Introducción

En esta entrada presentamos el concepto de combinaciones lineales en espacios vectoriales que será fundamental para nuestro estudio. De cierta manera (que se verá más claramente cuando hablemos de bases en espacios vectoriales arbitrarios) captura un aspecto de la base canónica de $F^n$: Todo vector lo podemos escribir como $x_1 e_1+\dots+x_n e_n$, lo que con nuestro lenguaje será una combinación lineal de los vectores $e_i$.

También hablamos del concepto de espacio generado. De manera intuitiva, el espacio generado por un conjunto de vectores es el mínimo subespacio que los tiene (y que a la vez tiene a todas las combinaciones lineales de ellos). Geométricamente, los espacios generados describen muchos de los objetos conocidos como rectas y planos. De manera algebraica, este concepto nos servirá mucho en lo que sigue del curso.

Definición de combinaciones lineales

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$, y sean $v_1, \dots, v_n$ vectores en $V$. Por definición, $V$ contiene a todos los vectores de la forma $c_1 v_1+\dots +c_n v_n$ con $c_1, \dots, c_n \in F$. La colección de los vectores de este estilo es importante y le damos una definición formal:

Definición. Sean $v_1, \dots, v_n$ vectores en un espacio vectorial $V$ sobre $F$.

1. Un vector $v$ es una combinación lineal de los vectores $v_1, \dots, v_n$ si existen escalares $c_1,\dots, c_n\in F$ tales que
   \begin{align*}
   v= c_1 v_1 +c_2 v_2+\dots +c_n v_n.
   \end{align*}
2. El espacio generado (que a veces abreviaremos como el generado) por $v_1, \dots, v_n$ es el subconjunto de $V$ de todas las combinaciones lineales de $v_1,\dots, v_n$, y lo denotamos por $\text{span}(v_1, \dots, v_n)$.

Ejemplo.

1. La matriz $A=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ es una combinación lineal de las matrices $B= \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 5 & 0\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix}$ pues $A=\frac{1}{5} B + 2 C$. Así, $A$ está en el generado por $B$ y $C$.
2. El generado $\text{span}(v)$ de un único vector en $\mathbb{R}^n$ consta de puras copias re-escaladas de $v$ (también nos referimos a estos vectores como múltiplos escalares de $v$). Usando la interpretación geométrica de vectores en $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$, si $v\neq 0$ entonces $\text{span}(v)$ representa una recta por el origen en la dirección de $v$.
3. Si $e_1=(1,0,0)$ y $e_2=(0,1,0)$, entonces
   \begin{align*}
   x e_1+ y e_2=(x,y,0).
   \end{align*}
   Como $x$ y $y$ fueron arbitrarios, podemos concluir que $\text{span}(e_1,e_2)$ consta de todos los vectores en $\mathbb{R}^3$ cuya tercer entrada es cero. Esto es el plano $xy$. En general, si $v_1, v_2$ son dos vectores no colineales en $\mathbb{R}^3$ entonces su espacio generado es el único plano por el origen que los contiene.
4. El polinomio $3x^{10}+7$ del espacio vectorial $\mathbb{R}_{10}[x]$ no puede ser escrito como combinación lineal de los polinomios $x^{10}+x^2+1$, $x^7+3x+1$, $7x^3$. Para demostrar esto, debemos probar que no existen reales $a,b,c$ tales que $$3x^{10}+7=a(x^{10}+x^2+1)+b(x^7+3x+1)+7cx^3.$$
   Procedamos por contradicción. Si acaso esto fuera posible, desarrollando el producto de la derecha y observando el coeficiente de $x^{10}$, necesitamos que $a$ sea igual a $3$. Pero entonces a la derecha va a quedar un término $3x^2$ que no se puede cancelar con ninguno otro de los sumandos, sin importar el valor de $b$ o $c$. Igualando términos cuadráticos, tendríamos entonces $0=3x^2$, lo cual es una contradicción.

$\triangle$

Problemas prácticos de combinaciones lineales

La definición de que un vector sea combinación de otros es existencial. Para mostrar que sí es combinación lineal, basta encontrar algunos coeficientes. Para mostrar que no es combinación lineal, hay que argumental por qué ninguna de las combinaciones lineales de los vectores es igual al vector buscado.

