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Variable Compleja I: Clasificación de ceros y singularidades de una función analítica

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

La entrada anterior vimos que una función analítica puede ser representada mediante una expansión en serie de Taylor o en serie de Laurent, dependiendo de la función y su dominio de analicidad. En esta entrada veremos que este hecho es de suma importancia ya que nos permite clasificar a los ceros y a las singularidades de una función analítica, en particular nos centraremos en las singulares aisladas que como veremos pueden clasificarse completamente en tres tipos: singularidades removibles, polos y singularidades esenciales.

Recordemos que un polinomio complejo p(z) es una función entera. Más aún, sabemos que una raíz de p es un número z0C tal que p(z0)=0. En este punto nos interesa generalizar esta idea para cualquier función analítica en algún dominio del plano complejo.

Definición 43.1. (Cero de una función analítica.)
Sean DC un dominio y f:DC una función analítica en D. Un cero de f es un punto z0D tal que f(z0)=0.

Definición 43.2. (Cero de orden m y cero aislado de una función analítica.)
Sean DC un dominio, f:DC una función analítica en D y mN+. Un punto z0D es un cero de orden m o un cero de multiplicidad m de f si existe una función analítica g:B(z0,R)DC, con R>0, tal g(z0)0 y:
f(z)=(zz0)mg(z),zB(z0,R).

Si m=1, se dice que z0 es un cero simple de f. Más aún, el cero z0D se dice que es aislado si existe un disco abierto de z0 en D tal que z0 es el único cero de f en dicho disco.

Observación 43.1.
De acuerdo con el teorema de Taylor, para B(z0,R)D tenemos que:
f(z)=n=0cn(zz0)n,zB(z0,R),donde cn=f(n)(z0)n!.

Es claro que al considerar la expansión en serie de Taylor de la función analítica f, alrededor de z0D, el punto z0 es un cero de f. Entonces c0=f(z0)=0. Sin embargo, pueden suceder dos casos.

  1. Todos los otros coeficientes cn de la serie también son cero. En tal caso f(z)=0 para todo zB(z0,R).
  2. Existe m1 tal que:
    c0=c1==cm1=0ycm0,es decir:
    f(z0)=f(z0)==f(m1)(z0)=0yf(m)(z0)0.En tal caso, para todo zB(z0,R) tenemos que:
    f(z)=n=mcn(zz0)n=n=0cn+m(zz0)n+m=(zz0)mn=0cn+m(zz0)n=(zz0)mg(z),donde g(z)=n=0cn+m(zz0)n, con cn+m=f(n+m)(z0)(n+m)!, es una función analítica en B(z0,R), corolario 39.1, tal que g(z0)=cm0.

    Como g es continua en z0, para ε=|cm|/2>0 existe r>0 tal que si zB(z0,r), entonces:
    |g(z)cm|=|g(z)g(z0)|<|cm|2.Por lo que si g(z)=0 para zB(z0,r) tenemos que:
    |0cm|=|cm|<|cm|2,lo cual claramente es una contradicción, por lo que existe r>0 tal que g(z)0 para todo zB(z0,r)D.

Proposición 43.1.
Sean DC un dominio, f:DC una función analítica en D y z0D tal que f(z0)=0. Entonces se cumple una de las siguientes condiciones.

  1. f(z)=0 en algún disco abierto de z0 contenido en D.
  2. z0 es un cero aislado de f.

Más aún, si se cumple la condición (2) entonces existen mN+, r>0 y una función analítica:
g:B(z0,r)C,tal que g(z)0 para todo zB(z0,r) y:
f(z)=(zz0)mg(z),zB(z0,r).

En consecuencia, z0 es un cero de orden m y se cumple que:
f(z0)=f(z0)==f(m1)(z0)=0yf(m)(z0)0.

Demostración. Se sigue de la observación 43.1.

◼

Ejemplo 43.1.
Determinemos el orden m1 del cero z0=0 de la función f(z)=sen(z).

