Álgebra Lineal I: Combinaciones lineales

Introducción

En esta entrada presentamos el concepto de combinaciones lineales en espacios vectoriales que será fundamental para nuestro estudio. De cierta manera (que se verá más claramente cuando hablemos de bases en espacios vectoriales arbitrarios) captura un aspecto de la base canónica de F^n: Todo vector lo podemos escribir como x_1 e_1+\dots+x_n e_n, lo que con nuestro lenguaje será una combinación lineal de los vectores e_i.

También hablamos del concepto de espacio generado. De manera intuitiva, el espacio generado por un conjunto de vectores es el mínimo subespacio que los tiene (y que a la vez tiene a todas las combinaciones lineales de ellos). Geometricamente, los espacios generados describen muchos de los objetos conocidos como rectas y planos. De manera algebraica, este concepto nos servirá mucho en lo que sigue del curso.

Definición de combinaciones lineales

Sea V un espacio vectorial sobre un campo F, y sean v_1, \dots, v_n vectores en V. Por definición, V contiene a todos los vectores de la forma c_1 v_1+\dots +c_n v_n con c_1, \dots, c_n \in F. La colección de los vectores de este estilo es importante y le damos una definición formal:

Definición. Sean v_1, \dots, v_n vectores en un espacio vectorial V sobre F.

  1. Un vector v es una combinación lineal de los vectores v_1, \dots, v_n si existen escalares c_1,\dots, c_n\in F tales que

        \begin{align*}v= c_1 v_1 +c_2 v_2+\dots +c_n v_n.\end{align*}

  2. El espacio generado (que a veces abreviaremos como el generado) por v_1, \dots, v_n es el subconjunto de V de todas las combinaciones lineales de v_1,\dots, v_n, y lo denotamos por \text{span}(v_1, \dots, v_n).

Ejemplo.

  1. La matriz A=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} es una combinación lineal de las matrices B= \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 5 & 0\end{pmatrix} y C=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix} pues A=\frac{1}{5} B + 2 C. Así, A está en el generado por B y C.
  2. El generado \text{span}(v) de un único vector en \mathbb{R}^n consta de puras copias re-escaladas de v (también nos referimos a estos vectores como múltiplos escalares de v). Usando la interpretación geométrica de vectores en \mathbb{R}^2 o \mathbb{R}^3, si v\neq 0 entonces \text{span}(v) representa una recta por el origen en la dirección de v.
  3. Si e_1=(1,0,0) y e_2=(0,1,0), entonces

        \begin{align*}x e_1+ y e_2=(x,y,0).\end{align*}


    Como x y y fueron arbitrarios, podemos concluir que \text{span}(e_1,e_2) consta de todos los vectores en \mathbb{R}^3 cuya tercer entrada es cero. Esto es el plano xy. En general, si v_1, v_2 son dos vectores no colineales en \mathbb{R}^3 entonces su espacio generado es el único plano por el origen que los contiene.
  4. El polinomio 3x^{10}+7 del espacio vectorial \mathbb{R}_{10}[x] no puede ser escrito como combinación lineal de los polinomios x^{10}+x^2+1, x^7+3x+1, 7x^3. Para demostrar esto, debemos probar que no existen reales a,b,c tales que

        \[3x^{10}+1=a(x^{10}+x^2+1)+b(x^7+3x+1)+7cx^3.\]


    Desarrollando el producto de la derecha y observando el coeficiente de x^{10}, necesitamos que a sea igual a 3. Pero entonces a la derecha va a quedar un término 3x^2 que no se puede cancelar con ninguno otro de los sumandos, sin importar el valor de b o c.

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Problemas prácticos de combinaciones lineales

La definición de que un vector sea combinación de otros es existencial. Para mostrar que sí es combinación lineal, basta encontrar algunos coeficientes. Para mostrar que no es combinación lineal, hay que argumental por qué ninguna de las combinaciones lineales de los vectores es igual al vector buscado.

