(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En ésta y la siguiente nota analizaremos el tamaño de los conjuntos, los vamos a comparar mediante funciones, veremos que son equivalentes si existe una función biyectiva entre ellos, hablaremos de la cardinalidad o número de elementos de un conjunto. Probaremos el principio de la suma que nos habla de la cantidad de elementos que se obtienen cuando unes dos conjuntos finitos y ajenos, con este resultado demostraremos un importante corolario que nos habla de la cantidad de elementos en la unión cuando los conjuntos no son ajenos.
Definición
Sean $A$ y $B$ conjuntos. Decimos que $A$ tiene la misma cardinalidad que $B$ o que $A$ es equipotente con $B$ si existe una función biyectiva de $A$ en $B$ y lo denotaremos por:
$A\sim B$
Ejemplos.
1. $A=\set{1,2,3,4}$, $B=\set{1,\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}}$ son equipotentes ya que $f:A\to B$ con $f(n)=\frac{1}{n}$ $\forall n\in A$ es una función biyectiva.
2. $\mathbb N=\set{0,1,2,3,\dotsc}$ y $\mathbb N^+=\set{1,2,3,\dotsc}$.
¿Son $\mathbb N$ y $\mathbb N^+$ conjuntos equipotentes?, ¿ $\mathbb N\sim \mathbb N^+$?
La función $f:\mathbb N \to \mathbb N^+$ dada por $f(n)=n+1$ $\forall n\in\mathbb N$ es inyectiva, pues si $n,m\in \mathbb N$ son tales que $f(n)=f(m),$ entonces $n+1=m+1$ y así $n=m$.
Además es suprayectiva pues si $n\in \mathbb N^+$, $n>0$, así $n-1\geq 0$ y entonces $n-1\in \mathbb N$ y $f(n-1)=(n-1)+1=n$.
Y así $\mathbb N\sim \mathbb N^+$.
3. Sea $P=\set{n\in \mathbb N\mid n\, \, es \, \, par}=\set{2m\mid m\in \mathbb N}$
¿Los naturales son equipotentes a $P$?
La función $f:\mathbb N \to P$ dada por $f(m)=2m$ $\forall m\in \mathbb N$ es una biyección así $\mathbb N\sim P.$
Tarea moral, demuéstralo.
4. ¿Qué dices de los números naturales y los enteros?, ¿$\mathbb N\sim \mathbb Z$?
Considera la siguiente función $f:\mathbb N \to \mathbb Z$:
$f(n)= \left\{ \begin{array}{lcc}
\frac{n}{2} & si & n\,\,es\,\,par \\
\\ \frac{-n+1}{2} & si & n\,\,es\,\,impar
\end{array}
\right.$
$f$ es biyectiva, así $\mathbb N\sim \mathbb Z$.
Tarea moral, demuéstralo.
5. El intervalo $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ es equipotente a $\mathbb R$.
Considera la función tangente, la función tangente es biyectiva en ese intervalo.
Tarea moral, demuéstralo.
Definición
Si $A$ es un conjunto, decimos que $A$ es finito si $A=\emptyset$ o existe $n\in\mathbb N^+$, tal que $A\sim \set{1,\dotsc,n}$. El cardinal o número de elementos de $A$ es cero en el primer caso y $n$ en el segundo caso.
Si $A$ no es finito decimos que $A$ es infinito.
Notación
$\#\emptyset=\mid\emptyset\mid=0$, $\#A=\mid A\mid=n.$
En este caso si $f:\set{a,\dotsc,n}\to A$ denotamos a $f(i)$ por $a_i$ y así $A=\set{a_1,\dotsc,a_n}$ con $a_i\neq a_j$ $\forall i\neq j$.
Nota
Lo anterior está bien definido ya que se puede probar que:
Si $n\in\mathbb N^+$, todo subconjunto de $\set{1,\dotsc,n}$ es finito y tiene a lo más $n$ elementos.
Si $A$ es un conjunto finito con $n$ elementos, entonces todo subconjunto de $A$ es finito y tiene a lo más $n$ elementos.
