(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

No nos rompamos tanto la cabeza, desde que estamos en educación preescolar hemos estado trabajando con ellos, colocamos objetos con alguna característica común o no y consideramos esa colección como una unidad.

De esta manera podemos dar una definición intuitiva de lo que es un conjunto:

Definición (intuitiva)

Un conjunto es una colección de objetos considerada como un todo, y los objetos que pertenecen a un conjunto son sus elementos.

La pertenencia es una relación binaria que se aplica entre los objetos de la teoría de conjuntos.

Notación:

$x\in A$ indica que $x$ es un elemento del conjunto $A$, mientras que la negación $x\notin A$ indica que $x$ no es un elemento de $A$ . Se acostumbra escribir a los elementos del conjunto entre llaves, separados por una coma.

Para poder trabajar con los conjuntos de forma adecuada, debemos establecer reglas llamadas axiomas que nos permitan saber cuándo una colección será considerada un conjunto. Veremos sólo algunos de ellos para darnos una idea de qué tipo de reglas son las que se establecen en la teoría de conjuntos. Por ahora mencionemos los siguientes:

Axioma del conjunto vacío

Podemos construir un conjunto que no tenga elementos, se llamará el conjunto vacío, se denotará por $\emptyset$ o por $\{\}$.

Notemos que, dado que el conjunto vacío no tiene elementos, se tiene que $\emptyset\notin \emptyset$ y, de manera más general, para todo conjunto $a$ se tiene que $a\notin \emptyset$.

Axioma del par

Dados dos objetos $C$ y $D$ podemos construir un conjunto que tiene por elementos exactamente a $C$ y $D$, denotado por $\set{C,D}$. En particular, si $C=D$ se puede formar el conjunto unitario cuyo único elemento es $C$, que se denota por $\{C\}$.

En general si $C_1,…,C_n$ son objetos, podemos construir el conjunto $\set{ C_1,…,C_n }$ .

Cabe señalar que todos los objetos que trabajaremos serán conjuntos, así que todo elemento de un conjunto es a su vez un conjunto.

Como veremos más adelante, los números naturales serán conjuntos y resultarán ser distintos como conjuntos cuando sean distintos como números, ver la sección 5.1, página 207, del libro de Avella y Campero que se menciona en la bibliografía de este curso.

Ejemplo:

1. Consideremos el conjunto vacío, $\emptyset$. Podemos formar el conjunto unitario cuyo único elemento es el conjunto vacío que se denota por $\{\emptyset\}$. En este caso tenemos que $\emptyset\in\{\emptyset\}$.
2. Consideremos el conjunto cuyos elementos son $\emptyset$ y $\{\emptyset\}$, es decir el conjunto $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$. En este caso tenemos que $\emptyset\in\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ y $\{\emptyset\}\in\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$.
3. Consideremos el conjunto cuyo único elemento es el unitario del vacío, es decir el conjunto $\{\{\emptyset\}\}$. En este caso tenemos que $\{\emptyset\}\in\{\{\emptyset\}\}$.
4. Dados los números $4$ y $7$ formamos el conjunto que tiene a éstos como elementos y lo denotamos como $\set{4,7}$. Observa que: $4\in \set{4,7}$ y $7\in \set{4,7}$. Formemos ahora un conjunto que tiene como elementos al conjunto $\set{4,7}$ y al número $6$, denotado por $\set{\set{4,7},6}$. Entonces, $\set{4,7}\in \set{\set{4,7},6}$ y $6\in \set{\set{4,7},6}$.
5. Considera el conjunto formado por los números $2$ y $3$, denotado por $\set{2,3}$. Ahora considera al conjunto formado por los números $3$, $9$ y $11$, es decir el conjunto $,\set{\,3,9,11\,}$. Formemos después al conjunto que tiene por elementos a los números $33$, $1$ y al conjunto $\set{\,3,9,11\,}$ que se denota por $\set{\,33,1,\set{\,3,9,11\,}\,}$. Finalmente sea $A$ el conjunto cuyos elementos son exactamente el conjunto $\set{2,3}$, el número $4$ y el conjunto $\set{\,33,1,\set{\,3,9, 11\,}\,}$, es decir, $$A=\set{\,\set{2,3},4,\set{\,33,1,\set{\,3,9, 11\,}\,}\,}.$$ Notemos entonces que, dado que los elementos de $A$ son el conjunto $\set{2,3}$, el número $4$ y el conjunto $\set{\,33,1,\set{\,3,9, 11\,}\,}$, podemos afirmar que $\set{2,3}\in A$, $4\in A$ y $\set{\,33,1,\set{\,3,9,11\,}\,}\in A$.