Solución. Es claro que 0 es un cero de f. Sabemos que el orden de dicho cero está dado por la primera derivada distinta de 0 en z0=0. En este caso tenemos que f(z)=cos(z) y f(z0)=f(0)=cos(0)=10, por lo que z0=0 es un cero simple de f.

Por el ejemplo 42.5 tenemos que:
f(z)=sen(z)=zg(z),donde:
g(z):=n=0(1)nz2n(2n+1)!,la cual es una función entera, corolario 39.1, tal que g(0)=10 y para z0 tenemos que g(z)=sen(z)z la cual es también una función entera, por lo que existe r>0 tal que g(z)0 para todo zB(0,r), es decir, z0=0 es un cero aislado.

Ejemplo 43.2.
Encontremos la multiplicidad del cero z0=0 de la función f(z)=ezz1.

Solución. Claramente z0=0 es un cero de f. Dado que:
f(z)=ez1f(0)=0,f(2)(z)=ezf(0)=10,tenemos que z0=0 es un cero de multiplicidad 2 de f.

Por la definición 16.3, sabemos que para un dominio DC y una función f:DC, se dice que z0D es una singularidad de f si la función f no es analítica en z0, pero es analítica en algún punto de cada disco abierto B(z0,R) contenido en D. Por ejemplo para las funciones (ez1)z1, z4 y e1/z es claro que z0=0 es una singularidad ya que en dicho punto cada función no está definida y por tanto no es analítica, pero cada función es analítica para todo z0. Una pregunta interesante que podemos plantearnos es ¿existe alguna diferencia entre la singularidad z0=0 de dichas funciones? Veamos que dicha singularidad es de distinta naturaleza para cada función.

Definición 43.3. (Singularidad aislada: removible, polo y esencial.)
Sean DC un dominio, z0D y f:DC una función. Si f no es analítica en z0, pero existe R>0 tal que el disco abierto perforado B(z0,R) está contenido en D y f es analítica en B(z0,R), entonces se dice que z0 es una singularidad aislada de f. Si z0 es una singularidad aislada de f, entonces se tienen los siguientes tipos de singularidades aisladas.

  1. Si existe una función g:B(z0,R)C analítica en B(z0,R), tal que f=g en B(z0,R)=A(z0,0,R), entonces z0 es llamada una singularidad removible de f.
  2. Si limzz0|f(z)|=, entonces z0 es llamado un polo de f.
  3. Si z0 no es removible ni un polo, entonces se dice que z0 es una singularidad esencial de f.

Ejemplo 43.3.
Consideremos a la función f:C{0}C dada por:
f(z)=ez1z.

Veamos que z0=0 es una sigularidad removible de f.

Solución. Claramente f es analítica en C{0}, por lo que z0=0 es una singularidad aislada de f. Sabemos que:
ez=n=0znn!,zC,por lo que:
ez1=n=1znn!,zC.

Entonces, definimos a la función g:CC como:
g(z):=n=0zn(n+1)!,la cual es entera, corolario 39.1, ya que la serie que la define converge para todo zC.

Para z0 tenemos que:
f(z)=ez1z=1zn=1znn!=n=1zn1n!=n=0zn(n+1)!=g(z),por lo que z0=0 es una singularidad removible de f.

Ejemplo 43.4.
Definimos a la función f:C{0}C como:
f(z):=1z4.

Veamos que z0=0 es un polo de f.

Solución. Como f es una función racional, entonces es analítica en C{0}, por lo que z0=0 es una singularidad aislada de f.

Dado que:
limz0|f(z)|=limz0|1z4|=,entonces z0=0 es un polo de f.

Ejemplo 43.5.
Consideremos a la función f:C{0}C dada por:
f(z)=e1/z.

Veamos que z0=0 es una sigularidad esencial de f.

Solución. Es claro que f es analítica en C{0}, ya que en 0 la función no es continua, por lo que z0=0 es una singularidad aislada de f.

