$\mathit{\text{MATERIAL EN REVISIÓN}}$

Introducción

En la entrada Funciones continuas en espacios métricos vimos que una función $f:X\to \mathbb{R}$ con $X$ espacio métrico, es continua en un punto $x_0\in X$ si dado $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que si $x$ está en la bola abierta $B(x_0,\delta )$ entonces $f(x)\in B(f(x_0),\epsilon ).$

Nota que esto significa que existe una bola abierta con centro $x_0$ que cumple que cualquiera de sus elementos $x$ satisface las siguientes desigualdades:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f(x_0)–\epsilon <& f(x).\text{(2)}& & f(x)<f(x_0)+\epsilon .\end{array}$$

Si bien, las funciones que no son continuas no cumplen ambas desigualdades, es posible concluir propiedades de las que sí hacen valer alguna de las dos.

Si se satisface (1), entonces $f(x_0)–\epsilon <f(x).$ Como esto ocurre para cualquier $\epsilon >0$ podemos hacer $f(x_0)–\epsilon =c$ y así $c<f(x_0).$

Si se satisface (2), entonces $f(x)<f(x_0)+\epsilon .$ Como esto ocurre para cualquier $\epsilon >0$ podemos hacer $f(x_0)+\epsilon =c$ y así $c>f(x_0).$

Este tipo de funciones se llaman «semicontinuas». Si permitimos que la función tome valores infinitos, las definimos como sigue:

Definición. Función semicontinua inferiormente. Sea $f:X\to (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ una función, (nota que admite el valor $\mathrm{\infty }$). Decimos que $f$ es semicontinua inferiormente en el punto $x_0\in X$ si para toda $c<f(x_0)$ existe $\delta >0$ tal que si $d_X(x,x_0)<\delta$ entonces $c<f(x).$ Diremos que $f$ es semicontinua inferiormente si lo es en todo punto de $X.$

Diremos que $f$ es semicontinua inferiormente si lo es en todo punto de $X.$

Definición. Función semicontinua superiormente. Sea $f:X\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ una función, (nota que admite el valor $-\mathrm{\infty }$). Decimos que $f$ es semicontinua superiormente en el punto $x_0\in X$ si para toda $c>f(x_0)$ existe $\delta >0$ tal que si $d_X(x,x_0)<\delta$ entonces $f(x)<c.$ Diremos que $f$ es semicontinua inferiormente si lo es en todo punto de $X.$

Diremos que $f$ es semicontinua superiormente si lo es en todo punto de $X.$

Ejemplos:

$\text{Queda como ejercicio al lector verificar que las funciones mencionadas son semicontinuas.}$

Definición. Límite superior y límite inferior de $f$ en un punto $x_0.$ Considera $f:X\to \mathbb{R}.$ Sea $x_0\in X.$ Pensemos en todos los valores que toma la función $f$ en puntos «muy cerquita» de $x_0$ identificando así que es «lo más» que podría valer. Nos referimos al valor de
$$\bar{f}(x_0)=\underset{\epsilon \to 0}{lim}[\underset{x\in B(x_0,\epsilon )}{sup}f(x)]$$
que podría ser finito o infinito y recibe el nombre de límite superior de $f$ en $x_0.$

Análogamente, si pensamos en todos los valores que toma la función $f$ en puntos «muy cerquita» de $x_0$ identificando así que es «lo menos» que podría valer. Nos referimos al valor de
$$\underset{―}{f}(x_0)=\underset{\epsilon \to 0}{lim}[\underset{x\in B(x_0,\epsilon )}{inf}f(x)]$$
que podría ser finito o infinito y recibe el nombre de límite inferior de $f$ en $x_0.$

Definición. Oscilación de la función $f$ en el punto $x_0.$ Sean $f:X\to \mathbb{R}$ y $x_0\in X.$ La diferencia

$$\omega f(x_0)=\bar{f}(x_0)–\underset{―}{f}(x_0)$$

si es que tiene sentido, es decir si al menos uno de los números $\bar{f}(x_0)$ o bien $\underset{―}{f}(x_0)$ es finito, se llama oscilación de la función $f$ en el punto $x_0.$

