Introducción
Hasta ahora hemos trabajado en espacios métricos de forma individual. Sin embargo, (como ya lo habrás notado), en el análisis matemático, muchas veces construímos estructuras más complejas a partir de otras más simples. Podemos hacer eso a través del producto cartesiano de conjuntos, así como lo hemos visto en $\mathbb{R}^2,$ que no es más que el producto de la recta real consigo misma. ¿Cómo podemos definir la cercanía en este nuevo espacio? En esta sección exploraremos cómo «heredar» las métricas de los espacios originales para dotar de estructura al producto de espacios métricos, y veremos que, sin importar qué camino elijamos para medir, la esencia de la convergencia y la compacidad se preserva.
Comencemos con la primera:
Definición. Producto métrico. Dados dos espacios métricos $(X, d_X)$ y $(Y,d_Y), $el producto cartesiano $X \times Y:= \{(x,y) \, | \, x \in X, y \in Y\}$ provisto de una distancia $d$ es llamado producto métrico. Es posible definir métricas de varias maneras, pero pediremos que una sucesión $(x_n,y_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ sea convergente en $X \times Y$ cuando $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es convergente en $X$ y $(y_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es convergente en $Y.$
Presentamos algunas distancias para el producto:
Proposición. Las siguientes son métricas en $X \times Y$ y satisfacen que una sucesión $(x_n,y_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es convergente en $X \times Y$ si y solo si $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es convergente en $X$ y $(y_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es convergente en $Y.$
Sean $(x_1,y_1), \, (x_2,y_2) \in X \times Y.$
- $\displaystyle d_1((x_1,y_1),(x_2,y_2)):= d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2).$
- $\displaystyle d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2)):=\sqrt{d_X(x_1,x_2)^2+d_Y(y_1,y_2)^2}.$
- $\displaystyle$ En general, para $p \in [1, \infty):$
$d_p((x_1,y_1),(x_2,y_2)):=\left(d_X(x_1,x_2)^p+d_Y(y_1,y_2)^p\right)^{\frac{1}{p}}.$ - $\displaystyle d_{\infty}((x_1,y_1),(x_2,y_2)):= max \{ d_X(x_1,x_2),d_Y(y_1,y_2)\}.$
Demostración:
Veamos que $d_2$ es una métrica en $X \times Y.$
\begin{align*}
d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2)) =0\\
\iff \sqrt{d_X(x_1,x_2)^2+d_Y(y_1,y_2)^2} =0 \\
\iff d_X(x_1,x_2) =0 \, \text{ y } \, d_Y(y_1,y_2) =0 \\
\iff x_1 = x_2 \, \text{ y } \, y_1 = y_2 \\
\iff (x_1,y_1)=(x_2,y_2).
\end{align*}
Es inmediato ver que $d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = d_2((x_2,y_2), (x_1,y_1)).$
Ahora probemos la desigualdad del triángulo:
Dados $(x_1,y_1), \, (x_2,y_2), \, (x_3,y_3) \in X \times Y,$ usamos la desigualdad de Minkowski en el penúltimo renglón para probar:
\begin{align*}
d_2((x_1,y_1),(x_3,y_3))=\sqrt{d_X(x_1,x_3)^2+d_Y(y_1,y_3)^2} \\
\leq \sqrt{(d_X(x_1,x_2)+d_X(x_2,x_3))^2+(d_Y(y_1,y_2)+d_Y(y_2,y_3))^2} \\
\leq \sqrt{d_X(x_1,x_2)^2+d_Y(y_1,y_2)^2}+\sqrt{d_X(x_2,x_3)^2+d_Y(y_2,y_3)^2} \\
=d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2))+d_2((x_2,y_2),(x_3,y_3)).
