(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En ésta y la siguiente nota formalizaremos la noción intuitiva que tenemos acerca del tamaño de los conjuntos. Para ello usaremos las funciones. Diremos que dos conjuntos son equipotentes si existe una función biyectiva entre ellos y estableceremos qué significa que un conjunto sea finito. Probaremos el principio de la suma que nos habla de el número de elementos de la unión de dos conjuntos finitos y ajenos, con este resultado demostraremos un importante corolario que nos habla del número de elementos de la unión de dos conjuntos finitos cuando los conjuntos no son necesariamente ajenos.

Definición

Sean $A$ y $B$ conjuntos. Decimos que $A$ tiene la misma cardinalidad que $B$ o que $A$ es equipotente con $B$ si existe una función biyectiva de $A$ en $B$ y lo denotaremos por:

$A\sim B$

Ejemplos.

1. $A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\}$ son equipotentes ya que $f:A\to B$ con $f(n)=\frac{1}{n}$ $\mathrm{\forall }n\in A$ es una función biyectiva.

2. $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}$ y ${\mathbb{N}}^{+}=\{1,2,3,\dots \}$.

¿Son $\mathbb{N}$ y ${\mathbb{N}}^{+}$ conjuntos equipotentes?, ¿ $\mathbb{N}\sim {\mathbb{N}}^{+}$?

La función $f:\mathbb{N}\to {\mathbb{N}}^{+}$ dada por $f(n)=n+1$ $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ es inyectiva, pues si $n,m\in \mathbb{N}$ son tales que $f(n)=f(m),$ entonces $n+1=m+1$ y así $n=m$.

Además es suprayectiva pues si $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ con $n\ne 0$, sabemos por un ejercicio de la nota 16 que $n=m^{+}=m+1$ para alguna $m\in \mathbb{N}$, entonces $f(m)=m+1=n$ con $m\in \mathbb{N}$.

Concluimos que $\mathbb{N}\sim {\mathbb{N}}^{+}$.

3. Sea $P=\{n\in \mathbb{N}\mid nespar\}=\{2m\mid m\in \mathbb{N}\}$

¿Los naturales son equipotentes a $P$?

La función $f:\mathbb{N}\to P$ dada por $f(m)=2m$ $\mathrm{\forall }m\in \mathbb{N}$ es una biyección así $\mathbb{N}\sim P.$

Tarea moral, demuéstralo.

4. ¿Qué dices de los números naturales y los enteros?, ¿$\mathbb{N}\sim \mathbb{Z}$?

Considera la siguiente función $f:\mathbb{N}\to \mathbb{Z}$:

$f(n)=\{\begin{array}{lcc}\frac{n}{2}& si& nespar\\ \\ \frac{-n+1}{2}& si& nesimpar\end{array}$

$f$ es biyectiva, así $\mathbb{N}\sim \mathbb{Z}$.

Tarea moral, demuéstralo.

5. El intervalo $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ es equipotente a $\mathbb{R}$.

Considera la función tangente, la función tangente es biyectiva en ese intervalo.

Tarea moral, investiga las propiedades de la función tangente para que te convenzas de lo anterior.

Nota

Se puede probar que:

Si $n\in {\mathbb{N}}^{+}$, todo subconjunto de $\{1,\dots ,n\}$ es finito y tiene a lo más $n$ elementos.

Si $A$ es un conjunto finito con $n$ elementos, entonces todo subconjunto de $A$ es finito y tiene a lo más $n$ elementos.

La demostración puede verse en el libro de Avella y Campero mencionado en la bibliografía, corolario 6.9 y corolario 6.12, páginas 244 y 246.

Debido a lo anterior podemos establecer la siguiente definición.

Definición

Si $A$ es un conjunto, decimos que $A$ es finito si $A=\mathrm{\varnothing }$ o existe $n\in {\mathbb{N}}^{+}$, tal que $A\sim \{1,\dots ,n\}$. El número de elementos de $A$ es cero en el primer caso y $n$ en el segundo caso.

Si $A$ no es finito decimos que $A$ es infinito.

Notación

$\mathrm{\#}\mathrm{\varnothing }=\mid \mathrm{\varnothing }\mid =0$, $\mathrm{\#}A=\mid A\mid =n.$

En este caso si $f:\{1,\dots ,n\}\to A$ denotamos a $f(i)$ por $a_i$ y así $A=\{a_1,\dots ,a_n\}$ con $a_i\ne a_j$ para toda $i\ne j$.

