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Cálculo Diferencial e Integral I: Sucesiones de números reales

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

En la unidad anterior se revisó el concepto de función, sus características y diversas clasificaciones, los conocimientos adquiridos nos ayudarán a dar inicio a esta nueva unidad referente a un tipo especial de funciones que tienen como domino los números naturales y codominio los números reales, éstas son llamadas sucesiones.

En esta entrada nos enfocaremos en entender la definición y estudiar algunos ejemplos que nos permitan familiarizarnos de forma adecuada con este nuevo concepto.

Sucesiones

Es probable que recuerdes ejercicios del tipo «Encuentra el siguiente término de la sucesión 1.1, 4.2, 9.3, 16.4, __, 36.6». Para resolver estos problemas hacíamos uso de nuestra creatividad con el fin de poder encontrar el patrón que nos permitiera generar cada uno de los números y, para lograrlo, resultaba fundamental establecer una especie de orden: el primer término, luego el segundo, seguido del tercero, etc. En nuestro ejemplo tenemos lo siguiente:

Primer término: 1.1
Segundo término: 4.2
Tercer término: 9.3
Cuarto término: 16.4
Quinto término: __
Sexto término: 36.6

Considerando esto, es que podíamos notar que la sucesión está determinada por $n^2 + \frac{n}{10}$ donde $n$ hace referencia al término $n$-ésimo. Finalmente, calculábamos el término faltante, en nuestro caso el quinto, que sería $5^2+\frac{5}{10} = 25.5$. Sin embargo, ahora estudiaremos las sucesiones desde una perspectiva distinta donde conoceremos desde un inicio esta regla de asignación que nos permite generar la sucesión y más bien nos importará determinar las características que ésta posea.

Definición. Una sucesión de números reales o sucesión en $\RR$ es una función $f$ definida en el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ con codominio en los reales $\RR$.

Notemos que en la definición especificamos que estamos hablando de una sucesión de números reales, pues, en principio, podemos definir funciones de $\mathbb{N}$ a cualquier otro conjunto $A$, sin embargo, aquí solo trataremos el caso donde tal conjunto $A$ es el conjunto de los números reales.

Retomando el ejemplo anterior y considerando la definición dada, podemos ser más formales y establecer que la anterior sucesión es una función $f: \mathbb{N} \to \RR$ donde $f(n) = n^2 + \frac{n}{10}$.

Dado que el dominio de las sucesiones siempre es el conjunto de los números naturales, podemos optar por una notación más práctica y denotar a las sucesiones como $\{a_n\}$. De esta forma, el primer término de nuestro ejemplo es $a_1 = 1^2+\frac{1}{10} =1.1$, el segundo término es $a_2 = 4.2$ y así sucesivamente. De forma más general, el $n$-ésimo término de la sucesión $\{a_n\}$ es $a_n = n^2 + \frac{n}{10}$.

Observación. $\{a_n\}$ denota a la sucesión en sí, mientras que $a_n$ hace referencia al $n$-ésimo término de la sucesión.

Ejemplos de sucesiones

Ahora revisaremos algunos ejemplos de sucesiones.

Ejemplo. Sea $c \in \mathbb{R}$, la sucesión $\{a_n \}$ generada por $a_n = c$ para todo $n \in \mathbb{N}$ la llamamos sucesión constante. Así, la sucesión constante siempre toma el mismo valor y es de la forma $$c, c, \ldots, c, \ldots$$

Ejemplo. La sucesión $\{a_n\}$ generada por $a_n = 2n$ es la sucesión de los números pares positivos. Donde sus términos son $$2, 4, 6, \ldots, 2k, \ldots$$

Ejemplo. Sea $\{a_n\}$ la sucesión generada por $a_n = (-1)^n$. Los términos de la sucesión son $$-1,1,-1,\ldots, -1^k, \ldots$$

Ejemplo. Sea $\{a_n\}$ la sucesión generada por $a_n =\frac{1}{n}$. De esta forma, sus términos son $$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{k}, \ldots$$

Ejemplo. Sea $\{a_n\}$ la sucesión generada por $a_n = 2^n$. Con lo cual sus términos son $$2, 4, 8, 16, \ldots, 2^k \ldots$$

Ejemplo. Una de las sucesiones más famosas es la sucesión de Fibonacci $\{f_n\}$ la cual se define de forma inductiva.

\begin{align*}
f_1 & = 1 \\
f_2 & = 1 \\
f_{n+1} & = f_{n-1}+f_{n} \quad \forall n \geq 2
\end{align*}

A modo ilustrativo calcularemos los primeros 5 elementos de la sucesión $\{f_n\}$.
$$f_1 = 1, \quad f_2 = 1, \quad f_3 = 1+1 = 2, \quad f_4 = 1+2 = 3, \quad f_5 = 2+3 = 5$$

Ejemplo. Sea $\{a_n\}$ una sucesión definida inductivamente de la siguiente forma:

\begin{align*}
a_1 & = 1 \\
a_n & = n \cdot a_{n-1} \quad \forall n \geq 2
\end{align*}

De esta forma, los primeros 5 términos de la sucesión son $$1, 2, 6, 24, 120$$

Al $n$-ésimo término de esta sucesión se le denota comúnmente como $n!$ y su valor está dado por $$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1.$$ Adicionalmente, se define $0! = 1$.

