Modelo de epidemia básico con álgebra lineal y Python

Introducción

En esta entrada voy a platicar de una forma en la que se puede plantear un modelo de epidemia básico usando álgebra lineal. Es un modelo bastante simple, sin embargo a partir de él se pueden verificar varias de las lecciones que hemos estado aprendiendo durante la crisis del coronavirus. A grandes rasgos, haremos algunas suposiciones razonables para plantear una epidemia como un modelo de Markov.

Ya que hagamos esto, estudiaremos dos escenarios posibles: en el que la gente sale de sus casas y en el que la gente se queda en sus casas. Para ello usaremos las librerías NumPy y Matplotlib de Python para hacer las cuentas y generar bonitas gráficas como la siguiente:

Gráfica de evolución de la población con contagio bajo, bajo las suposiciones de nuestro modelo de epidemia básico
Ejemplo del tipo de gráficas que obtendremos en la entrada

En particular, veremos que incluso de este modelo simple se notan contrastes importantes en ambos escenarios. En particular, se puede deducir la importancia de #QuédateEnCasa para retrasar el contagio y no saturar los sistemas de salud.

Advertencia: De ninguna forma esta entrada pretende modelar, específicamente, la evolución del coronavirus. Para ello hay expertos trabajando en el tema, y están usando modelos mucho más sofisticados que el que platicaré. Esta entrada es, en todo caso, una introducción al tema y ayuda a explicar, poco a poco, algunos de los argumentos que se usan en modelación matemática de epidemias.

Suposiciones y modelo tipo Markov

Comenzemos a plantear el modelo de epidemia básico. Pensemos en una enfermedad imaginaria, que se llama “Imagivid” y en un territorio imaginario que se llama “Imagilandia”, donde la población inicial es de 100,000 habitantes sanos, en el día 0.

Vamos a pensar que una persona puede estar en alguno de los siguientes cinco estados:

  • Sano
  • Síntomas leves
  • Síntomas graves
  • Recuperado
  • Fallecido

Para cada día n, consideremos el vector

    \[X(n)=(s(n),l(n),g(n),r(n),f(n))\]

de 5 entradas cuyas entradas son los sanos, de síntomas leves, de síntomas graves, recuperados y fallecidos al día n. Por ejemplo al día 0 dijimos que todos están sanos, así que X(0)=(100000,0,0,0,0).

Haremos las siguientes suposiciones de cómo se pasa de un estado a otro

  • Los únicos fallecidos del periodo de tiempo que tendremos son por Imagivid. Sólo se puede fallecer de ello tras tener síntomas graves. Si alguien tiene síntomas graves, entonces tiene cierta probabilidad g_f de fallecer al día siguiente, g_r de recuperarse y por lo tanto 1-g_r-g_f de quedarse como enfermo grave.
  • Imagivid se contagia de persona a persona, y de un día a otro una persona tiene probabilidad s_l de pasar de estar sana a tener síntomas leves. No se puede pasar directamente a tener síntomas graves, recuperarse o morir. De modo que se queda sana de un día a otro con probabilidad 1-s_l
  • Si una persona tiene síntomas leves, tiene probabilidad l_g de pasar a tener síntomas graves y l_r de pasar a recuperarse. Por lo tanto, tiene probabilidad 1-l_g-l_r de quedarse con síntomas leves.
  • Una persona que se recupera desarrolla inmunidad a Imagivid, así que se queda en ese estado.
  • Una persona que fallece, se queda en ese estado.

En otras palabras, tenemos el siguiente diagrama de cómo se pasa de tener un estado a otro, en donde los números en las flechas muestran la probabilidad de pasar de un estado a otro:

Diagrama de probabilidades de transición entre estados en el modelo de epidemia básico
Diagrama de probabilidades de transición

En lenguaje técnico, estamos modelando a la epidemia como un proceso de Markov. Sin embargo, no es necesario entender toda la teoría de procesos de Markov para entender lo que sigue, pues la idea es bastante intuitiva.