Observación

Dados $A$ y $B$ conjuntos finitos: $A\sim B$ si y sólo si $\mathrm{\#}A=\mathrm{\#}B$.

Recordemos que dos conjuntos son ajenos o disjuntos si su intersección es vacía, ver la nota 4. Veamos ahora qué ocurre con el número de elementos de la unión de dos conjuntos finitos y ajenos.

Teorema: principio de la suma.

Sean $A$ y $B$ conjuntos finitos con $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$, entonces $A\cup B$ es finito y $\mathrm{\#}A\cup B=\mathrm{\#}A+\mathrm{\#}B$.

Demostración

Sean $A$ y $B$ conjuntos finitos con $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$. Sean $n=\mathrm{\#}A$ y $m=\mathrm{\#}B$, $f:\{1,\dots ,n\}\to A$, $g:\{1,\dots ,m\}\to B$ biyecciones.

Definimos:

$h:\{1,2,\dots ,n,n+1,n+2,\dots ,n+m\}\to A\cup B$

con

$h(i)=\{\begin{array}{lcc}f(i)& si& i\in \{1,\dots ,n\}\\ \\ g(k)& si& i=n+kconk\in \{1,\dots ,m\}\end{array}$

Veamos que $h$ es suprayectiva.

Sea $c\in A\cup B$, entonces $c\in A$ o $c\in B$.

Caso 1 $c\in A$

Como $f$ es suprayectiva existe $i\in \{1,\dots ,n\}$, tal que $f(i)=c$, así $h(i)=f(i)=c.$

Caso 2 $c\in B$

Como $g$ es suprayectiva existe $k\in \{1,\dots ,m\}$, tal que $g(k)=c$, así $h(n+k)=g(k)=c$.

por lo tanto $h$ es suprayectiva

Veamos que $h$ es inyectiva.

Sean $i,j\in \{1,\dots ,n+m\}$, tales que $h(i)=h(j)$

Por demostrar que $i=j$

Caso 1

$i,j\in \{1,\dots ,n\}.$

Por definición de $h$ tenemos que:

$f(i)=h(i),f(j)=h(j)$

Por hipótesis tenemos que

$h(i)=h(j)$

y por lo tanto

$f(i)=f(j).$

Como $f$ es inyectiva tenemos que $i=j.$

Caso 2

$i,j\in \{n+1,\dots ,n+m\}.$

En este caso tenemos que $i=n+k$ y $j=n+q$ para algunos $k,q\in \{1,\dots ,m\}.$

Por hipótesis tenemos que

$h(i)=h(j),$

así obtenemos las siguientes igualdades

$h(n+k)=h(i)=h(j)=h(n+q)$

Por definición de $h$ tenemos que

$h(n+k)=g(k)$ y $h(n+q)=g(q)$

De lo que se deduce que

$g(k)=h(n+k)=h(i)=h(j)=h(n+q)=g(q).$

Entonces $g(k)=g(q)$, y como $g$ es inyectiva entonces $k=q$ y por lo tanto $i=n+k=n+q=j$. Así, $i=j$.

Caso 3

$i\in \{1,\dots ,n\}$ y $j\in \{n+1,\dots ,n+m\}$

En este caso $j=n+k$ para algún $k\in \{1,\dots ,m\}.$

Observa que:

$h(i)=f(i)\in A$ y que $h(j)=f(n+k)=g(k)\in B.$

Como $h(i)=h(j)$ entonces $h(i)\in A\cap B$ pero esto es una contradicción a nuestra hipótesis de que $\mathrm{\varnothing }=A\cap B$, por lo tanto no ocurre este caso.

Caso 4

$j\in \{1,\dots ,n\}$ y $i\in \{n+1,\dots ,n+m\}$

Es similar al caso anterior y por lo tanto tampoco ocurre.

Por lo tanto $h$ es inyectiva.

Tenemos entonces que $h:\{1,2,\dots ,n,n+1,n+2,\dots ,n+m\}\to A\cup B$ es una función biyectiva lo que nos permite concluir que $A\cup B$ es finito y $\mathrm{\#}A\cup B=n+m$. Finalmente, $\mathrm{\#}A\cup B=n+m=\mathrm{\#}A+\mathrm{\#}B$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Nota

La generalización del resultado anterior, llamado principio generalizado de la suma, se enuncia como sigue:

Si $A_1,\dots ,A_t$ son conjuntos finitos tales que $A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }$ $\mathrm{\forall }i\ne j$, entonces su unión es finita y $\mathrm{\#}{A}_1\cup \dots \cup A_t=\mathrm{\#}{A}_1+\dots +\mathrm{\#}{A}_t$.

