Puntos Interiores y Cerradura de un Conjunto

Proposición. Para todo subconjunto $A$ de ${\mathbb{R}}^n$ se tiene:

$(1)$ $int(A)\subset A$

Demostración. Si $\overline{a}\in int(A)$ $\mathrm{\exists }$ $r>0$ tal que $B(\overline{a},r)\subset A$ $\therefore$ $int(A)\subset A$

$(2)$ $A\subset \overline{A}$

Demostración. Si $\overline{a}\in A$ $\mathrm{\forall }$ $B(\overline{a},r)$ se tiene que $B(\overline{a},r)\cap A\ne \mathrm{\varnothing }$ $\therefore$ $A\subset \overline{A}$

Lema. Sea $A$ un subconjunto de ${\mathbb{R}}^n$

(1) Si $v\subset A$ y $v$ es abierto entonces $v\subset A^o$

Demostración. Sea $\overline{x}\in v$, como $v$ es abierto $\mathrm{\exists }$ $r>0$ tal que $B(\overline{x},r)\subset v$ y como $v\subset A$ entonces $B(\overline{x},r)\subset A$ esto significa que $\overline{x}$ es un punto interior de $A$ es decir $\overline{x}\in A$.

(2) Si $A\subset F\subset {\mathbb{R}}^n$ y $F$ es cerrado, entonces $\overline{A}\subset F$

Demostración. Para probar que $\overline{A}\subset F$ mostraremos que el complemento de $F$, $F^c$ está contenido en el complemento de ${\overline{A}}^c$ de $\overline{A}$. Sea $\overline{x}\in F^c$ como $F$ es cerrado $F^c$ es abierto, luego $\mathrm{\exists }$ $r>0$ tal que $B(\overline{x},r)\subset F^c$ pero $A\subset F$

$\therefore$ $F^c\subset A^c$ de donde $B(\overline{x},r)\subset A^c$ o sea $B(\overline{x},r)\cap A=\mathrm{\varnothing }$ esto significa que
$\overline{x}$ no es punto adherente de $A$ es decir $\overline{x}\notin \overline{A}$ asi que $\overline{x}\in {\overline{A}}^c$.

Punto de Acumulación

Ejemplo. Sea $A$ un subconjunto arbitrario de ${\mathbb{R}}^n$. Se dice que $\bar{x}\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{n}}$ es un punto de acumulación de A, si toda bola abierta con centro en $\bar{x}$ contiene un punto de A distinto de $\bar{x}$ es decir $$\mathrm{\forall }r>0(B(\bar{x},r)-\bar{x})\bigcap A\ne \mathrm{\varnothing }$$
Al conjunto de puntos de acumulación de A se le denomina el conjunto derivado de A y se le denota $A^a$

Sea $$A=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2<1\}=B((0,0),1)$$
Probaremos que el punto $$(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$$
que no pertenece a $A$, es punto de acumulación de $A$.

Dado $r>0$ se tiene que
$$(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)},\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)})=\frac{1}{\sqrt{2}(r+1)}(1,1)$$
es tal que
$$|\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)},\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)}|=\frac{1}{\sqrt{2}(r+1)}|(1,1)|$$
$$=\frac{1}{\sqrt{2}(r+1)}\sqrt{2}$$
$$=\frac{1}{r+1}$$
$$<1$$

y por lo tanto pertenece a $A$. Por otra parte, se tiene que
$$0<|(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})-(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)},\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)})|$$
$$=|\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)},\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)}|$$
$$=\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)}|(1,1)|$$
$$=\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)}\sqrt{2}$$
$$=\frac{r}{r+1}$$
$$<r$$

de donde concluimos que este punto también pertenece al conjunto

$$B(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},r)-(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$$
y por lo tanto que
$$(B(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},r)-(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}))\bigcap A\ne \mathrm{\varnothing }$$
es decir, que
$$(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$$
es un punto de acumulación de $A$.

Ejemplo. Tenemos
$$A=(a,b)\Rightarrow A^{\prime }=[a,b]$$
$$A=[0,1)-2\Rightarrow A^{\prime }=[0,1]$$
$$A=\{\frac{1}{k}|k\in \mathbb{N}\}\Rightarrow A^{\prime }=\left\{0\right\}$$

Tarea Moral

Sean $A$ y $B$ subconjuntos de ${\mathbb{R}}^n$.

Indica y prueba si las siguientes afirmaciónes son ciertas.

1.- Si $A\subset B$ entonces $\bar{A}\subset \bar{B}$

2.- $\overline{A\cup B}$ = $\bar{A}\cup \bar{B}$

3.- $A$ es cerrado si y sólo si $A\cup A´=\bar{A}$

Sea $A=\{(m,0)\in {\mathbb{R}}^2|m\in \mathbb{Z}\}$

4.- Indica quién es $A^{\prime }$

5.- Indica quién es $\bar{A}$