$\mathit{\text{ MATERIAL EN REVISIÓN}}$

Introducción

«En el Análisis tropezamos, casi siempre, con espacios provistos tanto de una topología como de operaciones de adición de elementos y multiplicación de éstos por números, es decir, tropezamos con los así llamados espacios topológicos lineales. Entre estos espacios, constituyen una clase importante los espacios normados. La teoría fue desarrollada en los trabajos de S. Banach y de otros autores». (Kolmogorov,1975).

Definición. Norma. Sea $X$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Se dice que una aplicación $\Vert .\Vert :V\to \mathbb{R}$ es una norma si para todo $x,y\in X$ y para todo $\lambda \in \mathbb{R}$ se satisface:

1. $\Vert x\Vert =0⟺x=0$
2. $\Vert \lambda x\Vert =|\lambda |\Vert x\Vert$
3. $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$

El espacio vectorial $(X,\Vert .\Vert )$ es llamado espacio normado. Este a su vez induce un espacio métrico si se define:

$d(x,y)=\Vert x-y\Vert$

lo cual probaremos a continuación:

Demostración: Sean $x,y,z\in V$

1. $d(x,x)=\Vert x-x\Vert =\Vert 0\Vert ⟺x=0$
2. $d(x,y)=\Vert x-y\Vert =\Vert (-1)(-x+y)\Vert =|-1|\Vert -x+y\Vert =1\Vert y-x\Vert =\Vert y-x\Vert =d(y,x)$
3. $d(x,y)=\Vert x-y\Vert =\Vert x-z+z-y\Vert \le \Vert x-z\Vert +\Vert z-y\Vert =d(x,z)+d(z,y)$

El recíproco no siempre es válido, es decir:

Proposición. No todos los espacios métricos son inducidos por espacios normados.

Demostración: Sean $X\ne \{0\}$ y $d$ la métrica discreta definida en Espacios métricos, entonces si $x\ne 0$
$\Vert 2x\Vert =|2|\Vert x\Vert =|2|\Vert x-0\Vert =|2|d(x-0)=2(1)=2$
Lo cual no puede ser, pues la distancia únicamente toma valores en $0,1$

Ejemplos:

1. La norma p. Sea p $\in [1,\mathrm{\infty })$ y $x\in {\mathbb{R}}^n$. Si $x=(x_1,\dots ,x_n)$, definimos:
   $\Vert x{\Vert }_p=(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p{)}^{1/p}$ (p_norma).
2. $\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=max\{|x_1|,\dots ,|x_n|\}$ (la norma infinito).
3. En el espacio vectorial $C_{[a,b]}$ donde para $f\in C_{[a,b]}$, $\Vert f\Vert =ma{x}_{a\le t\le b}|f(t)|$
4. Sea$(x_n)$ en el conjunto de sucesiones acotadas. Se define la norma como: $\Vert (x_n)\Vert :=\underset{n}{sup}|x_n|$.

Más adelante…

Ya que reconocemos la distancia entre dos puntos procederemos a identificar todos los puntos que están «cerca» de un punto específico. ¿Te suena familiar? Vamos a ver si el conjunto formado por estos puntos es diferente al que estamos acostumbrados a representar como una bola redonda de radio $ϵ>0$.

Tarea moral

1. Demuestra que si $(X,\Vert .\Vert )$ es un espacio normado, entonces $\mathrm{\forall }x\in X,\Vert x\Vert \ge 0$.
2. Demuestra que la norma $\Vert x{\Vert }_2$ induce la métrica euclideana.
3. Demuestra que la norma del ejemplo 3 induce la métrica en el espacio de funciones continuas vista en Espacios métricos.
4. Demuestra que en el conjunto de números complejos $\mathbb{C}$ pueden definirse las métricas 1 y 2.

Enlaces

• Análisis Matemático.
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