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Cálculo Diferencial e Integral I: Derivadas implícitas y de orden superior

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

En esta entrada estudiaremos dos conceptos que probablemente te suenen familiares: las derivadas implícitas y las derivadas de orden superior. Una vez los hayamos comprendido, tendremos muchos más casos en los cuales podremos aplicar la derivada empleando todas las herramientas que se han desarrollado hasta este punto.

Derivadas implícitas

A las funciones que se pueden expresar de la forma $y=f(x)$ definidas en un intervalo las llamamos funciones explícitas; sin embargo, en ocasiones nos encontramos con funciones que no están expresadas de esta forma. Por ejemplo, en un curso de geometría analítica se estudia la ecuación que describe una parábola vertical: $4p(y-k) = (x-h)^2$. Esta forma, la llamaremos función implícita, y aunque en este caso podríamos despejar $y$ para obtener una función explícita, no siempre es posible obtenerla.

Ejemplo 1.

En el siguiente ejemplo, $y$ depende de $x$ y se busca calcular la derivada de $y$.

$$x^3+2x^2y+xy^2+y^3=0.$$

Aunque no tengamos una función explícita, esto no limita la posibilidad de encontrar la derivada de $y$.

\begin{gather*}
(x^3+2x^2y+xy^2+y^3)’=(0)’. \\ \\
(x^3)’+(2x^2y)’+(xy^2)’+(y^3)’ = 0. \\ \\
3x^2+2x^2(y)’+2(x^2)’y+x(y^2)’+(x)’y^2+3y^2y’ = 0. \\ \\
3x^2+2x^2y’+4xy+2xyy’+y^2+3y^2y’=0. \\ \\
\Rightarrow 3x^2+4xy+y^2+ y'(2x^2+2xy+3y^2)=0. \\ \\
\Rightarrow y’ = – \frac{3x^2+4xy+y^2}{2x^2+2xy+3y^2}.
\end{gather*}

Notemos que es complicado saber respecto a que variable estamos derivando, por ello, particularmente para las derivadas implícitas es usual emplear la notación $\frac{dy}{dx} = y’.$

Ejemplo 2. Obtener la derivada implícita $y’ = \frac{dy}{dx}$ de $xsen(y)-cos(2y) = 0$.

\begin{gather*}
\frac{d}{dx} xsen(y)+\frac{d}{dx}cos(3y) = 0. \\ \\
x \frac{d}{dx} sen(y)+ sen(y)\frac{d}{dx} x -sen(3y) \frac{d}{dx} 3y = 0. \\ \\
xcos(y) \frac{dy}{dx} + sen(y)-3sen(3y) \frac{dy}{dx} = 0. \\ \\
\frac{dy}{dx} (xcos(y)-3sen(3y)) = -sen(y). \\ \\
\frac{dy}{dx} = -\frac{sen(y)}{xcos(y)-3sen(3y)}.
\end{gather*}

Derivadas de orden superior

Cuando derivamos una función, tenemos como resultado una nueva función y, por tanto, se podría buscar la derivada de la misma; de esta forma, tal proceso lo podemos hacer iterativamente siempre que la derivada exista y a ello se le conoce como derivadas de orden superior. Así, tenemos la siguiente definición.

Definición. Si $f: A \to \RR$ es una función derivable, entonces se tiene que

$$f'(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

La función $f’$ es derivable, conocida como segunda derivada y denotada como $f^{(2)}$, si el siguiente límite existe

$$f^{(2)}(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}.$$

En general, denotaremos como $f^{(n)}$ a la $n$-ésima derivada de $f$

$$f^{(n)}(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}.$$

La definición anterior resulta bastante natural y es análoga a la definición de derivada que revisamos anteriormente. Al igual que la primera derivada, puede suceder el caso donde las derivadas de orden superior no existan.

Ejemplo 3.

$$f(x) =
\begin{cases}
x^2sen(\frac{1}{x}) & \text{ si } x \neq 0 \\
0 & \text{ si }x = 0.
\end{cases}$$

Notemos que si $x \neq 0$, podemos encontrar un intervalo $I$ tal que si $x \in I$, entonces

$$f(x) = x^2sen \left( \frac{1}{x} \right).$$

Lo cual implica que su derivada es

$$f'(x) = 2xsen \left( \frac{1}{x} \right) – cos \left( \frac{1}{x} \right).$$

Para el caso particular de $x = 0$, se tiene que

\begin{align*}
f'(x) & = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 sen(\frac{1}{x})-0}{x} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} xsen \left( \frac{1}{x} \right) \\ \\
& = 0.
\end{align*}

Por tanto, se tiene que

$$f'(x) = \begin{cases}
2xsen \left( \frac{1}{x} \right) – cos \left( \frac{1}{x} \right) & \text{ si }x\neq 0 \\
0 & \text{ si }x=0.
\end{cases}$$

Observemos que $f’$ no es continua en cero, puesto que, por las propiedades de continuidad, esto implicaría que la función

$$g(x) = \begin{cases}
cos(\frac{1}{x}) & \text{ si } x \neq 0 \\
0 & \text{ si }x=0.
\end{cases}$$

También es continua en cero, sin embargo, esto no sucede ya que el límite de $cos(\frac{1}{x})$ cuando $x \to 0$ no existe (demostración análoga al tercer ejemplo revisado en esta entrada previa). Como $f’$ no es continua en $x=0$, tampoco es derivable en tal punto.

A continuación se tiene un ejemplo donde se muestra el proceso que se sigue para encontrar una derivada de orden superior.

Ejemplo 4. Obtener la cuarta derivada de la función $f(x) = ln(x)+sen(3x)$.

\begin{gather*}
f'(x) = \frac{1}{x} +3cos(3x). \\ \\
f^{(2)}(x) = -\frac{1}{x^2}-9sen(3x). \\ \\
f^{(3)}(x) = \frac{2}{x^3}-27cos(3x). \\ \\
f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4}+91sen(3x).
\end{gather*}

Más adelante…

En la siguiente entrada probaremos dos populares resultados de las funciones que son derivables en un intervalo: el teorema de Rolle y el teorema del valor intermedio.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Encuentra en cada caso la derivada de $y$ respecto a $x$:
    • $\frac{x+y}{x-y}=x+4.$
    • $x^2y^2=ln(xy).$
    • $y = ln(sen(x+y)).$
    • $\frac{y}{tan(xy)} – x = 2.$
  • Encuentra la tercera derivada de las siguientes funciones:
    • $f(x) = 3x^5+2x^3+7x^2+1.$
    • $f(x) = cos(x^3).$
    • $f(x) = sen(x)cos(x).$
    • $f(x) = \frac{ln(x)}{\sqrt{x}}.$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»