Con estos números y suposiciones, podemos entender, en valor esperado, cómo será el vector de población

    \[X(n+1)=(s(n+1), l(n+1), g(n+1), r(n+1), f(n+1))\]

si sabemos cómo es el vector

    \[X(n)=(s(n), l(n), g(n), r(n), f(n)).\]

Por ejemplo, podemos esperar que la cantidad de recuperados al día n+1 sea

    \[r(n+1)=l_r \cdot l(n)+ g_r \cdot g(n) + 1 \cdot r(n),\]

pues de los de síntomas leves del día n habrá una proporción l_r de ellos que se recuperen, de los graves del día n habrá una proporción g_r de ellos que se recuperen, y todos los recuperados del día n se quedan recuperados. De esta forma, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones de lo que podemos esperar:

    \begin{align*}s(n+1)&=(1-s_l) \cdot s(n)\\l(n+1)&=s_l \cdot s(n) + (1-l_r-l_g) \cdot l(n)\\g(n+1)&= l_g \cdot l(n) + (1-g_r-g_f) \cdot g(n)\\ r(n+1)&=l_r \cdot l(n) + g_r \cdot g(n) + 1 \cdot r(n)\\ f(n+1)&=g_f \cdot g(n) + 1 \cdot f(n),\end{align*}

Este sistema de ecuaciones se puede escribir de una forma mucho más compacta. Si definimos la matriz

    \[A=\begin{pmatrix} 1-s_l & 0 & 0 & 0 & 0 \\s_l & 1-l_r-l_g & 0 & 0 & 0 \\0 & l_g & 1-g_r-g_f & 0 & 0 \\ 0 & l_r & g_r & 1 & 0\\ 0 & 0 & g_f & 0 & 1 \end{pmatrix},\]

las ecuaciones anteriores se pueden abreviar simplemente a

    \[X(n+1)=AX(n).\]

De esta forma, si queremos entender qué esperar del día n, basta hacer la multiplicación matricial X(n)=A^n X(0).

Un ejemplo concreto en Python

El modelo de epidemia básico que planteamos arriba depende de cinco parámetros:

  • s_l, la probabilidad de pasar de estar sano a tener síntomas leves,
  • l_g, la probabilidad de pasar de tener síntomas leves a graves,
  • l_r, la probabilidad de pasar de tener síntomas leves a recuperarse,
  • g_r, la probabilidad de pasar de tener síntomas graves a recuperarse y
  • g_f, la probabilidad de pasar de tener síntomas graves, a fallecer.

Hagamos un ejemplo concreto, en el que estos parámetros para Imagivid son los siguientes: s_l=0.30, l_g=0.10, l_r=0.20, g_r=0.10 y g_f=0.10. En “la vida real”, para hacer una modelación correcta se tienen que estimar estos parámetros de lo que ya se sepa de la enfermedad.

Si ponemos estos valores, la matriz que obtenemos es la siguiente:

    \[A=\begin{pmatrix} 0.7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0.3 & 0.7 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0.1 & 0.8 & 0 & 0 \\ 0 & 0.2 & 0.1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0.1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\]

Vamos a usar la fórmula que obtuvimos en la sección anterior para entender cómo va evolucionando la epidemia de Imagivid. Para no hacer las cuentas a mano, usaremos Python. Trabajaremos con Python 3 y usaremos Numpy (para las cuentas de matrices) y Matplotlib (para visualizar gráficas). En el siguiente código definimos la población inicial, los parámetros de transición y la matriz de la sección anterior.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# En cada momento tendremos un vector
# de la distribución de la población
# (sanos, sintomas leves, sintomas graves,
# recuperados, fallecidos)

# Población inicial
x_0=(100000,0,0,0,0)

# Definimos las probabilidades de
# transición

S_L = 0.30
L_G = 0.10
L_R = 0.20
G_R = 0.10
G_F = 0.10

# Definimos la matriz A
A=np.array([[1-S_L,0,0,0,0],[S_L,1-L_G-L_R,0,0,0],[0,L_G,1-G_R-G_F,0,0],[0,L_R,G_R,1,0],[0,0,G_F,0,1]])

Vamos a estudiar la evolución de Imagivid por 60 días. Por ello, vamos a hacer un bucle en Python que calcule cómo son los vectores de población de todos estos 60 días. Para empezar a entender cómo funciona nuestro modelo de epidemia, también pediremos que muestre los valores para los días 1, 2 y 3.