Corolario

Sean $A,B$ conjuntos finitos, entonces $A\cup B$ es finito y $\mathrm{\#}A\cup B=\mathrm{\#}A+\mathrm{\#}B-\mathrm{\#}A\cap B$.

Demostración

Sean $A$ y $B$ conjuntos finitos, y sean $n=\mathrm{\#}A$ y $m=\mathrm{\#}B.$

Observemos que

$A\cup B=A\cup (B\setminus A)$ con $A\cap (B\setminus A)=\mathrm{\varnothing }$

y que

$B=(B\setminus A)\cup (A\cap B)$ con $(B\setminus A)\cap (A\cap B)=\mathrm{\varnothing }$.

Así, por el teorema anterior tenemos que:

$\mathrm{\#}A\cup B=\mathrm{\#}A+\mathrm{\#}(B\setminus A)$

y

$\mathrm{\#}B=\mathrm{\#}(B\setminus A)+\mathrm{\#}(A\cap B)$

Despejando $\mathrm{\#}(B\setminus A)$ de la expresión anterior tenemos que

$\mathrm{\#}(B\setminus A)=\mathrm{\#}B-\mathrm{\#}(A\cap B).$

Sustituyendo $\mathrm{\#}B\setminus A$ en $\mathrm{\#}A\cup B=\mathrm{\#}A+\mathrm{\#}(B\setminus A)$ tenemos lo que buscábamos.

$\mathrm{\#}A\cup B=\mathrm{\#}A+\mathrm{\#}B-\mathrm{\#}A\cap B.$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Tarea Moral

1. Realiza la prueba de la equipotencia entre conjuntos para los ejemplos $3$ y $4$ e investiga las propiedades de la función tangente para entender el ejemplo $5$.

2. En cada inciso demuestra que los siguientes conjuntos $A$ y $B$ son equipotentes:

i) $A=\mathbb{N}$ y $B=\{3,9,27,\dots \}$.

ii) $A=\mathbb{N}$ y $B=\{\dots ,-5,-4,-3\}$.

iii) $A=\{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}$ y $B=\{x\in \mathbb{R}\mid x<0\}$.

3. Demuestra que $\mathbb{Z}$ es equipotente con el conjunto $\{\dots ,-12,-8,-4,0,4,8,12,\dots \}$.

4. Prueba que los siguientes intervalos de recta real son equipotentes:

• $(0,1)$ y $(0,4)$
• $(0,4)$ y $(-6,-2)$
• $(0,1)$ y $(0,\pi )$
• $(0,\pi )$ y $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$
  Reflexiona
  ¿El intervalo $(0,1)$ es equipotente con cualquier intervalo $(a,b)$ con $a<b$?
  ¿Cualesquiera dos intervalos abiertos de la recta son equipotentes?

5. Prueba las siguientes propiedades de la equipotencia:

• Sea $A$ un conjunto, entonces $A\sim A$.
• Sean $A$ y $B$ conjuntos, si $A\sim B$ entonces $B\sim A.$
• Sean $A,B,C$ conjuntos, si $A\sim B$ y $B\sim C$ entonces $A\sim C.$

7. Sean $A$ y $B$ conjuntos finitos. Prueba que $A\sim B$ si y sólo si $\mathrm{\#}A=\mathrm{\#}B$.

8. Sean $A$ y $B$ conjuntos finitos. Demuestra que:

• Si $\mathrm{\#}A=0$, entonces $A=\mathrm{\varnothing }.$
• Si $A\subseteq B$ y $\mathrm{\#}A=\mathrm{\#}B$ entonces $A=B.$

9. Ve el siguiente video sobre la paradoja de los hoteles infinitos del matemático David Hilbert.

Más adelante

En la siguiente nota analizaremos el número de elementos del producto cartesiano de dos conjuntos finitos, veremos también que las funciones inyectivas (o suprayectivas) entre dos conjuntos finitos de la misma cardinalidad son también funciones suprayectivas (inyectivas respectivamente) y por lo tanto biyectivas.

Enlaces relacionados

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Nota anterior. Nota 18b. Demostraciones por inducción de las propiedades de las operaciones de los números naturales.

Nota siguiente. Nota 20. Principio del producto, funciones entre conjuntos finitos.