(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En la entrada anterior aprendimos que el Teorema de Cayley es muy útil porque nos permite visualizar a un grupo $G$ como un subgrupo del grupo de permutaciones. Si el grupo es de orden $n$, se puede visualizar como un subgrupo del grupo $S_n$ que tiene orden $n!$, entonces hemos visualizado a $G$ como parte de un grupo de permutaciones $S_n$ que es realmente mucho más grande que $G$. Lo que haremos en esta entrada es relacionar al grupo $G$ con un grupo simétrico pero más pequeño que $S_n$. Utilizaremos los elementos de $G$ no para mover sus propios elementos, si no, para mover clases laterales.
Después de probar este resultado, veremos una aplicación de esta modificación del Teorema de Cayley para trabajar con clase laterales. Esta aplicación generaliza el resultado que se probó para grupos normales, anteriormente establecimos que todo subgrupo de índice 2 es un subgrupo normal. Probaremos que si tomamos el menor primo que divide al orden de un grupo y tenemos un subgrupo ese índice, entonces este subgrupo tiene que ser normal.
Para esta entrada, es recomendable que repases los grupos de permutaciones.
Relacionemos a $G$ con un grupo simétrico más pequeño
En el siguiente teorema relaciona a $G$ con un grupo simétrico, pero en este caso $n$ no es el orden de $G$, si no el índice de $G$ con respecto a un subgrupo $H$.
Teorema. Sea $G$ un grupo, $H$ subgrupo de $G$ de índice finito, $[ G:H ] = n.$
Existe un homomorfismo $\phi: G \to S_n$ con $\text{Núc }\phi \leq H$.
Observemos que el Teorema de Cayley nos da un isomorfismo y este teorema sólo nos da un homomorfismo (no necesariamente inyectivo). De todas maneras, se puede usar este teorema para probar otros resultados.
Demostración.
Sea $G$ un grupo, $H\leq G$ de índice finito, digamos $[ G:H ] = n$. Para cada $a \in G$ definimos $\tau_a : G/H \to G/H$ con $\tau_a(gH) = agH$ para toda $g\in G$.
Para esta demostración, como $H$ no es necesariamente normal, $G/N$ no es un grupo. Sólo lo estamos pensando como la colección de todas las clases laterales de $G$ con respecto a $H$.
Dada $g\in G$,
\begin{align*}
\tau_a \circ \tau_{a^{-1}} (gH) &= \tau_a(\tau_{a^{-1}}(gH)) = a(a^{-1}g)H = gH\\
\tau_{a^{-1}} \circ \tau_a (gH)&= \tau_{a^{-1}} (\tau_a(gH)) = a^{-1}(ag)H = gH.
\end{align*}
Así, $\tau_{a^{-1}}$ es la inversa de $\tau_a$ y $\tau_a$ es biyectiva.
Definimos entonces $\psi: G \to S_{G/H}$ con $\psi(a) = \tau_a$ para todo $a\in G$. Tomemos $a,b\in G$ y $g\in G$. A continuación demostraremos que $\psi$ es un homomorfismo:
\begin{align*}
\psi(ab) (gH) &= \tau_{ab}(gH) = (ab)gH = a(bg)H = \tau_a(\tau_b(gH))\\
&= \tau_a \circ \tau_b(gH) = \psi (a) \circ \psi(b) (gH)
\end{align*}
Observemos que las igualdades son producto exclusivamente de las definiciones de $\psi$ y de $\tau_a$. Así, $\psi(ab) = \psi(a)\circ\psi(b)$ para todo $a,b\in G$. Por lo que $\psi$ es un homomorfismo.
Ahora pasemos a la segunda parte del teorema.
Sí $a\in\text{Núc }\psi$, $\psi(a) = \text{id}_{G/N}$ y entonces, para todo $g\in G$ obtenemos,
\begin{align*}
\psi(a)(gH) = gH &\Rightarrow \tau_a(gH) = gH & \text{definición de }\psi\\
&\Rightarrow agH= gH & \text{pues } \psi(a) = \text{id}_{G/N} \\
&\Rightarrow aH = H &\text{en particular, cuando } g=e\\
&\Rightarrow a \in H.
\end{align*}
Por lo tanto $\text{Núc }\psi \leq H$.
Como $\#G/N = n$, sabemos que $S_{G/N}\cong S_n$ y existe $\rho: S_{G/H}\to S_n$ un isomorfismo. Así $\rho\circ\psi: G\to S_n$ es el homomorfismo buscado.
$\blacksquare$
Observación. Si $H = \{e\}$ se tienen el Teorema de Cayley.
Ilustremos lo aprendido
Veamos un ejemplo.
Ejemplo. Tomemos el grupo simétrico $G = S_3$, el subgrupo $H = \left<(1,2)\right>$ y el cociente $G/H = \{H, (1\;3)H, (2\;3)H\}$.
Retomemos la función de la demostración: $\psi: S_3 \to S_{G/H}$, $\psi(a) = \tau_a$ para toda $a \in S_3$. Entonces,
\begin{align*}
a \in \text{Núc }\psi &\Leftrightarrow \psi(a) = \text{id}_{G/N} \\ &\Leftrightarrow \tau_a(gH) = gH \;\; \forall g\in S_3\\
&\Leftrightarrow agH = gH \;\; \forall g\in S_3.
\end{align*}
Así, en este caso si $a\in \text{Núc }\psi$,
\begin{align*}
a(1\;3)H = (1\;3)H &\Rightarrow (1\;3) a (1\;3) \in H = \{(1), (1\;2)\}.
