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Álgebra Moderna I: Teorema de Cauchy

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Hemos llegado a uno de los resultados más importantes del curso: el Teorema de Cauchy. Éste nos asegura la existencia de un elemento de determinado orden en el grupo. De forma más precisa nos dice que para cada primo que divida al orden del grupo, existe un elemento con orden exactamente ese primo.

Con este resultado nos nace una nueva pregunta: ¿cómo se relaciona esto con los $p$ -grupos? y otra más: ¿se puede relacionar esto con el centro de un grupo? Tal vez no parezcan preguntas que te harías directamente después de ver el teorema, pero igual las responderemos. Es especialmente interesante lo del centro de un grupo porque en ocasiones podemos concluir que ciertos grupos deben ser abelianos.

Uno de los resultados más importantes del curso

Teorema de Cauchy.
Sea $G$ un grupo finito, $p \in Z^{+}$ un primo que divida a $| G | .$ Entonces existe $g \in G$ de orden $p .$

Demostración.
Sea $G$ un grupo finito, $p \in Z^{+}$ un primo tal que $p | | G | .$

P.D. Existe un elemento $g \in G$ de orden $p$ .

Para esta demostración, queremos usar el último teorema de la entrada anterior. Pero este sólo aplica para un conjunto finito y un $p$ -grupo. Por lo que comenzaremos definiendo un conjunto finito a partir de $G$ .

Consideremos
$\begin{array}{r} X = {(g_{1}, \dots, g_{p}) | g_{1}, \dots, g_{p} \in G, g_{1} \dots g_{p} = e} \end{array}$
el conjunto de las $p -$ adas cuyo producto dé el neutro.

Observemos que podemos elegir las primeras $p - 1$ entradas de un elemento en $X$ como sea, pero la última no porque la condición $g_{1} \dots g_{p} = e$ nos indica que $g_{p} = (g_{1} \dots g_{p - 1})^{- 1} .$ Así $# X = | G |^{p - 1}$ y como $p$ divide al orden de $G$ , entonces $p | # X$ .

Sea $H = ⟨ (1 2 \dots p) ⟩ \leq S_{p}$ , el cual es un $p$ -grupo. $H$ actúa en $X$ permutando los subíndices, es decir,
$\begin{array}{r} (1 2 \dots p) \cdot (g_{1}, \dots, g_{p}) = (g_{2}, g_{3}, \dots, g_{p}, g_{1}) \end{array}$
y en general, si $σ = (1 2 \dots p)$ , entonces para toda $j \in Z$
$\begin{array}{r} σ^{j} \cdot (g_{1}, \dots, g_{p}) = (g_{σ^{j} (1)}, \dots, g_{σ^{j} (p)}) . \end{array}$

Tenemos que observar que la acción está bien definida. Esto sucede ya que si $(g_{1}, \dots, g_{p}) \in X$ tenemos que $g_{1} = (g_{2}, \dots, g_{p})^{- 1}$ y así $(g_{2} \dots g_{p}) g_{1} = e .$

Entonces $(1 2 \dots p) \cdot (g_{1}, \dots, g_{p}) = (g_{2}, \dots, g_{p}, g_{1}) \in X .$ Así, $H$ manda elementos de $X$ en elementos de $X$ .

Por otro lado,
$\begin{array}{r} id \cdot (g_{1}, \dots, g_{p}) = (g_{id (1)}, \dots, g_{id(p)}) = (g_{1}, \dots, g_{p}) \end{array}$
y además
$\begin{aligned} σ^{j} \cdot (σ^{t} \cdot (g_{1}, \dots, g_{p})) & = σ^{j} \cdot (g_{σ^{t} (1)}, \dots, g_{σ^{t} (p)}) & Aplicamos σ^{t} \\ = (g_{σ^{j} (σ^{t} (1))}, \dots, g_{σ^{j} (σ^{t} (p))}) & Aplicamos σ^{j} \\ = (g_{σ^{j + t} (1)}, \dots, g_{σ^{j + t} (p)}) \\ = σ^{j + t} \cdot (g_{1}, \dots, g_{p}) = (σ^{j} σ^{t}) \cdot (g_{1}, \dots, g_{p}) . \end{aligned}$

Así, efectivamente tenemos una acción de $H$ en $X$ .