Ejemplo

Proposición: Sean $f:X\to \mathbb{R}$ y $x_0\in X.$ Entonces $f$ es continua en $x_0$ si y solo si $\omega f(x_0)=0,$ es decir
$$-\mathrm{\infty }<\underset{―}{f}(x_0)=\bar{f}(x_0)<\mathrm{\infty }.$$

$\text{La demostración queda como ejercicio al lector.}$

Nota que para cualquier función $f:X\to \mathbb{R}$ la función $\bar{f}(x)$ es semicontinua superiormente mientras que la función $\underset{―}{f}(x)$ es semicontinua inferiormente. $\text{La demostración de estos hechos también se deja como ejercicio.}$

Antes de continuar recordemos la entrada Espacios métricos de caminos. Vimos que un camino es una función continua $\gamma :[a,b]\to X$ con $X$ un espacio topológico. En algunos libros, como el de Mónica Clapp, esta definición se indica como trayectoria.

Si $X$ es un espacio métrico entonces a cada trayectoria $\gamma :[a,b]\to X$ se le puede asociar el valor dado por

$$L(\gamma ):=sup\{\sum _{k=1}^{n}d(\gamma (t_{k-1}),\gamma (t_k)):a=t_0\le t_1\le \dots \le t_n=b,n\in \mathbb{N}\}$$

lo cual define una función $L:({\mathcal{C}}^0[a,b],X)\to (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ que satisface los axiomas de una longitud de caminos.

Otra cosa que podemos observar de $L$ es que no es continua cuando $X={\mathbb{R}}^2.$ Como ejemplo un ejercicio al final de esta sección. La cuestión es que dada una trayectoria $\gamma$ puede haber trayectorias con longitud muy grande pese a ser cercanas a $\gamma$ en la métrica uniforme. No obstante, puede asegurarse que si las trayectorias son suficientemente cercanas a $\gamma$ entonces su longitud no podrá ser arbitrariamente menor que la de $\gamma$. En otras palabras:

La función $L$ es semicontinua inferiormente en $({\mathcal{C}}^0[a,b],X)$

Proposición: Sean $\gamma \in ({\mathcal{C}}^0[a,b],X)$ y $c<L(\gamma ).$ Entonces existe $\delta >0$ tal que si $d_{\mathrm{\infty }}(\gamma ,\sigma )<\delta$ se satisface
$$c<L(\sigma ).$$
Demostración:
Tomemos $d_0>0$ tal que $c+{\delta }_0<L(\gamma ).$ Por definición de $L,$ existen $a=t_0,\le t_1\le \dots \le t_n=b$ en $\mathbb{R}$ tales que

$$c+{\delta }_0<\sum _{k=1}^{n}d(\gamma (t_{k-1}),\gamma (t_k)).$$

Sea $\delta :=\frac{{\delta }_0}{2m}.$ Si ${\delta }_{\mathrm{\infty }}(\gamma ,\sigma ,)<\delta$ se sigue

$$\begin{array}{rl}d(\gamma (t_{k-1}),\gamma (t_k))& \le d(\gamma (t_{k-1}),\sigma (t_{k-1}))+d(\sigma (t_{k-1}),\gamma (t_k))\\ & \le d(\gamma (t_{k-1}),\sigma (t_{k-1}))+d(\sigma (t_{k-1}),\sigma (t_k))+d(\sigma (t_k),\gamma (t_k))\\ <\delta +d(\sigma (t_{k-1}),\sigma (t_k))+\delta \\ =d(\sigma (t_{k-1}),\sigma (t_k))+2\delta \\ =d(\sigma (t_{k-1}),\sigma (t_k))+\frac{{\delta }_0}{m}.\end{array}$$

Si sumamos las desigualdades para todo $k=1,\dots ,n$ tenemos lo siguiente

$$\begin{array}{}\text{(3)}& c+{\delta }_0& <\sum _{k=1}^{n}d(\gamma (t_{k-1}),\gamma (t_k))\text{(4)}& & <\sum _{k=1}^{n}d(\sigma (t_{k-1}),\sigma (t_k))+{\delta }_0\text{(5)}& & \le L(\sigma )+{\delta }_0.\end{array}$$

De modo que $c<L(\sigma )$ que es lo que queríamos demostrar.

En la entrada Funciones en espacios topológicos compactos vimos que toda función continua $f:A\to \mathbb{R}$ en un espacio compacto $A$ alcanza su mínimo y máximo en $A.$ Los resultados siguientes muestran la generalización al caso de funciones semicontinuas.

