$\mathit{\text{MATERIAL EN REVISIÓN}}$

Introducción

El contenido de esta sección corresponde al libro
Wheeden, R.L., Zygmund, A., Measure and Integral. An Introduccion to Real Analysis. (2da ed.). New York: Marcel Dekker, 2015, págs 34-37.

En la entrada anterior vimos que para cualesquiera $P_1,P_2\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}$ se cumple que ${\underset{―}{S}}_{P_1}\le {\bar{S}}_{P_2},$ entonces

$$\begin{array}{}\text{(1)}& -\mathrm{\infty }<\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{sup}{\underset{―}{S}}_P}\le \underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{ínf}{\bar{S}}_P}<\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Esto también ocurre con la integral de Riemann que se estudia en los cursos de Cálculo, donde además, cuando se da la igualdad $\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{sup}{\underset{―}{S}}_P}=\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{ínf}{\bar{S}}_P}$ se toma el valor del límite como el valor de la integral. (Ver Cálculo Diferencial e Integral II: Definición de la integral definida).

Nota que nosotros no hemos definido así la integral de Riemann-Stieltjes, sino tomando particiones cuyas normas tienden a cero. Aunque la intuición nos dice que particiones de intervalos muy pequeños se aproximan demasiado al valor de la integral, esto no siempre ocurre. Específicamente, incluso cuando se cumple que $\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{sup}{\underset{―}{S}}_P}=\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{ínf}{\bar{S}}_P}$ en el caso de las sumas inferior y superior de Riemann-Stieltjes, la integral podría no existir. Veamos un ejemplo.

Sean $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ y $\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}$ definidas como

Observa que $f$ y $\alpha$ tienen un punto de discontinuidad común que provoca que ${\int }_{-1}^{1}fd\alpha$ no exista. En efecto, si $P=\{x_0=-1,\dots ,x_n=1\}$ es una partición entonces para algún $j\in \{1,\dots ,n\}$
$$x_{j-1}\le 0\le x_j$$
Queda como ejercicio probar que $S(P,f,\alpha )=f({\xi }_j)$ con ${\xi }_j\in [x_{j-1},x_j],$ y así

$$S(P,f,\alpha )=0\text{ o }S(P,f,\alpha )=1$$
sin importar qué tan pequeños sean los intervalos de la partición, por lo que no existe $\underset{|P|\to 0}{lim}S(P,f,\alpha ).$

Pese a lo anterior, es sencillo verificar que
$$\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{sup}{\underset{―}{S}}_P}=\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{ínf}{\bar{S}}_P}=1.$$

La siguiente proposición muestra hipótesis en las que la integral de Riemann-Stieltjes y los límites de las sumas sí coinciden.

Proposición: Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ acotada y $\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}$ monótona creciente. Si ${\int }_a^{b}fd\alpha$ existe, entonces

$$\underset{|P|\to 0}{lim}{\underset{―}{S}}_P\text{ y }\underset{|P|\to 0}{lim}{\bar{S}}_P$$

existen y

$$\underset{|P|\to 0}{lim}{\underset{―}{S}}_P=\underset{|P|\to 0}{lim}{\bar{S}}_P=\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{sup}{\underset{―}{S}}_P}=\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{ínf}{\bar{S}}_P}={\int }_a^{b}fd\alpha .$$

Demostración:
En el caso no trivial, supongamos que $\alpha$ no es constante en $[a,b].$

Sea $I={\int }_a^{b}fd\alpha .$ Entonces dada $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que si $|P|<\delta$ entonces $|I–S(P,f,\alpha )|<\epsilon .$

Supongamos que $P=\{x_0=a,\dots ,x_n=b\}$ con $|P|<\delta .$ Tomemos ${\xi }_i,{\eta }_i\in [x_{i-1},x_i],i=1,\dots ,n,$ tales que

$$\begin{array}{}\text{(2)}& 0\le M_i–f({\xi }_i)& <\frac{\epsilon }{\alpha (b)–\alpha (a)}\text{ y }\text{(3)}& 0\le f({\eta }_i)–m_i& <\frac{\epsilon }{\alpha (b)–\alpha (a)}\end{array}$$

Sean

$$\begin{array}{}\text{(4)}& S_P^{\prime }& =\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(\alpha (x_i)–\alpha (x_{i-1}))\text{ y }\text{(5)}& S´{´}_P& =\sum _{i=1}^{n}f({\eta }_i)(\alpha (x_i)–\alpha (x_{i-1}))\end{array}$$

entonces

$$\begin{array}{}\text{(6)}& |I–S_P^{\prime }|& <\epsilon \text{ y}\text{(7)}& |I–S´{´}_P|& <\epsilon .\end{array}$$