\end{align*}
Ahora veamos que cualquier sucesión $(x_n,y_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es convergente en $X \times Y$ si y solo si $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es convergente en $X$ y $(y_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es convergente en $Y:$
Sea $(x_n,y_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión en $(X \times Y,d_2).$ Si $(x_n,y_n)_{n \in \mathbb{N}} \to (x,y)$ en $(X \times Y,d_2)$ entonces para cada $\varepsilon>0$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para cada $n \geq N, d_2((x_n,y_n),(x,y)) < \varepsilon.$ Entonces $\sqrt{d_X(x_n,x)^2+d_Y(y_n,y)^2} < \varepsilon,$ de modo que $\sqrt{d_X(x_n,x)^2} = d_X(x_n,x) < \varepsilon \, \text{ y } \, \sqrt{d_Y(y_n,y)^2} = d_Y(y_n,y)< \varepsilon.$
Por lo tanto $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \to x$ en $X$ y $(y_n)_{n \in \mathbb{N}} \to y$ en $Y.$
Para el regreso partimos de $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \to x$ en $X$ y $(y_n)_{n \in \mathbb{N}} \to y$ en $Y.$ Entonces dado $\varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para cada $n\geq N, d_X(x_n,x) < \frac{\varepsilon}{2} \, \text{ y } \, d_Y(y_n,y)< \frac{\varepsilon}{2}.$
Entonces $\sqrt{d_X(x_n,x)^2} < \frac{\varepsilon}{2} \, \text{ y } \, \sqrt{d_Y(y_n,y)^2}< \frac{\varepsilon}{2}.$
Entonces $\sqrt{d_X(x_n,x)^2+d_Y(y_n,y)^2} \leq \sqrt{d_X(x_n,x)^2}+ \sqrt{d_Y(y_n,y)^2} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$ Así para cada $n \geq N, d_2((x_n,y_n),(x,y)) < \varepsilon.$ Por lo tanto $(x_n,y_n)_{n \in \mathbb{N}} \to (x,y)$ en $(X \times Y,d_2).$
Dejaremos como ejercicio probar que las demás distancias definidas también son métricas y que son equivalentes.
También es posible definir métricas en el producto finito de espacios métricos:
Proposición. Para cada $i=1,…,n$ sea $(X_i,d_i),$ un espacio métrico. Definimos
$$X := \prod_{i =1}^{n}X_i= X_1 \times X_2 \times… \times X_n = \{(x_1,x_2,…,x_n) \, | \, x_i \in X_i, i =1,…,n\}.$$
Sean $x= (x_1,x_2,…,x_n), y=(y_1,y_2,…,y_n) \in X.$ Las siguientes son métricas equivalentes en $X.$
- $d_1(x,y) := \sum_{i = 1}^{n} d_i(x_i,y_i).$
- $d_2(x,y) := \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} d_i(x_i,y_i)^2 }.$
- $d_{\infty} (x,y):= max\{d_1(x_1,y_1),…,d_n(x_n,y_n)\}.$
Demostración: Queda como ejercicio al lector.
Teorema de Tychonoff para productos finitos. Sea $(X_i,d_i),$ $i=1,…,n. \,$ un espacio métrico compacto. Entonces $\left( \prod_{i =1}^{n}X_i, d_{\infty} \right)$ es compacto.
Nota: Esta argumentación es válida para cualquier otra métrica aquí definida en el producto de espacios, pues son equivalentes a $d_{\infty}.$
Demostración:
Sea $X = \prod_{i =1}^{n}X_i\, $ y $\, (x_{k_1}, x_{k_2},x_{k_3},…,x_{k_n})_{k \in \mathbb{N}}$ una sucesión en $(X, d_{\infty}).$ Para probar la compacidad vamos a mostrar que tiene una subsucesión convergente en $(X,d_{\infty}).$
Vamos a hacer sucesiones con los términos de los elementos de la sucesión. Para mostrar esto, enlistamos los primeros términos de la sucesión, que son elementos en $\left( \prod_{i =1}^{n}X_i \right),$ como sigue:
\begin{align*}
(\textcolor{magenta}{x_{1_1}}, x_{1_2},x_{1_3},…,x_{1_n})\\
(\textcolor{magenta}{x_{2_1}}, x_{2_2},x_{2_3},…,x_{2_n})\\
(\textcolor{magenta}{x_{3_1}}, x_{3_2},x_{3_3},…,x_{3_n})\\
\bullet \\
\bullet \\
\bullet \\
\end{align*}
Los elementos de $X_1,$ señalados en rosa forman una sucesión: $\textcolor{magenta}{(x_{k_1})_{k \in \mathbb{N}}}\,$ en $X_1,$ que es compacto, entonces tiene una subsucesión tal que $\textcolor{magenta}{(x_{\alpha_1(k)_1})_{k \in \mathbb{N}}} \to \hat{x_1},$ para algún $\hat{x_1} \in X_1.$
Tomemos ahora los elementos correspondientes a los términos de esta subsucesión pero esta vez seleccionando a los de la segunda posición.