Como $| H | = p$ , por el teorema de la entrada anterior
$\begin{array}{r} # X \equiv # X_{H} (mód p) . \end{array}$
Pero recordemos que $p ∣ # X$ , entonces $p ∣ # X_{H} .$

Ahora vamos a analizar cómo es $# X_{H}$ . Comencemos por entender quién es el conjunto $X_{H}$ ,
$\begin{aligned} X_{H} & = {(g_{1}, \dots, g_{p}) \in X | σ^{j} \cdot (g_{1}, \dots, g_{p}) = (g_{1}, \dots, g_{p}) \forall j} \\ = {(g_{1}, \dots, g_{p}) \in X | σ \cdot (g_{1}, \dots, g_{p}) = (g_{1}, \dots, g_{p})} & si σ fija a un elemento, también σ^{j} \\ = {(g_{1}, \dots, g_{p}) \in X | (g_{2}, \dots, g_{p}, g_{1}) = (g_{1}, \dots, g_{p})} & Definición de σ \\ = {(g_{1}, \dots, g_{p}) \in X | g_{1} = \dots = g_{p}} & Implicación directa . \end{aligned}$

En particular, $(e, \dots, e) \in X_{H}$ por lo que $# X_{H} \geq 1$ . Pero no puede haber exactamente un elemento en $X_{H}$ porque $p | # X_{H}$ , entonces $# X_{H} > 1.$ Existe entonces $(g, \dots, g) \in X_{H}$ con $g \in G$ tal que $g \neq e .$

Como $(g, \dots, g) \in X$ se tiene que $g^{p} = g \dots g = e$ con $g \in G$ con $g \neq e .$

Así $g$ es un elemento en $G$ de orden $p$ .

Corolario. Sea $p \in Z^{+}$ un primo, $G$ un grupo finito. $G$ es un $p$ -grupo si y sólo si para todo $g \in G$ el orden $o (g)$ es una potencia de $p$ .

Proposición. Sea $p \in Z^{+}$ un primo. Si $G$ es un $p$ -grupo con $G \neq {e}$ (no trivial) entonces $Z (G) \neq {e} .$

Demostración.
Sea $p \in Z^{+}$ un primo, $G$ un $p$ -grupo con $G \neq {e} .$ Por la ecuación de clase
$\begin{array}{r} | G | = | Z (G) | + \sum_{j = 1}^{k} [G : C_{G} (x_{j})] \end{array}$
con $x_{1}, \dots, x_{k}$ representantes de las distintas clases de conjugación con más de un elemento, por lo que
$\begin{aligned} 1 < # x_{j}^{G} & = [G : C_{G} (x_{j})] = \frac{| G |}{| C_{G} |} | | G | . \end{aligned}$

Como $| G | = p^{t}$ , $t \in N$ , entonces $p | [G : C_{G} (x_{j})]$ para toda $j \in {1, \dots, k}$ .

Así
$\begin{array}{r} p | | G | - \sum_{j = 1}^{k} [G : C_{G} (x_{j})] = | Z (G) | . \end{array}$

Como $| Z (G) |$ es múltiplo de $p$ no nulo, no puede ser 1. Entonces $Z (G) \neq {e} .$

¿Grupos abelianos de nuevo?

Lema. Sea $G$ un grupo. Si $G / Z (G)$ es cíclico, entonces $G$ es abeliano.

Demostración.
Sea $G$ un grupo tal que $G / Z (G)$ es cíclico.