Para verificar el resultado, basta probar que z0=0 no es una singularidad removible ni tampoco un polo.

Sea z=xR. Notemos que:
limz0+|f(z)|=limx0+|e1/x|=limx0+e1/x=,por lo que z0=0 no puede ser una singularidad removible de f.

Por otra parte, para z=xR, tenemos que:
limz0|f(z)|=limx0|e1/x|=limx0e1/x=0,por lo que z0=0 no puede ser un polo de f.

Por lo tanto, z0=0 es una singularidad esencial de f.

Observación 43.2.
De acuerdo con la definición 43.3, es claro que las funciones con singularidades aisladas tienen una expansión en serie de Laurent, ya que el disco abierto perforado B(z0,R), con R>0, es igual al anillo abierto =A(z0,0,R), por lo que podemos caracterizar a los tres tipos de singularidades aisladas definidos previamente, mediante una serie de Laurent.

Por el teorema de Laurent, tenemos que una función f:A(z0,0,R)C, con R>0, analítica en el anillo abierto A(z0,0,R) se puede represantar como:
f(z)=n=1cn(zz0)n+n=0cn(zz0)n,zA(z0,0,R).

Entonces, tenemos los siguientes casos:

  1. cn=0, para todo nN+.

    En tal caso tenemos que:
    f(z)=n=0cn(zz0)n,0<|zz0|<R.Si definimos a la función g:B(z0,R)C como:
    g(z):=n=0cn(zz0)n,por el corolario 39.1 tenemos que g es analítica en el disco abierto B(z0,R) y para todo zA(z0,0,R) se cumple que f=g, por lo que en este caso se tiene que z0 es una singularidad removible.
  2. Si existe mN+ tal que cm0 y cn=0 para todo n>m.

    En tal caso, para 0<|zz0|<R tenemos que:
    f(z)=cm(zz0)m++c1zz0+n=0cn(zz0)n=1(zz0)m[cm++c1(zz0)m1+n=0cn(zz0)n+m]=h(z)(zz0)m,donde h(z):=cm++c1(zz0)m1+n=0cn(zz0)n+m es una función analítica, corolario 39.1, en B(z0,R), tal que cm=h(z0)0.

    Entonces:
    limzz0|f(z)|=limzz0|h(z)(zz0)m|=limzz0|h(z)||zz0|m=,es decir, en este caso z0 es un polo. En particular se dice que z0 es un polo de orden m1, lo cual justificaremos más adelante.
  3. Si un número infinito de coeficientes de la parte principal de la serie de Laurent cumplen que cn0, entonces z0 no es una singularidad removible ni un polo, es decir, en tal caso z0 es una singularidad esencial.

Podemos caracterizar a las singularidades removibles como sigue.

Proposición 43.2.
Si f es una función analítica en un disco abierto perforado B(z0,R), con R>0, entonces las siguientes condiciones son equivalentes.

  1. z0 es una singularidad removible de f.
  2. f(z)=n=0cn(zz0)n para 0<|zz0|<R.
  3. limzz0f(z) existe y es finito.
  4. limzz0|f(z)| existe y es finito.
  5. Existen M>0 y r>0 tales que |f(z)|<M para todo zB(z0,r).
  6. limzz0(zz0)f(z)=0.

Demostración. Dadas las hipótesis tenemos que (1)(2) se sigue de la observación 43.2(1).

(2)(3) es una consecuencia de la continuidad de una serie de potencias, proposición 30.1.

(3)(4) se sigue de la continuidad de la función g(z)=|z|.

(4)(5) es una consecuencia de la definición de límite.

(5)(6) se sigue del teorema de comparación, proposición 14.4.

(6)(1) Supongamos que limzz0(zz0)f(z)=0. Definimos a la función g:B(z0,R)C como:
g(z):={(zz0)2f(z)sizz0,0siz=z0.

