Introducción
La entrada anterior vimos que una función analítica puede ser representada mediante una expansión en serie de Taylor o en serie de Laurent, dependiendo de la función y su dominio de analicidad. En esta entrada veremos que este hecho es de suma importancia ya que nos permite clasificar a los ceros y a las singularidades de una función analítica, en particular nos centraremos en las singulares aisladas que como veremos pueden clasificarse completamente en tres tipos: singularidades removibles, polos y singularidades esenciales.
Recordemos que un polinomio complejo
Definición 43.1. (Cero de una función analítica.)
Sean
Definición 43.2. (Cero de orden
Sean
Si
Observación 43.1.
De acuerdo con el teorema de Taylor, para
Es claro que al considerar la expansión en serie de Taylor de la función analítica
- Todos los otros coeficientes
de la serie también son cero. En tal caso para todo . - Existe
tal que: es decir: En tal caso, para todo tenemos que: donde , con , es una función analítica en , corolario 39.1, tal que .
Como es continua en , para existe tal que si , entonces: Por lo que si para tenemos que: lo cual claramente es una contradicción, por lo que existe tal que para todo .
Proposición 43.1.
Sean
en algún disco abierto de contenido en . es un cero aislado de .
Más aún, si se cumple la condición (2) entonces existen
En consecuencia,
Demostración. Se sigue de la observación 43.1.
Ejemplo 43.1.
Determinemos el orden
Solución. Es claro que
Por el ejemplo 42.5 tenemos que:
Ejemplo 43.2.
Encontremos la multiplicidad del cero
Solución. Claramente
Por la definición 16.3, sabemos que para un dominio
Definición 43.3. (Singularidad aislada: removible, polo y esencial.)
Sean
- Si existe una función
analítica en , tal que en , entonces es llamada una singularidad removible de . - Si
, entonces es llamado un polo de . - Si
no es removible ni un polo, entonces se dice que es una singularidad esencial de .
Ejemplo 43.3.
Consideremos a la función
Veamos que
Solución. Claramente
Entonces, definimos a la función
Para
Ejemplo 43.4.
Definimos a la función
Veamos que
Solución. Como
Dado que:
Ejemplo 43.5.
Consideremos a la función
Veamos que
Solución. Es claro que
Para verificar el resultado, basta probar que
Sea
Por otra parte, para
Por lo tanto,
Observación 43.2.
De acuerdo con la definición 43.3, es claro que las funciones con singularidades aisladas tienen una expansión en serie de Laurent, ya que el disco abierto perforado
Por el teorema de Laurent, tenemos que una función
Entonces, tenemos los siguientes casos:
, para todo .
En tal caso tenemos que: Si definimos a la función como: por el corolario 39.1 tenemos que es analítica en el disco abierto y para todo se cumple que , por lo que en este caso se tiene que es una singularidad removible.- Si existe
tal que y para todo .
En tal caso, para tenemos que: donde es una función analítica, corolario 39.1, en , tal que .
Entonces: es decir, en este caso es un polo. En particular se dice que es un polo de orden , lo cual justificaremos más adelante. - Si un número infinito de coeficientes de la parte principal de la serie de Laurent cumplen que
, entonces no es una singularidad removible ni un polo, es decir, en tal caso es una singularidad esencial.
Podemos caracterizar a las singularidades removibles como sigue.
Proposición 43.2.
Si
es una singularidad removible de . para . existe y es finito. existe y es finito.- Existen
y tales que para todo . .
Demostración. Dadas las hipótesis tenemos que
Claramente
Notemos que
De donde:
Entonces
Corolario 43.1.
Si cualquier coeficiente
Demostración. Como existe
Ejemplo 43.6.
Veamos que las siguientes funciones tienen una singularidad removible en los puntos dados.
a)
b)
Solución.
a) Tenemos que:
b) Notemos que:
Entonces en
Procedemos a caracterizar a un polo de una función analítica
Proposición 43.3.
Sea
Demostración. Dadas las hipótesis, es claro que
Por la proposición 43.1(2) existen
Por lo tanto,
Entonces:
Corolario 43.2.
Sea
Si
Demostración. Dadas las hipótesis, solo basta probar la unicidad de
Sin pérdida de generalidad supongamos que
Notemos que si
Definición 43.4. (Orden o multiplicidad de un polo.)
