Álgebra Superior II: Teorema chino del residuo

Introducción

En entradas anteriores platicamos de congruencias y de algunos teoremas que se pueden usar para trabajar con potencias y factoriales módulo un entero. También, aprendimos a resolver una ecuación lineal módulo $n$ . El resultado principal fue el siguiente:

Teorema 1. Sean $a, b$ enteros y $n$ un entero positivo. La ecuación $a x \equiv b (\mod n)$ tiene solución si y sólo si $M := MCD (a, n)$ divide a $b$ . Cuando sí hay solución, ésta se puede expresar de manera única en módulo $n^{'} := n / M$ .

Ya que sabemos resolver una ecuación lineal, el siguiente paso es aprender a resolver sistemas que involucren dos o más ecuaciones lineales. En esta entrada veremos primero cómo resolver un sistema de dos ecuaciones lineales.

Luego, veremos cómo resolver un sistema con más ecuaciones y demostraremos un resultado clásico: el teorema chino del residuo. Pero para eso necesitaremos el resultado para dos ecuaciones lineales. Vamos poco a poco.

Sistemas de dos ecuaciones lineales

Supongamos que queremos entender por completo el sistema de ecuaciones
$\begin{aligned} a x & \equiv b (\mod m) \\ c x & \equiv d (\mod n), \end{aligned}$

es decir, determinar cuándo existe una $x$ que satisfaga ambas ecuaciones y, si existe, determinar cómo se ven todas las soluciones. Por lo primero que nos tenemos que preocupar es por que cada una de las ecuaciones tenga solución: si alguna no tiene, entonces no hay solución para el sistema.

Así, lo primero que tiene que pasar es que $MCD (a, m)$ divida a $b$ y que $MCD (c, n)$ divida a $d$ . Cuando sí tienen solución, entonces podemos intercambiar a las ecuaciones por sus ecuaciones reducidas y obtener el sistema de ecuaciones lineales equivalente
$\begin{aligned} a^{'} x & \equiv b^{'} (\mod m^{'}) \\ c^{'} x & \equiv d^{'} (\mod n^{'}) . \end{aligned}$

La primera ecuación tiene una única solución módulo $m^{'}$ y la segunda una única solución módulo $n^{'}$ , así que este sistema es equivalente al sistema
$\begin{aligned} x & \equiv e (\mod m^{'}) \\ x & \equiv f (\mod n^{'}), \end{aligned}$

en donde $e$ y $f$ son las soluciones a cada una de las ecuaciones lineales reducidas por separado. Ahora sí podemos combinar ambas ecuaciones. Lo único que nos falta es entender cuándo los sistemas de esta forma tienen solución.

Ejemplo 1. El sistema lineal de ecuaciones
$\begin{aligned} x & \equiv 2 (\mod 6) \\ x & \equiv 4 (\mod 15) \end{aligned}$
no tiene solución.

Solución. La primera ecuación implica que $6 ∣ x - 2$ . Como $3 ∣ 6$ , por transitividad tenemos $3 ∣ x - 2$ , así que la primera ecuación implica que $x$ deja residuo $2$ al dividirse entre $3$ .

La segunda ecuación implica que $15 ∣ x - 4$ . Como $3 ∣ 15$ , por transitividad $3 ∣ x - 4$ , o bien $x \equiv 4 \equiv 1 (\mod 3)$ . Es decir, la segunda ecuación implica que $x$ deja residuo $1$ al dividirse entre $3$ . De esta forma, es imposible satisfacer simultáneamente ambas ecuaciones.

$△$

En el ejemplo anterior, $3$ es el máximo común divisor de $6$ y $15$ y por eso convino estudiar la divisibilidad entre $3$ . La siguiente proposición justo dice cuándo el sistema tiene solución en términos de cierta divisibilidad por el máximo común divisor de los módulos.

Proposición 4. Sean $a$ y $b$ enteros y $m$ y $n$ enteros positivos. El sistema lineal de ecuaciones en congruencias
$\begin{aligned} x & \equiv a (\mod m) \\ x & \equiv b (\mod n) \end{aligned}$

tiene solución si y sólo si $M := MCD (m, n)$ divide a $a - b$ . En este caso, la solución se puede expresar de manera única módulo $N := mcm (m, n)$ , el mínimo común múltiplo de $m$ y $n$ .

