(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la entrada anterior aprendimos qué es un subgrupo, sus características y hablamos de los subgrupos finitos. Pero en general, si tenemos un conjunto $G$ y escogemos un subconjunto $X$ de $G$, $X$ no tendría por qué ser un subgrupo. A partir de esta entrada comenzaremos a estudiar qué necesitamos agregarle a $X$ para que se vuelva un subgrupo.

Particularmente, ahora hablaremos sobre el orden de un elemento y de cómo este orden puede inducir ciertos grupos y subgrupos. Por ejemplo, definiremos qué es un subconjunto generado por $a$, con $a\in G$.

El orden de un elemento

Definición. (Orden de un elemento)
Sea $G$ un grupo, $a\in G$. Si $a^k=e$ para algún $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$ decimos que $a$ es de orden finito y en ese caso definimos el orden de $a$ como

$o(a)=\text{mín}\{k\in {\mathbb{Z}}^{+}|a^k=e\}$.

En caso contrario decimos que $a$ es de orden infinito.

Ejemplos.

1. ${\mathrm{\Gamma }}_8=\{{\xi }^k|0\le k<8\}$ con $\xi =e^{\frac{\pi i}{4}}$. Entonces $o({\xi }^2)=4$.
2. Consideremos el conjunto $V=\{(0,0),(1,0),(0,1)(1,1)\}$ con la suma entrada a entrada módulo $2$. Éste se conoce como el grupo de Klein. Tenemos que
   • $o((1,0))=2$ ya que $(1,0)\ne (0,0)$ pero $2(1,0)=(1,0)+(1,0)=(0,0)$.
   • $o((0,0))=1$, $o((1,0))=o((0,1))=o((1,1))=2$.
3. Consideremos $\mathbb{Z}$, $o(0)=1$ y para toda $a\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$, $a$ es de orden infinito.

Lema. Sea $G$ un grupo, $a\in G$ de orden finito. Si $a^k=e$ para alguna $k\in \mathbb{Z}$, entonces $o(a)$ divide a $k$.

Demostración.
Sea $a\in G$ de orden finito. Supongamos que $a^k=e$ para algún $k\in \mathbb{Z}$.

P.D. $o(a)|k$
Por el algoritmo de la división en $\mathbb{Z}$ existen $q,r\in \mathbb{Z}$ tales que

$\begin{array}{rlr}k& =o(a)q+r& \text{con }0\le r<o(a)\end{array}$

Entonces

$\begin{array}{rl}e& =a^k\\ & =a^{o(a)q+r}\\ & =(a^{o(a)}{)}^q{a}^r\\ & =e^q{a}^r\\ & =e{a}^r\\ & =a^r\end{array}$

Así $e=a^r$, con $0\le r<o(a)$. Pero $o(a)$ es el mínimo entero positivo tal que al colocarlo como exponente en $a$ da $e$, entonces $r=0$. Por lo tanto $o(a)|k$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Lema. Sea $G$ un grupo, $a\in G$ de orden finito. Sea $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$. Si se cumple que

1. $a^n=e$
2. $a^k=e$ con $k\in \mathbb{Z}$ implica que $n|k$

entonces $n=o(a)$.

Demostración.
Sea $G$ un grupo, $a\in G$ de orden finito. Sea $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ tal que cumple los incisos 1 y 2.

P.D. $n=o(a)$
Como se cumple el inciso 1, $a^n=e$. Entonces

$n\in \{k\in {\mathbb{Z}}^{+}|a^k=e\}$.

Veamos que $n$ es el elemento mínimo.
Sea $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$ tal que $a^k=e$. Por el inciso 2, se tiene que $n|k$, entonces $|n|\le |k|$ pero $n,k\in {\mathbb{Z}}^{+}$ entonces $n\le k$.

Por lo tanto $n=\text{mín}\{k\in {\mathbb{Z}}^{+}|a^k=e\}=o(a)$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

El subgrupo cíclico

Proposición. Sea $G$ un grupo y $a\in G$. El conjunto $\{a^n|n\in \mathbb{Z}\}$ es un subgrupo de $G$.

Notación. A partir de ahora, al conjunto anterior lo denotaremos como $⟨a⟩=\{a^n|n\in \mathbb{Z}\}$

Demostración de la proposición.
Sean $G$ un grupo y $a\in G$.

