(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Vamos a ver una aplicación importante del grupo cociente. Sabemos que podemos dividir a los enteros en impares e impares. Esto se representa con ${\mathbb{Z}}_2=\{\overline{0},\overline{1}\}$, donde todos los pares quedan identificados por $\overline{0}$ y los impares por $\overline{1}$. Esto es el objetivo del grupo cociente que definimos en la entrada anterior, identificar elementos en una misma clase lateral.

Ahora, si queremos traducir esto a un grupo general $G$, necesitamos sacar el cociente módulo un subgrupo $H$, entonces cada $h\in H$ es un representante de esta clase de equivalencia, de modo que todos los elementos de $H$ se identificarán entre sí, en particular, todos los elementos de $H$ quedarán identificados con el neutro $e$ de $H$ ya que $hH=eH$.

Por otro lado, recordemos que en general el grupo no es abeliano, es decir no sucede que $ab=ba$ para $a,b\in G$. Pero si tomamos $H⊴G$ de modo que $ab\in H$ y $ba\in H$, entonces $abH=baH$ y las clases representadas por $ab$ y $ba$ serán la misma, por lo que $aH$ y $bH$ conmutarán en el cociente. Si recordamos la relación de equivalencia definida en entradas anteriores podemos obtener las siguientes equivalencias,
$$\begin{array}{r}abH=baH\iff (ab{)}^{-1}ba=b^{-1}{a}^{-1}ba\in H.\end{array}$$

Como nos interesa que $G/H$ sea abeliano, necesitamos que la palabra $b^{-1}{a}^{-1}ba\in H$ para toda $a,b\in G$. Esto nos obliga a que el conjunto $\{b^{-1}{a}^{-1}ba|a,b\in G\}$ esté contenido en $H$. En general, este conjunto no es necesariamente un grupo, pero podemos considerar el generado y así, nos interesaría que el generado esté contenido en $H$:
$$⟨b^{-1}{a}^{-1}ba|a,b\in G⟩\subseteq H.$$

El objetivo de esta entrada es definir primero al conmutador de $a$ y $b$. Luego, definir al generado por la colección de todos los conmutadores en el grupo. Todo esto con el objetivo de construir un grupo cociente abeliano, aunque $G$ no lo sea.

Subgrupo conmutador de $G$

Definción. Sea $G$ un grupo, $a,b\in G$. El conmutador de $a$ y $b$ es $$[a,b]=ab{a}^{-1}{b}^{-1}.$$

El subgrupo conmutador de $G$ es $$G^{\prime }=⟨[a,b]|a,b\in G⟩.$$

Observación 1. $G^{\prime }=\{e\}$ si y sólo si $G$ es abeliano.

Demostración.

$$\begin{array}{rl}{G}^{\prime }=\{e\}& \iff [a,b]=e\mathrm{\forall }a,b\in G\iff ab{a}^{-1}{b}^{-1}=e\mathrm{\forall }a,b\in G\\ & \iff ab=ba\mathrm{\forall }a,b\in G\iff G\text{ es abeliano.}\end{array}$$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Esa observación nos dice intuitivamente que entre más grande sea el conmutador, $G$ está más alejado de ser abeliano.

Observación 2. El inverso de un conmutador es un conmutador.

La demostración queda como tarea moral.

Observación 3. El conmutador es un subgrupo normal de $G$, es decir, $G^{\prime }⊴G$.

Demostración.
Para probar que el conmutador es un subgrupo normal, necesitamos ver que $G^{\prime }$ es cerrado bajo conjugación. Pero como los elementos de $G^{\prime }$ son palabras donde las letras son conmutadores o sus inversos, y por la observación anterior son palabras donde las letras son conmutadores, entonces basta ver que al conjugar un conmutador obtenemos un elemento en $G^{\prime }$, es decir que $g[a,b]g^{-1}\in G^{\prime }$ para todos $g,a,b\in G$.

Sean $a,b,g\in G$.

$$\begin{array}{r}g[a,b]g^{-1}=gab{a}^{-1}{b}^{-1}{g}^{-1}.\end{array}$$
Para ver que este elemento está en $G^{\prime }$ debemos ver a $gab{a}^{-1}{b}^{-1}{g}^{-1}$ como un producto de conmutadores, para eso agregaremos al neutro antes de $b^{-1}{g}^{-1}$, con el neutro expresado como $g^{-1}{b}^{-1}bg$. Luego, nos fijamos qué términos dan lugar a conmutadores y obtenemos lo siguiente:
$$\begin{array}{rl}g[a,b]g^{-1}& =gab{a}^{-1}{b}^{-1}{g}^{-1}\\ & =gab{a}^{-1}(g^{-1}{b}^{-1}bg)b^{-1}{g}^{-1}\\ & =(ga)b(ga{)}^{-1}{b}^{-1}bg{b}^{-1}{g}^{-1}\\ & =[ga,b]|[b,g]\in G^{\prime }\end{array}$$

Por lo tanto $G^{\prime }⊴G$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Condiciones sobre un subgrupo para que el cociente sea abeliano

Teorema. Sea $G$ un grupo, $H$ un subgrupo de $G$. Tenemos que

$G^{\prime }\subseteq H$ si y sólo si, $H⊴G$ y $G/H$ es abeliano.

