Introducción

Esta entrada nos permitirá dar un breve espacio a las funciones compatibles. Será de gran importancia hacer una parada en este concepto pues será de gran utilidad en la demostración de nuestro siguiente teorema: el teorema de recursión.

Funciones compatibles

En esta entrada exploraremos la pregunta de cuándo y en qué sentido la unión de dos o más funciones es una función. La definición que nos ayudará a explorar esto es la siguiente.

Definición. Sean $f$ y $g$ funciones. Decimos que $f$ y $g$ son funciones compatibles si y sólo si $f(x)=g(x)$ para cualquier $x\in dom(f)\cap dom(g)$.

Como consecuencia de la definición, si $f$ y $g$ son funciones tales que $dom(f)\cap dom(g)=\emptyset$, entonces por vacuidad $f$ y $g$ son compatibles.

Ejemplo.

Consideremos las funciones $f:\{1,2,3\}\to\{1,2\}$ y $g:\{0,4\}\to \{1,2,3\}$ dadas por $f(1)=f(2)=1$, $f(3)=2$, $g(0)=1$, $g(4)=3$. Como $dom(f)\cap dom(g)=\emptyset$, entoces $f$ y $g$ son compatibles.

$\square$

Ejemplo.

Consideremos las funciones $h:\{1,3\}\to \{0,1\}$ y $k:\{0,1,2\}\to \{0,1,2,3,4\}$ dadas como sigue:

\begin{align*} h &=\{(1,0), (3,1)\}\\ k&=\{(0,3),(1,0),(2,2)\}\end{align*}

Para ver que $h$ y $k$ son funciones compatibles, basta ver que para cada elemento $x$ en $dom(h)\cap dom(k)=\{1\}$ se cumple que $h(x)=k(x)$. Como el único elemento en la intersección es el $1$, basta ver que $h(1)=k(1)$. Y en efecto, $h(1)=0=k(1)$. Por lo tanto, $f$ y $g$ son funciones compatibles.

$\square$

Hay una definición más general, para cuando se tienen varias funciones.

Definición. Sea $\mathcal{F}$ un conjunto de funciones. Diremos que $\mathcal{F}$ es un sistema compatible de funciones si para cualesquiera $f,g\in \mathcal{F}$, $f$ y $g$ son compatibles.

Ejemplo.

Si consideramos a $\mathcal{F}=\set{h,k}$ con $h$ y $k$ como en el ejemplo anterior, tenemos que $\mathcal{F}$ es un sistema compatible de funciones pues $h$ y $k$ son funciones compatibles.

$\square$

Ejemplo.

Para cada $n\in\mathbb{N}\setminus\set{0}$ definamos $f_n:n\to\mathbb{N}$ por medio de $f_n(k)=s(k)$ para cada $k\in n$, donde $s(k)$ es el sucesor de $k$. Veamos que $\mathcal{F}=\set{f_n:n\in\mathbb{N}\setminus\set{0}}$ es un sistema de funciones compatibles. Si $n,m\in\mathbb{N}\setminus\set{0}$, entonces, $n\leq m$ o $m\leq n$ y, por consiguiente, $dom(f_n)\subseteq dom(f_m)$ o $dom(f_m)\subseteq dom(f_n)$; más aún, $f_n\subseteq f_m$ o $f_m\subseteq f_n$ y, por tanto, $f_n$ y $f_m$ son funciones compatibles. Por tanto, $\mathcal{F}$ es un sistema de funciones compatibles.

Cuándo la unión de funciones es función

Teorema. Sean $f:X\to Y$ y $g:X’\to Y’$ funciones compatibles. Entonces $f\cup g$ es una función de $X\cup X’$ en $Y\cup Y’$.

Demostración.

Sean $f:X\to Y$ y $g:X’\to Y’$ funciones compatibles.

Sea $f\cup g: X\cup X’\to Y\cup Y’$. Veamos primero que $dom(f\cup g)=dom(f)\cup dom(g)$.

$\subseteq$) Si $x\in dom(f\cup g)$, entonces existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in f\cup g$.

Entonces existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in f$ o $(x,y)\in g$, esto es, existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in f$ o existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in g$. Así, $x\in dom(f)$ o $x\in dom(g)$. Por lo tanto, $x\in dom(f)\cup dom(g)$.

Por lo tanto, $dom(f)\cup dom(g)\subseteq dom(f\cup g)$.

$\supseteq$) Sean $x\in dom(f)\cup dom(g)$, entonces $x\in dom(f)$ o $x\in dom(g)$.

Caso 1: Si $x\in dom(f)$, entonces existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in f$. Por lo tanto, existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in f\cup g$. Por lo tanto, $x\in dom(f\cup g)$.

Caso 2: Si $x\in dom(g)$, entonces existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in g$. Por lo tanto, existe $y\in Y\cup Y’$ tal que $(x,y)\in f\cup g$. Por lo tanto, $x\in dom(f\cup g)$.

Así, $dom(f)\cup dom(g)\subseteq dom(f\cup g)$.