Operaciones con sucesiones

Las reglas de la suma, la resta, el producto y el cociente de funciones particularmente aplican a las sucesiones pues éstas también son funciones. Considerando esto, dadas dos sucesiones $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ y si $c \in \mathbb{R}$, definimos:

  1. Suma: $\{a_n\} + \{b_n\} = \{a_n + b_n\}$

  2. Resta: $\{a_n\} – \{b_n\} = \{a_n – b_n\}$

  3. Multiplicación: $\{a_n\} \cdot \{b_n\} = \{a_n \cdot b_n\}$

  4. Multiplicación por escalar: $ c \cdot \{a_n\} = \{ c \cdot a_n \}$

  5. Cociente: Si además $b_n \neq 0$ para todo $n \in \mathbb{N}$, entonces $$\frac{ \{a_n\} }{ \{b_n\} } = \left\{ \frac{a_n}{b_n} \right\}$$

A continuación veremos algunos ejemplos

Ejemplos.

  1. $\{ n^2 \} + \{ \frac{n}{10} \} = \{ n^2 + \frac{n}{10} \}$
    Términos de la sucesión: $$1.1, 4.2, 9.3, \ldots, k^2 + \frac{k}{10}, \ldots$$
  2. $\{ n \} – \{ n + 1\} = \{ -1 \}$
    Términos de la sucesión: $$-1, -1, -1, \ldots, -1, \ldots$$
  3. $\{n-1\} \cdot \{n+1\} = \{n^2-1\}$
    Términos de la sucesión: $$0, 3, 8, \ldots, k^2-1, \ldots$$
  4. $ 5 \cdot \{ n\} = \{ 5n \}$
    Términos de la sucesión: $$5, 10, 15, \ldots, 5k, \ldots$$
  5. $\frac{ \{ n \} }{ \{ (-1)^n \} } = \left\{ \frac{n}{(-1)^n} \right\}$
    Términos de la sucesión: $$-1, 2, -3, \ldots, \frac{k}{(-1)^k}, \ldots$$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Considera la sucesión de Fibonacci definida en esta entrada. Encuentra $f_8$.
  • Consideremos las sucesiones $\{ a_n \}$ y $\{b_n\}$ donde $a_n = n^2-5n+10$ y $b_n = \frac{1}{n}$. Determina los primeros 8 términos de las siguientes sucesiones:
    • $\{ a_n \} \cdot \{b_n\}$
    • $\{ a_n \} + \{b_n\}$
    • $\frac{\{ a_n \}}{\{b_n\}}$
    • $8 \cdot \{ a_n \} – 10 \cdot \{ \frac{1}{b_n}\}$

Más adelante…

En la siguiente entrada se hará la revisión del concepto de sucesión convergente para lo cual veremos la definición de límite aplicado a sucesiones el cual será clave para el estudio de todos los temas subsecuentes en el curso pues será el antecesor de la definición del límite de una función bajo el cual se fundamenta el concepto de derivada de un función y, con ello, una amplia gama de aplicaciones.

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Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

Anteriormente se dio la definición de sucesión y revisamos algunos ejemplos. En esta entrada se definirá la convergencia para una sucesión y se darán varios ejemplos de sucesiones convergentes y no convergentes.

Límite de una sucesión

A continuación daremos la definición de límite de una sucesión:

Definición. Sea $\{ a_n \}$ una sucesión en $\mathbb{R}$. Sea $L \in \mathbb{R}$, decimos que $L$ es el límite de la sucesión $\{a_n\}$ si para todo $ \varepsilon > 0$ existe un número natural $n_0$ tal que para todo $n \geq n_0$ se satisface $ | a_n – L |< \varepsilon$.

Si una sucesión tiene como límite a $L$, también decimos que converge a $L$ y lo denotamos como $$\lim_{n\to \infty} a_n = L.$$

En términos más simples, la definición nos indica que una sucesión es convergente a $L$ si a partir de cierto elemento en la sucesión ($n_0$), estamos lo suficientemente cerca ($\varepsilon$) de $L$.