# Encontramos la evolución de la
# epidemia los primeros 60 días
evolution=[x_0]
for j in range(60):
    evolution.append(np.matmul(A,evolution[-1]))
# Mostramos lo que pasa los primeros
# 3 días
for j in range(1,4):
    print(evolution[j])

Los valores que obtenemos son

    \begin{align*}X_1 &= (70000,30000,0,0,0)\\X_2 &= (49000, 42000, 3000, 6000)\\X_3 &= (34300, 44100, 6600, 14700, 300).\end{align*}

Esto nos dice que al primer día hay 70000 sanos y 30000 con síntomas leves. En los primeros dos días no hay fallecidos, pues de acuerdo a nuestro modelo de epidemia un habitante primero debe presentar síntomas leves, luego graves y luego ya tal vez fallece. Al día 3 el modelo predice 300 fallecidos.

Esto son sólo tres días, pero sería bueno poder entender qué sucede en todo el periodo de 60 días. Para ello, vamos a pedir a Python que nos muestre una gráfica de cómo evoluciona la población a través del tiempo. Para ello hacemos lo siguiente

# Hacemos gráfica para mostrar la evolución de todo el tiempo
plt.plot([j[0] for j in evolution], label="Sanos")
plt.plot([j[1] for j in evolution], label="Síntomas leves")
plt.plot([j[2] for j in evolution], label="Síntomas graves")
plt.plot([j[3] for j in evolution], label="Recuperados")
plt.plot([j[4] for j in evolution], label="Fallecidos")
plt.title("Evolución de la población, contagio=0.30")
plt.legend()
plt.show()

Obtenemos la siguiente imagen

Evolución de la población con contagio 0.30

La gráfica tiene sentido es de esperarse que, tras cierta cantidad de tiempo, ya sólo haya habitantes recuperados y fallecidos. Notemos que hay un momento el el que la población con síntomas leves es de aproximadamente 40,000 habitantes y que la población con síntomas graves llega a ser, en algún momento, como de 12,000 habitantes.

¿Qué sucede al final de nuestro periodo de estudio? Si le pedimos a Python que nos de las últimas dos entradas del vector de población al día 60,

#Mostramos recuperados y fallecidos al último día
print(evolution[-1][3])
print(evolution[-1][4])

obtenemos \sim 83,333 recuperados y \sim 16,666 fallecidos al día 60, de modo que en este escenario la epidemia cobró 16,666 vidas de Imagilandia. De hecho una observación muy importante, viendo la gráfica, es que ya se tenía prácticamente esta cantidad de víctimas desde el día 30.

Disminuir la tasa de infección para retrasar la epidemia

Antes de que sucediera la tragedia, las autoridades de Imagilandia estudiaron el modelo de epidemia que acabamos de mencionar y se dieron cuenta de que tenían que tomar una acción inmediata para mejorar la situación. Decidieron que una cosa muy importante para que la situación mejorara era pedirle a la gente que se quedara en sus casas lo más posible, pues con ello se disminuiría la tasa de contagio. Para ello sacaron la campaña #QuédateEnCasa. Las personas hicieron caso.

Habiendo más personas sanas y enfermas en su propia casa, ahora ni los enfermos pueden contagiar a sanos, ni los sanos estar expuestos a enfermos. Así, una persona sana ahora tiene menor probabilidad de estar enferma al día siguiente. Supongamos que s_l pasa de ser 0.30 a ahora ser 0.05. De esta forma, ahora tenemos una nueva matriz que ayuda a calcular la evolución de la pandemia:

    \[A=\begin{pmatrix} 0.95 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0.05 & 0.7 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0.1 & 0.8 & 0 & 0 \\ 0 & 0.2 & 0.1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0.1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\]

Vamos a pedirle de nuevo a Python que haga las cuentas para los primeros 60 días bajo las suposiciones de nuestro modelo de epidemia y que nos muestre una gráfica de la evolución de la población.

