Introducción

En esta sección hablaremos acerca de algunas propiedades de la imagen y la imagen inversa de un conjunto bajo una función, dichas propiedades hablan de cómo se comportan estos conjuntos con respecto a la unión, la intersección y la diferencia.

Propiedades de la imagen de un conjunto

A continuación enunciamos algunas propiedades de la imagen de conjuntos bajo una función.

Teorema. Sean $X$ y $Y$ conjuntos y sea $f:X\to Y$ una función. Sean $X_1,X_2\subseteq X$ y $Y_1, Y_2\subseteq Y$. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1. Si $X_1\subseteq X_2$, entonces $f[X_1]\subseteq f[X_2]$,
2. $f[X_1\cup X_2]=f[X_1]\cup f[X_2]$,
3. $f[X_1\cap X_2]\subseteq f[X_1]\cap f[X_2]$,
4. $f[X_1]\setminus f[X_2]\subseteq f[X_1\setminus X_2]$,
5. Si $Y_1\subseteq Y_2$, entonces $f^{-1}[Y_1]\subseteq f^{-1}[Y_2]$,
6. $f^{-1}[Y_1\cup Y_2]=f^{-1}[Y_1]\cup f[Y_2]$.¹

Demostración.

1) Supongamos que $X_1\subseteq X_2$ y veamos que $f[X_1]\subseteq f[X_2]$.
Sea $y\in f[X_1]$, entonces existe $x\in X_1$ tal que $f(x)=y$. Dado que $X_1\subseteq X_2$, entonces $x\in X_2$ cumple $f(x)=y$, esto es $y\in f[X_2]$.
Por lo tanto, $f[X_1]\subseteq f[X_2]$.

2) Veamos que $f[X_1\cup X_2]=f[X_1]\cup f[X_2]$.

$\subseteq$] Sea $y\in f[X_1\cup X_2]$, entonces existe $x\in X_1\cup X_2$ tal que $f(x)= y$. Entonces $x\in X_1$ o $x\in X_2$ cumple $f(x)=y$.

• Si $x\in X_1$, f(x)=y entonces $y\in f[X_1]$ y por lo tanto $y\in f[X_1]\cup f[X_2]$.
• Si $x\in X_2$, f(x)=y entonces $y\in f[X_2]$ y por lo tanto $y\in f[X_1]\cup f[X_2]$.

Por lo tanto, $f[X_1\cup X_2]\subseteq f[X_1]\cup f[X_2]$.

$\supseteq$] Sea $y\in f[X_1]\cup f[X_2]$, entonces $y\in f[X_1]$ o $y\in f[X_2]$.

Si $y\in f[X_1]$, entonces existe $x\in X_1$ tal que $f(x)=y$. Luego, como $X_1\subseteq X_1\cup X_2$, tenemos que $x\in X_1\cup X_2$. Por lo tanto, existe $x\in X_1\cup X_2$ tal que $f(x)=y$, esto es $y\in f[X_1\cup X_2]$.

Si $y\in f[X_2]$, entonces existe $x\in X_2$ tal que $f(x)=y$. Luego, como $X_2\subseteq X_1\cup X_2$, tenemos que $x\in X_1\cup X_2$. Por lo tanto, existe $x\in X_1\cup X_2$ tal que $f(x)=y$, esto es $y\in f[X_1\cup X_2]$.

Por lo tanto, $f[X_1]\cup f[X_2]\subseteq f[X_1\cup X_2]$.

De las contenciones que demostramos tenemos que $f[X_1]\cup f[X_2]=f[X_1\cup X_2]$.

3) Ahora veamos que $f[X_1\cap X_2]\subseteq f[X_1]\cap f[X_2]$.

Sea $y\in f[X_1\cap X_2]$, entonces existe $x\in X_1\cap X_2$ tal que $f(x)= y$. Entonces $x\in X_1$, y $x\in X_2$ y cumple $f(x)=y$.

De donde $y\in f[X_1]$ y $y\in f[X_2]$. Por lo tanto, $y\in f[X_1]\cap f[X_2]$.

Así, $f[X_1\cap X_2]\subseteq f[X_1]\cap f[X_2]$.

4) A continuación mostraremos que $f[X_1]\setminus f[X_2]\subseteq f[X_1\setminus X_2]$.

Sea $y\in f[X_1]\setminus f[X_2]$, entonces $y\in f[X_1]$ y $y\notin f[X_2]$.

Dado que $y\in f[X_1]$, entonces existe $x\in X_1$ tal que $f(x)=y$. Luego, como $y\notin f[X_2]$ entonces para cualquier $a\in X_2$, $f(a)\not=y$. Resulta que $x\notin X_2$ pues de lo contrario $f(x)\not=y$ lo cual no puede ocurrir.

Por lo tanto, $x\in X_1\setminus X_2$ y cumple $f(x)=y$, esto es, $y\in f[X_1\setminus X_2]$.