Proposición: Sea $f:A\to \mathbb{R}$ una función semicontinua inferiormente sobre un espacio métrico compacto $A,$ entonces la imagen de $f$ está acotada inferiormente.

Demostración:
Supón por el contrario que $\underset{x\in A}{\text{ínf}}f(x)=–\mathrm{\infty }.$ Entonces existe una sucesión $\{x_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ de elementos en $A$ tal que para cada $n\in \mathbb{N},f(x_n)<-n.$ Puesto que el espacio $A$ es compacto, el subconjunto infinito $\{x_n:n\in \mathbb{N}\}$ tiene al menos un punto de acumulación $x_0,$ en $A.$(Recuerda el problema 3 de la tarea moral de la entrada Compacidad en espacios métricos). Ya que $f$ es semicontinua inferiormente en $x_0,$ existe $\delta >0$ tal que para cada $x\in B(x_0,\delta )$ se cumple que $f(x)>f(x_0)–1.$ Observa que $B(x_0,\delta )$ contiene a lo más una cantidad finita de puntos de la sucesión, pero esto contradice que $x_0$ sea punto de acumulación de $\{x_n:n\in \mathbb{N}\}$ por lo tanto la imagen de $f$ está acotada inferiormente.

Se puede probar el resultado análogo para una función semicontinua superiormente. $\text{Queda como ejercicio.}$

Proposición: Sea $f:A\to \mathbb{R}$ una función semicontinua inferiormente sobre un espacio métrico compacto $A,$ entonces $f$ alcanza su mínimo en $A.$

Demostración:
Como $f$ es semicontinua inferiormente y por el resultado anterior, $f(A)$ tiene ínfimo en $\mathbb{R},$ podemos construir una sucesión $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ de elementos en $A$ tal que para cada $n\in \mathbb{N},f(x_n)\le \underset{x\in A}{\text{ínf}}f(x)+\frac{1}{n}.$

Como $A$ es compacto, el conjunto $\{x_n:n\in \mathbb{N}\}$ tiene un punto de acumulación $x_0\in A.$

Vamos a probar que $f$ alcanza su mínimo en $x_0,$ es decir que $f(x_0)=\underset{x\in A}{\text{ínf}}f(x).$
Supón por el contrario que $f(x_0)>\underset{x\in A}{\text{ínf}}f(x).$ Entonces existe $\epsilon >0$ tal que $\underset{x\in A}{\text{ínf}}f(x)+\epsilon \le f(x_0).$ Como $f$ es semicontinua inferiormente en $x_0,$ existe $\delta >0$ tal que para cada $x\in B(x_0,\delta ),f(x>\underset{x\in A}{\text{ínf}}f(x)+\epsilon ).$ Observa que $B(x_0,\delta )$ contiene a lo más una cantidad finita de puntos de la sucesión, pero esto contradice que $x_0$ sea punto de acumulación de $\{x_n:n\in \mathbb{N}\}$ por lo tanto $f(x_0)=\underset{x\in A}{\text{ínf}}f(x)$ y así, $f$ alcanza su mínimo en $A.$

Se puede probar el resultado análogo para una función semicontinua superiormente. $\text{Queda como ejercicio.}$

Más adelante…

Conoceremos otro «tipo de continuidad» en las funciones. Esta vez lo haremos con una colección de ellas cuando la misma bola de radio $\delta$ y centro en $x_0$ asegura la cercanía con los puntos que cada función asigna a $x_0.$ Este concepto es equicontinuidad y se verá formalmente en la siguiente entrada.

Tarea moral

1. Demuestra los resultados que se fueron indicando a lo largo de esta entrada.
2. a) Prueba que la sucesión de trayectorias ${\gamma }_k:[0,1]\to {\mathbb{R}}^2,$
   $${\gamma }_k=(x,\frac{1}{\sqrt{k}}sen(\pi kx)),$$
   converge a la trayectoria $\gamma (x)=(x,0)$ en el conjunto de funciones acotadas de $[0,1]$ en ${\mathbb{R}}^2$
   b) Prueba que $L({\gamma }_k)\to \mathrm{\infty }$
   c) Concluye que $L$ no es continua en ${\mathcal{C}}^0([a,b],\mathbb{R}).$

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.