Sea
Considerando lo anterior, podemos establecer una caracterización más completa de los polos de una función analítica.
Proposición 43.3.
Si
es un polo de de orden .- Existen
y analítica tal que y: existe y es distinto de .- Existen
y tales que para todo . .- En la expansión en serie de Laurent de
se tiene que para todo , es decir:
Demostración. Dadas las hipótesis tenemos que
Entonces de la unicidad de la expansión en serie de Laurent de
Ejemplo 43.7.
Determinemos el orden del polo
a)
b)
Solución.
a) El orden del polo
b) Tenemos que:
Finalmente, como es de imaginarse, las singularidades aisladas más complicadas de caracterizar son las esenciales. Como muestra de esta complejidad mencionaremos los siguientes resultados.
Teorema 43.1. (Teorema de Casorati-Weierstrass.)
Sea
- Existe una sucesión de números complejos
en tal que y . - Para cualquier
, existe una sucesión de números complejos en , la cual depende de , tal que y .
Se puede consultar una prueba de este resultado en Complex Analysis with Applications de Nakhlé H. Asmar y Loukas Grafakos.
Corolario 43.3. (Casorati-Weierstrass.)
Sea
Demostración. Dadas las hipótesis, basta probar que para cualquier
Procedemos por contradicción. Supongamos que existen
Definimos a la función
Notemos que:
Entonces:
El teorema 43.1 tiene la siguiente generalización, el cual es un resultado más fuerte. Se puede consultar una prueba del mismo en Function of One Complex Variable de John B. Conway.
Teorema 43.2 (Teorema grande de Picard.)
Si
Podemos extender las definiciones de cero y singularidades para punto al infinito. Si
Definición 43.5. (Singularidades aisladas en
Sea
- una singularidad removible en
si tiene una singularidad removible en ; - un polo de orden
si tiene un polo de orden en ; - una singularidad esencial en
si tiene singularidad esencial en .
Cuando
Ejemplo 43.8.
La función
Mientras que la función
Notemos que:
por lo que, proposición 14.5(2), se tiene que:
Por otra parte, la función
Por último, se deja como ejercicio al lector verificar que la función
Definición 43.6. (Función meroforma.)
Sean
Ejemplo 43.9.
La función
Por otra parte, la función
Tarea moral
- Determina los ceros aislados de cada función y en cada caso obtén el orden de cada cero.
a) .
b) .
c) .
d) . - Obtén el orden del cero
de cada una de las siguientes funciones.
a) .
b) .
c) .
d) . - Clasifica las singularidades aisladas de cada una de las siguientes funciones. No consideres el caso en
.
a) .
b) .
c) .
d) . - Determina si las siguientes funciones tienen una singularidad removible en
y algún cero en .
a) .
b) .
c) .
d) . - Muestra que:
a) si tiene un cero de orden en y tiene un cero de orden en , entonces tiene un cero de orden en ;
b) si tiene un polo de orden en y tiene un cero de orden en , entonces tiene un polo de orden en , si , un cero de orden si y una singularidad removible en si ;
c) si tiene una singularidad removible en y es una función analítica en , entonces tiene una singularidad removible en . - Prueba que una función
tiene un polo de orden en si y solo si la función tiene una singularidad removible en . - Muestra que si una función
tiene un cero de orden en , entonces la función tiene un polo de orden en . - Prueba que si una función
tiene un polo de orden en y se define a , entonces la función tiene un cero de orden en .
Más adelante…
En esta entrada hemos establecido una clasificación de los ceros y las singularidades de una función analítica. Probamos algunos resultados que nos permiten caracterizar a dichos puntos y en particular identificarlos. Como vimos, estos puntos son de interés pues nos permiten comprender mejor el comportamiento de las funciones analíticas.
La siguiente entrada es la última de este curso. En ella abordaremos el Teorema del Residuo y veremos que la clasificación de las distintas singularidades de una función analítica nos facilitará el cálculo de residuos.
Entradas relacionadas
- Ir a Variable Compleja I.
- Entrada anterior del curso: Series de Taylor y series de Laurent.
- Siguiente entrada del curso: Teorema del residuo y aplicaciones.