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Álgebra Lineal II: El teorema espectral y de descomposición polar complejos

Por Ayax Calderón

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Introducción

Ya hablamos de qué son las transformaciones adjuntas en el caso de los espacios hermitianos, que podemos pensar como el equivalente complejo a los espacios euclideanos. A partir de esto, hablamos de quienes son las transformaciones que preservan el producto interior hemitiano (y por lo tanto la norma hermitiana): las transformaciones unitarias.

Lo que haremos ahora es dar el análogo al teorema espectral real, pero para el caso complejo. En el caso real el resultado es para transformaciones o matrices simétricas. En el caso complejo eso no funcionará. Primero, tenemos que introducir a las transformaciones hermitianas, que serán las que sí tendrán un teorema espectral. Ya eligiendo la noción correcta, las demostraciones se parecen mucho a las del caso real, así que solamente las esbozaremos y en caso de ser necesario haremos aclaraciones pertinentes para la versión compleja.

Transformaciones hermitianas

La noción correcta que necesitamos para enunciar y demostrar el teorema espectral es la siguiente.

Definición. Sea $V$ un espacio hermitiano con un producto interior hermitiano $\langle \cdot , \cdot \rangle$. Diremos que una transformación lineal $T:V\to V$ es hermitiana si
$$\langle T(x),y \rangle=\langle x,T(y) \rangle$$ para cualesquiera $x,y\in V$.

Diremos que una matriz $A\in M_n(\mathbb{C})$ es hermitiana si $A=A^*$, donde $A^*=\overline{^tA}$.

La conexión entre las transformaciones hermitianas y las matrices hermitianas es la siguiente.

Teorema. Sea $V$ un espacio hermitiano y $\mathcal{B}=\{e_1,\dots, e_n\}$ una base ortonormal de $V$. Las transformación $T$ es hermitiana si y sólo si la matriz $A=Mat_{\mathcal{B}}(T)$ es hermitiana.

Demostración. Recordemos que si $\mathcal{B}$ es una base ortonormal de $V$, entonces cualquier $x\in V$ se puede expresar como $$x=\displaystyle\sum_{i=1}^n \langle x,e_i \rangle e_i.$$

Entonces $$T(e_j)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\langle T(e_j),e_i \rangle e_i$$ y por lo tanto $$A_{ij}=\langle T(e_j),e_i \rangle .$$

Hagamos ahora sí la demostración del si y sólo si. Supongamos primero que $T$ es hermitiana. Tenemos entonces que:

\begin{align*}
A_{ji}&=\langle T(e_i),e_j\rangle\\
&=\langle e_i, T(e_j) \rangle\\
&=\overline{\langle T(e_j),e_i \rangle}\\
&=\overline{A_{ij}}.
\end{align*}

La tercer igualdad se sigue pues para el producto interior hermitiano al intercambiar las entradas se conjuga. Así $A$ es hermitiana.

Supongamos ahora que $A$ es hermitiana, entonces
\begin{align*}
\langle T(x),y \rangle &=\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \langle T(x_ie_i),y_je_j \rangle \\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i\overline{y_j}A_{ji}\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i\overline{y_j}\overline{A_{ij}}\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \langle x_ie_i, T(y_j)e_j \rangle\\
&=\langle x,T(y) \rangle.
\end{align*}

Por lo tanto $T$ es hermitiana.

$\square$

El teorema espectral complejo

En el siguiente teorema resumimos tanto los resultados auxiliares para demostrar el teorema espectral en el caso complejo (1 y 2), como el teorema espectral mismo (3).

Teorema. Sea $V$ un espacio hermitiano y $T:V\to V$ una transformación lineal hermitiana. Entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:

  1. Todos los eigenvalores de $T$ son reales.
  2. Si $W$ es un subespacio de $V$ estable bajo $T$, entonces $W^\bot$ también es estable bajo $T$, y las restricciones de $T$ a $W$ y $W^\bot$ son transformaciones lineales hermitianas sobre estos subespacios.
  3. Existe una base ortonormal de $V$ formada por eigenvectores de $T$.

Demostración.

