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Cálculo Diferencial e Integral I: Derivadas implícitas y de orden superior

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

En esta entrada estudiaremos dos conceptos que probablemente te suenen familiares: las derivadas implícitas y las derivadas de orden superior. Una vez los hayamos comprendido, tendremos muchos más casos en los cuales podremos aplicar la derivada empleando todas las herramientas que se han desarrollado hasta este punto.

Derivadas implícitas

A las funciones $y=f(x)=x^2$ definidas en un intervalo las llamamos funciones explícitas; sin embargo, en ocasiones nos encontramos con funciones que no están expresadas de esta forma, por ejemplo, has revisado en tu curso de geometría analítica la ecuación que describe una circunferencia con centro en el origen con radio unitario: $x^2+y^2=1$. Esta forma, la llamaremos función implícita, y aunque en este caso podríamos despejar para obtener una función explícita $y = \pm \sqrt{x^2-1}$, no siempre es posible obtener la función explícita. Veamos a continuación el siguiente ejemplo:

$$x^3+2x^2y+xy^2+y^3=0$$

Aunque no tengamos una función explícita, esto no limita la posibilidad de encontrar la derivada de $y$.

\begin{gather*}
(x^3+2x^2y+xy^2+y^3)’=(0)’ \\ \\
(x^3)’+(2x^2y)’+(xy^2)’+(y^3)’ = 0 \\ \\
3x^2+2x^2(y)’+2(x^2)’y+x(y^2)’+(x)’y^2+3y^2y’ = 0 \\ \\
3x^2+2x^2y’+4xy+2xyy’+y^2+3y^2y’=0 \\ \\
\Rightarrow 3x^2+4xy+y^2+ y'(2x^2+2xy+3y^2)=0 \\ \\
\Rightarrow y’ = – \frac{3x^2+4xy+y^2}{2x^2+2xy+3y^2}
\end{gather*}

Notemos que es complicado saber respecto a que variable estamos derivando, por ello, particularmente para las derivadas implícitas es usual emplear la notación $\frac{dy}{dx} = y’$

Ejemplo. Obtener la derivada implícita $y’ = \frac{dy}{dx}$ de $xsen(y)-cos(2y) = 0$.

\begin{gather*}
\frac{d}{dx} xsen(y)+\frac{d}{dx}cos(3y) = 0 \\ \\
x \frac{d}{dx} sen(y)+ sen(y)\frac{d}{dx} x -sen(3y) \frac{d}{dx} 3y = 0 \\ \\
xcos(y) \frac{dy}{dx} + sen(y)-3sen(3y) \frac{dy}{dx} = 0 \\ \\
\frac{dy}{dx} (xcos(y)-3sen(3y)) = -sen(y) \\ \\
\frac{dy}{dx} = -\frac{sen(y)}{xcos(y)-3sen(3y)}
\end{gather*}

Derivadas de orden superior

Cuando derivamos una función, tenemos como resultado una nueva función y, por tanto, se podría buscar la derivada de la misma; de esta forma, tal proceso lo podemos hacer iterativamente siempre que la derivada exista y a ello se le conoce como derivadas de orden superior. Así, tenemos la siguiente definición.

Definición. Si $f: A \to \RR$ es una función derivable entonces se tiene que

$$f'(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

Si esta función $f’$, es derivable le llamaremos segunda derivada, denotada como $f^{(2)}$, al límite

$$f^{(2)}(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}$$

En general, denotaremos como $f^{(n)}$ a la $n$-ésima derivada de $f$ si

$$f^{(n)}(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}$$

La definición anterior resulta bastante natural y es un símil a la definición de derivada que revisamos anteriormente. Al igual que la la primera derivada, puede suceder el caso donde las derivadas de orden superior no existen. Consideremos la siguiente función

$$f(x) =
\begin{cases}
x^2sen(1/x) & \text{ si } x \neq 0 \\
0 & \text{ si }x = 0
\end{cases}$$

Notemos que si $x \neq 0$, siempre podemos encontrar un intervalo tal que $x \in I$ tal que para cada punto del intervalo se tiene que

$$f(x) = x^2sen \left( \frac{1}{x} \right)$$

Lo cual implica que su derivada es

$$f'(x) = 2xsen \left( \frac{1}{x} \right) – cos \left( \frac{1}{x} \right) $$

Para el caso particular de $x = 0$, se tiene que

\begin{align*}
f'(x) & = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 sen(1/x)-0}{x} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} xsen(1/x) \\ \\
& = 0
\end{align*}

Por tanto, se tiene que

$$f'(x) = \begin{cases}
2xsen \left( \frac{1}{x} \right) – cos \left( \frac{1}{x} \right) & \text{ si }x\neq 0 \\
0 & \text{ si }x=0
\end{cases}$$

Observemos que $f’$ no es continua en cero, puesto que, por las propiedades de continuidad, esto implicaría que la función

$$g(x) = \begin{cases}
cos(1/x) & \text{ si } x \neq 0 \\
0 & \text{ si }x=0
\end{cases}$$

También es continua en cero, sin embargo esto no sucede ya que el límite de de $cos(1/x)$ cuando $x \to 0$ no existe (demostración análoga al primer ejemplo de esta entrada). Como $f’$ no es continua en $x=0$, tampoco es derivable en tal punto.

A continuación se tiene un ejemplo donde se muestra el proceso que se sigue para encontrar una derivada de orden superior.

Ejemplo. Obtener la cuarta derivada de la función $f(x) = ln(x)+sen(3x)$.

\begin{gather*}
f'(x) = \frac{1}{x} +3cos(3x) \\ \\
f^{(2)}(x) = -\frac{1}{x^2}-9sen(3x) \\ \\
f^{(3)}(x) = \frac{2}{x^3}-27cos(3x) \\ \\
f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4}+91sen(3x)
\end{gather*}

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Deriva respecto a $x$ las siguientes funciones
    • $\frac{x+y}{x-y}=x+4$
    • $x^2y^2=ln(xy)$
    • $y = ln(sen(x+y))$
    • $\frac{y}{tan(xy)} – x = 2$
  • Encuentra la tercera derivada de las siguientes funciones
    • $f(x) = 3x^5+2x^3+7x^2+1$
    • $f(x) = cos(x^3)$
    • $f(x) = sen(x)cos(x)$
    • $f(x) = \frac{ln(x)}{\sqrt{x}}$

Más adelante…

En la siguiente entrada probaremos dos populares resultados de las funciones que son derivables en un intervalo: el teorema de Rolle y el teorema del valor intermedio.

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