Demostración. Supongamos que $x$ es solución. Por la primera ecuación, $m ∣ x - a$ y como $M ∣ m$ , entonces $M ∣ x - a$ . De manera análoga, $M ∣ x - b$ . Así, $M ∣ (x - b) - (x - a) = a - b$ , lo cual prueba una implicación de la proposición.

Por otro lado, si $M$ divide a $a - b$ , entonces existe una combinación lineal de $m$ y $n$ que da $a - b$ , digamos $y m + z n = a - b$ , que podemos reescribir como $b + z n = a - y m$ . Tomemos $x = b + z n = a - y m$ . Notemos que
$\begin{aligned} x & = a - y m \equiv a (\mod m) \\ x & = b + z n \equiv b (\mod n), \end{aligned}$

de modo que $x$ es solución para el sistema. Notemos que $x + r N$ para cualquier $r$ entero y $N$ el mínimo común múltiplo de $m$ y $n$ también es solución pues $N \equiv 0 (\mod m)$ y $N \equiv 0 (\mod n)$ .

Veamos que la solución es única módulo $N$ . Si tenemos $x$ y $y$ que son soluciones al sistema, entonces tenemos
$\begin{aligned} x & \equiv a \equiv y (\mod m) \\ x & \equiv b \equiv y (\mod n), \end{aligned}$

lo cual implica $m ∣ x - y$ y $n ∣ x - y$ . Como $N$ es el mínimo común múltiplo, $N ∣ x - y$ , de modo que $x \equiv y (\mod N)$ .

Terminamos esta sección con un teorema que recopila todo lo que hemos mostrado para dos ecuaciones lineales.

Teorema 2. Consideremos el sistema de ecuaciones
$\begin{aligned} a x & \equiv b (\mod m) \\ c x & \equiv d (\mod n) . \end{aligned}$

Si $MCD (a, m)$ no divide a $b$ o $MCD (c, n)$ no divide a $d$ , entonces el sistema no tiene solución. Si tenemos ambas divisibilidades, entonces el sistema original es equivalente al sistema
$\begin{aligned} x & \equiv e (\mod m^{'}) \\ x & \equiv f (\mod n^{'}), \end{aligned}$

donde $e$ y $f$ son las soluciones únicas a las reducciones de la primer y segunda congruencia respectivamente. Si $MCD (m^{'}, n^{'})$ no divide a $e - f$ , entonces el sistema original no tiene solución. Si sí, entonces el sistema original tiene una única solución módulo $mcm (m^{'}, n^{'})$ .

Ejemplo 2. Determina las soluciones al siguiente sistema lineal de ecuaciones:
$\begin{aligned} 4 x & \equiv 12 (\mod 24) \\ 10 x & \equiv 5 (\mod 75) . \end{aligned}$

Solución. Para la primera ecuación, notamos que $MCD (4, 24) = 4$ sí divide a $12$ así que la ecuación sí tiene solución, y su conjunto solución es el mismo que el de $x \equiv 3 (\mod 6)$ .

Para la segunda ecuación, notamos que $MCD (10, 75) = 5$ sí divide a $5$ así que la ecuación sí tiene solución, y su conjunto solución es el mismo que el de $2 x \equiv 1 (\mod 15)$ . La solución de esta ecuación es $x \equiv 8 (\mod 15)$ . De este modo, el sistema original es equivalente al sistema:

$\begin{aligned} x & \equiv 3 (\mod 6) \\ x & \equiv 8 (\mod 15) . \end{aligned}$

Tenemos que $MCD (6, 15) = 3$ . Pero $3$ no divide a $3 - 8 = - 5$ . Entonces este sistema no tiene solución, y por lo tanto el original tampoco.

$△$

Hagamos un ligero cambio en el sistema de ecuaciones.

Ejemplo 3. Determina las soluciones al siguiente sistema lineal de ecuaciones:
$\begin{aligned} 4 x & \equiv 20 (\mod 24) \\ 10 x & \equiv 5 (\mod 75) . \end{aligned}$

Solución. Para la primera ecuación, notamos que $MCD (4, 24) = 4$ sí divide a $20$ así que la ecuación sí tiene solución, y su conjunto solución es el mismo que el de $x \equiv 5 (\mod 6)$ .

