Introducción

De la definición de Inversión se tiene la siguiente propiedad, se tienen $P$ y $P^{\prime }$ dos puntos inversos respecto a la circunferencia $C(O,r)$, y cada uno de estos describe una curva, $P$ describe a $C$ y $P^{\prime }$ describe a $C^{\prime }$. Estas curvas son inversas una de la otra, se les llama mutuamente inversas.

Inversión de Rectas y Circunferencias

Se tienen 2 curvas $C$ y $C^{\prime }$ inversas una de la otra, las cuales se intersecan, esto lo hacen sobre la circunferencia de Inversión, debido a que el punto en común debe ser su propio inverso, y el inverso de un punto en la $C(O,r)$ es el propio punto en la circunferencia de inversión.
Dado lo anterior se puede ver la inversión aplicada a 2 objetos geométricos: Rectas y Circunferencias.

Teorema. Sea $C(O,r)$ una circunferencia de inversión y $L$ una recta que pasa por $O$, entonces el inverso de $L$ respecto a $C(O,r)$ es el mismo $L$.

Demostración. Tenemos una circunferencia $C(O,r)$ y $L$ una recta por $O$, además todo punto $P$ en $L$ tiene su inverso $P^{\prime }$ tal que $O,P$ y $P^{\prime }$ son colineales entonces $OP\times O{P}^{\prime }=r^2$.

Por lo cual los inversos de los puntos de $L$, también están en la misma recta $L$.
Por lo tanto, $L$ su inverso es el mismo $L$.

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Teorema. Sea $C(O,r)$ una circunferencia de inversión y $L$ una recta que no pasa por $O$, entonces el inverso de $L$ respecto a $C$ es una circunferencia que pasa por $O$. Recíprocamente, el inverso de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por el centro de inversión.

Demostración. Sea $P$ el pie de la perpendicular desde $O$ a $L$ y sea $Q\ne P$, donde $Q\in L$ y de estos obtenemos $P^{\prime }$ y $Q^{\prime }$ los inversos respecto a $C$ de $P$ y $Q$ respectivamente.

$\Rightarrow OP\times O{P}^{\prime }=r^2$ y $OQ\times O{Q}^{\prime }=r^2$

$\Rightarrow OP\times O{P}^{\prime }=OQ\times O{Q}^{\prime }$

$\Rightarrow \frac{OP}{O{Q}^{\prime }}=\frac{OQ}{O{P}^{\prime }}$

$\Rightarrow \mathrm{△}O{Q}^{\prime }{P}^{\prime }\approx \mathrm{△}OPQ$

Esto ya que comparten 2 lados proporcionales y un ángulo en común $\mathrm{\angle }O$.
Ahora $\mathrm{△}OPQ$ es rectángulo, entonces $\mathrm{△}O{Q}^{\prime }{P}^{\prime }$ es rectángulo, por lo cual $O{P}^{\prime }$ es un diámetro de una circunferencia que pasa por $Q^{\prime }$.

Análogamente, si tuviéramos un $R\in L$, $R\ne P$ y $R\ne Q$, su inverso $R^{\prime }$ cumplirá $\frac{OP}{O{R}^{\prime }}=\frac{OR}{O{P}^{\prime }}$, con lo que $\mathrm{△}OPR\approx \mathrm{△}O{R}^{\prime }{P}^{\prime }$, por lo cual $\mathrm{△}O{R}^{\prime }{P}^{\prime }$ es rectángulo, como $O{P}^{\prime }$ es fijo se sigue que la circunferencia del diámetro $O{P}^{\prime }$ que pasa por $Q^{\prime }$ también pasa por $R^{\prime }$.
Por lo tanto, el inverso de $L$ respecto a $C$ es $C_1$ una circunferencia que pasa por $O$.

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Inversamente, si $Q^{\prime }$ es un punto de $C_1$ circunferencia, recorriendo al revés los pasos de la demostración anterior, que $Q$ está en la perpendicular a la línea del diámetro $O{P}^{\prime }$ que pasa por el inverso de $P^{\prime }$.

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Teorema. Sea $C(O,r)$ una circunferencia de inversión y sea $C_1$ una circunferencia ortogonal a $C$, el inverso de $C_1$ es $C_1$.

Demostración. Se traza una recta que pase por $O$ y $O_1$, la cual nos genere intersecciones en $C$ las cuales son $A$ y $B$, de igual forma en $C_1$ se genera $P$ y $P^{\prime }$.