  1. Sea $t$ un eigenvalor de $T$, entonces $T(x)=tx$ para algún vector no nulo $x\in V$. Como $T$ es hermitiana, tenemos lo siguiente. $$t||x||^2=\langle x, tx \rangle =\langle x, T(x) \rangle = \langle T(x), x \rangle = \langle tx,x\rangle = \overline{t}||x||^2.$$ Como $x\neq 0$, podemos cancelar $||x||$ de ambos lados para obtener $t=\overline{t}$ y por lo tanto $t$ es real. Compara esta demostración con la del caso real, ¡en esta ocasión es mucho más sencillo!
  2. Sea $y\in W^\bot$, entonces
    $$\langle x,T(y) \rangle=\langle T(x),y \rangle=0 \hspace{2mm} \forall x\in W,$$
    pues $T(x)\in W$ ya que $W$ es $T$-estable. Entonces $T^*(y)\in W^\bot$ y así $T(W^\bot)\subseteq W^\bot$. Además, $$\langle T_W(x),y \rangle =\langle T(x),y \rangle=\langle x,T(y) \rangle=\langle x,T_W(y) \rangle\hspace{2mm}\forall x,y\in W.$$ Por lo tanto $T_W$ es hermitiana. La prueba de que $T_{W^\bot}$ es hermitiana es análoga.
  3. Por el teorema fundamental de álgebra tenemos que el polinomio característico de $T$ se divide en $\mathbb{C}$. Entonces, por el teorema de Schur existe una base ortonormal $\mathcal{B}$ de $V$ tal que $A= Mat_{\mathcal{B}}(T)$ es una matriz triangular superior. Recordemos que $Mat_{\mathcal{B}}(T^*)=Mat_{\mathcal{B}}(T)^*$, se sigue que
    $$A=Mat_{\mathcal{B}}(T)=Mat_{\mathcal{B}}(T^*)=Mat_{\mathcal{B}}(T)^*=A^*.$$
    Entonces $A$ y $A^*$ son simultaneamente triangulares superiores y por lo tanto $A$ es diagonal. Por ello, $\mathcal{B}$ es una base formada por eigenvectores de $T$.

$\square$

Resulta que el recíproco del último inciso del teorema anterior también es cierto:

Teorema. Si $V$ es un espacio hermitiano y $T:V\to V$ es una transformación lineal hermitiana tal que existe una base $\mathcal{B}$ de $V$ formada por eigenvectores de $T$ con eigenvalores reales, entonces $T$ es hermitiana.

Demostración. Sea $A=Mat_{\mathcal{B}}(T)$. Como los elementos de $\mathcal{B}=\{e_1,\dots, e_n\}$ son eigenvectores de $T$, entonces $A$ es una matriz diagonal. Como por hipótesis todo eigenvector es real, entonces $A$ es de entradas reales, pues $a_{ii}=t_i$. Se sigue que $A=A^*$ y por lo tanto $T$ es hermitiana.

$\square$

Finalmente, enunciamos la versión del teorema espectral para matrices.

Teorema (teorema espectral complejo). Sea $A\in M_n(\mathbb{C})$ una matriz hermitiana. Existe una matriz unitaria $P$ y una matriz diagonal $D$ con entradas reales tal que $A=P^{-1}DP$.

El teorema de descomposición polar complejo

A partir del teorema espectral complejo se puede demostrar también un teorema de descomposición polar complejo. El resultado es el siguiente.

Teorema (descomposición polar compleja). Sea $A\in M_n(\mathbb{C})$ una matriz invertible. Entonces existen una única matriz unitaria $U$ y una única matriz hermitiana $H$ con eigenvalores positivos tales que $A=UH$.

También hay una versión para cuando la transformación no es invertible. La discusión y las pruebas son análogas a lo que se platicó en la entrada de descomposición polar.

Más adelante…

Con esta entrada terminamos la tercera unidad de nuestro curso. En esta tercera unidad las transformaciones que estudiamos cumplen propiedades bonitas: ser ortogonales, diagonales, unitarias, etc. A partir de ello hay clasificaciones muy detalladas: la clasificación de matrices ortogonales, el teorema espectral, el teorema de descomposición polar. En la cuarta unidad hablaremos de otra manera en la que podemos «simplificar» cualquier transformación lineal o matriz: mediante formas canónicas. La ventaja es que la cantidad de matrices que podremos simplificar será mucho mayor, aunque la ligera desventaja es que ya no tendremos una forma «diagonal» sino una «casi diagonal».

Tarea moral

  1. Encuentra una diagonalización de $\begin{pmatrix} 1+i & 2i \\ -2i & 1-i \end{pmatrix}$. Encuentra la descomposición polar de $\begin{pmatrix} 1+i & 1-i \\ 2i & 2-i\end{pmatrix}.$
  2. Sea $U:V\to V$ una transformación lineal sobre un espacio hermitiano $V$. Demuestra o da un contraejemplo de la siguiente afirmación: Si $\norm{U(x)}=\norm{x}$ para cualquier $x\in B$, donde $B$ es una base ortonormal de $V$, entonces $U$ es unitaria.
  3. Demuestra que una matriz unitaria y triangular superior necesariamente es diagonal.
  4. Sea $A$ una matriz cuadrada con descomposición polar $A=WP$. Demuestra que $A$ es normal si y sólo si $WP^2=P^2W$.
  5. Bajo las mismas hipótesis del inciso anterior y haciendo uso de éste, demuestra que $A$ es normal si y sólo si $WP=PW$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Lineal II: Adjunciones complejas y transformaciones unitarias

Por Ayax Calderón

6 respuestas

Introducción

Lo que hemos trabajado en esta unidad tiene su análogo para espacios hermitianos. En esta entrada haremos una recapitulación de los resultados que demostramos en el caso real, pero ahora los enunciaremos para el caso complejo. Las demostraciones son similares al caso real, pero haremos el énfasis correspondiente cuando haya distinciones para el caso complejo.

