$\mathit{\text{MATERIAL EN REVISIÓN}}$

Introducción

Para probar el teorema de Arzelá-Ascoli que veremos más adelante, usaremos familias de funciones que tienen la propiedad de enviar puntos muy cercanos del dominio a puntos muy cercanos en el contradominio. Suena a funciones continuas, ¿verdad? No obstante, en esta ocasión será el mismo valor de delta el que haga válida la cercanía para cualquier función.

Ejemplo. Considera el conjunto de funciones $\{f_k:f_k\in {\mathcal{C}}^0([-1,1],\mathbb{R}),k\in \mathbb{N}\},$ donde

$$f_k(x)=\{\begin{array}{ll}-1& \text{ si }x\in [-1,–\frac{1}{k}],\\ kx& \text{ si }x\in [-\frac{1}{k},\frac{1}{k}],\\ 1& \text{ si }x\in [\frac{1}{k},1].\end{array}$$

Dejaremos como ejercicio demostrar que para cada $\delta >0$ (y menor que $1$) existe una función $f_k$ tal que $|f_k(x)–f_k(\frac{\delta }{2})|>\epsilon =\frac{1}{2}$ de modo que no es posible encontrar un valor de $\delta$ que funcione para todas las funciones del conjunto.

La propiedad que estamos describiendo se conoce como equicontinuidad. Presentamos la definición de:
Simon, B., Real Analysis A Comprehensive Course in Analysis, Part 1,. USA: American Mathematical Society, 2015, pág 70.

Definición. Familia uniformemente equicontinua. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos y $\mathcal{H}$ una familia de funciones de $X$ en $Y.$ Diremos que $\mathcal{H}$ es uniformemente equicontinua si para cada $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tales que para cualesquiera $x_1,x_2\in X$ que cumplen que $d_X(x_1,x_2)<\delta$ entonces para cualquier $f\in \mathcal{H},$ $d_Y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon .$

En particular, si $Y$ es el espacio de los complejos con la métrica euclidiana tenemos la definición de:
Rudin, W., Principios de Análisis Matemático (3a ed.). México: McGraw–Hill, 1980, pág 167.

Definición. Familia equicontinua de funciones complejas. Sea $\mathcal{H}$ una familia de funciones complejas con dominio en un espacio métrico $(X,d_X).$ Diremos que $\mathcal{H}$ es equicontinua en $X$ si para cada $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tales que para cualesquiera $x_1,x_2\in X$ que cumplen que $d_X(x_1,x_2)<\delta$ entonces para cualquier $f\in \mathcal{H},$ $\Vert f(x_1)–f(x_2)\Vert <\epsilon .$

Nota que toda función de una familia equicontinua es uniformemente continua.

Proposición. Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico compacto y $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ una sucesión de funciones en ${\mathcal{C}}^0(X,\mathbb{C})$ (continuas) tal que la sucesión converge uniformemente en $X.$ Entonces $\{f_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ (el conjunto de las funciones de la sucesión) es uniformemente equicontinua sobre $X.$

Demostración:
Sea $\epsilon >0$. Como la sucesión de funciones $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge uniformemente en $X,$ de acuerdo con la entrada Convergencia puntual y convergencia uniforme, como $\mathbb{C}$ es completo, $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ es uniformemente de Cauchy, por lo tanto existe $N\in \mathbb{N}$ tal que para cada $n\ge N$ se cumple que

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\Vert f_n–f_N\Vert }_{\mathrm{\infty }}<\frac{\epsilon }{3}.\end{array}$$

En la entrada Continuidad uniforme vimos que cada función continua con dominio compacto es uniformemente continua. En particular, para cada una de las primeras funciones de la sucesión, $f_1,f_2,\dots ,f_N,$ existe su correspondiente ${\delta }_i,i=1,\dots ,N$ tal que para cada $i=1,\dots ,N,$ siempre que $d_X(x_1,x_2)<{\delta }_i,$ tenemos:

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \Vert f_i(x_1)–f_i(x_2)\Vert <\frac{\epsilon }{3}.\end{array}$$

Si hacemos
$$\delta <\text{mín}\{d_i:i=1,\dots ,N\}$$
se sigue cumpliendo (2) para $i=1,\dots ,N$

mientras que si $n>N$ se concluye de la desigualdad del triángulo, de (1) y de (2) que

$$\begin{array}{rl}\Vert f_n(x_1)–f_n(x_2)\Vert & \le \Vert f_n(x_1)–f_N(x_1)\Vert +\Vert f_N(x_1)–f_N(x_2)\Vert +\Vert f_N(x_2)–f_n(x_2)\Vert \\ & \le \frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}\\ & =\epsilon .\end{array}$$

Por lo tanto el conjunto de funciones en $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ es equicontinuo.

La definición a considerar en el teorema de Arzelá-Ascoli

En la sección Teorema de Arzelá-Ascoli link nuestra familia de funciones tendrá un dominio compacto y consideraremos la definición de equicontinuidad que aparece en
Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2015, pág 125.
Nota que la propiedad se fija en un punto:

Definición. Familia equicontinua en un punto: Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico compacto y $(Y,d_Y)$ un espacio métrico. Sea $\mathcal{H}\subset {\mathcal{C}}^{\mathcal{0}}(X,Y)$ es decir, $\mathcal{H}$ es una familia de funciones continuas con dominio en $X$ e imagen en $Y$. Diremos que $\mathcal{H}$ es equicontinuo en el punto $x_0\in X$ si para todo $\epsilon >0,$ existe $\delta >0$ tal que para toda función $f$ en $\mathcal{H}$ se cumple que si $d_X(x,x_0)<\delta$ entonces $d_Y(f(x),f(x_0))<\epsilon$.

Esta definición se relaciona con la primera en el siguiente sentido:

Proposición: Si $\mathcal{H}$ es uniformemente equicontinua entonces es equicontinua en cada punto de $X.$

Demostración:
Sea $x_0\in X$ y $\epsilon >0.$ Como $\mathcal{H}$ es uniformemente equicontinua, existe $\delta >0$ tal que para cada $x_1,x_2\in X$ si $d_X(x_1,x_2)<\delta$ entonces $d_Y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon$ para cualquier $f\in \mathcal{H}.$ En particular para cada $x\in X,$ si $d_X(x,x_0)<\delta$ entonces $d_Y(f(x),f(x_0))<\epsilon$ para cualquier $f\in \mathcal{H}$ lo cual prueba que la familia de funciones es equicontinua en $x_0$.

El recíproco no es cierto. Ser equicontinua puntualmente no implica ser uniformemente equicontinua, la demostración queda como ejercicio.

Más adelante…

Anteriormente vimos algunos resultados de la compacidad en los conjuntos, en la siguiente sección mostraremos una herramienta para identificarla en espacios de funciones, presentando así, los últimos conceptos necesarios para conocer el teorema de Arzelá-Ascoli.

Tarea moral

1. Resuelve los dos ejemplos de esta sección.
2. Muestra un ejemplo de una familia equicontinua puntualmente en todos los puntos del dominio pero que no sea uniformemente equicontinua.

Enlaces

• Análisis Matemático.
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