Entonces $G / Z (G) = ⟨ g Z (G) ⟩$ con $g \in G .$

Sean $a, b \in G$ . Como $a Z (G), b Z (G) \in G / Z (G) = ⟨ g Z (G) ⟩$ entonces
$\begin{aligned} a Z (G) & = g^{k} Z (G) \\ b Z (G) & = g^{t} Z (G) & con k, t \in Z . \end{aligned}$

Así,
$\begin{aligned} a & = g^{k} z_{1} \\ b & = g^{t} z_{2} & con k, t \in Z, z_{1}, z_{2} \in Z (G) . \end{aligned}$

Entonces
$\begin{aligned} a b & = (g^{k} z_{1}) (g^{t} z_{2}) = g^{k + t} z_{1} z_{2} & Como z_{1} \in Z (G), entonces z_{1} conmuta con g^{t} \\ b a & = (g^{t} z_{2}) (g^{k} z_{1}) = g^{t + k} z_{2} z_{1} & Como z_{2} \in Z (G), entonces z_{2} conmuta con g^{k} . \end{aligned}$

Así $a b = b a$ . Por lo tanto $G$ es abeliano.

Corolario. Sea $p \in Z^{+}$ un primo. Si $G$ es un grupo de orden $p^{2}$ , entonces $G$ es abeliano.

Demostración.
Sea $p \in Z^{+}$ un primo, $G$ un grupo con $| G | = p^{2}$ .

$G$ es entonces un $p$ -grupo con $G \neq {e}$ , por la proposición previa $Z (G) \neq {e} .$

Como $Z (G) \leq G$ , entonces $| Z (G) | | | G | = p^{2}$ , con $| Z (G) | \neq 1.$ Así que $| Z (G) | = p$ ó $| Z (G) | = p^{2} .$

Si $| Z (G) | = p,$ entonces
$\begin{array}{r} | G / Z (G) | = \frac{| G |}{| Z (G) |} = \frac{p^{2}}{p} = p, \end{array}$
entonces $G / Z (G)$ es cíclico. Por el lema se tiene que $G$ es abeliano y entonces $Z (G) = G$ . Esto es una contradicción porque $| G | = p^{2}$ y estamos suponiendo que $| Z (G) | = p$ .

En consecuencia, obtenemos que $| Z (G) | = p^{2}$ , entonces $Z (G) = G$ y así $G$ es abeliano.

Tarea moral

Demuestra el primer corolario de esta entrada: Sea $p \in Z^{+}$ un primo, $G$ un grupo finito. $G$ es un $p$ -grupo si y sólo si para todo $g \in G$ el orden $o (g)$ es una potencia de $p$ . (Sugerencia: Usa el Teorema de Cauchy).
Sea $p$ un primo, prueba que cada grupo $G$ de orden $2 p$ es cíclico o isomorfo a $D_{2 p} .$
Prueba o da un contraejemplo: Todo grupo de orden $p^{3}$ con $p \in Z^{+}$ un primo, es abeliano.
Demuestra que si $G$ es un $p$ -grupo finito no abeliano tal que $| G | = p^{3} .$ Entonces, $Z (G) ≅ Z_{p} .$

Más adelante…

Nos estamos encaminando a demostrar los Teoremas de Sylow, para ello todavía nos faltan un par de definiciones. En la siguiente entrada definiremos a los $p$ -subgrupos de Sylow y usaremos el Teorema de Cauchy para probar que estos subgrupos siempre existen.

Entradas relacionadas

Ir a Álgebra Moderna I.
Entrada anterior del curso: Clase de Conjugación, Centro de $G$ , Ecuación de Clase y $p$ -Grupo.
Siguiente entrada del curso: $p$ -Subgrupo de Sylow y el Normalizador de $H$ en $G$ .
Resto de cursos: Cursos.

Álgebra Moderna I: Clase de Conjugación, Centro de $G$ , Ecuación de Clase y $p$ -Grupo

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Esta entrada es una caja de herramientas. Continuamos sobre la línea de estudiar las propiedades de una órbita y de su orden. Primero, nos vamos a enfocar en grupos actuando sobre sí mismos, a partir de esto definiremos un nuevo conjunto al que llamamos el centro de $G$ y daremos algunas observaciones al respecto.