Por otro lado, por (2),

$$\begin{array}{rl}0\le {\bar{S}}_P–S_P^{\prime }& =\sum _{i=1}^n{M}_i(\alpha (x_i)–\alpha (x_{i-1}))–\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(\alpha (x_i)–\alpha (x_{i-1}))\\ & =\sum _{i=1}^n[M_i–f({\xi }_i)](\alpha (x_i)–\alpha (x_{i-1}))\\ & <\sum _{i=1}^n\frac{\epsilon }{\alpha (b)–\alpha (a)}(\alpha (x_i)–\alpha (x_{i-1}))\\ & =\frac{\epsilon }{\alpha (b)–\alpha (a)}\sum _{i=1}^n(\alpha (x_i)–\alpha (x_{i-1}))\\ & =\frac{\epsilon }{\alpha (b)–\alpha (a)}(\alpha (b)–\alpha (a))\\ \text{(8)}& & =\epsilon .\end{array}$$

Análogamente

$$\begin{array}{}\text{(9)}& 0\le S´{´}_P–{\underset{―}{S}}_P<\epsilon .\end{array}$$

De (6), (8) y la desigualdad del triángulo se sigue

$$|{\bar{S}}_P–I|\le |{\bar{S}}_P–S_P^{\prime }|+|S_P^{\prime }–I|<\epsilon +\epsilon =2\epsilon ,$$

mientras que de (7), (9) y la desigualdad del triángulo tenemos

$$|{\underset{―}{S}}_P–I|\le |{\underset{―}{S}}_P–S´{´}_P|+|S´{´}_P–I|<\epsilon +\epsilon =2\epsilon ,$$

por lo tanto

$$\underset{|P|\to 0}{lim}{\bar{S}}_P=I=\underset{|P|\to 0}{lim}{\underset{―}{S}}_P.$$

Dado que

$${\underset{―}{S}}_P\le \underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{sup}{\underset{―}{S}}_P}\le \underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{ínf}{\bar{S}}_P}\le {\bar{S}}_P$$

entonces también

$$\underset{|P|\to 0}{lim}{\underset{―}{S}}_P=\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{sup}{\underset{―}{S}}_P}=\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{ínf}{\bar{S}}_P}=\underset{|P|\to 0}{lim}{\bar{S}}_P$$

terminando así la prueba.

Para finalizar, veamos la siguiente:

Proposición: Sean $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ acotada y $\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}$ monótona creciente y continua, entonces

a)
$$\underset{|P|\to 0}{lim}{\underset{―}{S}}_P\text{ y }\underset{|P|\to 0}{lim}{\bar{S}}_P$$

existen y se cumplen las siguientes igualdades:

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \underset{|P|\to 0}{lim}{\underset{―}{S}}_P& =\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{sup}{\underset{―}{S}}_P}\text{(11)}& \underset{|P|\to 0}{lim}{\bar{S}}_P& =\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{ínf}{\bar{S}}_P}.\end{array}$$

b) Si además $\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{sup}}{\underset{―}{S}}_P=\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{ínf}}{\bar{S}}_P$ entonces

$${\int }_a^{b}fd\alpha$$

existe y

$$\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{sup}}{\underset{―}{S}}_P={\int }_a^{b}fd\alpha =\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{ínf}}{\bar{S}}_P.$$

Demostración:
a) Será suficiente probar (10) y (11). Presentamos la demostración de (11). La igualdad faltante es análoga y se dejará como ejercicio al lector.

Para simplificar la notación, hagamos

$$\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{ínf}}{\bar{S}}_P:=\bar{S}.$$

Nota que (11) se cumple si y solo si dado $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que si $|P|<\delta$ entonces

y sea
$$\begin{array}{}\text{(13)}& M=\underset{x\in [a,b]}{sup}|f(x)|.\end{array}$$

Ya que $\alpha$ es uniformemente continua en $[a,b],$ existe $\eta >0$ tal que si $|x–x^{\prime }|<\eta$ entonces

$$\begin{array}{}\text{(14)}& |\alpha (x)–\alpha (x^{\prime })|<\frac{\epsilon }{4(n+1)M}.\end{array}$$

Ahora tomemos $P=\{x_0=a,\dots ,x_m=b\}$ partición de $[a,b]$ tal que $|P|<\eta$ y
$$|P|<\underset{i\in \{1,\dots ,n\}}{\text{mín}}(\widehat{x_i}–{\hat{x}}_{i-1}).$$

Vamos a mostrar que ${\bar{S}}_P$ cumple (12).