Problema 1. Muestra que el vector $(1,1,1)$ de $\mathbb{R}^3$ no se puede expresar como combinación lineal de los vectores

\begin{align*}
v_1= (1,0,0), \hspace{2mm} v_2=(0,1,0)\text{ y } v_3=(1,1,0).
\end{align*}

Solución. Una combinación lineal arbitraria de $v_1, v_2, v_3$ es de la forma

\begin{align*}
x_1 v_1 +x_2 v_2 + x_3 v_3 = (x_1 + x_3, x_2 + x_3, 0)
\end{align*}

para $x_1,x_2,x_3$ reales. Así, las combinaciones lineales de $v_1,v_2,v_2$ siempre tienen a $0$ como tercera coordenada. De esta forma, ninguna de ellas puede ser igual a $(1,1,1)$.

$\square$

Más generalmente, consideramos el siguiente problema práctico: dada una familia de vectores $v_1, v_2, \dots, v_k$ en $F^n$ y un vector $v\in F^n$, decide si $v$ es una combinación lineal de $v_1, \dots, v_k$. En otras palabras, si $v\in \text{span}(v_1, \dots, v_k)$.

Para resolver este problema, consideramos la matriz de tamaño $n\times k$ cuyas columnas son $v_1, \dots, v_k$. Decir que $v\in \text{span}(v_1, \dots, v_k)$ es lo mismo que encontrar escalares $x_1, \dots, x_k\in F$ tales que $v= x_1 v_1 +\dots +x_k v_k$. De manera equivalente, si tomamos $X=(x_1,\ldots,x_k)$, queremos la existencia de una solución al sistema $AX=v$.

Esto es muy útil. Como tenemos una manera práctica de decidir si este sistema es consistente (por reducción gaussiana de la matriz aumentada $(A\vert v)$), tenemos una manera práctica de resolver el problema de si un vector es combinación lineal de otros. Por supuesto, esto también nos da una solución concreta al problema, es decir, no sólo decide la existencia de la combinación lineal, sino que además da una cuando existe.

Problema 2. Sean $v_1=(1,0,1,2), v_2=(3,4,2,1)$ y $v_3=(5,8,3,0)$ vectores en el espacio vectorial $\mathbb{R}^4$. ¿Está el vector $v=(1,0,0,0)$ en el generado de $v_1,v_2$ y $v_3$? ¿El vector $w=(4,4,3,3)$?

Solución. Aplicamos el método que describimos en el párrafo anterior. Es decir, tomemos la matriz

\begin{align*}
A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\ 0 & 4 & 8\\ 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}.
\end{align*}

Queremos ver si el sistema $AX=v$ es consistente. Haciendo reducción gaussiana a mano, o bien usando una calculadora de forma escalonada reducida (por ejemplo, la de eMathHelp), obtenemos que la forma escalonada reducida de la matriz aumentada $(A\vert v)$ es

\begin{align*}
(A\vert v)\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 &2 & 0\\ 0 & 0 & 0 &1 \\ 0 & 0 & 0 &0\end{pmatrix}.
\end{align*}

Viendo el tercer renglón, notamos que tiene pivote en la última columna. Deducimos que el sistema no es consistente, así que $v\notin \text{span}(v_1, v_2, v_3)$.

Procedemos de manera similar para el vector $w$. Esta vez tenemos

\begin{align*}
(A\vert w)\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 &0\end{pmatrix},
\end{align*}

lo que muestra que el sistema es consistente (pues ninguna fila tiene su pivote en la última columna), por lo tanto $w\in \text{span}(v_1, v_2, v_3)$. Si queremos encontrar una combinación lineal explícita tenemos que resolver el sistema

\begin{align*}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}.
\end{align*}

Tenemos que ninguna fila tiene su pivote en la columna $3$, así que $x_3$ es variable libre. Las variables $x_1$ y $x_2$ son pivote. Esto nos da como solución $x_1= x_3+1$ y $x_2=1-2x_3$. Entonces podemos escribir

\begin{align*}
w= (1+x_3) v_1 + (1-2x_3) v_2+ x_3v_3
\end{align*}

y esto es válido para cualquier elección de $x_3$. Podemos, por ejemplo, escoger $x_3=0$ y obtener $w=v_1 + v_2$.

