B)C+2B.$
$2.$ Una matriz cuadrada $A$ es diagonal si todos los elementos que están fuera de la diagonal principal son cero ($A_{ij}=0$ si $i\neq j$). ¿Qué ocurre al multiplicar dos matrices diagonales?
$3.$ Sea $A \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$, dado $n\in \mathbb N^+$ definimos $A^n$ como el producto de $A$ consigo misma $n$ veces. Demuestra o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:
$i)$ $(AB)^2=A^2B^2$
$ii)$ $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
$4.$ La traza de una matriz cuadrada $A$ es la suma de los elementos de su diagonal y se denota por $tr(A)$. Calcula la traza de las matrices cuadradas del ejercicio $1.$
$5.$ Sean $A,B \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ invertibles. ¿Puedes construir una matriz inversa para $AB$ usando $A^{-1}$ y $B^{-1}$?.
$6.$ Sea $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array}\right) \end{equation*}$. Demuestra que si $ad-bc\neq 0$, entonces $A=\frac{1}{ad-bc}\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} d & -b \\- c & a \end{array}\right) \end{equation*}$ es la matriz inversa de $A$.
Más adelante
En la siguiente nota veremos las operaciones elementales por renglones para matrices, definiremos una equivalencia por renglones en las matrices y notaremos que las operaciones elementales por matrices pueden expresarse como multiplicaciones por matrices adecuadas.
Enlaces relacionados
Enlace a la nota anterior. Nota 33. Matrices.
Enlace a la nota siguiente. Nota 35. Operaciones elementales, matrices equivalentes y matrices elementales.