Introducción
En esta entrada partimos de una relación de equivalencia y con ella definimos al conjunto cociente. Dicho conjunto tendrá como elementos a las clases de equivalencia de una relación. Además probaremos que toda relación de equivalencia induce una partición y viceversa.
Conjunto cociente
A continuación definimos un nuevo conjunto. Como parte de los ejercicios de la tarea moral, se incluye verificar que en efecto esta definición da un conjunto a partir de los axiomas.
Definición. Sea $R$ una relación de equivalencia en $A$. Definimos al conjunto cociente por la relación $R$ como el conjunto:
$A/R=\set{[a]_R: a\in A}$.
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo.
Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $R$ la relación identidad en $A$. Sabemos que $R$ es de equivalencia en $A$. Luego, siguiendo la definición de conjunto cociente tenemos que $A\diagup R=\set{[1]_R, [2]_R, [3]_R, [4]_R}$, donde $[1]_R=\set{1}$, $[2]_R=\set{2}$, $[3]_R=\set{3}$, $[4]_R=\set{4}$.
$\square$
Ejemplo.
Sean $A=\set{1,2,3,4}$ y $R=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,4), (4,1)}$. Se tiene que $R$ es una relación de equivalencia en $A$. Luego, tenemos que
$A\diagup R=\set{[1]_R, [2]_R, [3]_R, [4]_R}$,
donde
- $[1]_R=\set{1,4}$,
- $[2]_R=\set{2}$,
- $[3]_R=\set{3}$,
- $[4]_R=\set{4,1}$, pero este conjunto es igual a $[1]_R$.
Por lo tanto, $A\diagup R=\set{[1]_R, [2]_R, [3]_R}$.
$\square$
Cada relación de equivalencia induce una partición
Teorema. Sea $R$ una relación de equivalencia en $A$. El conjunto cociente $A\diagup R$ es una partición de $A$.
Demostración.
Supongamos que $R$ es una relación de equivalencia en $A$. Veamos que $A\diagup R$ es una partición de $A$.
- Sea $a\in A$, vimos en la entrada de particiones que $[a]_R\not=\emptyset$.
- Sean $[a]_R,[b]_R\in A\diagup R$ tales que $[a]_R\not=[b]_R$ y veamos que $[a]_R\cap [b]_R=\emptyset$. En la entrada anterior probamos que $aRb$ si y sólo si $[a]_R=[b]_R$ lo cual ocurre si y sólo si $[a]_R\cap[b]_R=\emptyset$. De este modo, si $[a]_R\not=[b]_R$, $[a]_R\cap[b]_R=\emptyset$.
- Por último, $\bigcup_{a\in A} [a]_R= A$ pues para cada $a\in A$, $a\in [a]_R$.
$\square$
Este último teorema demuestra que toda relación de equivalencia induce una partición.
Las particiones inducen una relación de equivalencia
El teorema anterior nos permitió probar que cada relación de equivalencia induce una partición y de hecho, esta partición será el conjunto cociente, Podemos preguntarnos si el resultado se cumple «de regreso», en el sentido de si dada una partición podemos inducir una relación de equivalencia. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo.
Este ejemplo es todavía algo informal, pues no hemos introducido formalmente a los números naturales, a los pares y los impares. Haremos esto más adelante. Por el momento, puedes usar lo que ya sabes de los números naturales y de su paridad.
Sea $A=\set{0,1,2, 3, \cdots}$ y sean $A_1=\set{0,2,4,\cdots}$ y $A_2=\set{1,3, 5,\cdots}$. Resulta que $\mathcal{P}$ es una partición de $A$ pues tanto $A_1$ y $A_2$ son conjuntos no vacíos, además $A_1\cap A_2=\emptyset$ y $A_1\cup A_2=A$.
Queremos ver si existe la manera de relacionar a los elementos de $A$ tal que la relación que resulte sea de equivalencia. Consideremos la relación definida como sigue:
$R_\mathcal{P}=\set{(a,b)\in A\times A: a,b\in A_1\vee a,b\in A_2}$.
Notemos que la relación $R_\mathcal{P}$ es una relación en $A$ y además relaciona a los elementos si pertenecen a un mismo conjunto de la partición.
Veamos que $R_\mathcal{P}$ es una relación de equivalencia, para ello verifiquemos si es una relación reflexiva, simétrica y transitiva.
- Sea $a\in A$. Si $a$ es un número par (existe $k$ tal que $a= 2k$), entonces $a\in A_1$ y por lo tanto $(a,a)\in R_\mathcal{P}$.
Si $a$ es un número impar (existe $k$ tal que $a= 2k+1$), entonces $a\in A_2$ y por lo tanto $(a,a)\in R_\mathcal{P}$.
Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación reflexiva. - Supongamos que $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ y veamos que $(b,a)\in R_\mathcal{P}$.
Como $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ entonces $a,b\in A_1$ o $a,b\in A_2$, lo que es equivalente a decir que $b,a\in A_1$ o $b,a\in A_2$, es decir, $(b,a)\in R_\mathcal{P}$.
Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación simétrica. - Supongamos que $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ y $(b,c)\in R_\mathcal{P}$.
Como $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ entonces $a,b\in A_1$ o $a,b\in A_2$. Luego, como $(b,c)\in R_\mathcal{P}$ entonces $b,c\in A_1$ o $b,c\in A_2$. Si $a,b\in A_1$, entonces $b,c\in A_1$, pues de lo contrario $b,c\in A_2$ y, por tanto, $b\in A_1$ al mismo tiempo que $b\in A_2$ y así, $b$ es par e impar, lo cuál no puede ocurrir. Por lo tanto, $b,c\in A_1$, de modo que $a,c\in A_1$ y así, $(a,c)\in R_\mathcal{P}$. Análogamente, si $a,b\in A_2$, entonces, $b,c\in A_2$ y, por tanto, $a,c\in A_2$ y $(a,c)\in R_{\mathcal{P}}$. Por lo tanto $R_\mathcal{P}$ es una relación transitiva.
Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación de equivalencia.
$\square$
Podemos demostrar que esto ocurre para cualquier conjunto y cualquier partición. Veamos el siguiente teorema.
Teorema. Toda partición induce una relación de equivalencia.
Demostración.
Sea $A$ un conjunto y $\mathcal{P}$ una partición de $A$. Defimos a $R_\mathcal{P}$ como el siguiente conjunto:
$R_\mathcal{P}=\set{(a,b)\in A\times A: \exists p\in \mathcal{P}\ \text{tal que}\ a,b\in p}$.
Notemos que $R_\mathcal{P}$ es una relación en $A$ pues es un subconjunto de $A\times A$. Veamos que $R$ es de equivalencia, es decir, $R$ es reflexiva, simétrica y transitiva.
- Sea $a\in A$. Dado que $\mathcal{P}$ es una partición de $A$, entonces $A=\bigcup\mathcal{P}$. Entonces existe $p\in \mathcal{P}$ tal que $a\in p$, de donde $(a,a)\in R_\mathcal{P}$. Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación reflexiva.
- Supongamos que $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ y veamos que $(b,a)\in R_\mathcal{P}$.
Como $(a,b)\in R_\mathcal{P}$, existe $p\in \mathcal{P}$ tal que $a, b\in p$. Lo que es equivalente a decir que existe $p\in \mathcal{P}$ tal que $b,a\in p$, es decir, $(b,a)\in R_\mathcal{P}$. Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación simétrica. - Supongamos que $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ y $(b,c)\in R_\mathcal{P}$.
Como $(a,b)\in R_\mathcal{P}$, existe $p\in \mathcal{P}$ tal que $a, b\in p$. Luego, como $(b,c)\in R_\mathcal{P}$, existe $q\in \mathcal{P}$ tal que $b,c\in q$. Además $p=q$ pues de lo contrario, $p\not= q$ y $b\in p$ al mismo tiempo que $b\in q$ y así, $b\in p\cap q$ lo cual es una contradicción a la definición de partición. Por lo tanto, $p=q$ y así $a,c\in p$, por lo que $(a,c)\in R_\mathcal{P}$. Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación transitiva.
Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación de equivalencia en $A$.
$\square$
Con este último teorema hemos probado que en efecto, así como cada relación de equivalencia induce una partición, se cumple que cada partición induce una relación de equivalencia. Además, estas correspondencias son en cierto sentido «una la inversa de la otra» como explorarás en los ejercicios a continuación.
Tarea moral
La siguiente lista de ejercicios te ayudará a reforzar el contenido de esta entrada:
- Demuestra mediante los axiomas que si $A$ es un conjunto y $R$ es una relación de equivalencia en $A$, entonces $A\diagup R$ es un conjunto.
- Sea $A=\set{1,2,3,4,5,6}$ y $R=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (5,6), (6,5), (4,6), (6,4), (4,5), (5,4)}$ relación de equivalencia en $A$. Determina al conjunto cociente de $A$ con respecto a $R$.
- Demuestra mediante los axiomas que $R_{\mathcal{P}}$ del último teorema en efecto es un conjunto.
- Demuestra lo siguiente, en términos de la notación usada en esta entrada:
- Si $A$ es conjunto y $R$ es relación de equivalencia en $A$, entonces $R_{A\diagup R}=R$.
- Si $A$ es conjunto $\mathcal{P}$ es partición de $A$, entonces $A\diagup R_{\mathcal{P}}=\mathcal{P}$.
- Si $R_1$ y $R_2$ son relaciones de equivalencia en $A$, ya demostramos que $R_1\cap R_2$ también lo es. ¿Cómo es $A\diagup (R_1\cap R_2)$ con respecto a $A\diagup R_1$ y $A\diagup R_2$?
Más adelante…
En la siguiente entrada introduciremos el concepto de orden parcial y de orden total. Estos son otro tipo especial de relaciones. Volveremos a usar las propiedades de reflexividad y transitividad. Sin embargo, tendremos que introducir otras como la asimetría, la antisimetría y la irreflexibilidad.
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»