$\triangle$

Por supuesto, en el problema anterior pudimos haber encontrado la expresión $w=v_1+v_2$ explorando el problema o por casualidad. Esto sería suficiente para mostrar que $w$ es combinación lineal. Pero la ventaja del método sistemático que mostramos es que no se corre el riesgo de no encontrar la solución a simple vista. De me manera definitiva nos dice si hay o no hay solución, y cuando sí hay, encuentra una.

Una caracterización del espacio generado

Probamos el siguiente resultado, que explica la importancia del concepto de espacio generado. En particular, la proposición muestra que el espacio generado es un subespacio. Si te parece un poco confusa la demostración, puede ser de ayuda leer antes la observación que le sigue.

Proposición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$ y $v_1, v_2, \dots, v_n \in V$. Entonces

1. $\text{span}(v_1, v_2, \dots, v_n)$ es la intersección de todos los subespacios vectoriales de $V$ que contienen a todos los vectores $v_1, \dots, v_n$.
2. $\text{span}(v_1, v_2, \dots, v_n)$ es el subespacio más chico (en contención) de $V$ que contiene a $v_1,\dots, v_n$.

Demostración. Como la intersección arbitraria de subespacios es un subespacio, la parte $1$ implica la parte $2$. Probemos entonces la parte $1$.

Primero demostremos que $\text{span}(v_1, v_2,\dots, v_n)$ está contenido en todo subespacio $W$ de $V$ que tiene a $v_1, \dots, v_n$. En otras palabras, tenemos que ver que cualquier subespacio $W$ que tenga a $v_1,\ldots,v_n$ tiene a todas las combinaciones lineales de ellos. Esto se sigue de que $W$, por ser subespacio, es cerrado bajo productos por escalar y bajo sumas. Así, si tomamos escalares $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ tenemos que cada uno de $\alpha_1 v_1, \ldots, \alpha_n v_n$ está en $W$ y por lo tanto la combinación lineal (que es la suma de todos estos), también está en $W$.

La afirmación anterior implica que $\text{span}(v_1, \dots, v_n)$ está contenido en la intersección de todos los espacios que tienen a $v_1,\ldots, v_n$, pues está contenido en cada uno de ellos.

Ahora, queremos ver ‘la otra contención’, es decir, que $\text{span}(v_1,\ldots,v_n)$ contiene a la intersección de todos los espacios que tienen a $v_1,\ldots,v_n$. Para esto veremos primero que $\text{span}(v_1, \dots, v_n)$ es un subespacio vectorial. Sean $x,y\in \text{span}(v_1, \dots, v_n)$ y $c\in F$ un escalar. Como $x$ y $y$ son, por definición, combinaciones lineales de $v_1, \dots, v_n$, podemos escribir $x=a_1 v_1+\dots +a_n v_n$ para algunos escalares $a_i$ y $y=b_1 v_1+\dots + b_n v_n$ para unos escalares $b_i$. Así

\begin{align*}
x+cy= (a_1+cb_1) v_1 + \dots + (a_n +c b_n) v_n
\end{align*}

también es una combinación lineal de $v_1, \dots, v_n$ y por tanto un elemento del espacio generado. Se sigue que $\text{span}(v_1,\dots, v_n)$ es uno de los subespacios que tienen a $v_1, \dots, v_n$. Así, este generado «aparece» en la intersección que hacemos de subespacios que tienen a estos vectores, y como la intersección de una familia de conjuntos está contenida en cada uno de esos conjuntos, concluimos que $\text{span}(v_1, \dots, v_n)$ contiene a dicha inteesección.

Argumentemos ahora la segunda parte de la proposición. Se usa el mismo argumento que arriba. Si $W$ es cualquier subespacio que contiene a $v_1, \dots, v_n$, entonces «aparece» en la intersección y por tanto $\text{span}(v_1, \dots, v_n)$ está contenido en $W$. Es decir, es más chico (en contención) que cualquier otro subespacio que contenga a estos vectores.

