Introducción

A lo largo de los temas hemos visto definiciones de inversión junto con teoremas, pero también podemos verlo a través de construcciones a la inversión usando regla y compas.

Construcciones

Construcción. Dada una línea que pasa por $A$ y $B$, encontrar el punto medio del segmento $AB$ usando únicamente compas.

Solución. Podemos construir una circunferencia con centro $A$ y radio $AB=r$ se tiene $C(A,r)$ y con esta localizamos $P$ en la línea $AB$ talque $B$ es el punto medio de $AP$. Usando $P$ como centro y radio $AP$ trazamos la circunferencia $C(P,AP)$ la cual interseca a la primera circunferencia $C(A,r)$ en un punto $C$. Por último dibujamos la circunferencia $C(C,r=AB)$ donde intersecamos a $AB$ en $P^{\prime }$, entonces $P^{\prime }$ es punto medio de $AB$.

Notemos que $\mathrm{△}A{P}^{\prime }C\approx \mathrm{△}ACP$, ya que son triángulos semejantes isósceles, puesto que comparten un mismo ángulo con vértice $A$, tal que

$\frac{A{P}^{\prime }}{AC}=\frac{AC}{AP}\Rightarrow \frac{A{P}^{\prime }}{r}=\frac{r}{2r}$

$\Rightarrow A{P}^{\prime }=\frac{r\times r}{2r}=\frac{r}{2}=\frac{AB}{2}$

Por lo cual $AP=2r$ y $A{P}^{\prime }=\frac{1}{2}r$, entonces $AP\times A{P}^{\prime }=2r\times \frac{1}{2}r=r^2$, esta relación entre $P^{\prime }$ y $P$ es la que llamamos inversión.

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La construcción anterior nos sirve para encontrar el inverso, entonces analicemos otras construcciones para encontrar el inverso con compas.

Construcción. Sea $C(O,r)$ y $P$ un punto externo, tracemos la recta $OP$. Ahora con centro $P$ y radio $OP$ dibujamos el arco que interseque a $C(O,r)$ en $Q$. Con centro $Q$ y radio $OQ$, dibujamos un arco que interseque a $OP$ en $P^{\prime }$.

Entonces $P^{\prime }$ es el inverso de $P$ y como $\mathrm{△}OQP\approx \mathrm{△}O{P}^{\prime }Q$ por triángulos isósceles con ángulo en común $O$ entonces

$\frac{OP}{OQ}=\frac{OQ}{O{P}^{\prime }}\Rightarrow OP\times O{P}^{\prime }=r^2.$

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Construcción. (Método de la tangente) Otra construcción del inverso es de la siguiente forma, dada una circunferencia $C(O,r)$ y un punto $P$ externo a la circunferencia, trazamos el segmento $OP$, y trazamos las tangentes desde $P$ a la circunferencia $C(O,r)$ que son $PQ$ y $PR$ con $Q$ y $R$ los puntos de tangencia, la figura es la siguiente:

Sea $P^{\prime }=QR\cap OP$ entonces $P^{\prime }$ es inverso de $P$.
Sean los $\mathrm{△}OQ{P}^{\prime }$ y $\mathrm{△}OPQ$ comparten el angulo $O$, el lado $OQ$ y $\mathrm{\angle }O{P}^{\prime }Q=\mathrm{\angle }OQP$ entonces

$\mathrm{△}OQ{P}^{\prime }\approx \mathrm{△}OPQ\Rightarrow \frac{O{P}^{\prime }}{OQ}=\frac{OQ}{OP}$

$\Rightarrow O{P}^{\prime }\times OP=r^2.$

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Construcción. (Método de la perpendicular) Otro método para ver el inverso cuando $P$ está dentro o fuera de la circunferencia, es de la siguiente forma.

Sea la circunferencia $C(O,r)$ trazamos el diámetro con puntos en los extremos $ST$, donde el diámetro es perpendicular a $OP$. Unimos $S$ con $P$ y la intersección con la circunferencia es $Q$, se une $T$ con $Q$ y esta recta $TQ$ interseca a $OP$ en $P^{\prime }$, entonces $P^{\prime }$ es inverso de $P$.