Tenemos que $MCD (6, 15) = 3$ y que $3$ sí divide a $5 - 8 = - 3$ , de modo que sí hay solución. Para encontrarla, expresamos a $- 3$ como combinación lineal de $6$ y $15$ : $5 - 8 = - 3 = (- 3) \cdot 6 + 1 \cdot 15.$

De aquí, $x = 8 + 15 = 23$ es una solución, y por lo tanto el conjunto de soluciones queda descrito módulo $mcm (6, 15) = 30$ de manera única como $x \equiv 23 (\mod 30)$ .

$△$

El teorema chino del residuo

Varias de las ideas que usamos para un sistema de dos ecuaciones lineales las podemos reciclar para cuando queremos encontrar una $x$ que satisfaga simultáneamente el sistema de ecuaciones lineales en congruencias
$\begin{aligned} a_{1} x & \equiv b_{1} (\mod m_{1}) \\ a_{2} x & \equiv b_{2} (\mod m_{2}) \\ ⋮ \\ a_{n} x & \equiv b_{n} (\mod m_{n}) \end{aligned}$

Si este sistema tiene solución, entonces claramente:

Cada una de las ecuaciones debe tener solución y,
cada par de ellas debe tener solución.

Lo impresionante del siguiente teorema es que estas dos condiciones son las únicas que tenemos que verificar para que el sistema tenga solución. Y afortunadamente ya estudiamos cuándo dos ecuaciones lineales en congruencias tienen una solución simultánea.

Si cada una de las ecuaciones del sistema tiene solución, entonces es única, así que podemos remplazar cada ecuación por su solución y obtener un sistema de ecuaciones en donde todos los coeficientes de $x$ son $1$ (como le hicimos en el caso de dos ecuaciones). El siguiente resultado estudia estos sistemas.

Teorema 3. Sea $n \geq 2$ un entero, $b_{i}$ enteros para $i \in {1, \dots, n}$ y $m_{i}$ enteros positivos para $i \in {1, \dots, n}$ . El sistema de ecuaciones en congruencias
$\begin{aligned} x & \equiv b_{1} (\mod m_{1}) \\ x & \equiv b_{2} (\mod m_{2}) \\ ⋮ \\ x & \equiv b_{n} (\mod m_{n}) \end{aligned}$
tiene solución si y sólo si para cada par de índices $i$ y $j$ en ${1, 2, \dots, n}$ se tiene que la ecuación $i$ y la ecuación $j$ tienen solución, es decir, si y sólo si $MCD (m_{i}, m_{j}) ∣ b_{i} - b_{j}$ . En este caso, la solución es única módulo $mcd (m_{1}, \dots, m_{n})$ .

Demostración. Si el sistema completo tiene solución, entonces claramente cualquier par de ecuaciones tiene solución. Para demostrar la afirmación inversa, procederemos por inducción. Para $n = 2$ la afirmación es directa, pues justo la hipótesis es que ese par de ecuaciones tiene solución.

Supongamos entonces el resultado cierto para cuando tenemos $n$ ecuaciones y consideremos un sistema con $n + 1$ ecuaciones
$\begin{aligned} x & \equiv b_{1} (\mod m_{1}) \\ x & \equiv b_{2} (\mod m_{2}) \\ ⋮ \\ x & \equiv b_{n} (\mod m_{n}) \\ x & \equiv b_{n + 1} (\mod m_{n + 1}) . \end{aligned}$

Supongamos que cualquier par de ellas tienen solución. Tenemos que mostrar que todo el sistema tiene solución y que es única módulo $mcm (m_{1}, \dots, m_{n + 1})$ . Como cualquier par tienen solución, entonces cualquier par de las primeras $n$ tienen solución. Por hipótesis inductiva, entonces podemos reemplazar a las primeras ecuaciones por una ecuación módulo $N = mcm (m_{1}, \dots, m_{n})$ , que es única por la unicidad en la hipótesis inductiva. En otras palabras, existe un entero $c$ tal que el sistema de ecuaciones original es equivalente al sistema de ecuaciones
$\begin{aligned} x & \equiv c (\mod N) \\ x & \equiv b_{n + 1} (\mod m_{n + 1}) \end{aligned}$

Mostraremos ahora que este sistema tiene solución. Para esto, basta mostrar que $MCD (N, m_{n + 1})$ divide a $c - b_{n + 1}$ .