Por lo tanto, $dom(f)\cup dom(g)=dom(f\cup g)$.

Ahora, veamos que $f\cup g$ es función. Sean $(a, b), (a,c)\in f\cup g$, veamos que $b=c$. Se puede comprobar que $dom(f)\cup dom(g)= (dom(f)\triangle dom(g))\cup (dom(f)\cap dom(g))$ (Ver tarea moral) por lo que como $a\in dom(f)\cup dom(g)$, entonces $a\in (dom(f)\triangle dom(g))\cup (dom(f)\cap dom(g))$.

Caso 1: Si $a\in dom(f)\triangle dom(g)$, entonces $a\in (dom(f)\setminus dom(g))\cup (dom(g)\setminus dom(f))$. Entonces $a\in dom(f)\setminus dom(g)$ o $a\in dom(g)\setminus dom(f)$.

Caso 1.1: Si $a\in dom(f)\setminus dom(g)$, entonces $(a,b)\in f\setminus g$ y $(a,c)\in f\setminus g$, en particular $(a,b), (a,c)\in f$ y dado que $f$ es función se concluye que $b=c$.

Caso 1.2: Si $a\in dom(g)\setminus dom(f)$, entonces $(a,b)\in g\setminus f$ y $(a,c)\in g\setminus f$, en particular $(a,b), (a,c)\in g$ y dado que $g$ es función se concluye que $b=c$.

Caso 2: Si $a\in dom(f)\cap dom(g)$, entonces como $f$ y $g$ son funciones compatibles se tiene que $f(a)= g(a)$. Como $a\in dom(f)$, entonces $(a,b)\in f$ donde $b=f(a)$. Dado que $a\in dom(g)$, entoces $(a,c)\in g$ y así, $(a,g(a))\in g$, donde $g(a)=c$. Por lo tanto, $b=f(a)=g(a)=c$.

Por lo tanto, $f\cup g$ es función.

$\square$

El siguiente teorema generaliza el resultado anterior:

Teorema. Sea $\mathcal{F}$ una familia de funciones compatibles. Entonces se cumplen los siguientes enunciados:

1. $\bigcup \mathcal{F}$ es función,
2. $dom(\bigcup \mathcal{F})= \bigcup\set{dom(f):f\in \mathcal{F}}$.

Demostración.

1. Veamos primero que $\bigcup \mathcal{F}\subseteq A\times B$ para algunos $A,B$ conjuntos.
   Dado que $\mathcal{F}$ es una familia de funciones compatibles, entonces para cualquier $f\subseteq \mathcal{F}$ se tiene que $f$ es una función, es decir, $f\subseteq A_f\times B_f$ para algunos conjuntos $A_f, B_f$. Resulta que $\bigcup \mathcal{F}\subseteq (\cup_{f\in \mathcal{F}}A_f)\times (\cup_{f\in \mathcal{F}}B_f)$.
   En efecto, sea $x\in \bigcup\mathcal{F}$, entonces $x\in f$ para alguna $f\in \mathcal{F}$, así $x\in A_f\times B_f$ pues $f\subseteq A_f\times B_f$. Así, $x\in (\cup_{f\in \mathcal{F}}A_f)\times (\cup_{f\in \mathcal{F}}B_f)$.
   Por lo tanto, $\bigcup \mathcal{F}\subseteq (\cup_{f\in \mathcal{F}}A_f)\times (\cup_{f\in \mathcal{F}}B_f)$.
   Ahora veamos que si $(a,b), (a,c)\in \bigcup\mathcal{F}$, entonces $a=c$. Sean $(a,b), (a,c)\in \bigcup\mathcal{F}$, entonces existen $f,g\in \mathcal{F}$ funciones compatibles tal que $(a,b)\in f$ y $(a,c)\in g$. Así, como $a\in dom(f)\cap dom(g)$, entonces $b=f(a)=g(a)=c$.
   Por lo tanto, $\bigcup\mathcal{F}$ es función.
2. $x\in dom(\bigcup\mathcal{F})$ si y sólo si existe $y\in Im(\bigcup\mathcal{F})$ tal que $(x,y)\in \bigcup\mathcal{F}$ si y sólo si existe existe $f\in \mathcal{F}$ tal que $(x,y)\in f$ si y sólo si para alguna $f\in \mathcal{F}$, $x\in dom(f)$, si y sólo si $x\in \bigcup\set{dom(f): f\in \mathcal{F}}$.
   Por lo tanto, $dom(\bigcup \mathcal{F})= \bigcup\set{dom(f):f\in \mathcal{F}}$.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta entrada:

• Demuestra que $dom(f\cup g)=[dom(f)\triangle dom(g)]\cup [dom(f)\cap dom(g)]$.
• En esta entrada probamos que si $f$ y $g$ son funciones compatibles, entonces $f\cup g$ es función. ¿Será cierto que si $f\cup g$ es función, entonces $f$ y $g$ son funciones compatibles?

Más adelante…

En la siguiente entrada enunciaremos y probaremos el teorema de recursión, dicho teorema nos permitirá definir operaciones como la suma y el producto en el conjunto de los números naturales.

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