# Definimos las probabilidades de transición, que son iguales salvo que ahora la tasa de contagio es menor, y por lo tanto S_L es menor

S_L = 0.05
L_G = 0.10
L_R = 0.20
G_R = 0.10
G_F = 0.10

# Definimos la matriz A
A=np.array([[1-S_L,0,0,0,0],[S_L,1-L_G-L_R,0,0,0],[0,L_G,1-G_R-G_F,0,0],[0,L_R,G_R,1,0],[0,0,G_F,0,1]])

evolution2=[x_0]
for j in range(60):
    evolution2.append(np.matmul(A,evolution2[-1]))

plt.plot([j[0] for j in evolution2], label="Sanos")
plt.plot([j[1] for j in evolution2], label="Síntomas leves")
plt.plot([j[2] for j in evolution2], label="Síntomas graves")
plt.plot([j[3] for j in evolution2], label="Recuperados")
plt.plot([j[4] for j in evolution2], label="Fallecidos")
plt.title("Evolución de la población, contagio=0.05")
plt.legend()
plt.show()

La gráfica que obtenemos es la siguiente:

Evolución de la población con contagio 0.05

Una cosa fantástica en este escenario es que nunca hay muchas personas enfermas simultáneamente. En el peor día, parece haber como 12,000 personas enfermas con síntomas leves, y parece que nunca hay más de 6000 personas con síntomas graves. ¿Qué sucede con la mortalidad? Si le pedimos a Python que nos diga el número de habitantes recuperados y fallecidos al día 60,

print(evolution2[-1][3])
print(evolution2[-1][4])

obtenemos \sim 78,419 recuperados y \sim 15,438 fallecidos. Esto es ligeramente mejor que en la situación anterior, en donde había \sim 16,000 fallecidos. Donde sí hay una diferencia es en lo que sucede al día 30. Si pedimos a Python que nos muestre la cantidad de fallecidos al día 30 en ambos escenarios obtenemos lo siguiente.

print(evolution[30][4])
print(evolution2[30][4])

En el primer escenario, en el que la gente no se queda en casa, al día 30 tenemos \sim 16,493 fallecidos, que es prácticamente ya todos los que habrá. Cuando la gente se queda en casa, al día 30 sólo hay \sim 10,963, una buena parte menos.

Esto parece estar mejor, sin embargo, el tiempo va a seguir pasando, y de todas formas llegaremos al día 60, en donde ambos escenarios son muy parecidos ¿Por qué entonces todo el esfuerzo de pedirle a la gente que se quede en casa, si la diferencia es mínima? Porque el tiempo es oro.

La carrera contra el tiempo

Hay muchas razones por las cuales es conveniente retrasar la epidemia de Imagivid en Imagilandia, aunque el modelo sencillo que mostramos arriba muestre qe a los 60 días parecería que habrá la misma cantidad de fallecidos.

Primero, es importante retrasar los contagios pues existe la posibilidad de que los científicos de Imagilandia entiendan mejor a Imagivid y, por ejemplo, desarrollen una vacuna o un tratamiento. ¿Qué sucedería si los científicos encuentran una cura al día 30? En el primer escenario sólo se salvan unas \sim 150 vidas, pero en el segundo escenario se salvan unas \sim 4,500, osea, unas \sim 4350 más. En otras palabras, en el primer escenario el desarrollo científico llega demasiado tarde.

Segundo, también es importante retrasar la epidemia pues permite tener el número de casos simultáneos bajo control. Esto ya lo discutimos un poco arriba, pero pidamos a Python una gráfica más, para poder discutirlo de manera más clara. Supondremos, además, que Imagilandia cuenta con solamente 6000 camas de hospital en donde se pueden tratar los casos severos de Imagivid, y le pediremos a Python que ponga esto como una línea horizontal.

plt.plot([j[1] for j in evolution2], color="green", linestyle=":", label="Leves, Contagio=0.05")
plt.plot([j[2] for j in evolution2], color="green", label="Severos, Contagio=0.05")
plt.plot([j[1] for j in evolution], color="red", linestyle=":", label="Severos, Contagio=0.30")
plt.plot([j[2] for j in evolution], color="red", label="Severos, Contagio=0.30")
plt.hlines(6000,0,60, color="black", label="Capacidad sistema salud")
plt.title("Enfermos a través del tiempo")
plt.legend()
plt.plot()

Obtenemos la siguiente gráfica:

Comparación de enfermos leves y graves. Rojo es con alto contagio y verde con bajo.