Nota: La siguiente lista es solo una representación de cómo la subsucesión selecciona algunos elementos, los indicados en rosa. Formamos una sucesión con los representados en azul.
\begin{align*}
(\textcolor{magenta}{x_{1_1}}, \textcolor{RoyalBlue}{x_{1_2}},\textcolor{gray}{x_{1_3},…,x_{1_n}})\\
(\textcolor{gray}{x_{2_1}, x_{2_2},x_{2_3},…,x_{2_n}})\\
(\textcolor{gray}{x_{3_1}, x_{3_2},x_{3_3},…,x_{3_n}})\\
(\textcolor{magenta}{x_{4_1}}, \textcolor{RoyalBlue}{x_{4_2}},\textcolor{gray}{x_{4_3},…,x_{4_n}})\\
(\textcolor{magenta}{x_{5_1}}, \textcolor{RoyalBlue}{x_{5_2}},\textcolor{gray}{x_{5_3},…,x_{5_n}})\\
(\textcolor{gray}{x_{6_1}, x_{6_2},x_{6_3},…,x_{6_n}})\\
(\textcolor{magenta}{x_{7_1}}, \textcolor{RoyalBlue}{x_{7_2}},\textcolor{gray}{x_{7_3},…,x_{7_n}})\\
\bullet \\
\bullet \\
\bullet \\
\end{align*}
La sucesión de elementos en $X_2$ dada por $\textcolor{RoyalBlue}{(x_{\alpha_1(k)_2})_{k \in \mathbb{N}}}$ tiene una subsucesión convergente en $X_2$, pues es compacto, digamos $\textcolor{RoyalBlue}{(x_{\alpha_2(\alpha_1(k))_2})_{k \in \mathbb{N}}} \to \hat{x_2},$ para algún $\hat{x_2} \in X_2.$ Nota que $\alpha_2(\alpha_1)$ indica una subsucesión de $\textcolor{magenta}{(x_{\alpha_1(k)_1})_{k \in \mathbb{N}}}$ y como $\textcolor{magenta}{(x_{\alpha_1(k)_1})_{k \in \mathbb{N}}} \to \hat{x_1},$ entonces también $\textcolor{magenta}{(x_{\alpha_2(\alpha_1(k))_1})_{k \in \mathbb{N}}} \to \hat{x_1}.$
Procedemos análogamente con las terceras entradas de cada término de la sucesión, tomando los correspondientes a los elementos en azul que representan la subsucesión que converge.
\begin{align*}
(\textcolor{gray}{x_{1_1}, x_{1_2},x_{1_3},…,x_{1_n}})\\
(\textcolor{gray}{x_{2_1}, x_{2_2},x_{2_3},…,x_{2_n}})\\
(\textcolor{gray}{x_{3_1}, x_{3_2},x_{3_3},…,x_{3_n}})\\
(\textcolor{magenta}{x_{4_1}}, \textcolor{RoyalBlue}{x_{4_2}},\textcolor{ForestGreen}{x_{4_3}}\textcolor{gray}{,…,x_{4_n}})\\
(\textcolor{gray}{x_{5_1}, x_{5_2},x_{5_3},…,x_{5_n}})\\
(\textcolor{gray}{x_{6_1}, x_{6_2},x_{6_3},…,x_{6_n}})\\
(\textcolor{magenta}{x_{7_1}}, \textcolor{RoyalBlue}{x_{7_2}},\textcolor{ForestGreen}{x_{7_3}}\textcolor{gray}{,…,x_{7_n}})\\
\bullet \\
\bullet \\
\bullet \\
\end{align*}
Los elementos verdes son la sucesión $\textcolor{ForestGreen}{(x_{\alpha_2(\alpha_1(k))_3})_{k \in \mathbb{N}}}$ en $X_3$ que es compacto. Entonces tiene una subsucesión convergente, digamos $\textcolor{ForestGreen}{(x_{\alpha_3(\alpha_2(\alpha_1(k)))_3})_{k \in \mathbb{N}}} \to \hat{x_3},$ para algún $\hat{x_3} \in X_3.$ Nota que los subíndices dados por $\alpha_3 \circ \alpha_2 \circ \alpha_1$ indican subsucesiones de las sucesiones en $X_1$ y $X_2$ que convergen respectivamente a $\hat{x_1}$ y $\hat{x_2}.$
Continuando hasta $n$ generaremos una función creciente $\alpha = \alpha_n \circ \alpha_{n-1} \circ… \circ \alpha_2 \circ \alpha_1, \,$
Por construcción, para cada coordenada $i \in {1, \dots, n}$, la sucesión de componentes $(x_{\alpha(k)i})_{k \in \mathbb{N}}$ es una subsucesión de una sucesión que ya convergía a $\hat{x}_i$. Por lo tanto para cada $i \in \{1, \dots, n\},$ $$ (x_{\alpha(k)i})_{k \in \mathbb{N}} \to \hat{x}_i \quad \text{en } X_i $$
Dado que la convergencia en $(X, d_{\infty})$ es equivalente a la convergencia componente a componente se sigue que la subsucesión $\, (x_{\alpha(k)_1}, x_{\alpha(k)_2},x_{\alpha(k)_3},…,x_{\alpha(k)_n})_{k \in \mathbb{N}}$ converge a $(\hat{x_1}, \hat{x_2},…, \hat{x_n}) \in X.$ Por lo tanto la sucesión $\, (x_{k_1}, x_{k_2},x_{k_3},…,x_{k_n})_{k \in \mathbb{N}},$ tomada arbitrariamente en $(X, d_{\infty})$ tiene una subsucesión convergente, en consecuencia, $X$ es compacto.