Problema. Muestra que el vector (1,1,1) de \mathbb{R}^3 no se puede expresar como combinación lineal de los vectores

    \begin{align*}v_1= (1,0,0), \hspace{2mm} v_2=(0,1,0)\text{ y } v_3=(1,1,0).\end{align*}

Solución: Una combinación lineal arbitraria de v_1, v_2, v_3 es de la forma

    \begin{align*}x_1 v_1 +x_2 v_2 + x_3 v_3 = (x_1 + x_3, x_2 + x_3, 0)\end{align*}

para x_1,x_2,x_3 reales. Así, las combinaciones lineales de v_1,v_2,v_2 siempre tienen a 0 como tercera coordenada. De esta forma, ninguna de ellas puede ser igual a (1,1,1).

\square

Más generalmente, consideramos el siguiente problema práctico: dada una familia de vectores v_1, v_2, \dots, v_k en F^n y un vector v\in F^n, decide si v es una combinación lineal de v_1, \dots, v_k. En otras palabras, si v\in \text{span}(v_1, \dots, v_k).

Para resolver este problema, consideramos la matriz de tamaño n\times k cuyas columnas son v_1, \dots, v_k. Decir que v\in \text{span}(v_1, \dots, v_k) es lo mismo que encontrar escalares x_1, \dots, x_k\in F tales que v= x_1 v_1 +\dots +x_k v_k. De manera equivalente, si tomamos X=(x_1,\ldots,x_k), queremos la existencia de una solución al sistema AX=v.

Esto es muy útil. Como tenemos una manera práctica de decidir si este sistema es consistente (por reducción gaussiana de la matriz aumentada (A\vert v)), tenemos una manera práctica de resolver el problema de si un vector es combinación lineal de otros. Por supuesto, esto también nos da una solución concreta al problema, es decir, no sólo decide la existencia de la combinación lineal, sino que además da una cuando existe.

Problema. Sean v_1=(1,0,1,2), v_2=(3,4,2,1) y v_3=(5,8,3,0) vectores en el espacio vectorial \mathbb{R}^4. ¿Está el vector v=(1,0,0,0) en el generado de v_1,v_2 y v_3? ¿El vector w=(4,4,3,3)?

Solución: Aplicamos el método que describimos en el párrafo anterior. Es decir, tomemos la matriz

    \begin{align*}A= \begin{pmatrix} 1  & 3 & 5\\ 0 & 4 & 8\\  1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}.\end{align*}

Queremos ver si el sistema AX=v es consistente. Haciendo reducción gaussiana a mano, o bien usando una calculadora de forma escalonada reducia (por ejemplo, la de eMathHelp), obtenemos que la forma escalonada reducida de la matriz aumentada (A\vert v) es

    \begin{align*}(A\vert v)\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 &2 & 0\\ 0 & 0 & 0 &1 \\ 0 & 0 & 0 &0\end{pmatrix}.\end{align*}

Viendo el tercer renglón, notamos que tiene pivote en la última columna. Deducimos que el sistema no es consistente, así que v\notin \text{span}(v_1, v_2, v_3).

Procedemos de manera similar para el vector w. Esta vez tenemos

    \begin{align*}(A\vert w)\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 &0\end{pmatrix},\end{align*}

lo que muestra que el sistema es consistente (pues ninguna fila tiene su pivote en la última columna), por lo tanto w\in \text{span}(v_1, v_2, v_3). Si queremos encontrar una combinación lineal explícita tenemos que resolver el sistema

    \begin{align*}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1  & 2\\ 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}.\end{align*}

Tenemos que ninguna fila tiene su pivote en la columna 3, así que x_3 es variable libre. Las variables x_1 y x_2 son pivote. Esto nos da como solución x_1= x_3+1 y x_2=1-2x_3. Entonces podemos escribir

    \begin{align*}w= (1+x_3) v_1 + (1-2x_3) v_2+ x_3v_3\end{align*}

y esto es válido para cualquier elección de x_3. Podemos, por ejemplo, escoger x_3=0 y obtener w=v_1 + v_2.

