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Cálculo Diferencial e Integral II: Criterio de la convergencia absoluta

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la sección anterior vimos las series alternantes y el criterio de Leibniz que es un teorema de convergencia para estas series alternantes, en esta sección veremos el criterio de la convergencia absoluta, para esto definiremos lo que es una serie absolutamente convergente en la siguiente definición.

Definición. La serie $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ es absolutamente convergente si $\sum_{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ es convergente.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

  • $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{5}$$

Sea la sucesión: $a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{5}}$, tomando el valor absoluto de la sucesión obtenemos que:

$$\sum_{n=1}^{\infty }|a_{n}|=\sum_{n=1}^{\infty }\bigg|\frac{(-1)^{n}}{n^{5}}\bigg|=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{5}}$$

Sabemos que la sucesión $b_{n}=\frac{1}{n^{5}}$ es positiva, decreciente y continua en el intervalo $[1, \infty]$, por lo que por el criterio de la integral:

$$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{5}}dx=-\frac{1}{4x^{4}}\bigg{|}_{1}^{\infty}=0+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$$

Como la integral converge, entonces:

$$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{5}} \space converge $$

$\therefore \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{n^{5}}$ La serie es absolutamente convergente.

Ahora veamos cuando una serie se dice que se define como condicionalmente convergente.

Definición: La serie $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ se llama condicionalmente convergente si es convergente, pero no es absolutamente convergente.

Esto sucede cuando $\sum_{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ es divergente.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

  • $$ \sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{n}$$

Sabemos que la serie por $b_{n}=\frac{1}{n}$ es monótonamente decreciente y que:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} =0$$

Por el criterio de Leibniz:

$$ \sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{n} \space converge.$$

Por otro lado, tomando el valor absoluto de la serie:

$$ \sum_{n=1}^{\infty } \bigg{|} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \bigg{|}= \sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}$$

Por P-series como $p=1$ entonces:

$$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n} \space diverge$$

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{n} \space es \space condicionalmente \space convergente$$

Veamos el criterio de la absoluta convergencia.

Criterio de la absoluta convergencia

Teorema. (Criterio de la absoluta convergencia)

Si $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ es absolutamente convergente $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ es convergente.

Demostración:

Por hipótesis tenemos que $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ es absolutamente convergente $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ converge.

Sea $\epsilon > 0$, como $\sum_{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ converge $\Rightarrow \exists \space k \space \varepsilon \space \mathbb{N} $, tal que:

$$\forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N} \space \Rightarrow \bigg||a_{k+1}|+|a_{k+2}|+…+|a_{k+m}|\bigg|<\epsilon$$

Por la desigualdad del triángulo, se tiene que:

$$|a_{k+1}+a_{k+2}+…+a_{k+m}|\leq \bigg||a_{k+1}|+|a_{k+2}|+…+|a_{k+m}|\bigg|$$

$$\therefore |a_{k+1}+a_{k+2}+…+a_{k+n}|<\epsilon$$

Por el teorema de Cauchy se tiene que:

$$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n} \space converge$$

$\square$

Otra manera de ver este teorema es el siguiente:

Si $\sum_{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ es convergente, entonces $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ también es convergente.

Ejemplos

  • $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(n)}{n^{2}}$$

Si aplicamos el valor absoluto, tenemos que:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\bigg{|}\frac{\cos(n)}{n^{2}}\bigg{|}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\cos(n)|}{n^{2}}$$

Puesto que $|\cos(n)|\leq 1$ para toda $n$, entonces tenemos que:

$$\frac{\cos(n)}{n^{2}}\leq \frac{1}{n^{2}}$$

Sabemos que $\frac{1}{n^{2}}$ es convergente, ya que es una p-serie, por el criterio de comparación:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\bigg| \frac{\cos(n)}{n^{2}} \bigg| \space converge$$

Por tanto:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(n)}{n^{2}}$$

Es absolutamente convergente, por el teorema visto anteriormente:

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(n)}{n^{2}} \space converge$$

  • $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}}$$

Tomando el valor absoluto tenemos que:

$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}|(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}}|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$$

Sabemos que la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$ converge por p-series y, por tanto:

$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}}$ es absolutamente convergente, por lo que:

$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}} \space converge$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n^{2}}$$
  2. $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n^{3}}{3^{n}}$$
  3. $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\arctan(n)}{n^{2}}$$
  4. $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2n)!}{2^{n}n!n}$$
  5. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{p}}$$

Más adelante…

En esta sección vimos la definición de cuando serie es absolutamente convergente y condicionalmente en el cual $|a_{n}|$ converge o no, además, vimos el criterio de convergencia absoluta que nos dice que si una serie es absolutamente convergente entonces la serie converge, en la siguiente sección veremos otro tipo de series que son las series de potencias.

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