El segundo bloque importante de la entrada es probar la llamada ecuación de clase, una ecuación que nos permite calcular el orden de un $G$ -conjunto usando otros conjuntos relacionados. Uno de estos conjuntos lo definiremos como $X_{G}$ , el conjunto de todos los elementos de $X$ que quedan fijos sin importar el elemento de $G$ que actúa sobre ellos. Volveremos a encontrar a la órbita de los elementos en la demostración de esta ecuación.

Por último, comenzaremos a trabajar con $p$ -grupos, es decir grupos de orden una potencia de un número primo y usaremos la ecuación de clase para demostrar una propiedad de los $p$ -grupos.

Decimos que esta entrada es una caja de herramientas, porque no estamos introduciendo temas que vayamos a estudiar a profundidad, más bien son conceptos que nos ayudarán a llegar al tema principal de esta unidad: los Teoremas de Sylow.

Clases de conjugación, centralizadores y centro de $G$

La acción de un grupo actuando en sí mismo por conjugación es muy importante y debido a ello daremos nombres y notaciones específicas para las órbitas y estabilizadores correspondientes (que fueron estudiados de manera general en la entrada Órbita de $x$ y tipos de acciones).

Definición. Sea $G$ es un grupo actuando en sí mismo por conjugación, es decir $g \cdot x = g x g^{- 1}$ para todos $g, x \in G$ . Dado $x \in G$ la órbita del elemento $x$ bajo esta acción se llama la clase de conjugación de $x$ y se denota por $x^{G}$ , esto es:
$\begin{aligned} x^{G} = O (x) & = {g \cdot x | g \in G} = {g x g^{- 1} | g \in G} . \end{aligned}$

Por otro lado el estabilizador de $x$ se llama el centralizador de $x$ en $G$ y se denota por $C_{G} (x)$ , es decir:

$\begin{aligned} C_{G} (x) = G_{x} & = {g \in G | g \cdot x = x} = {g \in G | g x g^{- 1} = x} \\ = {g \in G | g x = x g}, \end{aligned}$

siendo entonces el conjunto de todos los elementos del grupo que conmutan con $x$ .

Otra colección que resultará clave en el material que desarrollaremos más adelante es el llamado centro de un grupo:

Definición. Sea $G$ un grupo, el centro de $G$ , denotado por $Z (G)$ , es
$\begin{array}{r} Z (G) = {x \in G | x g = g x \forall g \in G} . \end{array}$

Es decir, el centro es la colección de todos los elementos de $G$ que conmutan con todos los demás.

Observación 1. $Z (G)$ es subgrupo normal de $G$ .

Demostración.
Primero, tomemos el neutro $e \in G$ y veamos que está en $Z (G)$ . Como estamos hablando del neutro, se cumple que $e g = g = g e$ para toda $g \in G$ , entonces $e \in Z (G)$ .

Ahora, tomamos $x \in Z (G)$ entonces $x g = g x$ para toda $g \in G$ . Así $g = x^{- 1} g x$ para toda $g \in G$ , lo que implica que $g x^{- 1} = x^{- 1} g$ para toda $g \in G$ por lo que $x^{- 1} \in Z (G)$ .

Luego, si tomamos $x, y \in Z (G)$ , se tienen las siguientes igualdades por la definición del centro $(x y) g = x (y g) = x (g y) = (x g) y = (g x) y = g (x y)$ para todo $g \in G$ . Así, $x y \in Z (G)$ .

Concluimos que el centro es un subgrupo.

Por último, probemos que es un subgrupo normal. Sean $x \in Z (G)$ , $g \in G$ , al conjugar $x$ con $g$ podemos usar la asociatividad y la definición de centro para concluir que $g x g^{- 1} = (g x) g^{- 1} = (x g) g^{- 1} = x (g g^{- 1}) = x e = x \in Z (G) .$

Por lo tanto $Z (G) ⊴ G$ .