Claramente g es analítica en B(z0,R). Tenemos que:
g(z0)=limzz0g(z)g(z0)zz0=limzz0(zz0)2f(z)zz0=limzz0(zz0)f(z)=0,por lo que g es analítica en B(z0,R). Por el teorema de Taylor tenemos que:
g(z)=n=0cn(zz0)n,zB(z0,R).

Notemos que c0=g(z0)=0 y c1=g(z0)=0, por lo que:
g(z)=n=2cn(zz0)n=(zz0)2n=0cn+2(zz0)n.

De donde:
f(z)=n=0cn+2(zz0)n,zB(z0,R).

Entonces f=g en B(z0,R), por lo que z0 es una singularidad removible de f.

◼

Corolario 43.1.
Si cualquier coeficiente cn0, con nN+, entonces f no es acotada en ningún disco abierto con centro en z0.

Demostración. Como existe kN+ tal que ck0, entonces z0 no es una singularidad removible de f, lo cual implica que f no sea acotada en ningún disco abierto.

◼

Ejemplo 43.6.
Veamos que las siguientes funciones tienen una singularidad removible en los puntos dados.
a) f(z)=sen(z)z en z0=0.
b) f(z)=ez11z1 en z0=1.

Solución.

a) Tenemos que:
limzz0(zz0)f(z)=limz0(z0)sen(z)z=limz0sen(z)=0,por lo que f tiene una singularidad removible en z0=0.

b) Notemos que:
limzz0(zz0)f(z)=limz1(z1)ez11z1=limz0ez11=0.

Entonces en z0=1 la función f tiene una singularidad removible.

Procedemos a caracterizar a un polo de una función analítica f.

Proposición 43.3.
Sea f una función analítica en un disco abierto perforado B(z0,R). Entonces z0 es un polo de f si y solo si z0 no es una singularidad removible y existe mN+ tal que limzz0(zz0)m+1f(z)=0.

Demostración. Dadas las hipótesis, es claro que z0 es una singularidad aislada de f en B(z0,R).

) Supongamos que z0 es un polo de f. Dado que limzz0|f(z)|=, entonces, proposición 43.2(4), z0 no es una singularidad removible de f. Más aún, podemos encontrar r>0 tal que f(z)0 para todo zB(z0,r). Por lo tanto, la función 1/f es analítica en B(z0,r) y se cumple que:
limzz01f(z)=0limzz0zz0f(z)=0,por lo que, proposición 43.2(6), 1/f tiene una singularidad removible en z0. Entonces, la función:
g:B(z0,r)C,dada por:
(43.1)g(z):={1f(z)si0<|zz0|<r,0siz=z0,es analítica en B(z0,r).

Por la proposición 43.1(2) existen mN+ y h:B(z0,r)C analítica tales que g(z)=(zz0)mh(z) y h(z)0 para todo zB(z0,r). Entonces:
limzz0(zz0)m+1f(z)=limzz0(zz0)m+1g(z)=limzz0zz0h(z)=0.

( Supongamos que z0 no es una singularidad removible de f y que limzz0(zz0)m+1f(z)=0 para algún mN+. Elegimos al menor número natural m con esta propiedad. Sea h(z):=(zz0)mf(z), entonces limzz0h(z)=0, por lo que, proposición 43.2(6), z0 es una singularidad removible de h. Por lo tanto, existe g:B(z0,R)C analítica tal que h=g en B(z0,R). Notemos que si m=0, entonces z0 es una singularidad removible de f, lo cual no es posible, entonces m1. Dado que elegimos a m como el menor natural que cumple la hipótesis y m10 es menor que m, entonces:
0limzz0(zz0)(m1)+1f(z)=limzz0(zz0)mf(z)=limzz0h(z)=limzz0g(z)=g(z0).

Por lo tanto, g es una función analítica en B(z0,R) tal que g(z0)0, m1 y:
f(z)=g(z)(zz0)m,zB(z0,R).