P.D. $⟨a⟩\le G$
$e=a^0\in ⟨a⟩$
Sean $x,y\in ⟨a⟩$, entonces $x=a^n$, $y=b^m$ con $n,m\in \mathbb{Z}$.
Tenemos que $x{y}^{-1}=a^n(a^m{)}^{-1}=a^n{a}^{-m}=a^{n-m}\in ⟨a⟩$.
Por lo tanto $⟨a⟩\le G$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Definición. Sean $G$ un grupo y $a\in G$,

$⟨a⟩=\{a^n|n\in \mathbb{Z}\}$

se llama el subgrupo cíclico de $G$ generado por $a$. Decidimos que $G$ es un grupo cíclico si $G=⟨a⟩$ para alguna $a\in G$ y en ese caso decimos que $a$ es un generador de $G$.

Ejemplo.

1. $G=\{{\xi }^k|0\le k<8\}$ con $\xi =e^{\frac{\pi i}{4}}$.
   $G$ es un grupo cíclico, pues $G=⟨\xi ⟩$ y $\xi$ es un generador de $G$.
   El conjugado de $\xi$, $\overline{\xi }$, es otro generador de $G$.
   $\{1,i,-1,-i\}=⟨{\xi }^2⟩$ es el subgrupo cíclico de $G$ generado por $i$.
2. $\mathbb{Z}=⟨1⟩$ es un grupo cíclico, $1$ y $-1$ son generadores de $\mathbb{Z}$.
3. Sea $V=\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$ el grupo de Klein definido al inicio de esta entrada. Tenemos que $⟨(1,0)⟩=\{(1,0),(0,0)\}$ es un subgrupo cíclico de $V$ generado por $(1,0)$. Se puede verificar que los elementos de $V$ generan subgrupos de uno o dos elementos. Por lo tanto $V$ no es cíclico.
4. Sea $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$. El conjunto de unidades de ${\mathbb{Z}}_m$ se define como las clases módulo $m$ que tienen inverso multiplicativo, o bien $\{\bar{n}\in {\mathbb{Z}}_m|(n;m)=1\}$ y se denota por $U({\mathbb{Z}}_m)$. Se puede probar que éste es un grupo con el producto. Consideremos ahora el grupo $U({\mathbb{Z}}_{10})=\{\bar{n}\in {\mathbb{Z}}_{10}|(n;10)=1\}$.
   Tenemos que $U({\mathbb{Z}}_{10})=\{\bar{1},\bar{3},\bar{7},\bar{9}\}$.
   Como ${\bar{3}}^2=\bar{9}$, ${\bar{3}}^3=\overline{27}=\bar{7}$,
   ${\bar{3}}^4=$${\bar{3}}^3\bar{3}=$$\bar{7}\bar{3}=$$\overline{21}=$$\bar{1}$, entonces $U({\mathbb{Z}}_{10})=⟨\bar{3}⟩$ y $U({\mathbb{Z}}_{10})$ es cíclico.

Tarea moral

1. Sea $G=GL(2,\mathbb{Q})$ (recuerda las definiciones en los ejemplos importantes de matrices). Considera las matrices
   $A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$
   Muestra que $A$ y $B$ tienen orden finito pero $AB$ no.
2. Prueba que las siguientes 4 matrices forman un grupo multiplicativo y encuentra el orden de cada elemento.
   $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$
3. Prueba o da un contraejemplo: Si $a^k=e$, entonces $k$ es el orden de $a$.
4. Considera el grupo diédrico formado por las simetrías de un hexágono. Sea $R$ la rotación de $\frac{2\pi }{3}$.
   • Determina el orden de $R$.
   • Encientra otros cincos valores $k$ enteros tales que $R^k=id$ y analiza si existe alguna relación entre $o(a)$ y estos valores de $k$.

Más adelante…

Ahora ya conocemos el subgrupo generado por $a$. En las siguientes entradas profundizaremos en las características de éste, definiremos el orden de un grupo y la relación que podemos encontrar entre ambos.

Entradas relacionadas

• Ir a Álgebra Moderna I.
• Entrada anterior del curso: Subgrupos.
• Siguiente entrada del curso: Orden de un grupo.
• Resto de cursos: Cursos.