\end{align*}
Recordemos que dos clases laterales $aH, bH$ son iguales si y sólo si $b^{-1}ab\in H$. En este caso, el inverso de $(1\;3)$ es él mismo.
\begin{align*}
&\Rightarrow a = (1) \text{ ó } a = (1\; 3) (1\; 2)(1\;3) = (3\;2).
\end{align*}
Sin embargo, como $a\in\text{Núc }\psi$, no sólo deja fijo a $(1\;3)$, si no también a $(2\;3)$, siguiendo un razonamiento similar obtenemos:
\begin{align*}
a(2\;3)H = (2\; 3)H &\Rightarrow (2\; 3)a(2\; 3) \in H = \{(1), (1\;2)\}\\
&\Rightarrow a = (1) \text{ ó } a = (2\; 3) (1\; 2) (2\; 3) = (1\; 3).
\end{align*}
Entonces, por un lado tenemos que $a = (1) \text{ ó } a = (3\;2)$ y por el otro, tenemos que $a = (1) \text{ ó } a = (1\; 3)$. Así, $a = (1)$.
Por lo tanto, $\text{Núc }\psi = \{(1)\}\leq H.$
Aplicación de la modificación
A continuación veremos la aplicación de la modificación del Teorema de Cayley que mencionamos en la introducción. La aplicación consiste en una generalización de un resultado visto previamente. En entradas anteriores, vimos que todo subgrupo de índice 2 es un subgrupo normal. Ahora veremos que si hay un subgrupo de orden el menor primo que divide al orden de un grupo, este subgrupo será normal.
Corolario. Si $G$ es un grupo finito y $p\in \z^+$ es el menor primo positivo que divide al orden de $G$, entonces todo subgrupo de $G$ de índice $p$ es normal en $G$.
Demostración.
Sea $G$ un grupo finito, $|G|= n$, $p\in\z^+$ el menor primo positivo que divide a $n$.
Supongamos que $H\leq G$ con $[ G:H ] = p$. Probaremos que $H$ es normal.
Sea $\psi:G\to S_{G/H}$ con $\psi(a) = \tau_a$ para toda $a\in G$ como en el teorema anterior. Sabemos que $\text{Núc } \psi \leq H \leq G$, como secuencia del Teorema de Lagrange tenemos
\begin{align} \label{eq:orden}
[ G: \text{Núc }\psi] = [ G:H ] [ H: \text{Núc }\psi ] = p [ H:\text{Núc } \psi].
\end{align}
Por el Primer Teorema de Isomorfía, $$G/\text{Núc }\psi\cong \text{Im }\psi \leq S_{G/H}\cong S_p,$$
\begin{align*}
\Rightarrow& [ G: \text{Núc }\psi ] = \left|G/\text{Núc }\psi \right|\Big| |S_p|\\
\Rightarrow& p [ H: \text{Núc }\psi ] \Big| p! & \text{porque } |S_p| = p! \text{ y } (\ref{eq:orden})\\
\Rightarrow &[ H: \text{Núc }\psi ] \Big| (p-1)!
\end{align*}
Si $[ H: \text{Núc }\psi ] > 1$, existiría $q\in\z^+$ un primo que lo divide, entonces $q\Big| a$ con $a \in \{1,2,\dots,p-1\}$. Por lo tanto $q<p.$
Pero, por el Teorema de Lagrange, $$|G| = [ G:\text{Núc }\psi ] |\text{Núc }\psi| = [ G:H] [ H: \text{Núc }\psi] |\text{Núc }\psi|.$$ Entonces $[ H: \text{Núc }\psi] \Big| |G|.$
Y como $q| [ H : \text{Núc }\psi ]$, entonces $q\Big||G|$.
Entonces, $q$ sería un divisor primo positivo de $n$, menor que $p$. Esto es una contradicción.
Así $[ H: \text{Núc }\psi ] = 1$, de donde $|H| = |\text{Núc }\psi|$ y como $ \text{Núc }\psi \leq H$ concluimos que $H = \text{Núc }\psi \unlhd G.$
Por lo tanto $H\unlhd G$.
$\blacksquare$
Observación. No siempre existe dicho subgrupo, por ejemplo $A_4$ no tiene subgrupos de índice 2.
Esto sucede porque $A_4$ tiene 12 elementos, el menor primo que divide a 12 es 2. Pero, de acuerdo a lo que estudiamos, $A_4$ no tiene subgrupos de orden 6, entonces no existen subgrupos de índice 2.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- Demuestra la observación: Si $H = \{e\}$ se tienen el Teorema de Cayley.
- Sea $V$ el grupo de Klein. $H = \left< (1,0) \right>$. Determina cómo son las funciones $\tau_a$ para cada $a\in V$ y describe cómo se puede visualizar a cada elemento $a\in V$ como una permutación en $\{(a,b) + H\,|\, (a,b) \in V \}$, y como una permutación en $S_2$.
- Dado $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$ de índice finito $n$, sabemos que existe un homomorfismo $\phi$ de $G$ en $S_n$ con $\text{Núc }\phi \leq H.$ Da una condición necesaria y suficiente para que $\text{Núc }\phi = H.$
- Sea $G$ un grupo finito de orden $n$ y $H$ un subgrupo de de índice primo $p$. ¿Es $H$ normal en $G$? Prueba o da un contraejemplo.
Más adelante…
Con este teorema hemos avanzado un pasito en la idea de usar elementos de un grupo para modificar otro, ahora usando clases laterales. El Teorema de Cayley y su modificación son importantes para el tema que veremos en la siguiente entrada, donde ahora sí, usaremos un grupo cualquiera para actuar sobre otro grupo cualquiera.
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