$\square$

Observación. Ya que la demostración previa puede resultar un poco confusa, presentamos una versión un poco más relajada de la idea que se usó. Sea $\lbrace W_i\mid i\in I\rbrace$ la familia de todos los subespacios de $V$ que contienen a $v_1, \dots, v_n$.

En el primer párrafo, probamos que

\begin{align*}
\text{span}(v_1,\dots, v_n)\subseteq W_i
\end{align*}

para todo $i\in I$. Luego $\text{span}(v_1, \dots, v_n)\subseteq \bigcap_{i\in I} W_i$.

En el segundo párrafo, probamos que $Span(v_1,\dots, v_n)$ es un subespacio que contiene a $v_1, \dots, v_n$. Es decir, entra en nuestra familia $\lbrace W_i\mid i\in I\rbrace$, es uno de los $W_i$, digamos $W_j$. Entonces

\begin{align*}
\text{span}(v_1, \dots, v_n)= W_j \supseteq \bigcap_{i\in I} W_i.
\end{align*}

En ese momento ya tenemos la primer igualdad: $\text{span}(v_1,\ldots,v_n)=\bigcap_{i\in I} W_i.$

Ahora, la segunda conclusión de la proposición se sigue de esto con una observación más: Si $W’$ es un subespacio que contiene a $v_1, \dots, v_n$ entonces también entra en nuestra familia de los $W_i$’s, es decir es $W_{p}$ para algún $p\in I$. Ahora usando el inciso $1$, tenemos que

\begin{align*}
\text{span}(v_1, \dots, v_n)= \bigcap_{i\in I} W_i \subseteq W_p=W’.
\end{align*}

Esto concluye la demostración.

Más adelante…

El concepto de combinación lineal es la piedra angular para definir varios otros conceptos importantes en espacios vectoriales. Es un primer paso para definir a los conjuntos de vectores generadores y a los conjuntos de vectores linealmente independientes. Una vez que hayamos desarrollado ambos conceptos, podremos hablar de bases de un espacio vectorial, y con ello hablar de la dimensión de un espacio vectorial.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

1. ¿Se puede expresar al vector $(1,3,0,5)$ como combinación lineal de $(0,1,0,3)$, $(0,-1,2,0)$ y $(2, 0,-1,-6)$? Si sí, encuentra una o más combinaciones lineales que den el vector $(1,3,0,5)$
2. ¿Se puede expresar al polinomio $1+x^2 +3x^3 -x^4 +x^5$ como combinación lineal de los siguientes polinomios
   \begin{align*}
   x^2-3x^4,\\
   1+x^2-x^5,\\
   2x+x^4,\\
   2+x^2,\\
   5x+5x^2-x^5?
   \end{align*}
3. Sea $P$ un plano en $\mathbb{R}^3$ por el origen y $L$ una recta de $\mathbb{R}^3$ por el origen y con dirección dada por un vector $v\neq 0$. Demuestra que la intersección de $L$ con $P$ es una recta si y sólo si existen dos vectores en $P$ tal que su suma sea $v$.
4. Encuentra el conjunto generado por los vectores del espacio vectorial indicado
   • Las matrices $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ del espacio $M_{2}$.
   • Los vectores $(1,-1,0)$ y $(1,0,-1)$ del espacio $\mathbb{R}^3$.
   • Los polinomios $1$, $x$, $x^2$ y $x^3$ del espacio $\mathbb{R}[x]$.
5. Sea $V$ un espacio vectorial. Si $v_1, \dots, v_n, x$ son vectores en un espacio vectorial $V$, ¿será cierto siempre que $\text{span}(v_1, \dots, v_n)\subseteq \text{span}(v_1, \dots, v_n, x)$? De ser así, ¿esta contención siempre es estricta? Demuestra tu respuesta o da un contraejemplo.
6. Sean $v_1,\ldots, v_n$ y $x$ vectores en un espacio vectorial $V$. Supongamos que $v_n$ está en $\text{span}(v_1,\ldots,v_{n-1},x)$. Muestra que $$\text{span}(v_1,\ldots,v_{n-1},x)=\text{span}(v_1,\ldots,v_{n-1},v_n).$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»