(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Bajo ciertas condiciones, dadas dos funciones podemos evaluar el resultado de una en otra, es decir aplicar una función seguida de la otra, para formar una nueva función. A esta operación entre funciones se le llama la composición y la estudiaremos en esta entrada. Esta operación nos dará una amplia gama de funciones muy útiles como lo son la composición de las funciones trigonométricas con las funciones lineales. Para motivar el tema trata de obtener la siguiente familia de funciones con geogebra, $sen(kx+t)$, con $k,t\in \mathbb R$, en la que primero mandamos a $x$ a $kx+t$ y luego le aplicamos la función seno; éstas te darán una serie de curvas con las que se pueden describir distintos tipos de ondas. Te invitamos a revisar el recurso de geogebra donde se usa la función seno y se compone con funciones lineales para modelar ondas sonoras, y a darle un vistazo al siguiente video donde se habla de música y matemáticas.
Definición
Sean $A,B,C,D$ conjuntos, $f:A\rightarrow B$, $g:C\rightarrow D$ funciones, con $Im\,f\subseteq C$. Definimos la composición de $f$ seguida de $g$ como:
$$g\circ f:A\to D$$
con regla de correspondencia $g\circ f(x)=g(f(x))$, para todo $ x\in A.$ Observa que escribiremos la composición de derecha a izquierda, aunque existen autores que la escriben de izquierda a derecha.
Ejemplos
1. Sean $f:\mathbb R\to \mathbb R $ y $g:\mathbb R\to \mathbb R $ con
$f(x)=3x^2+1$, $g(x)=2x-1$ para toda $x\in \mathbb R$.
La composición $g\circ f:\mathbb R\to \mathbb R$ manda a cada $x\in \mathbb R$ en
$g\circ f(x)=g(f(x))=g(3x^2+1)=2(3x^2+1)-1=6x^2+1,$
mientras que la composición $f\circ g:\mathbb R\to \mathbb R$ manda a cada $x\in \mathbb R$ en
$f\circ g(x)=f(g(x))=f(2x-1)=3(2x-1)^2+1=12x^2-12x+4.$
2. Sean $\alpha:\set{1,2,3}\to \set{1,2,3}$, $\beta:\set{1,2,3}\to \set{1,2,3}$ con
$\alpha=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\
2 & 3 & 1\end{pmatrix} $
$\beta =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 3\end{pmatrix} $
Las composiciones $\beta\circ \alpha:\set{1,2,3}\to \set{1,2,3}$ y $\alpha\circ \beta:\set{1,2,3}\to \set{1,2,3}$ son
$\beta\circ \alpha=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\
1 & 3 & 2\end{pmatrix} $
$\alpha\circ \beta=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\
3 & 2 & 1\end{pmatrix} $
3. Sean $a,k,t\in \mathbb R.$ Considera las funciones $f:\mathbb R\to \mathbb R $, $g:\mathbb R\to \mathbb R $ con $f(x)=a \, sen(x)$, $g(x)=kx+t$ para toda $x\in \mathbb R.$ Tenemos que $f\circ g:\mathbb R\to \mathbb R $ con $f\circ g(x)=f(g(x))=f(kx+t)=a \, sen(kx+t)$ para toda $x\in \mathbb R.$
En el siguiente recurso de geogebra mueve los deslizadores $a$, $k$ y $t$ para obtener la gráfica de $a \, sen(kx+t)$.
Teorema
Sean $A,B,C,D$ conjuntos, $f:A\to B$, $g:B\to C$ y $h:C\to D$, entonces $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$, es decir la composición es asociativa.
Demostración
Para esta prueba usaremos el hecho de que dos funciones son iguales si tienen el mismo dominio, el mismo codominio, y la misma regla de correspondencia. Empecemos probando que $h\circ (g\circ f) $ y $(h\circ g)\circ f$ tienen el mismo dominio y el mismo codominio.
Como $g\circ f: A\to C$ y $h: C\to D$ entonces $h\circ (g\circ f): A\to D..$
Como $f: A\to B$ y $h\circ g: B\to D$ entonces $(h\circ g)\circ f: A\to D.$
Así, $h\circ (g\circ f ) $ y $(h\circ g)\circ f$ tienen el mismo dominio y el mismo codominio.