5) Supongamos que $Y_1\subseteq Y_2$ y veamos que $f^{-1}[Y_1]\subseteq f^{-1}[Y_2]$.
Sea $x\in f^{-1}[Y_1]$, entonces existe $y\in Y_1$ tal que $f(x)=y$. Dado que $Y_1\subseteq Y_2$, entonces $y\in Y_2$ y se cumple $f(x)=y$, esto es $x\in f^{-1}[Y_2]$.
Por lo tanto, $f^{-1}[Y_1]\subseteq f^{-1}[Y_2]$.

6) Finalmente veamos que $f^{-1}[Y_1\cup Y_2]=f^{-1}[Y_1]\cup f^{-1}[Y_2]$.

Sea $x\in f^{-1}[Y_1\cup Y_2]$, entonces existe $y\in Y_1\cup Y_2$ tal que $f(x)=y$. Luego, como $y\in Y_1\cup Y_2$ se tiene que $y\in Y_1$ o $y\in Y_2$.

Si $y\in Y_1$, tenemos que $x\in f^{-1}[Y_1]$. Por lo tanto $x\in f^{-1}[Y_1]\cup f^{-1}[Y_2]$.

Si $y\in Y_2$, tenemos que $x\in f^{-1}[Y_2]$. Por lo tanto $x\in f^{-1}[Y_1]\cup f^{-1}[Y_2]$.

$\square$

¿Será cierto que $f[X_1\cap X_2]=f[X_1]\cap f[X_2]$?

Ya vimos que $f[X_1\cap X_2]\subseteq f[X_1]\cap f[X_2]$, por lo que, al igual que con la unión, podríamos pensar que se cumple la igualdad entre los conjuntos. Sin embargo, vamos a ver que en ocasiones $f[X_1]\cap f[X_2]\not\subseteq f[X_1\cap X_2]$.

Ejemplo.

Sean $X=\set{0,1,2}$ y $Y=\set{1,2,3}$ conjuntos y sea $f:X\to Y$ una función dada por el conjunto $f(x)=2$. Sean $X_1=\set{0,1}$ y $X_2=\set{2}$ subconjuntos de $X$.

Por un lado tenemos que $X_1\cap X_2=\set{0,1}\cap \set{2}=\emptyset$, por lo que $f[X_1\cap X_2]=f[\emptyset]= \emptyset$.

Por otro lado, $f[X_1]=f[\set{0,1}]=\set{2}$ y $f[X_2]=f[\set{2}]=\set{2}$. Así, $f[X_1]\cap f[X_2]=\set{2}$.

Por lo tanto, $f[X_1]\cap f[X_2]\not\subseteq f[X_1\cap X_2]$.

$\square$

¿Será cierto que $f[X_1\setminus X_2]=f[X_1]\setminus f[X_2]$?

Ya vimos que $f[X_1]\setminus f[X_2]\subseteq f[X_1\setminus X_2]$, pero veremos que la contención de regreso no siempre es posible, es decir, $f[X_1\setminus X_2] \not\subseteq f[X_1]\setminus f[X_2]$. Un ejemplo de esto se muestra a continuación.

Ejemplo.

Sean $X=\set{0,1,2}$ y $Y=\set{1,2,3}$ conjuntos y sea $f:X\to Y$ una función dada por $f(x)=2$ Sean $X_1=\set{0,1}$ y $X_2=\set{1,2}$ subconjuntos de $X$.

Por un lado tenemos que $X_1\setminus X_2=\set{0,1}\setminus \set{1,2}=\set{0}$, por lo que $f[X_1\setminus X_2]=f[\set{0}]= \set{2}$.

Por otro lado, $f[X_1]=f[\set{0,1}]=\set{2}$ y $f[X_2]=f[\set{1,2}]=\set{2}$. Así, $f[X_1]\setminus f[X_2]=\emptyset$.

Por lo tanto, $f[X_1\setminus X_2]\not\subseteq f[X_1]\setminus f[X_2]$.

$\square$

Restricción de una función

Si ya tenemos una función que va de un conjunto $X$ a un conjunto $Y$, podemos «limitar» a la función a un subconjunto de $X$ mediante la siguiente definición.

Definición. Sea $f:X\to Y$ una función y sea $A\subseteq X$. Decimos que la restricción de $f$ en $A$ es la función $f\upharpoonright_{A} :A\to Y$ dada por $f\upharpoonright_{A} (x)= f(x)$ para todo $x\in A$.

Aunque las funciones $f$ y $f\upharpoonright$ tengan la misma regla de correspondencia, típicamente son funciones distintas pues casi siempre tienen dominios distintos (a menos que $X=A$).

Ejemplo.

Sean $X=\set{1,2,3,4}$ y $Y=\set{1,2,3,4,5}$. Sea $f:X\to Y$ la función dada por $\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,1)}$. Si restringimos $f$ al subconjunto ${1,2,3}$ obtenemos la función identidad en este subconjunto. En efecto, $f\upharpoonright_A=\set{(1,1), (2,2), (3,3)}$.