El regreso también es válido. Para verlo haremos proyecciones, primero probemos la siguiente:
Proposición. Para cada $i=1,…,n$ sea $(X_i,d_i),$ un espacio métrico. Entonces para cada $k=1,…,n$ la función proyección $\pi_k: \left( \prod_{i =1}^{n}X_i \right) \to X_k$ dada por
$$\pi_k(x)= \pi_k(x_1,x_2,…,x_n):= x_k$$
es una función continua.
Demostración:
Lo haremos a través de la distancia $d_{\infty}.$ Sea $x = (x_1,x_2,…,x_n) \in \prod_{i =1}^{n}X_i \,$ y $ \, \varepsilon >0.$ Entonces si $\delta = \varepsilon \,$ y $\, y = (y_1,y_2,…,y_n) \in \prod_{i =1}^{n}X_i$ es tal que $d_{\infty}(x,y) =max\{d_1(x_1,y_1),…,d_n(x_n,y_n) \}< \delta,$ en particular $d_k(\pi_k(x), \pi_k(y)) =d_k(x_k,y_k) < \delta = \varepsilon.$ Por lo tanto $\pi_k$ es continua en $\prod_{i =1}^{n}X_i.$
Con esto el regreso del teorema de Tychonoff es inmediato: Si $\left( \prod_{i =1}^{n}X_i, d_{\infty} \right)$ es compacto, entonces, por la proposición anterior, para cada $k \in \{1,…,n\}$ se tiene que $\pi\left( \prod_{i =1}^{n}X_i \right) = X_k$ es compacto, que es lo que queríamos probar.
Antes de terminar esta sección, veamos dos resultados más:
Proposición. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos. Entonces el producto $(X \times Y,d_{\infty})$ es completo si y solo si tanto $(X,d_X)$ como $(Y,d_Y)$ son completos.
Demostración:
Primero supongamos que $(X \times Y,d_{\infty})$ es completo. Probemos que $(X,d_X)$ es completo. Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de Cauchy en $X.$ Sea $y \in Y$ (fijo). Entonces la sucesión $(x_n,y)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es de Cauchy en $(X \times Y,d_{\infty})$, pues dada $\varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para cualesquiera $n,m \geq N,$ se cumple que $d_X(x_n,x_m) <\varepsilon,$ entonces
$$d_{\infty}((x_n,y),(x_m,y)) = max \{d_X(x_n,x_m),d_Y(y,y)\} = d_X(x_n,x_m) <\varepsilon.$$
En consecuencia $(x_n,y)_{n \in \mathbb{N}} \to (x^*,y^*)$ para algún $(x^*,y^*) \in X \times Y,$ (pues estamos suponiendo que el producto es completo). Por lo tanto $(x_n) \to x^*$ lo que prueba que $(X,d_X)$ es completo. La prueba para probar que $(Y,d_Y)$ es completo es análoga.
Ahora supongamos que tanto $(X,d_X)$ como $(Y,d_Y)$ son completos. Sea $(x_n,y_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de Cauchy en $(X \times Y,d_{\infty}).$ Entonces dada $\varepsilon > 0$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para cualesquiera $n,m \geq N,$ se cumple que $d_{\infty}((x_n,y_n),(x_m,y_m))= max \{d_X(x_n,x_m),d_Y(y_n,y_m)\} <\varepsilon.$ De modo que existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para cualesquiera $n,m \geq N,$ se cumple que
$$d_X(x_n,x_m) <\varepsilon \, \text{ y } \, d_Y(y_n,y_m) <\varepsilon$$
lo cual implica que $(x_n)$ y $(y_n)$ son de Cauchy en $X$ y $Y$ respectivamente, que son completos, por lo tanto existen $x^* \in X$ y $y^* \in Y$ tales que $(x_n) \to x^*$ y $(y_n) \to y^*.$ En consecuencia $(x_n,y_n)_{n \in \mathbb{N}} \to (x^*, y^*)$ por lo que concluimos que $(X \times Y,d_{\infty})$ es completo.