Para ver que tienen la misma regla de correspondencia hagamos lo siguiente:
Sea $x\in A$.
Sabemos que $h\circ (g\circ f )(x)=h( g\circ f(x) )=h(g(f(x))).$
Por otro lado, $(h\circ g)\circ f(x)= h\circ g (f(x))=h(g(f(x))).$
Entonces $h\circ (g\circ f )(x)=(h\circ g)\circ f(x)$ para toda $x\in A$.
Así, $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ .
$\square$
Definición
Sea $A$ un conjunto. La función identidad en $A$ es:
$id_A:A\to A$
con regla de correspondencia $id_A(x)=x$ para toda $ x\in A$.
Proposición
Sean $A,B$ conjuntos, $f:A\to B$ una función. Se cumple que:
- $f\circ id_A=f,$
- $id_B\circ f=f.$
Demostración
Demostración de 1
Por demostrar que $f\circ id_A=f$.
$f\circ id_A$ y $f$ tienen dominio $A$ y codominio $B$.
Vamos a ver que tienen la misma regla de correspondencia.
Sea $x\in A$. De acuerdo a la definición de composición $f\circ id_A(x)=f(id_A(x))$ y por definición de identidad tenemos que $f(id_A(x))=f(x)$. Concluimos que $f\circ id_A(x)=f(x)$.
Así, $f\circ id_A$ y $f$ tienen el mismo dominio, el mismo condominio y la misma regla de correspondencia, por lo tanto $f\circ id_A=f$.
Demostración de 2
$id_B\circ f$ y $f$ tienen dominio $A$ y codominio $B$.
Sea $x\in A$. De acuerdo a la definición de composición $id_B\circ f(x)=id_B(f(x))$ y por definición de la función identidad tenemos que $id_B(f(x))=f(x)$. Concluimos que $id_B\circ f(x)=f(x)$.
Así, $id_B\circ f$ y $f$ tienen el mismo dominio, el mismo condominio y la misma regla de correspondencia, por lo tanto $id_B\circ f=f$.
$\square$
El siguiente ejemplo aparece en el libro de Avella y Campero, mencionado en la bibliografía, Ejemplo 4.54.
Ejemplo
$f:\mathbb R\to [0,\infty)$, $x\longmapsto x^2$
$g:[0,\infty)\to \mathbb R$, $x\longmapsto +\sqrt{x}$
$f\circ g:[0,\infty)\to [0,\infty)$
$f\circ g(x)=f(g(x))=f(+\sqrt{x} )=( +\sqrt{x} )^2=x$
$g\circ f:\mathbb R\to \mathbb R $
$g\circ f(x)=g(f(x))=g(x^2)=+\sqrt{x^2} =|x|$
Observa el siguiente clip
Aquí $f\circ g=id_{[0,\infty)}$, pero $g\circ f\neq id_{\mathbb R}$.
En el siguiente recurso de geogebra cambia los valores de $f$ y $g$, observa cómo son $f\circ g$ y $g\circ f$.
Tarea Moral
1. Considera las funciones
$f:\mathbb R\to \mathbb R$ con $f(x)=x^2+5$
$g:\mathbb R^+\to \mathbb R$ con $g(x)=\frac{3}{x}-1.$
Calcula, si es posible, las composiciones $g\circ f$ y $f\circ g$:
2. ¿Existirán dos funciones $f$ y $g$ de $\mathbb R$ a $\mathbb R$ tales que $f\neq g$ pero $g\circ f=f\circ g$?
3. $f:\set{5,6,7}\to \set{0,2,4,6}$, $f(5)=0$, $f(6)=4$, $f(7)=6$,
$g:\set{ 0,2,4,6 }\to \set{5,6,7}$, $g(0)=g(2)=5$, $g(4)=6$, $g(6)=7$.
Calcula las composiciones $g\circ f$ y $f\circ g$ . ¿Qué puedes decir del comportamiento de las composiciones? ¿Y si ahora $g(2)=7$?
Más adelante
En la siguiente nota hablaremos del concepto de función inversa y daremos condiciones para que una función sea invertible.
Enlaces relacionados
Enlace a la nota anterior. Nota 8. Imagen directa e inversa de una función.
Enlace a la nota siguiente. Nota 10. Función inversa.