(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota analizaremos las definiciones de lo que es una función inyectiva o uno a uno, suprayectiva, cuando el codominio y la imagen coincide, y las biyectivas, aquellas funciones que son inyectivas y suprayectivas al mismo tiempo. Terminaremos mostrando que el hecho de tener una función invertible es equivalente a ser una función biyectiva.

Definición

Sean $A$, $B$ conjuntos, $f:A\to B$ una función. Decimos que $f$ es una función inyectiva si para cada $x_1$, $x_2$ $\in A$ se tiene que:

$x_1\ne x_2$ implica que $f(x_1)\ne f(x_2)$

o de modo equivalente

$f(x_1)=f(x_2)$ implica que $x_1=x_2.$

Ejemplo 1

En este ejemplo veremos cómo aplicar la definición de inyectividad para mostrar cuándo una función es inyectiva.

Sea $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=\frac{x}{x-1}$

Sean $x_1,x_2\in \mathbb{R}\setminus \{1\}$ tales que $f(x_1)=f(x_2)$

$f(x_1)=f(x_2)$ $⟹$

$\frac{x_1}{x_1-1}=\frac{x_2}{x_2-1}$ $⟹$

$x_1(x_2-1)=x_2(x_1-1)$ $⟹$

$x_1{x}_2-x_1=x_2{x}_1-x_2$ $⟹$

$-x_1=-x_2$ $⟹$

$x_1=x_2.$

Por lo tanto $f$ es inyectiva.

Ejemplo 2

En este ejemplo veremos cómo aplicar la definición de inyectividad para mostrar cuándo una función no es inyectiva.

Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^2$. Sean $-2$ y $2$. Se tiene que $f(-2)=(-2{)}^2=4=2^2=f(2)$. Si $f$ fuera inyectiva, para cada $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ se tendría que $f(x_1)=f(x_2)$ implicaría que $x_1=x_2$. Sin embargo, $f(-2)=f(2)$ con $-2\ne 2$. Concluimos entonces que $f$ no es inyectiva.

Notemos que para comprobar que una función $f$ no es inyectiva, basta con mostrar $x_1,x_2$ elementos distintos en el dominio de $f$ tales que $f(x_1)=f(x_2).$

Definición

Sean $A$, $B$ conjuntos, $f:A\to B$ una función. Decimos que $f$ es una función suprayectiva si para toda $y\in B$ existe $x\in A$ tal que $f(x)=y$, o de modo equivalente $Imf=B$.

Ejemplo 3

En este ejemplo veremos cómo aplicar la definición de suprayectividad para mostrar cuándo una función es suprayectiva.

Sea $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}\setminus \{0\}$ dada por $f(x)=\frac{1}{x-2}$.

¿La función es suprayectiva?, ¿para toda $y\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$, existe $x\in \mathbb{R}\setminus \{2\}$ tal que $f(x)=y$?

Consideremos entonces $y\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ y veamos si podemos hallar $x\in \mathbb{R}\setminus \{2\}$ tal que $f(x)=y$, pero de acuerdo a la regla de correspondencia de $f$ esto equivale a que $\frac{1}{x-2}=y.$ Analizando

$\frac{1}{x-2}=y\iff 1=y(x-2)\iff \frac{1}{y}=x-2\iff \frac{1}{y}+2=x.$

Notemos que la segunda equivalencia es posible gracias a que $y\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ y por lo tanto $y\ne 0$. Además, $\frac{1}{y}+2\ne 2$ pues si $\frac{1}{y}+2=2$ tendríamos que $\frac{1}{y}=0$ y en consecuencia que $1=y(0)=0$ lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, para cada $y\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ hemos hallado $x=\frac{1}{y}+2\in \mathbb{R}\setminus \{2\}$ tal que $f(x)=y$, probando con ello que $f$ es suprayectiva.

Ejemplo 4

En este ejemplo veremos cómo aplicar la definición de suprayectividad para mostrar cuándo una función no es suprayectiva.

$f:\mathbb{R}\setminus \{-5\}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=\frac{2}{x+5}+1$

¿La función es suprayectiva?, Para toda $y\in \mathbb{R}$, ¿existe $x\in \mathbb{R}\setminus \{-5\}$ tal que $f(x)=y$?

Supongamos que sí es suprayectiva, entonces para toda $y\in \mathbb{R}$, existe $x\in \mathbb{R}\setminus \{-5\}$ tal que $f(x)=1=y$. Analizando

$y=\frac{2}{x+5}+1\iff y-1=\frac{2}{x+5}.$

En este punto notamos que hay dos opciones, $y=1$ o $y\ne 1$. Notemos que para $y=1$ completando las equivalencias anteriores tendríamos

$1=\frac{2}{x+5}+1\iff 0=\frac{2}{x+5}\iff 0(x+5)=2\iff 0=2,$

pero $0\ne 2$ así que concluimos que no existe $x\in \mathbb{R}\setminus \{-5\}$ tal que $f(x)=1$ y, por lo tanto, $f$ no es suprayectiva.

