Introducción

En esta ocasión, vamos a estudiar dos transformaciones importantes en las matemáticas, que ya hemos mencionado en entradas anteriores, pero que no hemos definido. Estas transformaciones son las semejanzas y las homotecias.

Homotecias

Las homotecias son las transformaciones que hacen que una figura aumente o disminuya de tamaño (como si aplicáramos un «zoom» a la figura). El cuánto aumenta o disminuye esta figura, es lo que llamaremos «factor de expansión», que tendrá un centro que se va a mantener mientras la figura aumenta o disminuye de tamaño, a este centro lo llamaremos «centro de expansión».

Cuando el centro de expansión es el origen, tenemos una transformación lineal con la siguiente matriz asociada:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& kI=\left(\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& k\end{array}\right)\end{array}$$

Con $k>0$.

Si $k>1$, tenemos un aumento y, si $k<1$, tenemos una disminución.

Si ahora componemos esta matriz con una traslación por $b\in {\mathbb{R}}^2$, obtenemos una homotecia de factor $k$ con centro de expansión $c$ que es el punto fijo que se obtiene resolviendo la siguiente ecuación:

$$\begin{array}{}\text{(2)}& kx+b=x\end{array}$$

Semejanzas

Las semejanzas son transformaciones que preservan ángulos.

Observa que las homotecias y las isometrías son semejanzas. Lo anterior muestra que las tres transformaciones están relacionadas, a continuación hablaremos más a fondo de esta relación.

Teorema 3.25: Si $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ es una semejanza, entonces existen $k>0$, $A\in O(2)$ y $b\in {\mathbb{R}}^2$ tales que:

$$\begin{array}{}\text{(3)}& f(x)=kAx+b\end{array}$$

Demostración

Considera la transformación lineal $g(x)=f(x)-b$, con $b:=f(0)$. Esta transformación es una traslación, por lo que preserva ángulos.

También considera a $B=(u,v)$, la matriz asociada a $g$, donde $u$ y $v$ son ortogonales con la misma norma $(\ast )$.

Finalmente, sean $k=|u|=|v|$ y $A=\frac{B}{k}$.

Observa que $A\in O(2)$ porque sus columnas son ortonormales y que, además:

$$\begin{array}{}\text{(4)}& f(x)=g(x)+b=Bx+b=kAx+b\end{array}$$

Lo que concluye la demostración.

Tarea moral

1. Demuestra, en $(\ast )$, que $u$ y $v$ son ortogonales con la misma norma.
2. Encuentra la expresión de la homotecia de factor de expansión $k$ y centro $c$.
3. Demuestra que una transformación $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ es una semejanza si y solo si, existe $k>0$ tal que $d(f(x),f(y))=kd(x,y)$ para todo $x,y\in {\mathbb{R}}^2$.

Más adelante…

No te pierdas la siguiente entrada en la que hablaremos de un nuevo tema, la clasificación.