$\square$

Composición de funciones

Recuerda que podemos pensar a una función $f:X\to Y$ como una «regla de correspondencia» que manda a cada elemento de $X$ a uno y sólo un elemento de $Y$. Si tenemos otra función $g:Y\to Z$ entonces también $g$ da una «regla de correspondencia», pero para mandar elementos de $Y$ a $Z$. Entonces, suena a que podríamos combinar a $f$ con $g$ de alguna manera para enviar elementos de $X$ a $Z$. Esto lo hará la composición de funciones. Reescribamos la definición que teníamos de relaciones, pero ahora para funciones.

Definición. Sean $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$. Definimos a la composición de $f$ con $g$ como el siguiente conjunto:

$g\circ f=\set{(x,z): \exists y\in Y( f(x)=y \text{ y } g(y)=z)}$.

Observa que estamos pidiendo que si estas dos igualdades pasan, entonces $g\circ f$ tiene a la pareja $(x,z)$. Como enuncia el siguiente teorema, esto impicará que $g\circ f$ es función, y que su regla de correspondencia será $(g\circ f)(x)=g(f(x))$.

Proposición. Si $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ son funciones, entonces $g\circ f:X\to Z$ es función. Además, cumplirá que $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ para toda $x\in X$.

Demostración.

En la sección de composición de relaciones vimos que si $f$ y $g$ son relaciones, entonces $g\circ f$ es relación, por lo que resta ver que $g\circ f$ es funcional y total.

Para ver que es funcional, supongamos que hay parejas $(x,z)$ y $(x,z’)$ en $g\circ f$. Por definición, esto implica que existen $y$ y $y’$ en $Y$ tales que $(x,y),(x,y’)\in f$ y $(y,z), (y’,z’) \in g$. Como $f$ es funcional, se tiene $y=y’$. Así, $(y,z), (y,z’)\in g$. Como $g$ es funcional, se tiene $z=z’$.

Para ver que es total, como $f$ es total, existe $y\in Y$ con $(x,y)\in f$. Como $g$ es total, existe $z$ con $(y,z)\in g$. Así, por definición de composisión tenemos $(x,z)\in g\circ f$ y por lo tanto $g\circ f$ es total.

El párrafo anterior justo nos dice que si $f(x)=y$ y $g(y)=z$, entonces $$(g\circ f)(x)=z=g(y)=f(g(x)).$$

$\square$

Ejemplo.

Sean $f:\set{1,2}\to \set{2,4}$ y $g:\set{2,4}\to \set{3,5}$ las funciones dadas por $f(x)= 2x$ y $g(x)=x+1$ respectivamente (con tu entendimiento actual de $2x$ y $x+1$, posteriormente formalizaremos estas operaciones). Entonces $g\circ f:\set{1,2}\to \set{3,5}$ está dada por:

$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(2x)=2x+1$.

Por lo que,

• $(g\circ f)(1)=2(1)+1=2+1=3$,
• $(g\circ f)(2)= 2(2)+1=4+1=5$.

De modo que los elementos de $g\circ f$ son $(1,3)$ y $(2,5)$.

$\square$

Tarea moral

1. Demuestra que si $X$ y $Y$ son conjuntos, $X_1\subseteq X$, $Y_1, Y_2\subseteq Y$ y $f:X\to Y$ una función, entonces se cumplen las siguientes propiedades:
   • $f^{-1}[Y_1\cap Y_2]=f^{-1}[Y_1]\cap f^{-1}[Y_2]$,
   • $f^{-1}[Y_1\setminus Y_2]=f^{-1}[Y_1]\setminus f{-1}[Y_2]$,
   • $X_1\subseteq f^{-1}[f[X_1]]$,
   • $f[f^{-1}[B_1]]\subseteq B_1$.

2. Demuestra que la composición de funciones es asociativa.
3. ¿Será cierto que si $R$ es una función, entonces la relación inversa $R^{-1}$ también es función?
4. ¿Será cierto que si $R$ de $A$ en $B$ y $S$ de $B$ en $C$ son relaciones tal que ninguna de ellas es función, entonces $S\circ R$ nunca es función?

Más adelante…

La siguiente sección estará dedicada a funciones inyectivas. Este tipo de funciones empezarán a estudiar cómo se comportan los elementos del codominio de una función. Específicamente, las funciones inyectivas serán aquellas para las que cada elemento del codominio viene de a lo más un elemento del dominio. Este tema será de gran importancia pues en muchas ocasiones tendremos que verificar si se satisface esta propiedad.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

1. Puedes encontrar una prueba similar de este teorema en Gómez L. C, Álgebra Superior Curso Completo. Publicaciones Fomento Editorial, 2014, p. 49-50 ↩︎