Como $c$ es solución del sistema para las primeras $n$ ecuaciones, tenemos que $c \equiv b_{i} (\mod m_{i})$ para toda $i = 1, \dots, n$ , es decir, $m_{i} ∣ c - b_{i}$ . Por transitividad, $MCD (m_{n + 1}, m_{i}) ∣ c - b_{i}$ .

Como cualquier par de ecuaciones de las originales tenía solución, tenemos que $MCD (m_{n + 1}, m_{i}) ∣ b_{i} - b_{n + 1}$ . De esta forma, $MCD (m_{n + 1}, m_{i}) ∣ - (c - b_{i}) - (b_{i} - b_{n + 1}) = b_{n + 1} - c .$

Con esto mostramos que cada $MCD (m_{n + 1}, m_{i})$ divide a $b_{n + 1} - c$ , de modo que el mínimo común múltiplo de estos números también divide a $b_{n + 1} - c$ . Pero el mínimo común múltiplo de estos números precisamente $MCD (N, m_{n + 1})$ .

En otras palabras, el sistema
$\begin{aligned} x & \equiv c (\mod N) \\ x & \equiv b_{n + 1} (\mod m_{n + 1}), \end{aligned}$

que es esquivalente al original, tiene una solución, y esta es única módulo $mcm (N, m_{n + 1}) = mcm (m_{1}, \dots, m_{n}, m_{n + 1}) .$

Esto es justo lo que queríamos para dar el paso inductivo.

Como corolario, obtenemos el teorema chino del residuo, que habla acerca de soluciones a sistemas de ecuaciones en los cuales los módulos que tomamos son primos relativos entre sí.

Teorema 4 (teorema chino del residuo). Sea $n \geq 2$ un entero, $b_{i}$ enteros para $i \in {1, 2, \dots, n}$ y $m_{i}$ enteros positivos para $i \in {1, \dots, n}$ . Supongamos además que cada par $m_{i}, m_{j}$ de enteros ( $i \neq j$ ) son primos relativos. Entonces el sistema lineal de congruencias
$\begin{aligned} x & \equiv b_{1} (\mod m_{1}) \\ x & \equiv b_{2} (\mod m_{2}) \\ ⋮ \\ x & \equiv b_{n} (\mod m_{n}) \end{aligned}$
tiene una y sólo una solución módulo $m_{1} m_{2} \dots m_{n}$ .

Demostración. Como cada pareja de módulos son primos relativos, tenemos que $MCD (m_{i}, m_{j}) = 1$ y entonces claramente cada par de ecuaciones tiene solución. Por el Teorema 3, el sistema tiene solución y esta es única módulo el mínimo común múltiplo de $m_{1}, \dots, m_{n}$ , que como son primos relativos dos a dos, es $m_{1} m_{2} \dots m_{n}$ .

La demostración del Teorema 3 también nos da un procedimiento para resolver de manera práctica los sistemas de ecuaciones lineales en congruencias:

Si los coeficientes de $x$ del sistema no son $1$ , entonces primero resolvemos todas las ecuaciones con coeficiente distinto de $1$ para transformarla en una del estilo de las del Teorema 3. Si alguna no se puede, entonces el sistema no tiene solución.
Una vez que el sistema está en la forma del Teorema 3, verificamos si cada par de ecuaciones tienen solución calculando los máximos comunes divisores de dos en dos y viendo que dividen a las restas respectivas. Si alguno de estos pares falla, entonces el sistema no tiene solución.
Si todos los pares cumplen la hipótesis, entonces resolvemos las primeras dos ecuaciones para remplazarlas por otra módulo su mínimo común múltiplo. Luego, usamos esa que obtuvimos y la tercera para remplazarlas por otra. Seguimos así hasta que sólo nos queden dos ecuaciones. La solución a esas será la solución al sistema original.