Los conjuntos se pueden describir a partir de propiedades que caracterizan a sus elementos.

Ejemplos:

1. $\set{\,x \mid x=1 \,\,o\,\, x=2}=\set{1,2}$.
2. $\set{\,x \mid x \, \text{es un número tal que $x^2=1$}}=\set{1,-1}$.
3. $\set{\,x \mid x\neq x}$ es un conjunto sin elementos, es decir es el conjunto vacío, es decir, $\set{\,x \mid x\neq x}=\{\}=\emptyset$.
4. $A=\set{2,-7,\frac{1}{4},5,\pi}$.

En general, si una propiedad $P$ describe a los elementos del conjunto $A$ escribimos:

$A=\set{x \mid x\, \text{cumple $P$}}$

¿Toda propiedad $P$ define un conjunto?

Si cualquier propiedad $P$ puede definir un conjunto, en particular la propiedad de no pertenecer a sí mismo debería determinar un conjunto.

Así, consideremos la colección $C = \set{ x \mid x \notin x }$, formado por todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos.

Si $C$ es un conjunto es razonable preguntarse si $C$ pertenece o no a sí mismo. Analicemos entonces ambas posibilidades.

Si $C \in C$, entonces $C$ es un elemento de sí mismo y, por lo tanto, tiene que cumplir la propiedad que caracteriza a sus elementos, así que $C \notin C$.

Si $C \notin C$, $C$ cumple la propiedad que caracteriza a los elementos de $C$ y, por lo tanto, $C \in C$.

En cualquiera de ambos casos hemos llegado a que $C \in C$ y $C \notin C$. Esto contradice la lógica matemática clásica, pues sólo una de las aseveraciones es cierta: $C \in C$ o $C \notin C$. Esto es una paradoja, es decir una contradicción a la que se llega mediante un razonamiento lógico. Fue encontrada por el filósofo y matemático Bertrand Russell en la teoría de conjuntos que desarrollaba el matemático Georg Cantor. En honor a él se le conoce como la paradoja de Russell.

Así, no toda propiedad define un conjunto y por ello se tiene la necesidad de establecer las reglas o axiomas que mencionamos, para saber qué colecciones sí se considerarán un conjunto.

Definición

Dada una propiedad $P$ decimos que $\set{x \mid x\, \text{cumple $P$}}$ es la colección o clase formada por todos los objetos que cumplen la propiedad $P$.

Nota que todo conjunto es una clase, pero, por lo dicho anteriormente, no toda clase será considerada un conjunto. Esto puede verse con más claridad en la tarea moral.

Tarea Moral

Ve el siguiente video:

Más adelante

Es necesario determinar cuándo dos conjuntos son iguales y para ello es importante entender qué es lo que nos interesará de los conjuntos. Intuitivamente lo que determina a un conjunto son sus elementos, no el orden en que aparecen , ni si se escribe un mismo elemento varias veces. Para lograr formalizar esta idea requerimos el concepto de subconjunto por lo que en la siguiente nota veremos más objetos de la teoría de conjuntos que se obtienen de considerar colecciones formadas al elegir algunos elementos de un conjunto dado, además será la primera entrada donde haremos afirmaciones y las probaremos.

Entradas relacionadas

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Nota siguiente del curso: Nota 2. Subconjuntos.

Nota. Las imágenes mostradas para ilustrar los conjuntos no fueron de diseño propio, y se da las gracias a: https://www.spanish.cl/ por sus divertidos dibujos. Se deja el link de donde se obtuvieron: https://www.spanish.cl/vocabulario/animales-de-la-granja.htm.