\square

Por supuesto, en el problema anterior pudimos haber encontrado la expresión w=v_1+v_2 explorando el problema o por casualidad. Esto sería suficiente para mostrar qeu w es combinación lineal. Pero la ventaja del método sistemático que mostramos es que no se corre el riesgo de no encontrar la solución a simple vista. De me manera definitiva nos dice si hay o no hay solución, y cuando sí hay, encuentra una.

Una caracterización del espacio generado

Probamos el siguiente resultado, que explica la importancia del concepto de espacio generado. En particular, la proposición muestra que el espacio generado es un subespacio. Si te parece un poco confusa la demostración, puede ser de ayuda leer antes la observación que le sigue.

Proposición. Sea V un espacio vectorial sobre un campo F y v_1, v_2, \dots, v_n \in V. Entonces

  1. \text{span}(v_1, v_2, \dots, v_n) es la intersección de todos los subespacios vectoriales de V que contienen a todos los vectores v_1, \dots, v_n.
  2. \text{span}(v_1, v_2, \dots, v_n) es el subespacio más chico (en contención) de V que contiene a v_1,\dots, v_n.

Demostración: Como la intersección arbitraria de subespacios es un subespacio, la parte 1 implica la parte 2. Probemos entonces la parte 1.

Primero demostremos que \text{span}(v_1, v_2,\dots, v_n) está contenido en todo subespacio W de V que tiene a v_1, \dots, v_n. En otras palabras, tenemos que ver que cualquier subespacio W que tenga a v_1,\ldots,v_n tiene a todas las combinaciones lineales de ellos. Esto se sigue de que W, por ser subespacio, es cerrado bajo productos por escalar y bajo sumas. Así, si tomamos escalares \alpha_1,\ldots,\alpha_n tenemos que cada uno de \alpha_1 v_1, \ldots, \alpha_n v_n está en W y por lo tanto la combinación lineal (que es la suma de todos estos), también está en W.

La afirmación anterior implica que \text{span}(v_1, \dots, v_n) está contenido en la intersección de todos los espacios que tienen a v_1,\ldots, v_n, pues está contenido en cada uno de ellos.

Ahora, queremos ver ‘la otra contención’, es decir, que \text{span}(v_1,\ldots,v_n) contiene a la intersección de todos los espacios que tienen a v_1,\ldots,v_n. Para esto veremos primero que \text{span}(v_1, \dots, v_n) es un subespacio vectorial. Sean x,y\in \text{span}(v_1, \dots, v_n) y c\in F un escalar. Como x y y son, por definición, combinaciones lineales de v_1, \dots, v_n, podemos escribir x=a_1 v_1+\dots +a_n v_n para algunos escalares a_i y y=b_1 v_1+\dots + b_n v_n para unos escalares b_i. Así

    \begin{align*}x+cy= (a_1+cb_1) v_1 + \dots + (a_n +c b_n) v_n\end{align*}

también es una combinación lineal de v_1, \dots, v_n y por tanto un elemento del espacio generado. Se sigue que \text{span}(v_1,\dots, v_n) es uno de los subespacios que tienen a v_1, \dots, v_n. Así, este generado “aparece” en la intersección que hacemos de subespacios que tienen a estos vectores, y como la intersección de una familia de conjuntos está contenida en cada uno de esos conjuntos, concluimos que \text{span}(v_1, \dots, v_n) contiene a dicha interesección.

Argumentemos ahora la segunda parte de la proposición. Se usa el mismo argumento que arriba. Si W es cualquier subespacio que contiene a v_1, \dots, v_n, entonces “aparece” en la intersección y por tanto \text{span}(v_1, \dots, v_n) está contenido en W. Es decir, es más chico (en contención) que cualquier otro subespacio que contenga a estos vectores.

\square

Observación. Ya que la demostración previa puede resultar un poco confusa, presentamos una versión un poco más relajada de la idea que se usó. Sea \lbrace W_i\mid i\in I\rbrace la familia de todos los subespacios de V que contienen a v_1, \dots, v_n.