Proposición. El espacio producto $(X \times Y, d_{\infty})$ es totalmente acotado si y solo si tanto $(X, d_X)$ como $(Y, d_Y)$ son espacios totalmente acotados.
Demostración:
Supongamos que $(X \times Y, d_{\infty})$ es totalmente acotado. Dado $\varepsilon > 0$, existe un conjunto finito de puntos ${(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)} \subset X \times Y$ tal que:
$$X \times Y = \bigcup_{i=1}^{n} B_{\infty}((x_i, y_i), \varepsilon). $$
Nota que se cumple la igualdad $B_{\infty}((x_i, y_i), \varepsilon) = B_{X}(x_i, \varepsilon) \times B_{Y}(y_i, \varepsilon).$ En consecuencia el conjunto finito $\{x_1, \dots, x_n\}$ es una $\varepsilon-red$ para $X,$ mientras que $\{y_1, \dots, y_n\}$ es una $\varepsilon-red$ para $Y$. Por lo tanto, tanto $X$ como $Y$ son totalmente acotados.
Ahora supongamos que $X$ y $Y$ son totalmente acotados. Dado $\varepsilon > 0$, existen conjuntos finitos de puntos $A = \{x_1, \dots, x_n\} \subset X$ y $B = \{y_1, \dots, y_m\} \subset Y$ tales que:
$$ X = \bigcup_{i=1}^{n} B_{X}(x_i, \varepsilon) \quad \text{y} \quad Y = \bigcup_{j=1}^{m} B_{Y}(y_j, \varepsilon). $$
Consideremos el conjunto producto $A \times B = \{(x_i, y_j) \, | \, 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m\}$, el cual es un conjunto finito de $n \times m$ puntos en $X \times Y$.
Sea $(x, y) \in X \times Y$. Entonces existe algún $x_i \in A$ tal que $d_X(x, x_i) < \varepsilon$ y existe algún $y_j \in B$ tal que $d_Y(y, y_j) < \varepsilon$. En consecuencia
$$ d_{\infty}((x, y), (x_i, y_j)) = max\{d_X(x, x_i), d_Y(y, y_j)\} < \varepsilon.$$
Esto implica que $(x, y) \in B_{\infty}((x_i, y_j), \varepsilon)$. Por lo tanto, $A \times B$ es una $\varepsilon-red$ finita para $X \times Y$, concluyendo que el producto es totalmente acotado.
Las últimas dos proposiciones también son válidas para el producto finito de espacios métricos. La prueba de esta afirmación es análoga a las ya presentadas y se dejará como ejercicio. Teniendo presente esto y el hecho de que un espacio es compacto si y solo si es completo y totalmente acotado (visto en Conjuntos relativamente compactos y totalmente acotados), es posible dar una prueba más directa al teorema de Tychonoff para productos finitos.
Más adelante…
El análisis matemático no se detiene en la abstracción del producto de espacios. El siguiente paso es preguntarnos cómo podemos aproximar funciones complejas mediante estructuras más sencillas y manejables. En la siguiente sección exploraremos los Polinomios de Bernstein, una herramienta que nos permitirá demostrar el teorema de aproximación de Weierstrass y entender cómo la combinatoria y el análisis se unen para modelar la realidad.
Tarea moral
- Demuestra que las funciones definidas son métricas y que son equivalentes.
- Prueba que $\left( \prod_{i =1}^{n}X_i, d_{\infty} \right)$ es completo si y solo si $(X_i,d_i),$ $i=1,…,n. \,$ es completo.
- Prueba que $\left( \prod_{i =1}^{n}X_i, d_{\infty} \right)$ es totalmente acotado si y solo si $(X_i,d_i),$ $i=1,…,n. \,$ es totalmente acotado.
- Demuestra a partir de los dos resultados anteriores que $\left( \prod_{i =1}^{n}X_i, d_{\infty} \right)$ es compacto si y solo si $(X_i,d_i),$ $i=1,…,n. \,$ es compacto.
Bibliografía
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- Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2013. Pags: 28, 91, y 141.
- Antonyan, S., Curso de Topología. Ciudad de México: Facultad de Ciencias UNAM. Págs: 36, 37, 88 y 134.
- Wawrzyñczyk, A. Notas de curso especial: Espacios Métricos. Departamento de Matemáticas, UAM Iztapalapa. 2014 Pág 91.