Notemos que para mostrar que una función no es supreyectiva basta exhibir algún $y$ en el codominio de $f$ tal que no exista $x$ en el dominio de $f$ con $f(x)=y$.

Definición

Sean $A,B$ conjuntos $f:A\to B$ una función. Decimos que $f$ es biyectiva si $f$ es inyectiva y suprayectiva.

Teorema

Una función es invertible si y sólo si es biyectiva.

Demostración

$⟹$ Demostración de la implicación de ida

Supongamos que $f$ es invertible.

Por demostrar que es biyectiva.

Como $f$ es invertible, existe $f^{-1}:B\to A$ la inversa de $f$.

Veamos que $f$ es inyectiva.

Sean $x_1,x_2\in A$ tales que $f(x_1)=f(x_2)$

Como $f(x_1)=f(x_2)$ y $f^{-1}$ es una función sabemos que $f^{-1}(f(x_1))=f^{-1}(f(x_2))$, lo que por la definición de composición de funciones es equivalente a que $f^{-1}\circ f(x_1)=f^{-1}\circ f(x_2).$ Pero debido a que $f^{-1}$ es la función inversa de $f$ tenemos que $i{d}_A(x_1)=i{d}_B(x_2)$ y por la regla de correspondencia de las funciones identidad esto equivale a que $x_1=x_2.$

Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

Para ver que $f$ es suprayectiva, sea $y\in B$ y veamos que hay un elemento $x$ en $A$ tal que $f(x)=y$. Consideremos $f^{-1}(y)\in A$, al aplicarle $f$ tenemos que:

$f(f^{-1}(y))=f\circ f^{-1}(y)=i{d}_B(y)=y$.

Así, $f$ es suprayectiva.

$⟸$ Demostración de la implicación de regreso

Supongamos que $f$ es biyectiva

Por demostrar que es invertible.

Dado $y\in B$, por ser $f$ suprayectiva, existe $x\in A$ tal que $f(x)=y$, además como $f$ es inyectiva dicha $x$ es única, llamémosle $x_y$.

Definimos $g:B\to A$ con $g(y)=x_y$, donde $x_y$ es el único elemento de $A$ tal que $f(x_y)=y$.

Como $g$ asigna a cada $y\in B$ un único elemento de $A$, entonces $g$ es una función.

Veamos ahora que $g$ es una inversa de $f$.

Dado $y\in B$ se tiene que

$f\circ g(y)=f(g(y))=f(x_y)=y$, y así $f\circ g=i{d}_B.$

Dado $x\in A$ se tiene que

$g\circ f(x)=g(f(x))=x_{f(x)}$, el único elemento en $A$ que bajo $f$ nos da $f(x)$, pero $x\in A$ es tal que bajo $f$ da $f(x)$. Así, $x_{f(x)}=x$ y entonces $g\circ f(x)=x$, por lo tanto, $g\circ f=i{d}_A$.

Así, $g$ es una inversa de $f$ y concluimos que $f$ es invertible.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Tarea Moral

1. Prueba o da un contraejemplo:

i) Sean $f:A\to B$, $g:B\to C$ tales que $g\circ f$ es inyectiva, ¿Es $f$ necesariamente inyectiva?

ii) Sean $f:A\to B$, $g:B\to C$ tales que $g\circ f$ es inyectiva, ¿Es $g$ necesariamente inyectiva?

2. Prueba o da un contraejemplo:

i) Sean $f:A\to B$, $g:B\to C$ tales que $g\circ f$ es suprayectiva, ¿Es $f$ necesariamente suprayectiva ?

ii) Sean $f:A\to B$, $g:B\to C$ tales que $g\circ f$ es suprayectiva, ¿Es $g$ necesariamente suprayectiva ?

3. Determina si las siguientes funciones son inyectivas, suprayectivas o biyectivas.

i) $f:\mathbb{R}\to (-\mathrm{\infty },3]$ con $f(x)=x^2+3$

ii) $f:[1,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty })$ con $f(x)=4(x-1{)}^2$

iii) $f:\{x\in \mathbb{R}\mid x\ne -\frac{5}{3}\}\to \mathbb{R}$ con $f(x)=\frac{1}{3x+5}$.

iv) $f:\{x\in \mathbb{R}\mid x\ne 7\}\to \{x\in \mathbb{R}\mid x\ne 1\}$ con $f(x)=\frac{1}{x-7}+1$.

Más adelante

En la siguiente nota daremos algunos teoremas referentes a la composición de funciones inyectivas con inyectivas y suprayectivas con suprayectivas.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

• Enlace a la nota anterior. Nota 10. Función inversa.
• Enlace a la nota siguiente. Nota 12. Teoremas de la composición de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.