Nota que

$$\begin{array}{}\text{(15)}& {\bar{S}}_P& =\sum _{i=1}^m{M}_i(\alpha (x_i)–\alpha (x_{i-1}))\text{(16)}& & ={\sum }^{\prime }+\sum ´´\end{array}$$

donde ${\sum }^{\prime }$ representa a los sumandos cuyos intervalos no tienen puntos de $\hat{P}$ y $\sum ´´$ representa a los que sí. Observa que, por como fueron elegidas $P$ y $\hat{P},$ cada intervalo generado por $P$ tiene a lo más un punto de $\hat{P},$ así

$$\begin{array}{}\text{(17)}& {\bar{S}}_{P\cup \hat{P}}={\sum }^{\prime }+\sum ´´´\end{array}$$

donde $\sum ´´´$ resulta de reemplazar cada sumando en $\sum ´´$ que es de la forma

$$M_i(\alpha (x_i)–\alpha (x_{i-1}))$$

por la expresión

$$\underset{x\in [x_{i-1},{\hat{x}}_j]}{\text{sup}}f(x)(\alpha ({\hat{x}}_j)–\alpha (x_{i-1}))+\underset{x\in [{\hat{x}}_j,x_i,]}{\text{sup}}f(x)(\alpha (x_i)–\alpha ({\hat{x}}_j))$$

donde ${\hat{x}}_j$ es el punto de $\hat{P}$ en $(x_{i-1},x_i).$

Por lo tanto de (16) y (17) tenemos
$${\bar{S}}_P–{\bar{S}}_{P\cup \hat{P}}=\sum ´´–\sum ´´´.$$

Observa que se satisface al menos una de las siguientes igualdades:

$$\begin{array}{}\text{(18)}& M_i& =\underset{x\in [x_{i-1},{\hat{x}}_j]}{\text{sup}}f(x)\text{ o bien}\text{(19)}& M_i& =\underset{x\in [{\hat{x}}_j,x_i,]}{\text{sup}}f(x)\end{array}$$

Si se cumple (18) entonces

$$\begin{array}{r}{M}_i(\alpha (x_i)–\alpha (x_{i-1}))–[\underset{x\in [x_{i-1},{\hat{x}}_j]}{\text{sup}}f(x)(\alpha ({\hat{x}}_j)–\alpha (x_{i-1}))+\underset{x\in [{\hat{x}}_j,x_i,]}{\text{sup}}f(x)(\alpha (x_i)–\alpha ({\hat{x}}_j))]=\\ \text{(20)}& =(M_i–\underset{x\in [{\hat{x}}_j,x_i,]}{\text{sup}}f(x))(\alpha (x_i)–\alpha ({\hat{x}}_j))\end{array}$$

Pero si se cumple (19) se sigue que

$$\begin{array}{r}{M}_i(\alpha (x_i)–\alpha (x_{i-1}))–[\underset{x\in [x_{i-1},{\hat{x}}_j]}{\text{sup}}f(x)(\alpha ({\hat{x}}_j)–\alpha (x_{i-1}))+\underset{x\in [{\hat{x}}_j,x_i,]}{\text{sup}}f(x)(\alpha (x_i)–\alpha ({\hat{x}}_j))]=\\ \text{(21)}& =(M_i–\underset{x\in [x_{i-1},{\hat{x}}_j]}{\text{sup}}f(x))(\alpha ({\hat{x}}_j)–\alpha (x_{i-1}))\end{array}$$

En cualquier caso, de (13) y (14) la diferencia es a lo más
$$\frac{2M\epsilon }{4(n+1)M}=\frac{\epsilon }{2(n+1)}$$

Entonces.

$${\bar{S}}_P–{\bar{S}}_{P\cup \hat{P}}\le \frac{\epsilon (n+1)}{2(n+1)}=\frac{\epsilon }{2}.$$

Más aún

$${\bar{S}}_{P\cup \hat{P}}\le {\bar{S}}_{\hat{P}}<\bar{S}+\frac{\epsilon }{2}$$

con lo cual queda demostrada la proposición.

b) Dado que para cualquier $P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}$

$${\underset{―}{S}}_P\le S(P,f,\alpha )\le {\bar{S}}_P$$
entonces haciendo $|P|\to 0$ concluimos:

$$\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{sup}{\underset{―}{S}}_P}={\int }_a^{b}fd\alpha =\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{ínf}{\bar{S}}_P}.$$

Más adelante…

¡Gracias por acompañarnos en la exposición de este curso! Si deseas continuar, puedes consultar el contenido correspondiente a Análisis Matemático II. La comunidad sigue creciendo y ya trabaja creando notas con ejercicios que motiven el aprendizaje. Pronto te las compartiremos.

Tarea moral

1. En el ejemplo descrito al inicio, demuestra que
   a)
   $$S(P,f,\alpha )=f({\xi }_j)$$
   con ${\xi }_j\in [x_{j-1},x_j]$ donde $[x_{j-1},x_j]$ es el intervalo de la partición que tiene al cero.
   Prueba también que para todo $\delta >0$ existe una partición $P$ con $|P|<\delta$ tal que
   $S(P,f,\alpha )=0$ o $S(P,f,\alpha )=1$
   dependiendo el punto ${\xi }_j$ elegido. Concluye que no existe $\underset{|P|\to 0}{lim}S(P,f,\alpha ).$
   b) Verifica que
   $$\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{sup}{\underset{―}{S}}_P}=\underset{P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}}{\text{ínf}{\bar{S}}_P}=1.$$
2. Demuestra la igualdad (10).

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.