Entonces:
limzz0|f(z)|=limzz0|h(z)(zz0)m|=limzz0|g(z)(zz0)m|=|g(z0)|limzz01|zz0|m=,es decir, z0 es un polo de f.

◼

Corolario 43.2.
Sea f una función analítica en un disco abierto perforado B(z0,R). Entonces z0 es un polo de f si y solo si existen r>0, mN+ y g:B(z0,r)C analítica tal que g(z0)0 y:
f(z)=g(z)(zz0)m,zB(z0,r).

Si z0 es un polo de f, entonces m es único.

Demostración. Dadas las hipótesis, solo basta probar la unicidad de m. Supongamos que existen m1,m2N+ y g1,g2:B(z0,R)C analíticas tales que gi(z0)0, para i=1,2 y se cumple que:
f(z)=g1(z)(zz0)m1=g2(z)(zz0)m2,zB(z0,r).

Sin pérdida de generalidad supongamos que m2>m1. Entonces:
g2(z)=g1(z)(zz0)m2m1.

Notemos que si z=z0, entonces g2(z0)=0, lo cual es una contradicción, por lo que m es único.

◼

Definición 43.4. (Orden o multiplicidad de un polo.)
Sea z0 un polo de una función analítica f en B(z0,R). Se define al orden del polo de f en z0 como el entero positivo m del corolario 43.1.

Considerando lo anterior, podemos establecer una caracterización más completa de los polos de una función analítica.

Proposición 43.3.
Si f es una función analítica en un disco abierto perforado B(z0,R), con R>0, y mN+, entonces las siguientes condiciones son equivalentes.

  1. z0 es un polo de f de orden m1.
  2. Existen r>0 y g:B(z0,r)C analítica tal que g(z0)0 y:
    f(z)=g(z)(zz0)m,zB(z0,r).
  3. limzz0(zz0)mf(z) existe y es distinto de 0.
  4. Existen M>0 y ρ>0 tales que |(zz0)mf(z)|<M para todo zB(z0,ρ).
  5. limzz0(zz0)m+1f(z)=0.
  6. En la expansión en serie de Laurent de f se tiene que cn=0 para todo n>m, es decir:
    f(z)=cm(zz0)m++c1zz0+n=0cn(zz0)n,0<|zz0|<R.

Demostración. Dadas las hipótesis tenemos que (1)(2) se sigue de la definición 43.4 y el corolario 43.2.

(2)(3) si suponemos válida (2), entonces g(z)=(zz0)mf(z), en B(z0,r). Como g es analítica en B(z0,r) y g(z0)0, entonces:
0g(z0)=limzz0g(z)=limzz0(zz0)mf(z).

(3)(4) es una consecuencia de la definición de límite.

(4)(5) se sigue del teorema de comparación, proposición 14.4.

(5)(6) si suponemos que limzz0(zz0)m+1f(z)=0, entonces de la proposición 43.2(6) se sigue que la función h(z):=(zz0)mf(z), para zB(z0,R), tiene una singularidad removible en z0, por lo que:
(zz0)mf(z)=h(z)=n=0cn(zz0)n,0<|zz0|<R,de donde, para 0<|zz0|<R, se tiene que:
f(z)=n=0cn(zz0)nm=c0(zz0)m++cm1zz0+n=mcn(zz0)n=c0(zz0)m++cm1zz0+n=0cn+m(zz0)n.

Entonces de la unicidad de la expansión en serie de Laurent de f en B(z0,R), concluimos que cn=0 para todo n>m.

(6)(1) se sigue de la observación 43.2(2).

◼

Ejemplo 43.7.
Determinemos el orden del polo z0=0 de la función f dada.
a) f(z)=sen(z)z3.
b) f(z)=(zsen(z))1.

Solución.
a) El orden del polo z0=0 es 2 ya que para z0 se tiene que:
f(z)=sen(z)z3=1z3n=0(1)nz2n+1(2n+1)!=n=0(1)nz2n2(2n+1)!=1z213!+z25!,y la menor potencia de z con coeficiente distinto de 0 es 2.

b) Tenemos que:
limzz0z2f(z)=limzz0z21zsen(z)=limzz0zsen(z)=10,por lo que el orden del polo z0=0 de f es 2.