Observación 2. Sean $G$ un grupo y $x \in G$ . Entonces $x \in Z (G)$ si y sólo si $x^{G} = {x}$ .

Demostración. Sean $G$ un grupo y $x \in G$ . Tenemos que
$\begin{aligned} x^{G} = {x} & \Leftrightarrow g x g^{- 1} = x \forall g \in G \\ \Leftrightarrow g x = x g & Multiplicamos por g a la derecha \\ \Leftrightarrow x \in Z (G) . \end{aligned}$

La observación anterior nos dice entonces que los elementos del centro son precisamente aquellos cuya clase de conjugación es trivial.

Ecuación de Clase

Para poder enunciar la ecuación de clase, que describe la carnalidad de un $G$ -conjunto $X$ en términos de los índices de ciertos estabilizadores, definamos primero un cierto subconjunto de $X$ :

Definición. Sea $G$ un grupo, $X$ un $G$ -conjunto finito,
$\begin{array}{r} X_{G} = {x \in X | g \cdot x = x \forall g \in G} . \end{array}$

Es decir, $X_{G}$ es el conjunto de elementos de $X$ que quedan fijos sin importar qué elemento de $G$ actúe sobre ellos.

Notemos que dado $x \in X$ se tiene que $x \in X_{G}$ si y sólo si $g \cdot x = x$ para toda $g \in G$ y esto sucede si y sólo si $O (x) = {x} .$ Entonces se cumple lo siguiente:

Observación 3. $x \in X_{G}$ si y sólo si $O (x) = {x} .$

Así, el conjunto $X_{G}$ consiste de los elementos cuya órbita es trivial.

Proposición. (Ecuación de Clase)
Sea $G$ un grupo, $X$ un $G$ -conjunto finito. Tenemos que
$\begin{array}{r} # X = # X_{G} + \sum_{j = 1}^{k} [G : G_{x_{j}}] \end{array}$
con $x_{1}, \dots x_{k}$ representantes de las distintas órbitas con más de un elemento.

En particular, si $G$ es finito y actúa en $G$ por conjugación
$\begin{array}{r} | G | = | Z (G) | + \sum_{j = i}^{k} [G : C_{G} (x_{j})] \end{array}$
con $x_{1}, \dots x_{k}$ representantes de las distintas clases de conjugación con más de un elemento.

Demostración.
Sea $G$ un grupo, $X$ un $G$ -conjunto finito.

Sabemos que las órbitas son una partición de $X$ . Sean $x_{1}, \dots, x_{k}, x_{k + 1}, \dots, x_{t}$ representantes de las distintas órbitas, donde $# (x_{j}) > 1$ si $j \in {1, \dots, k}$ y $# O (x_{j}) = 1$ si $j \in {k + 1, \dots, t} .$ Entonces por un lado tenemos a las órbitas que tienen un sólo elemento y, por otro lado, las demás.

Por la observación 3, $X_{G} = {x \in X | # O (x) = 1} = {x_{k + 1}, \dots, x_{t}}$ .

Así,
$\begin{aligned} # X & = \sum_{j = 1}^{t} # O (x_{j}) \\ = \sum_{j = 1}^{k} # O (x_{j}) + \sum_{j = k + 1}^{t} # O (x_{j}) & Separamos la suma \\ = \sum_{j = 1}^{k} # O (x_{j}) + \sum_{j = k + 1}^{t} 1 & # O (x_{j}) = 1 para j \geq k + 1 \\ = \sum_{j = 1}^{k} [G : G_{x_{j}}] + # X_{G} & Por la observación 3. \end{aligned}$

Si $G$ es finito y actúa en $G$ por conjugación, $X_{G} = Z (G)$ , $O (x_{j}) = x_{j}^{G}$ son las clases de conjugación y $G_{x_{j}} = C_{G} (x_{j})$ . Así
$\begin{array}{r} | G | = \sum_{j = 1}^{k} ⌈ G : C_{G} (x_{j}) ⌉ + | Z (G) | . \end{array}$

$p$ -grupo

Hemos tratado con grupos finitos de orden primo, de ellos sabemos propiedades importantes como el hecho de que son cíclicos. El siguiente paso en nuestro estudio, es enfocarnos en los grupos cuyo orden es una potencia de algún primo. No todos los grupos finitos cumplen esta característica, pero los que sí, nos permiten entender a los demás.