La demostración puede verse en el libro de Avella y Campero mencionado en la bibliografía, corolario 6.9 y corolario 6.12
Observación
Dados $A$ y $B$ conjuntos finitos: $A\sim B$ si y sólo si $\#A= \#B$.
Teorema: principio de la suma.
Sean $A$ y $B$ conjuntos finitos con $A\cap B=\emptyset$, entonces $A\cup B$ es finito y $\#A\cup B=\#A+\#B$.
Demostración
Sean $A$ y $B$ conjuntos finitos con $A\cap B=\emptyset$. Sean $n=\#A$ y $m=\#B$, $f:\set{1,\dotsc,n}\to A$, $g:\set{1,\dotsc,m}\to B$ biyecciones.
Definimos:
$h:\set{1,2,\dotsc,n,n+1,n+2,\dotsc,n+m }\to A\cup B$
con
$h(i)= \left\{ \begin{array}{lcc}
f(i) & si & i\in\set{1,\dotsc,n} \\
\\ g(k) & si & i=n+k\,\,con\,\,k\in\set{1,\dotsc,m}
\end{array}
\right.$
Veamos que $h$ es suprayectiva.
Sea $c\in A\cup B$, entonces $c\in A$ o $c\in B$.
Caso 1 $c\in A$
Como $f$ es suprayectiva existe $i\in \set{1,\dotsc,n}$, tal que $f(i)=c$, así $h(i)=f(i)=c.$
Caso 2 $c\in B$
Como $g$ es suprayectiva existe $k\in \set{1,\dotsc,m}$, tal que $g(k)=c$, así $h(n+k)=g(k)=c$.
Y por lo tanto $h$ es suprayectiva
Veamos que $h$ es inyectiva.
Sean $i,j\in \set{1,\dotsc,n+m}$, tales que $h(i)=h(j)$
Por demostrar que $i=j$
Caso 1
$i,j\in \set{1,\dotsc,n}.$
Por definición de $h$ tenemos que:
$f(i)=h(i), f(j)=h(j)$
Por hipótesis tenemos que
$h(i)=h(j)$
y por lo tanto
$f(i)=f(j).$
Como $f$ es inyectiva tenemos que $i=j.$
Caso 2
$i,j\in \set{n+1,\dotsc,n+m}.$
En este caso tenemos que $i=n+k$ y $j=n+q$ para algunos $k,q\in \set{1,\dotsc,m}.$
Por hipótesis tenemos que
$h(i)=h(j),$
así obtenemos las siguientes igualdades
$h(n+k)=h(i)=h(j)=h(n+q)$
Por definición de $h$ tenemos que
$h(n+k)=g(k)$ y $h(n+q)=g(q)$
De lo que se deduce que
$g(k)=h(n+k)=h(i)=h(j)=h(n+q)=g(q).$
Entonces $g(k)=g(q)$, y como $g$ es inyectiva entonces $k=q$ y por lo tanto $i=n+k=n+q=j. Así $i=j$.
Caso 3
$i\in \set{1,\dotsc,n}$ y $j\in \set{n+1,\dotsc,n+m}$
En este caso $j=n+k$ para algún $k\in \set{1,\dotsc,m}.$
Observa que:
$h(i)=f(i)\in A$ y que $h(j)=f(n+k)=g(k)\in B.$
Como $h(i)=h(j)$ entonces $h(i)\in A\cap B$ pero esto es una contradicción a nuestra hipótesis de que $\emptyset =A\cap B$, por lo tanto no ocurre este caso.
Caso 4
$j\in \set{1,\dotsc,n}$ y $i\in \set{n+1,\dotsc,n+m}$
Es similar al caso anterior y por lo tanto tampoco ocurre.
Por lo tanto $h$ es inyectiva y así $A\cup B$ es finito y $\#A\cup B=\#A+\#B$, que es lo que queríamos probar.
$\square$
Nota
La generalización del resultado anterior, llamado principio generalizado de la suma, se enuncia como sigue:
Si $A_1,\dotsc,A_t$ son conjuntos finitos tales que $A_i\cap A_j=\emptyset$ $\forall i\neq j$, entonces su unión es finita y $\#A_1\cup\dotsc \cup A_t= \#A_1+\dotsc +\#A_t$.