Finalmente, como es de imaginarse, las singularidades aisladas más complicadas de caracterizar son las esenciales. Como muestra de esta complejidad mencionaremos los siguientes resultados.

Teorema 43.1. (Teorema de Casorati-Weierstrass.)
Sea f una función analítica en el disco abierto perforado B(z0,R), con z0C fijo y R>0. Entonces, z0 es una singularidad esencial de f si y solo si se cumplen las siguientes dos condiciones.

  1. Existe una sucesión de números complejos {zn}n1 en B(z0,R) tal que limnzn=z0 y limn|f(zn)|=.
  2. Para cualquier wC, existe una sucesión de números complejos {zn}n1 en B(z0,R), la cual depende de w, tal que limnzn=z0 y limnf(zn)=w.

Se puede consultar una prueba de este resultado en Complex Analysis with Applications de Nakhlé H. Asmar y Loukas Grafakos.

Corolario 43.3. (Casorati-Weierstrass.)
Sea z0 una singularidad esencial de f y sea Er el conjunto de valores que toma f en el disco abierto perforado B(z0,r), con r>0. Entonces Er=C, es decir, Er es denso en C.

Demostración. Dadas las hipótesis, basta probar que para cualquier wC y todo ε>0 existe zB(z0,r) tal que |f(z)w|<ε.

Procedemos por contradicción. Supongamos que existen wC y ε>0 tales que para todo zB(z0,r) se cumple que:
|f(z)w|ε.

Definimos a la función g:B(z0,r)C como:
g(z):=1f(z)w.

Notemos que:
|g(z)|=|1f(z)w|1ε,zB(z0,r),es decir, g es acotada en B(z0,r). De la proposición 43.2(5) se sigue que g tiene una singularidad removible en z0, por lo que:
0=limzz0(zz0)g(z)=limzz0zz0f(z)w=0.

Entonces:
limzz0|f(z)wzz0|=,es decir, la función h(z):=f(z)wzz0 tiene un polo en z0. Por la proposición 43.3 tenemos que z0 no es una singularidad removible de h y existe mN+ tal que:
0=limzz0(zz0)m+1h(z)=limzz0(zz0)m+1f(z)wzz0=limzz0(zz0)m[f(z)w],de donde:
limzz0(zz0)m+1[f(z)w]=0.Por lo tanto, la función f(z)w tiene una singularidad removible en z0 o un polo en z0, lo cual implica que lo mismo se cumple para f(z), lo cual contradice la hipótesis.

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El teorema 43.1 tiene la siguiente generalización, el cual es un resultado más fuerte. Se puede consultar una prueba del mismo en Function of One Complex Variable de John B. Conway.

Teorema 43.2 (Teorema grande de Picard.)
Si f es una función analítica en el disco abierto perforado B(z0,R), con R>0, y z0 es una singularidad esencial de f, entonces f toma en B(z0,R) cualquier valor complejo finito, a excepción, posiblemente, de uno.

Podemos extender las definiciones de cero y singularidades para punto al infinito. Si f es analítica en una vecindad de , definición 14.3, es decir, f es analítica para todo |z|>R, entonces f(1/z) es analítica en el anillo A(0,0,1/R), por lo que 0 es una singularidad aislada de dicha función.

Definición 43.5. (Singularidades aisladas en .)
Sea f una función analítica para todo |z|>R. Entonces f tiene:

  1. una singularidad removible en si f(1/z) tiene una singularidad removible en 0;
  2. un polo de orden m si f(1/z) tiene un polo de orden m en 0;
  3. una singularidad esencial en si f(1/z) tiene singularidad esencial en 0.

Cuando f tiene una singularidad removible en , entonces el limzf(z) existe. Mientras que si el limzf(z)=0, decimos que f tiene un {\bf cero} en .