Ejemplos de sucesiones convergentes

Ahora continuaremos con algunos ejemplos de sucesiones convergentes. Es importante recalcar que para demostrar que una sucesión converge a $L$, deberemos especificar las condiciones que $n_0$ debe cumplir tal que para un $\varepsilon > 0$ arbitrario dado, $| a_n – L |< \varepsilon$ para todo $n \geq n_0$.

Ejemplo. Sea $k$ un número real y consideremos la sucesión $ a_n = k$, entonces $$\lim_{n \to \infty} k = k.$$

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$ (establecemos el valor arbitrario de un épsilon positivo).
Para esta sucesión cualquier valor de $n_0$ sirve, en particular consideremos $n_0 = 1$ (en este caso se puede dar $n_0 $ explícitamente).
Si $n \geq n_0 = 1$, entonces

\begin{gather*}
|a_n-k| = |k-k| = 0 < \varepsilon \\
\therefore \lim_{n \to \infty} k = k
\end{gather*}

$\square$


El ejemplo anterior es uno sencillo, sin embargo, como lo podemos ver en los comentarios entre paréntesis, están presentes los pasos relevantes para demostrar la convergencia. En este caso, dado que nuestra sucesión era un valor constante, el valor de $n_0$ que funcionaba era cualquier número natural, pero, en general, su valor estará definido en términos de épsilon.

Ejemplo. Consideremos la sucesión $\{ \frac{1}{n} \}$, entonces $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.$$

Demostración.

Sea $\varepsilon >0$.

Dado que el valor de $\varepsilon$ es positivo y, por la propiedad Arquimediana, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $1 < n_0 \cdot \varepsilon$, es decir, $\frac{1}{n_0} < \varepsilon$. Así, para cualquier $n \geq n_0$ se tiene que $\frac{1}{n} \leq \frac{1}{n_0} < \varepsilon $. De lo anterior se sigue que

$| \frac{1}{n} – 0| = \frac{1}{n} < \varepsilon$

$\therefore | \frac{1}{n} – 0| < \varepsilon$ para todo $n \geq n_0$

$$\therefore \lim_{n \to \infty} = 0$$

$\square$

En este último ejemplo podemos observar cómo se establecen condiciones que $n_0$ debe cumplir en función de $\varepsilon$, así como la relevancia de la propiedad Arquimediana que estará constantemente presente al momento de demostrar convergencia mediante su definición.


Ejemplo. Demuestre que

$$\lim_{n \to \infty} \frac{8n-5}{3n} = \frac{8}{3}$$

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$.
Notemos que

$$\left\lvert \frac{8n-5}{3n} – \frac{8}{3} \right\rvert = \left\lvert \frac{8n-5-8n}{3n} \right\rvert = \left\lvert \frac{-5}{3n} \right\rvert = \frac{5}{3n}$$

\begin{align*}
\therefore \left\lvert \frac{8n-5}{3n} – \frac{8}{3} \right\rvert = \frac{5}{3n} \tag{1}
\end{align*}

Consideremos $n_0 \cdot \varepsilon > \frac{5}{3}$, que sabemos que existe gracias a la propiedad arquimediana.

$$\Rightarrow \varepsilon > \frac{5}{3n_0}$$

Si $n \geq n_0$, entonces tenemos

\begin{align*}
\left\lvert \frac{8n-5}{3n} – \frac{8}{3} \right\rvert =& \frac{5}{3n}, \text{ por (1)} \\
\leq & \frac{5}{3n_0}, \text{ pues }n \geq n_0 \\
<& \varepsilon
\end{align*}

$$\therefore \left\lvert \frac{8n-5}{3n} – \frac{8}{3} \right\rvert < \varepsilon$$

$$\therefore \lim_{n \to \infty} \frac{8n-5}{3n} = \frac{8}{3}$$

$\square$

Ejemplo. $$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right) = 0$$

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$. Primero veamos que

\begin{align*}
\sqrt{n+1}-\sqrt{n} =& (\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \cdot \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ \\
=& \frac{\sqrt{n+1} ^ 2 – \sqrt{n}^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ \\
=& \frac{n+1 – n}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}} \\ \\
=&\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}} \\ \\
\leq & \frac{1}{\sqrt{n}}
\end{align*}


$$\therefore \sqrt{n-1}-\sqrt{n} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$$

Consideremos $n_0 > \frac{1}{\varepsilon^2} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n_0}} < \varepsilon$. Entonces tenemos

\begin{align*}
\left\lvert \sqrt{n-1}-\sqrt{n} – 0 \right\rvert =& \frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}} \text{, por la observación anterior} \\
\leq & \frac{1}{\sqrt{n}} \\
\leq & \frac{1}{\sqrt{n_0}}, \text{pues } n \geq n_0 \\
< & \varepsilon
\end{align*}

$\therefore |\sqrt{n-1}-\sqrt{n} – 0| < \varepsilon$

$$\therefore \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)= 0$$

$\square$

Los dos ejemplos de arriba hacen uso de manipulaciones algebraicas que nos permiten simplificar nuestro problema; esta técnica de simplificación de expresiones, cuyo fin es llevarlas a otras más sencillas, es ampliamente usada para demostrar la convergencia de sucesiones.