Corolario
Sean $A,B$ conjuntos finitos, entonces $A\cup B$ es finito y $\#A\cup B=\#A+\#B- \#A\cap B$.
Demostración
Sean $A$ y $B$ conjuntos finitos, y sean $n=\#A$ y $m=\#B.$
Observemos que
$A\cup B=A\cup(B\setminus A)$ con $A\cap(B\setminus A)=\emptyset$
y que
$B=(B\setminus A)\cup (A\cap B)$ con $ (B\setminus A)\cap (A\cap B)=\emptyset$.
Así por el teorema anterior tenemos que:
$\#A\cup B=\#A+\#(B\setminus A)$
y
$\#B=\#(B\setminus A)+\# (A\cap B)$
Despejando $ \#(B\setminus A)$ de la expresión anterior tenemos que
$\#(B\setminus A)=\#B -\# (A\cap B).$
Sustituyendo $\#B\setminus A$ en $\#A\cup B=\#A+\#(B\setminus A)$ tenemos lo que buscábamos.
$\#A\cup B=\#A+\#B- \#A\cap B.$
$\square$
Tarea Moral
1. Realiza la prueba de la equipotencia entre conjuntos para los ejemplos 3, 4 y 5 de la definición de equipotencia.
2. En cada inciso demuestra que los siguientes conjuntos $A$ y $B$ son equipotentes:
i) $A=\mathbb N$ y $B=\set{3,9,27,\dotsc}$.
ii) $A=\mathbb N$ y $B=\set{\dotsc,-5,-4,-3}$.
iii) $A=\set{x\in \mathbb R\mid x>0}$ y $B=\set{x\in \mathbb R\mid x<0}$.
3. Demuestra que $\mathbb Z$ es equipotente con el conjunto $\set{\dotsc,-12,-8,-4,0,4,8,12, \dotsc}$.
4. Sea $f:\mathbb N\to \mathbb Z$ dada por:
$f(n)= \left\{ \begin{array}{lcc}
\frac{n}{2} & si & n\,\,es \,\, par \\
\\ \frac{-n+1}{2} & si & n\,\,es \,\, impar
\end{array}
\right.$
Prueba que $f$ es biyectiva y por lo tanto $\mathbb N\sim \mathbb Z$.
5. Prueba que los siguientes intervalos de recta real son equipotentes:
- $(0,1)$ y $(0,4)$
- $(0,4)$ y $(-6,-2)$
- $(0,1)$ y $(0,\pi)$
- $(0,\pi)$ y $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
Reflexiona
¿El intervalo $(0,1)$ es equipotente con cualquier intervalo $(a,b)$ con $a<b$?
¿Cualesquiera dos intervalos abiertos de la recta son equipotentes?
6. Prueba las siguientes propiedades de la equipotencia:
- Sea $A$ un conjunto, entonces $A\sim A$.
- Sean $A$ y $B$ conjuntos, si $A\sim B$ entonces $B\sim A.$
- Sean $A,B,C$ conjuntos, si $A\sim B$ y $B\sim C$ entonces $A\sim C.$
7. Sean $A$ y $B$ conjuntos finitos. Prueba que $A\sim B$ si y sólo si $\#A=\#B$.
8. Sean $A$ y $B$ conjuntos finitos. Demuestra que:
- Si $\#A=0$, entonces $A=\emptyset.$
- Si $A\subseteq B$ y $\#A=\#B$ entonces $A=B.$
9. Ve el siguiente video sobre el cuento de los hoteles infinitos del matemático David Hilbert.
Más adelante
En la siguiente nota probaremos de qué tamaño es el producto cartesiano de dos conjuntos finitos, veremos también que las funciones inyectivas entre dos conjuntos finitos de la misma cardinalidad hacen de estas funciones suprayectivas, y por lo tanto biyectivas.
Enlaces relacionados
Nota anterior. Nota 18. El principio de inducción matemática.
Nota siguiente. Nota 20. Principio del producto, funciones entre conjuntos finitos.