Ejemplo 43.8.
La función f(z)=zz2+1 tiene un cero en , ya que:
limzf(z)=limzzz2+1=limz1z1+1z2=0.

Mientras que la función f(z)=z2z2+1 tiene una singularidad removible en , ya que:
limz0(z0)f(1z)=limz0z1z21z2+1=limz01z1z2+1=0.

Notemos que:
limz0f(1z)=limz01z21z2+1=limz011+z2=1,

por lo que, proposición 14.5(2), se tiene que:
limzf(z)=1.

Por otra parte, la función f(z)=z5 tiene un polo de orden 5 en ya que:
limz0(z0)5f(1z)=limz0z5(1z5)=limz01=10.

Por último, se deja como ejercicio al lector verificar que la función f(z)=zez tiene una singularidad esencial en .

Definición 43.6. (Función meroforma.)
Sean DC un dominio y f:DC una función analítica en D. Se dice que f es meromorfa si y solo si sus únicas singularidades aisladas son removibles o polos.

Ejemplo 43.9.
La función f(z)=1z es analítica en C{0} y 0 es un polo de f, por lo que f es meromorfa.

Por otra parte, la función f(z)=1sen(z) es analítica en C{nπ:nZ} y para cada nZ el punto nπ es un polo de f, entonces f es meromorfa.

Tarea moral

  1. Determina los ceros aislados de cada función y en cada caso obtén el orden de cada cero.
    a) f(z)=(1z2)sen(z).
    b) f(z)=z3(ez1).
    c) f(z)=z(z1)2z2+2z1.
    d) f(z)=senh(z).
  2. Obtén el orden del cero z0=0 de cada una de las siguientes funciones.
    a) f(z)=zLog(1+z).
    b) f(z)=tan(z).
    c) f(z)=1z22cos(z).
    d) f(z)=zsen(z).
  3. Clasifica las singularidades aisladas de cada una de las siguientes funciones. No consideres el caso en .
    a) f(z)=1z2sen(z)+z1z+1.
    b) f(z)=zez1.
    c) f(z)=zsen(z)cos(z)1.
    d) f(z)=zsen(1z).
  4. Determina si las siguientes funciones tienen una singularidad removible en y algún cero en .
    a) f(z)=1z+1.
    b) f(z)=zez1.
    c) f(z)=ezcos(1z).
    d) f(z)=z21z2+2z+3i.
  5. Muestra que:
    a) si f tiene un cero de orden m1 en z0 y g tiene un cero de orden k1 en z0, entonces fg tiene un cero de orden m+k en z0;
    b) si f tiene un polo de orden m1 en z0 y g tiene un cero de orden k1 en z0, entonces fg tiene un polo de orden mk en z0, si m>k, un cero de orden km si k>m y una singularidad removible en z0 si m=k;
    c) si f tiene una singularidad removible en z0 y g es una función analítica en z0, entonces fg tiene una singularidad removible en z0.
  6. Prueba que una función f tiene un polo de orden m1 en z0 si y solo si la función 1/f tiene una singularidad removible en z0.
  7. Muestra que si una función f tiene un cero de orden m1 en z0, entonces la función 1/f tiene un polo de orden m1 en z0.
  8. Prueba que si una función f tiene un polo de orden m1 en z0 y se define a 1/f(z0)=0, entonces la función 1/f tiene un cero de orden m1 en z0.

Más adelante…

En esta entrada hemos establecido una clasificación de los ceros y las singularidades de una función analítica. Probamos algunos resultados que nos permiten caracterizar a dichos puntos y en particular identificarlos. Como vimos, estos puntos son de interés pues nos permiten comprender mejor el comportamiento de las funciones analíticas.

La siguiente entrada es la última de este curso. En ella abordaremos el Teorema del Residuo y veremos que la clasificación de las distintas singularidades de una función analítica nos facilitará el cálculo de residuos.

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