Ejemplos de sucesiones no convergentes

Después de haber revisado ejemplos de sucesiones convergentes, vale la pena conocer sucesiones que no convergen, es decir, que su límite no existe.

Ejemplo. Consideremos la sucesión $a_n = (-1)^n$. El límite de $\{a_n\}$ no existe.

Demostración.

Procederemos a hacer esta demostración por contradicción. Supongamos que existe $L \in \mathbb{R}$ tal que $$\lim_{n \to \infty} (-1)^n = L.$$

Consideremos $\varepsilon = 1/2 > 0$. Por definición, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que si $n\geq n_0$ entonces $|(-1)^n-L| < \frac{1}{2}$

Como $2n_0 > n_0$ y $2n_0+1>n_0$, entonces
\begin{gather*}
|(-1)^{2n_0}-L| < \frac{1}{2} \Rightarrow |1-L|< \frac{1}{2} \tag{1} \\
|(-1)^{2n_0+1}-L| < \frac{1}{2} \Rightarrow |-1-L| = |1+L|< \frac{1}{2} \tag{2}
\end{gather*}

Y notemos que

\begin{align*}
2 = |1+1| =& |1-L+L+1| \\
\leq & |1-L| + |1+L| \\
< & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \text{, por (1) y (2)}
\end{align*}

Lo anterior implicaría que $2<1$ y esto es una contradicción.
Por tanto, podemos concluir que tal límite no existe.

$\square$

Ahora estudiaremos una nueva definición para un tipo particular de sucesiones que no tienen como límite a un número real $L$.

Definición. Sea $\{a_n\}$ una sucesión en $\mathbb{R}$. Decimos que $\{a_n\}$ diverge a infinito si $\forall M \in \mathbb{R}$ existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_0$ entonces $M < a_n$.

La definición anterior nos indica que una sucesión diverge a infinito si para cualquier número real ($M$), existe un punto ($n_0$) en el que todos los valores subsecuentes en la sucesión son mayores que $M$. Cuando una sucesión $\{ a_n \}$ diverja a infinito lo denotaremos como $$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty.$$

Ejemplo. La sucesión $a_n = n$ diverge a infinito.

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{N}$. Sabemos que $\mathbb{N}$ no está acotado superiormente, entonces existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $M< n_0$. De esta forma, si $n \geq n_0$, se tiene que $M<n$.

$\square$

Ejemplo. $$\lim_{n \to \infty} n^2 = \infty$$

Demostración.

Procederemos a hacer la prueba por contradicción. Supongamos entonces que para todo $n\in \mathbb{N}$ se tiene que $n^2 \leq M$ para algún $M \in \mathbb{R}$.

$\Rightarrow \sqrt{n^2} \leq \sqrt{M}$

$\Rightarrow n \leq \sqrt{M}$

Lo cual es una contradicción pues sabemos que los números naturales no están acotados superiormente.

$\therefore n^2$ diverge a infinito

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Prueba que el límite de una sucesión convergente $\{ a_n \}$ es único.
    Sugerencia:
    1. Proceder por contradicción y asumir que existen dos números reales distintos $L$ y $L’$ tales que
    $$\lim_{n \to \infty} a_n = L \quad \text{y} \quad \lim_{n \to \infty} a_n = L’.$$
    2. Utilizar la definición de límite de una sucesión empleando el siguiente valor de épsilon: $$\varepsilon = \frac{|L-L’|}{2}$$
    $\varepsilon > 0$, ¿por qué?
  • Demuestra lo siguiente:
    a) $$\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$$
    b) $$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} = \infty$$
    c) $$\lim_{n \to \infty} \sqrt{12+ \frac{1}{n}} = \sqrt{12}$$
  • Sea $\{ a_n \}$ una sucesión en $\mathbb{R}$ y sea $L \in \mathbb{R}$. Prueba que $$\lim_{n \to \infty} a_n = L \iff \lim_{n \to \infty} a_n – L = 0.$$
  • Una sucesión también puede ser divergente a $-\infty$. Propón una definición análoga a la divergencia a infinito y prueba que $$\lim_{n \to \infty} – \sqrt{n} = – \infty.$$

Más adelante…

Se han revisado las definiciones de convergencia y divergencia a infinito, hemos visto diversos ejemplos de ambas definiciones. En las siguientes entradas se revisarán criterios para la convergencia de sucesiones así como sus propiedades y teoremas con lo cual podremos determinar si una sucesión es convergente o no de manera más rápida.

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