Sea $C\perp C_1$ ortogonal, entonces $P$ y $P^{\prime }$ son armónicos respecto a $A$ y $B$.

$\iff \frac{AP}{PB}=\frac{-A{P}^{\prime }}{P^{\prime }B}$

$\iff OP\times O{P}^{\prime }=r^2$

$\iff P$ y $P^{\prime }$ son inversos respecto a $C$.

Tracemos una recta que pase por $O$ y corte a $C_1$ en $Q$ y $Q^{\prime }\in C_1$, y a $C$ en $A^{\prime }$ y $B^{\prime }\in C$, tales que $Q$ y $Q^{\prime }$ son armónicos respecto a $A^{\prime }$ y $B^{\prime }$

$\iff \frac{A^{\prime }Q}{Q{B}^{\prime }}=\frac{-A^{\prime }{Q}^{\prime }}{Q^{\prime }{B}^{\prime }}$

$\iff OQ\times O{Q}^{\prime }=r^2$

$\iff P$ y $P^{\prime }$ son inversos respecto a $C$.

Todo punto en una circunferencia ortogonal a la de inversión tiene su inverso en ella misma. Por lo tanto, $C_1$ es su propia inversa.

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Tenemos observaciones que nos indica que los siguientes son sus propios inversos con respecto a la circunferencia de Inversión:

• La propia circunferencia de Inversión
• Rectas por el centro de Inversión
• Circunferencias ortogonales a la circunferencia de Inversión

Teorema. El inverso de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión, es otra circunferencia que tampoco pasa por el centro de Inversión.

Demostración. Tenemos $C_1$ una circunferencia con centro $A$, tomemos un punto $P$ sobre la circunferencia $C_1$, también tenemos $C(O,r)$ una circunferencia con centro de Inversión $O$.

Tracemos una recta $OP$, genera un punto de intersección $Q$, y se genera $P^{\prime }$ inverso de $P$. Ahora tracemos la recta $OA$ y $QA$, además tracemos una paralela a $QA$ que interseque a $OA$ en $B$

Por definición de Inversión $OP\times O{P}^{\prime }=r^2$ y $OQ\times OP=w$, ahora como los triángulos $\mathrm{△}OB{P}^{\prime }$ y $\mathrm{△}OAQ$ son semejantes, entonces

$\iff \frac{O{P}^{\prime }}{OQ}=\frac{OB}{OA}=\frac{B{P}^{\prime }}{AQ}$

$\iff \frac{O{P}^{\prime }}{OQ}=\frac{OB}{OA}$

$\iff OB=\frac{O{P}^{\prime }\times OA}{OQ}$ como $OQ=w/OP$

$\iff OB=\frac{O{P}^{\prime }\times OA}{w/OP}=\frac{O{P}^{\prime }\times OP\times OA}{w}=\frac{r^2\times OA}{w}$

Entonces $OB$ es constante, $B$ es un punto fijo y $B{P}^{\prime }$ es finita y constante, entonces el lugar geometrico de $P^{\prime }$ es una circunferencia $C_1^{\prime }$, por lo cual el punto $P^{\prime }$ no pasa por $O$.

Por lo tanto, el Inverso de $C_1$ es $C_1^{\prime }$.

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Observación. Note que $P$ y $P^{\prime }$ son puntos antihomologos, $Q$ y $P^{\prime }$ son homólogos y $O$ es el centro de homotecia de las circunferencias $C_1$ con centro $A$ y $C_1^{\prime }$ con centro $B$.

Teorema. El inverso de una circunferencia concéntrica con la circunferencia de inversión, es otra circunferencia concéntrica con la circunferencia de inversión.

Demostración. Sea $C(O,r)$ nuestra circunferencia de Inversión y $C_1$ una circunferencia concéntrica a $C$

Tomemos un punto en $C_1$ el cual es $P$, del cual su inverso es $P^{\prime }$ con respecto a $C(O,r)$, entonces la distancia $OP$ es constante, al igual $r$ es constante y por definición de inversión $OP\times O{P}^{\prime }=r^2$ entonces $O{P}^{\prime }=r^2/OP$ por lo cual $O{P}^{\prime }$ es constante.

Por lo tanto, el inverso de $C_1$ es una circunferencia $C_1^{\prime }$ con centro $O$ y radio $O{P}^{\prime }$.

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Más adelante…

Otro aspecto a analizar de la inversión será la conservación de ángulos.

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