Ejemplo. Resolvamos el siguiente sistema de congruencias:

$\begin{aligned} x & \equiv 11 (\mod 5) \\ x & \equiv 5 (\mod 7) \\ x & \equiv 7 (\mod 11) \end{aligned}$

Solución. Los números $5$ , $7$ y $11$ son primos relativos por parejas, de modo que la solución existe y es única módulo $5 \cdot 7 \cdot 11 = 385$ . Para encontrarla, primero resolvemos las primeras dos ecuaciones. Estas corresponden al sistema
$\begin{aligned} x & \equiv 11 \equiv 1 (\mod 5) \\ x & \equiv 5 (\mod 7) \end{aligned}$

Para encontrar la solución, ponemos a $1 - 5 = - 4$ como combinación lineal de $5$ y $7$ , que tras explorar un poco, se puede hacer así: $1 - 5 = - 4 = 2 \cdot 5 + (- 2) \cdot 7$ . De este modo, la solución es $x \equiv 5 - 14 \equiv - 9 \equiv 26 (\mod 35)$ (este es un buen momento para substituir en las dos ecuaciones originales y ver que todo vaya bien).

Así, el sistema original es equivalente al sistema
$\begin{aligned} x & \equiv 26 (\mod 35) \\ x & \equiv 7 (\mod 11) \end{aligned}$

Ahora lo que tenemos que hacer es expresar a $26 - 7 = 19$ como combinación lineal de $35$ y $11$ . Es difícil encontrar una combinación «al tanteo», así que aquí es mejor usar el algoritmo de la división de Euclides:
$\begin{aligned} 35 & = 3 \cdot 11 + 2 \\ 11 & = 2 \cdot 5 + 1 \end{aligned}$

De aquí, $1 = 11 - 2 \cdot 5 = 11 - (35 - 3 \cdot 11) \cdot 5 = (- 5) \cdot 35 + 16 \cdot 11,$ por lo que $19 = (- 5 \cdot 19) \cdot 35 + (19 \cdot 16) \cdot 11 = (- 95) \cdot 35 + (304) \cdot 11.$

Así, la solución al sistema está dada por $x = 7 + 304 \cdot 11 = 3351 \equiv 271 (\mod 385)$ .

Más adelante…

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Verifica que, en efecto, las soluciones que obtuvimos en el ejemplo después del Teorema 2 sí son soluciones de la ecuación original.
Cuando un sistema de dos ecuaciones en módulos $m$ y $n$ sí tiene solución, ¿cuántas soluciones módulo $m n$ tiene?
Usando $(\dots)$ para máximo común divisor y $[\dots]$ para mínimo común múltiplo, demuestra que para cualesquiera enteros $m_{1}, m_{2}, \dots, m_{n}$ se tiene que $([m_{1}, \dots, m_{n}], m_{n + 1}) = [(m_{1}, m_{n + 1}), \dots, (m_{n}, m_{n + 1})] .$
Verifica que las soluciones del último ejemplo en efecto satisfacen el sistema de ecuaciones inicial.
Demuestra que para cualquier entero $n \geq 1$ existen $n$ enteros consecutivos tal que la factorización en primos de cada uno de ellos usa al menos dos primos diferentes.

Entradas relacionadas

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

3 comentarios en “Álgebra Superior II: Teorema chino del residuo”

Rodrigo Seels julio 5, 2021 a las 6:24 pm

Buen día:

En en el paso inductivo de la demostración del teorema (3) se dice: «Con esto mostramos que cada mcd(m_(n+1),mi) divide a b_(n+1)-c, de modo que el mínimo común múltiplo de estos números también divide a b_(n+1)-c.»

¿Por qué sucede esto?

¡Gracias!

Responder ↓
Sebastián diciembre 17, 2021 a las 10:00 am

Hola, tengo un problema que no se como se puede resolver, si me pudiera ayudar le agradecería.

Utilice el teorema chino de los restos para encontrar las cuatro soluciones módulo 35
de la congruencia: X^2 – 1 == 0 (mod 35)

Responder ↓
1. Leo Autorfebrero 10, 2022 a las 12:48 pm
  
  Hola Sebastián. Cómo es modulo 35, tienes que encontrar las soluciones mod 5, mod 7 y hacer todas las combinaciones que obtienes con el teorema chino del residuo.
  
  Responder ↓

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