Adjunciones en espacios hermitianos

Uno de los ejercicios de la entrada Dualidad y representación de Riesz en espacios euclideanos consiste en enunciar y demostrar el teorema de representación de Riesz para espacios hermitianos. Si recuerdas, eso es justo lo que se necesita para hablar de la adjunción, de modo que en espacios hermitianos también podemos definir la adjunción como sigue.

Definición. Sea $V$ un espacio hermitiano con producto interior hermitiano $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Sea $T:V\to V$ una transformación lineal. Definimos a la adjunta de $T$, como la única transformación lineal $T^\ast:V\to V$ que cumple la siguiente condición para todos $x,y$ en $V$:

$$\langle T(x),y\rangle =\langle x, T^*(y)\rangle$$

En el caso real la matriz de la transformación adjunta en una base ortonormal era la transpuesta. En el caso complejo debemos tomar la transpuesta conjugada.

Proposición. Sea $V$ un espacio hermitiano con producto interior hermitiano $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Sea $T:V\to V$ una transformación lineal. Sea $\mathcal{B}$ una base ortonormal de $V$. Se tiene que $$\text{Mat}_{\mathcal{B}}(T^\ast)=\text{Mat}_{\mathcal{B}}(T)^\ast.$$

La demostración queda como ejercicio.

Transformaciones unitarias e isometrías

En espacios hermitianos también podemos hablar de las transformaciones lineales que preservan la distancia: las isometrías. En el caso real, las isometrías de un espacio a sí mismo las llamábamos ortogonales, pero en el caso complejo usaremos otro nombre.

Definición. Sean $V_1, V_2$ espacios hermitianos sobre $\mathbb{C}$ con productos interiores hermitianos $\langle \cdot,\cdot \rangle_1,\langle \cdot,\cdot \rangle_2$. Diremos que una transformación lineal $T:V_1\to V_2$ es una isometría si es un isomorfismo de espacios vectoriales y para cualesquiera $x,y\in V_1$ se cumple que $$\langle T(x), T(y) \rangle_2 = \langle x,y\rangle_1.$$ Si $V_1$ $V_2$ son un mismo espacio hermitiano $V$, diremos que $T$ es una transformación unitaria.

Diremos que una matriz $A\in M_n(\mathbb{C})$ se dice unitaria si $AA^\ast=I_n$. Puede demostrarse que si una matriz $A$ es unitaria, entonces la transformación $X\mapsto AX$ también lo es. Así mismo, se puede ver que si $T$ es una transformación unitaria, entonces cualquier representación matricial en una base ortonormal es unitaria.

Equivalencias de matrices y transformaciones unitarias

Así como en el caso real, hay muchas maneras de pensar a las transformaciones y a las matrices unitarias. Puedes pensar en los siguientes resultados como los análogos a las descripciones alternativas en el caso real.

Teorema. Sea $T:V\to V$ una transformación lineal. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

  1. $T$ es unitaria es decir, $\langle T(x),T(y) \rangle = \langle x,y \rangle$ para cualesquiera $x,y\in V$.
  2. $||T(x)||=||x||$ para cualquier $x\in V$.
  3. $T^*\circ T = Id$.

Teorema. Sea $A\in M_n(\mathbb{C})$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

  1. $A$ es unitaria.
  2. Las filas de $A$ forman una base ortonormal de $\mathbb{C}^n$.
  3. Las columnas de $A$ forman una base ortonormal de $\mathbb{C}^n$.
  4. Para cualquier $x\in \mathbb{C}^n$, se tiene que $$||Ax||=||x||$.

Propiedades de grupo y caracterización de unitarias

Así como en el caso real las transformaciones ortogonales forman un grupo bajo la composición, en el caso complejo las transformaciones unitarias también forman un grupo bajo la composición. Si hablamos de matrices unitarias, entonces forman un grupo bajo el producto de matrices. Es posible clasificar a las matrices unitarias así como se clasificó a las matrices ortogonales, sin embargo los resultados son notablemente más difíciles de expresar.

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos de quiénes son las transformaciones complejas para las que se puede enunciar el teorema espectral en el caso complejo. Veremos el resultado correspondiente y haremos énfasis en las diferencias que debemos tomar en cuenta.

Tarea moral

  1. Demuestra que si $A$ es una matriz unitaria, entonces $|\det A|=1$.
  2. Prueba que para que una transformación lineal $T$ de un espacio hermitiano sea unitaria, basta que a los vectores de norma $1$ los mande a vectores de norma $1$.
  3. Describe las matrices $A\in M_n(\mathbb{C})$ que son simultaneamente diagonales y unitarias.
  4. Demuestra que el producto de dos matrices unitarias es una matriz unitaria y que la inversa de una matriz unitaria es unitaria.
  5. Revisa nuevamente la entrada y realiza todas las demostraciones faltantes.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»