Cuando la gente sí se queda en sus casas y la tasa de contagio es baja (en verde), siempre hay suficiente espacio en el sistema de salud para tratar a a los enfermos graves.

Cuando la gente no se queda en sus casas y la tasa de contagio es alta (en rojo), notemos que los casos severos sobrepasan al sistema de salud. Aproximadamente entre los días 3 y 15 se tienen muchos enfermos graves que no podrán ser atendidos correctamente. Por ejemplo, al día 9 hay aproximadamente \sim 6000 enfermos graves por encima de la capacidad del sistema de salud. Sin atención médica, probablemente en vez de que sólo fallezcan el 10\% de ellos (según nuestro modelo), fallecerán casi todos, dando 5400 víctimas más que no hemos contado.

De esta forma, siguiendo los consejos de quedarse en casa, la población de Imagilandia puede salvar, potencialmente, \sim 4350 personas por la vacuna y \sim 5400 personas por evitar saturar el sistema de salud, osea, salvar unas \sim 9750 vidas. Para ello es necesario que las autoridades hagan el llamado a quedarse, y que la población de Imagilandia haga caso. De aquí la importancia del #QuédateEnCasa.

Más contenido

Todo el código de Python del modelo lo corrí en una libreta de Jupyter. Puedes ver una versión en PDF de todo el código a continuación.

Si quieres el archivo de Jupyter para jugar con el modelo, puedes obtenerlo en el GitHub del proyecto: https://github.com/leomtz/linear-epidemid.

El modelo de epidemia que presentamos es una aplicación muy sencilla de álgebra lineal. En este blog hemos estado subiendo material de un curso de álgebra lineal que se imparte en la UNAM, y que ahora estamos impartiendo a distancia por la contingencia. A continuación ponemos el enlace a este curso y a otro material que te puede interesar.

21 comentarios en “Modelo de epidemia básico con álgebra lineal y Python

  1. Adolfo Valderrama Bielich

    Profesor Leonardo Martinez. Lo felicito por el estudio ofrecido. Le escribe Adolfo Valderrama Bielich. Nací en Lima, Perú, estudié Economía en la U de Lima y emigré a los EEUU en el 2002. Del 2016 al 2019 enseñe Matematicas en High School en Colorado, EEUU con licencia del estado de Colorado y ahora vendo paneles solares. He seguido de cerca las estadísticias de la pandemia con estas 3 páginas: https://ourworldindata.org/coronavirus?fbclid=IwAR0c_PRnaNYo9n5hK3E2Rqxf-DaJzLMd2xewmDNdrFWw12UUWtJpPFko5EI https://www.worldometers.info/coronavirus/country/us/ y http://covid19.healthdata.org/?fbclid=IwAR0SduMK5_R-XO6LP2JMtsbbR_1EjZXeBcd8pg7bU1FPQNhggjtWtTGZsz0. He trabajado con Desmos.com modelos de funciones bruja de agnes y Gaussianas. Por ejemplo para el total mundial de contagiados, he desarrollado estas funciones: https://www.desmos.com/calculator/zu3uh1ungu?fbclid=IwAR1A2ypmdnAx3DiSEkcqtBTv-tIgunPfLbcSGl8_Swo39WXhj25PgF3INJk que es consistente, pero como no conosco el ciclo porque depende es la suma de todos los paises y todavia no se sabe el de los EEUU, todavia no puedo predecir el total, pero si esta funcionando para Italia, España y Holanda. Como puedo hacer funciones de agnes y Gauss en Phyton? Atentos saludos Adolfo Valderrama Bielich.

    Responder
    1. LeoLeo Autor

      Hola Adolfo. Gracias por la aportación de páginas. Aunque ojo, como enuncio en la entrada, mi objetivo nunca ha sido modelar al Covid.

      No estoy muy seguro de en qué sentido se quieren usar funciones de Agnes o de Gauss para modelar la epidemia. Pero sí que se pueden hacer en Python. Recomendaría que le echaras un ojo a la documentación de NumPy, pues tiene mucha información de como usar diversas funciones.

      Responder
  2. Álvaro

    Muchas gracias por el aporte Leonardo, lo anterior permite manejar mejor los escenarios y así poder entender que es lo mejor para todos.