Demostración.
Sea $G$ un grupo $H\le G$.

$|\Rightarrow ]$ Supongamos que $G^{\prime }\subseteq H.$

P.D. $H⊴G$.
Sean $h\in H$, $g\in G$.
P.D. $gh{g}^{-1}\in H$

Sabemos que $gh{g}^{-1}{h}^{-1}=[g,h]\in G^{\prime }$ por definición de conmutador, y por hipótesis $G^{\prime }\subseteq H$. Así, $gh{g}^{-1}{h}^{-1}\in H$.

Luego, nombremos $gh{g}^{-1}{h}^{-1}=\tilde{h}$ con $\tilde{h}\in H$. Despejando lo que nos interesa, obtenemos $gh{g}^{-1}=\tilde{h}h\in H$. Con esto probamos que todo conjugado de $H$ sigue viviendo en $H$.

Por lo tanto $H⊴G$.

P.D. $G/H$ es abeliano.

Sean $a,b\in G$.

$$\begin{array}{rl}{a}^{-1}{b}^{-1}ab& =a^{-1}{b}^{-1}(a^{-1}{)}^{-1}(b^{-1}{)}^{-1}=\lceil a^{-1},b^{-1}\rceil \in G^{\prime }\subseteq H\Rightarrow a^{-1}{b}^{-1}ab\in H\\ & \Rightarrow (ba{)}^{-1}ab\in H\Rightarrow baH=abH\\ & \Rightarrow bHaH=aHbH.\end{array}$$

Como $aH$ y $bH$ son clases arbitrarias en $G/H$, concluimos que $G/H$ es abeliano.

$[\Leftarrow |$ Supongamos que $H⊴G$ y $G/H$ es abeliano.

Tomemos $a,b\in G$ arbritrarios.

Como $G/H$ es abeliano, entonces $a^{-1}H{b}^{-1}H=b^{-1}H{a}^{-1}H$, es decir $a^{-1}{b}^{-1}H=b^{-1}{a}^{-1}H.$ Entonces $(b^{-1}{a}^{-1}{)}^{-1}{a}^{-1}{b}^{-1}\in H$, pero $(b^{-1}{a}^{-1}{)}^{-1}{a}^{-1}{b}^{-1}=ab{a}^{-1}{b}^{-1}=[a,b]$, entonces $[a,b]\in H$ para todos $a,b\in G$.

Así $G^{\prime }\subseteq H$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Ejemplo

Para terminar, veamos un ejemplo sencillo pero importante.

Tomemos $S_3$ y $A_3$.

Sabemos que $A_3⊴S_3$ y $S_3/A_3=\{A_3,(12)A_3\}$ que es abeliano. De hecho, en la entrada anterior analizamos el caso general, puedes verificar cómo es la operación del grupo cociente con la tabla que dimos y verificar que $S_3/A_3$ que es abeliano.

Entonces $S_3^{\prime }\subseteq A_3=\{(1),(123),(132)\}$.

Como $S_3$ no es abeliano, por la observación que dimos $S_3^{\prime }\ne \{(1)\}$. Concluimos que $S_3^{\prime }=A_3.$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

1. Prueba que el inverso de un conmutador también es un conmutador.
2. Sea $D_{2(4)}=\{\text{id},a,a^2,a^3,b,ab,a^{2}b,a^{3}b\}$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un cuadrado, con $a$ la rotación de $\frac{\pi }{2}$ y $b$ la reflexión con respecto al eje x.
   1. Calcula el cociente de $D_{2(4)}$ módulo $⟨a^2⟩$.
   2. Encuentra $D_{2(4)}^{\prime }$.
3. Sea $G$ un grupo, $H$ y $K$ subgrupos normales de $G$ tales que $G/H$ y $G/K$ son abelianos, ¿es entonces $G/H\cap K$ abeliano?

Más adelante…

¡Felicidades! Esta es la última entrada de la unidad 2. Esta unidad se trató de definir nuevas estructuras que nos ayudan para describir mejor a los grupos y subgrupos. Hablamos sobre el orden del grupo y extendimos propiedades de los enteros hacia la generalidad de los grupos, como separar un grupo en clases de equivalencia. La siguiente entrada introduce la tercera unidad de este curso y presenta un tema nuevo: unas funciones que «respetan» o «abren» operaciones.

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