(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
Consideremos $\alpha \in S_7$ como $\alpha = (1\,3\,2)(6\,4)$, esta permutación fija a $5$ y a $7$. Entonces también podemos escribirla como $\alpha = (1\,3\,2)(6\,4)(5)(7)$. Notamos que una de las cosas en las que difieren es que en la segunda descomposición estamos agregando uno ciclos, pero también $\alpha = (1 \, 3 \, 2) (7) (6 \, 4)(5)$ es otra forma diferente de expresar a la permutación escribiendo a los uno ciclos. En esta entrada nos planteamos la posibilidad de escribir a $\alpha$ como un producto de ciclos distintos incluyendo a todos los uno ciclos y analizamos en qué difieren todas las distintas maneras de hacerlo.
Antes de empezar, podrías intentar escribir todas las maneras posibles de describir a $\alpha$ escribiendo a los uno ciclos. ¿Notas algo en común entre todas? Al final de esta entrada, tendremos la respuesta más clara.
Definición de una factorización completa
Para empezar, necesitamos definir un nuevo concepto.
Definición. Sea $\alpha \in S_n$. Una factorización completa de $\alpha$ es una descomposición de $\alpha$ en ciclos disjuntos con un $1-$ciclo por cada elemento fijado por $\alpha$.
Ejemplos.
- Sea $\alpha \in S_8$ como
\begin{align*}
\alpha = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
3 & 2 & 1 & 5 & 7 & 6 & 4 & 8
\end{pmatrix}
\end{align*}
Entonces $\alpha = (1 \; 3)\,(4 \; 5 \; 7)$ es una factorización de $\alpha$ en ciclos distintos pero no es una factorización completa de $\alpha$. Por otro lado $\alpha = (1 \; 3)\,(4 \; 5 \; 7)\,(2) \,(6) \,(8)$ sí es una factorización completa de $\alpha$. - Sea $\beta$ dada por \begin{align*}
\beta = (2 \; 4 \; 6 \; 8) \, (1 \; 3 \; 5)\,(7).
\end{align*}
Esa es una factorización completa de $\beta \in S_8$, pero no en $S_{10}$, en $S_{10}$ una factorización completa de de $\beta$ sería
\begin{align*}
\beta = (2 \; 4 \; 6 \; 8) \, (1 \; 3 \; 5)\,(7)\, (9) \, (10).
\end{align*}
No es UNA factorización completa, es LA factorización completa
Recortemos la pregunta de la introducción ¿qué tienen en común todas las formas de describir a $\alpha$ como un producto de ciclos distintos en el que se incluyen todos los uno ciclos? He aquí la respuesta.
Teorema. Una factorización completa es única salvo por el orden de los factores.
Demostración.
Supongamos por reducción al absurdo que existe $\alpha\in S_n$ con dos factorizaciones completas distintas, no sólo por el orden de sus factores. Dado que en una factorización completa los $1-$ciclos corresponden a los elementos que quedan fijos, éstos coinciden en ambas factorizaciones. Igualando ambas factorizaciones y cancelando los $1-$ciclos y el resto de los factores comunes de ambas factorizaciones obtenemos $$\beta_1 \cdots \beta_r = \delta_1 \cdots \delta_s,$$ con $r,s \in \n^+.$ Notemos que $\alpha=\beta_1 \cdots \beta_r= \delta_1 \cdots \delta_s$.
Por la hipótesis de reducción al absurdo, alguno de los factores de la primera expresión de $\alpha$ no aparece como factor en la segunda expresión de $\alpha$ o viceversa. Sin pérdida de generalidad supongamos que $\beta_1\notin \{ \gamma_1, \dots , \gamma_s\}.$
Sea $i\in\{1,\dots , n\}$ un elemento movido por $\beta_1$, entonces, de acuerdo a lo que hemos estudiado, $\beta_1$ es de la forma $$\beta_1= (i \; \beta_1(i) \; \cdots \;\beta_1 ^{t-1}( i)),$$ con $t$ el menor natural positivo tal que $\beta_1 ^{t}( i)=i$. Dado que $\beta_1 ,\dots , \beta_r $ son disjuntos, $\alpha$ mueve a $i$, y como $\delta_1, \dots , \delta_s$ también son disjuntos, exactamente un factor $\delta_1, \dots , \delta_s$ mueve a $i$. Sin pérdida de generalidad supongamos que $\delta_1$ mueve a $i$, entonces $\delta_1$ es de la forma $$\delta_1= (i \;\delta_1(i) \; \cdots \;\delta_1 ^{k-1}( i)),$$ con $k$ el menor natural positivo tal que $\delta_1 ^{k}( i)=i$.
Pero, debido a que $\beta_1 ,\dots , \beta_r $ son disjuntos, conmutan, y entonces $$\alpha ^j (i)=(\beta_1 \cdots \beta_t)^j(i)=\beta_1^j \cdots \beta_t^j(i)=\beta_1^j (i)$$ para toda $j\in\mathbb{N}^+$. Análogamente $\alpha ^j (i)=\delta_1^j (i)$ para toda $j\in\mathbb{N}^+$. Concluimos con ello que $\beta_1 ^j (i)=\delta_1^j (i)$ para toda $j\in\mathbb{N}^+$ y en consecuencia $t=k$ y $\beta_1=\delta_1$, contradiciendo la elección de $\beta_1$.
Así, toda factorización completa es única salvo por el orden de los factores.
$\blacksquare$
Tarea moral
- Considera el siguiente elemento de $S_9$
\begin{align*}
\alpha = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
9 & 8 & 1 & 4 & 3 & 7 & 6 & 2 & 5
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Encuentra la factorización completa de $\alpha$. - Sea $\alpha \in S_n$ y $\alpha = \beta_1 \dots \beta_t$ una factorización completa de $\alpha$. Analiza qué ocurre con $\displaystyle \sum_{i= 1}^t \text{long } \beta_i$.
- Considera el ejercicio 3 de la entrada de permutaciones:
Sean $\alpha, \beta \in S_{10}$,
\begin{align*}
\alpha = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
10 & 4 & 3 & 2 & 9 & 7 & 5 & 1 & 6 & 8
\end{pmatrix} \\ \\
\beta = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Encuentra las factorizaciones completas de $\alpha, \beta, \alpha\beta, \beta\alpha$ y $\beta^{-1}$.
Más adelante…
Entonces ya sabemos que existe una factorización única para cada permutación. La usaremos para definir el concepto de estructura cíclica en la siguiente entrada.
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