    Responder
  3. Jorge Eduardo Sanchez

    Si se incluyera probabilidad condicional para pasar de leve a grave y de grave a f, podría también utilizarse Markov?
    La tercera ecuación en el Sistema de ecuaciones debe utilizer g(n) en lugar de l(n).

    Muchas gracias por el ejempo

    Responder
      1. Jorge Eduardo Sanchez

        Perfecto! mi duda era entonces si ya la estabas contemplando, no supe plantear la pregunta.

  4. Manuel Lorenzo Ferrán Purcell

    Encuentro que hay un pequeño error en la ecuación para g(n+1), pues entiendo que el último término en el lado derecho debe tener el factor g(n), no l(n).

    Buen trabajo. Sencillo y elegante.

    Responder
    1. LeoLeo Autor

      Hola Jose. Es una buena pregunta. Podrías usar una columna para cada uno de los cinco estados , y en cada fila poner la fórmula que dependa de los estados de la fila anterior. Ya que tengas la cantidad de pasos que quieras, puedes hacer una gráfica en donde cada columna sea una función.

      Responder
      1. Jose Rivera

        Gracias Leo, hay alguna forma en la que me puedas mostrar cómo realizar la gráfica en la herramienta de Excel?

      2. LeoLeo Autor

        Hola José. No tengo mucho tiempo para explicarlo. Pero como búsquedas, te puedo sugerir buscar en internet “cálculos recursivos en Excel”, “recursiones en Excel” y “gráficas en Excel”. Si no tienes tanta prisa, puedes escribirme a mi correo, y por ahí de junio que termine con los cursos que ando impartiendo, puedo apoyarte un poco más.

      3. Alfredo Saracho

        Se pueden hacer los markov en excel, y es bastante sencillo. Decision Modelling for Health Economic Evaluation de Andrew Briggs trae varios ejemplos de esto aplicados a Economía de la Salud. Dejo el link abajo.

        (https://books.google.com.mx/books?id=x-URBAAAQBAJ&pg=PT52&lpg=PT52&dq=markov+models+briggs+excel&source=bl&ots=9qPrTbctNc&sig=ACfU3U3iX7B5p7wxWlynsyL2hjp-QDw0YA&hl=en&sa=X&ved=2ahUKEwjrsevgk9DpAhUCQq0KHTrVA-cQ6AEwEnoECAkQAQ#v=onepage&q=markov%20models%20briggs%20excel&f=false)

  5. Rey Otero

    Profesor, tengo unas preguntas que me he formulado. Haber si me puedes contestar y muchas gracias.

    (a) Piensa en la matriz de probabilidades de transición, en sus propiedades y sus implicaciones: ¿Hay conservación de la “masa” (se conserva la cantidad total de gente conforme el modelo evoluciona)?

    (b) ¿Tendrá esta matriz un valor propio igual a 1? ¿Qué significa el vector propio asociado?

    Responder
    1. LeoLeo Autor

      Hola Rey. De (a), sí, en efecto se conserva la cantidad total de gente conforme el modelo evoluciona. Esto lo puedes probar por inducción, y tiene que ver con que la suma de las entradas en cada columna es igual a 1. Sin embargo, ya que lo metes a una computadora es posible que haya algunos errores computacionales (por la forma en la que la compu hace las cuentas), que haga que haya algunos errores en las cifras decimales. De (b), es una muy buena pregunta. Justo por (a), si tomas v el vector de puros unos, se tiene que vA=v. En otras palabras, v es vector propio de A transpuesta, con valor propio 1. Esto quiere decir que 1 también es valor propio de A (los valores propios de una matriz son los mismos que los de su transpuesta). Ahora, v (el de puros unos), no necesariamente es eigenvector de A, pero sí debe haber uno que sí. Sería un vector v tal que Av=v. Esto se estudia en el tema de Cadenas de Markov en procesos estocásticos, y es un “estado estable”, es decir, uno en el que ya no cambia el proceso representado por tu matriz. En esta entrada, un ejemplo de estos eigenvectores es el (0,0,0,1,0): si tienes una persona ya recuperada, entonces se queda recuperada. En fin, son algunas ideas. Si te interesa más, puedes echarle un ojo a temas de cadenas de Markov.

      Responder

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