En el primer párrafo, probamos que

    \begin{align*}\text{span}(v_1,\dots, v_n)\subseteq W_i\end{align*}

para todo i\in I. Luego \text{span}(v_1, \dots, v_n)\subseteq \bigcap_{i\in I} W_i.

En el segundo párrafo, probamos que Span(v_1,\dots, v_n) es un subespacio que contiene a v_1, \dots, v_n. Es decir, entra en nuestra familia \lbrace W_i\mid i\in I\rbrace, es uno de los W_i, digamos W_j. Entonces

    \begin{align*}\text{span}(v_1, \dots, v_n)= W_j \supseteq \bigcap_{i\in I} W_i.\end{align*}

En ese momento ya tenemos la primer igualdad: \text{span}(v_1,\ldots,v_n)=\bigcap_{i\in I} W_i.

Ahora, la segunda conclusión de la proposición se sigue de esto con una observación más: Si W' es un subespacio que contiene a v_1, \dots, v_n entonces también entra en nuestra familia de los W_i‘s, es decir es W_{p} para algún p\in I. Ahora usando el inciso 1, tenemos que

    \begin{align*}\text{span}(v_1, \dots, v_n)= \bigcap_{i\in I} W_i \subseteq W_p=W'.\end{align*}

Esto concluye la demostración.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • ¿Se puede expresar al vector (1,3,0,5) como combinación lineal de (0,1,0,3), (0,-1,2,0) y (2, 0,-1,-6)? Si sí, encuentra una o más combinaciones lineales que den el vector (1,3,0,5)
  • ¿Se puede expresar al polinomio 1+x^2 +3x^3 -x^4 +x^5 como combinación lineal de los siguientes polinomios

        \begin{align*}x^2-3x^4,\\1+x^2-x^5,\\2x+x^4,\\2+x^2,\\5x+5x^2-x^5?\end{align*}

  • Sea P un plano en \mathbb{R}^3 por el origen y L una recta de \mathbb{R}^3 por el origen y con dirección dada por un vector v\neq 0. Demuestra que la intersección de L con P es una recta si y sólo si existen dos vectores en P tal que su suma sea v.
  • Encuentra el conjunto generado por los vectores del espacio vectorial indicado
    • Las matrices \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} y \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} del espacio M_{2}.
    • Los vectores (1,-1,0) y (1,0,-1) del espacio \mathbb{R}^3.
    • Los polinomios 1, x, x^2 y x^3 del espacio \mathbb{R}[x].
  • Sea V un espacio vectorial. Si v_1, \dots, v_n, x son vectores en un espacio vectorial V, ¿será cierto siempre que \text{span}(v_1, \dots, v_n)\subseteq \text{span}(v_1, \dots, v_n, x)? De ser así, ¿esta contención siempre es estricta? Demuestra tu respuesta o da un contraejemplo.
  • Sean v_1,\ldots, v_n y x vectores en un espacio vectorial V. Supongamos que v_n está en \text{span}(v_1,\ldots,v_{n-1},x). Muestra que

        \[\text{span}(v_1,\ldots,v_{n-1},x)=\text{span}(v_1,\ldots,v_{n-1},v_n).\]

Más adelante…

El concepto de combinación lineal es la piedra angular para definir varios otros conceptos importantes en espacios vectoriales. Es un primer paso para definir a los conjuntos de vectores generadores y a los conjuntos de vectores linealmente independientes. Una vez que hayamos desarrollado ambos conceptos, podremos hablar de bases de un espacio vectorial, y con ello hablar de la dimensión de un espacio vectorial.

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2 comentarios en “Álgebra Lineal I: Combinaciones lineales

  1. Karina

    En el segundo problema al final para escribir al vector w creo que hay un error porque tenemos como solución x_1= x_3+1 y x_2= 1-2x_3, entonces w se debería escribir sustituyendo x_1 y x_2 y en el problema está escrito sustituyendo x_1 y x_3 (w= (1+x_3) v_1 + x_2 v_2+ (1-2x_3) v_3) ¿no?

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