Definición. Sea $G$ un grupo, $p \in Z^{+}$ un primo. Decimos que $G$ es un $p$ -grupo si $| G | = p^{t}$ para alguna $t \in N$ .

Teorema. Sean $p \in Z^{+}$ un primo, $G$ un $p$ -grupo, $X$ un $G$ -conjunto finito. Entonces $# X \equiv # X_{G} (mód p) .$

Demostración.
Sean $p \in Z^{+}$ un primo, $G$ un $p$ -grupo, $X$ un $G$ -conjunto finito. Por la ecuación de clase,
$\begin{array}{r} # X = # X_{G} + \sum_{j = 1}^{k} [G : G_{x_{j}}] \end{array}$
con $x_{1}, \dots, x_{k}$ representantes de las distintas órbitas con más de un elemento. Como $G$ es un $p$ -grupo, $| G | = p^{t}$ con $t \in N$ . Dado que el orden de los estabilizadores divide al orden de $G$ tenemos que $| G_{x_{j}} | ∣ p^{t}$ y por lo tanto $| G_{x_{j}} | = p^{m_{j}}$ con $m_{j} \in N, m_{j} \leq t .$

Entonces

$\begin{aligned} 1 < # O (x_{j}) & = [G : G_{x_{j}}] & Por lo visto anteriormente \\ = \frac{| G |}{| G_{x_{j}} |} & Propiedad del índice \\ = \frac{p^{t}}{p^{m_{j}}} & Consecuencia de la hipótesis \\ = p^{t - m_{j}} . \end{aligned}$

Así, $p$ divide a $[G : G_{x_{j}}]$ para toda $j \in {1, \dots, k} .$ Por lo que

$\begin{array}{r} p divide a \sum_{j = 1}^{k} [G : G_{x_{j}}] . \end{array}$

Pero por la ecuación de clase $\sum_{j = 1}^{k} [G : G_{x_{j}}] = # X - # X_{G} .$

Entonces
$\begin{array}{r} p divide a # X - # X_{G} . \end{array}$

En consecuencia $# X \equiv # X_{G} (mód p) .$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Considera el grupo $S_{4}$ actuando sobre sí mismo por conjugación.
- Determina las clases de conjugación de $S_{4}$ .
- Escribe la ecuación de clase de $S_{4}$ .
- Deduce el orden de cada uno de los estabilizadores $G_{x}$ , donde $x \in S_{4}$ .
Encuentra todos los $p$ -subgrupos de $S_{4}$ .
Sean $X = {H | H \leq D_{2 (4)}}$ , $G = ⟨ a ⟩$ con $a$ la rotación de $\frac{π}{2}$ . Considera la acción de $G$ en $X$ dada por $g \cdot H = g H g^{- 1}$ para todo $g \in G$ , $H \in X$ . Encuentra $X_{G}$ y verifica que $# X \equiv # X_{G} (mód 2)$ .

Más adelante…

Ahora nuestro interés está puesto en los números primos o más bien, en la relación de los números primos con el orden de los grupos. Esta entrada te da lo que tienes que saber de $p$ -grupos y más adelante veremos cómo mediante ellos se pueden estudiar otros grupos. Además, eventualmente veremos un caso especial de los $p$ -grupos, llamados $p$ -subgrupos de Sylow, que nos llevará (para sorpresa de nadie) a los Teoremas de Sylow.

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