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Construcción. Dado un punto $P$ fuera de la circunferencia $\alpha$ con centro $O$, construir el inverso de $P$ con respecto a $\alpha$.

Solución. Dibujamos el arco con centro $P$ que pase por $O$ y corte a la circunferencia $\alpha$ en 2 puntos $B$ y $C$; Ahora dibujamos los arcos con centros $B$ y $C$ y que pase por $O$, la intersección la llamaremos $P^{\prime }$ y será el inverso de $P$.

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Construcción. Dado un punto $A$ y $B$, construir el punto $C$ tal que $B$ es el punto medio de $AC$.

Solución. Trazamos la circunferencia $\alpha$ con centro $B$ y radio $A$, trazamos el arco con centro $A$ y radio $B$ que corte a la circunferencia $\alpha$ en $D$, trazamos el arco con centro $D$ y radio $AB$ que corte a $\alpha$ en $E$ y por último dibujamos el arco con centro $E$ con radio $AB$ que corte a $\alpha$ en $C$.

Los triángulos $\mathrm{△}ABD$, $\mathrm{△}EBC$ y $\mathrm{△}DBE$ son equiláteros, entonces $\mathrm{\angle }ABD=\mathrm{\angle }EBC=\mathrm{\angle }DBE=60°$. Esto significa que $ABC$ es una línea recta, y $AC$ es el diámetro de$\alpha$.
Por lo tanto, $B$ es el punto medio de $AC$.

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Construcción. Dada una circunferencia $\alpha$ con centro $A$ y radio $r$, y dado un punto $P$ dentro de $\alpha$, construir el inverso de $P$ con respecto a $\alpha$.

Solución. Para esta se usarán distintas construcciones, es por ello que usando la construcción 5 se pueden construir puntos $P_1$, $P_2$, $P_3$,…, $P_i$ tal que $P_i$ este fuera de $\alpha$, entonces:

$\begin{array}{rl}A{P}_1& =2AP\\ A{P}_2& =2A{P}_1=4AP\\ A{P}_3& =2A{P}_2=8AP\\ & .\\ & .\\ & .\\ A{P}_i& =2A{P}_{i-1}=2^{i}AP\end{array}$

Si $k=3$ entonces

Usando la construcción 4 se puede encontrar el inverso de $P_i$ lo llamaremos $S$, entonces $AS\times A{P}_i=r^2$. De igual forma, aplicando la construcción 5 a $S$ se pueden generar puntos $S_1$, $S_2$,…, $S_i$ tal que

$\begin{array}{rl}A{S}_1& =2AS\\ A{S}_2& =2A{S}_1=4AS\\ A{S}_3& =2A{S}_2=8AS\\ & .\\ & .\\ & .\\ A{S}_i& =2A{S}_{i-1}=2^{i}AS\end{array}$

Entonces $S_i$ es el inverso de $P$, por lo cual

$A{S}_i\times AP=2^{i}AS\times AP=AS\times 2^{i}AP=AS\times A{P}_i=r^2.$

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Construcción. Dada una circunferencia $\alpha$ con centro desconocido $A$, construir este centro.

Solución. Con un punto $P$ en $\alpha$, construimos un círculo $\omega$ que interseca a $\alpha$ en $C$ y $D$, radio de $\omega$ es menor al radio de $\alpha$. Dibujar los arcos de $C$ y $D$ con radio $CP$ y se intercepta en $Q$. Y por la construcción 6 se encuentra $Q^{\prime }$ el inverso de $Q$ con respecto a $\omega$, por lo tanto, $Q^{\prime }$ es el centro de $\alpha$ y $Q^{\prime }=A$.

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Más adelante…

Con esto concluye la unidad de Inversión, es por ello que ahora es necesario dejar algunos problemas para reforzar e investigar más sobre la Inversión.

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