(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la presente entrada entenderemos lo que es la dimensión de un espacio vectorial. Ésta será la cardinalidad de cualquiera de sus bases y estará bien definida ya que como hemos visto todas las bases tienen la misma cantidad de elementos. Así como podemos completar un conjunto linealmente independiente de $V$ agregando vectores hasta obtener una base de $V$, también podemos, a partir de un conjunto generador $\gamma$ de $V$, obtener una base de $V$ quitando vectores.

Definición

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. La dimensión de $V$ es la cardinalidad de cualquiera de sus bases.

Notación: $dim_{\mathbb R}V$ o simplemente $dim\,\,V$.

Ejemplos

1. $dim\,\,\mathbb R^n=n$ ya que $\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es una base de $\mathbb R^n$.

2. Considera el subespacio de $\mathbb R^2$ dado por $V =\set{(x,y)\in \mathbb R^2\mid x+3y=0}.$ Notemos que

$\begin{align*} V &=\set{(x,y)\in \mathbb R^2\mid x+3y=0}\\ \, &=\set{(x,y)\in \mathbb R^2\mid x=-3y}\\ \, &=\set{(-3y,y)\in \mathbb R^2\mid y\in \mathbb R}\\ \, &=\set{y(-3,1)\in \mathbb R^2\mid y\in \mathbb R}\\ \, &=\langle (-3,1) \rangle .\\ \end{align*}$

Así, $\set{(-3,1)}$ genera a $V$. Se deja al lector verificar que además $\set{(-3,1)}$ es $l.i$, entonces es una base de $V$. Por lo tanto $dim\,\,V=1.$

3. Considera el subespacio de $\mathbb R^4$ dado por $W =\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid 3x+2y-z+4w=0}.$ Observemos que

$\begin{align*} W &=\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid 3x+2y-z+4w=0}\\ \, &=\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid x= -\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}z-\frac{4}{3}w }\\ \, &=\bigg\{ \left( -\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}z-\frac{4}{3}w ,y,z,w\right) \in \mathbb R^4\mid y,z,w\in \mathbb R\bigg\} \\ &=\bigg\{ y \left(-\frac{2}{3},1,0,0\right)+z \left(\frac{1}{3},0,1,0\right)+w \left(-\frac{4}{3},0,0,1\right)\in \mathbb R^4\mid y,z,w\in \mathbb R\bigg\}\\ \, &=\bigg\langle \left(-\frac{2}{3},1,0,0\right), \left(\frac{1}{3},0,1,0\right), \left(-\frac{4}{3},0,0,1\right) \bigg\rangle .\\ \end{align*}$

Así, $\big\{ \left(-\frac{2}{3},1,0,0\right), \left(\frac{1}{3},0,1,0\right), \left(-\frac{4}{3},0,0,1\right) \big\}$ genera a $W$. Se deja al lector verificar que además $\big\{ \left(-\frac{2}{3},1,0,0\right), \left(\frac{1}{3},0,1,0\right), \left(-\frac{4}{3},0,0,1\right) \big\}$ es $l.i$, entonces es una base de $W$ y por lo tanto $dim\,\,W=3.$

Lema

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$, $m$ un natural positivo y $v_1,\dotsc,v_m\in V$ vectores distintos tales que $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ es $l.d.$ Entonces existe $v_j\in \set{v_1,\dotsc,v_m}$ tal que $\langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle=\langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle.$

Demostración

Sean $V\leq \mathbb R^n$, $m$ un natural positivo y $v_1,\dotsc,v_m\in V$ distintos tales que $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ es $l.d.$ Existen entonces $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$ no todos nulos tales que:

$\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_m v_m=\bar{0}.$

Como $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m$ no son todos nulos, podemos considerar $j\in\{1,2,\dots, m\}$ tal que $\lambda_j\neq 0$. Así:

$\begin{align} v_j &=-\frac{\lambda_1}{\lambda_j}v_1-\cdots- \frac{\lambda_{j-1}}{\lambda_j}v_{j-1}-\frac{\lambda_{j+1}}{\lambda_j}v_{j+1}-\cdots-\frac{\lambda_{m}}{\lambda_j}v_{m} \\ \label{ec1} \, &=\sum_{i\in\{1,\dots ,m\}, i\neq j} -\frac{\lambda_i}{\lambda_j}v_i . \\ \end{align}$

Sabemos que $ \langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle \subseteq \langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle.$

Ahora si $w\in \langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle$ existen $\mu_1,\dotsc,\mu_m \in \mathbb R$ tales que:

$\begin{align*} w &=\mu_1v_1 + \cdots + \mu_j v_j+\cdots+\mu_m v_m \\ \end{align*}$

y sustituyendo $v_j$ de acuerdo a su expresión en \ref{ec1}

$\begin{align*} w &= \mu_1v_1 + \cdots + \mu_j \left(\sum_{i\in\{1,\dots ,m\}, i\neq j} -\frac{\lambda_i}{\lambda_j}v_i\right) +\cdots+\mu_m v_m . \\ \end{align*}$

Entonces $w$ es una combinación lineal del conjunto $\set{v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m}$ y por lo tanto $w\in \langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle$, probando con ello que $ \langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle \subseteq \langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle .$ Así, tenemos la igualdad buscada:

$\langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle=\langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle.$

$\square$

Teorema

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Todo conjunto generador finito de $V$ se puede reducir a una base de $V$, es decir, si $S$ es un conjunto generador finito de $V$, existe $\beta\subseteq S$ tal que $\beta$ es una base de $V$.

Demostración

Sea $V\leq \mathbb R^n$, $m$ un natural positivo y $v_1,\dotsc,v_m\in V$ distintos tales que $S=\set{v_1,\dotsc,v_m}$ genera a $V$.

Si $S$ es $l.i.$, entonces es una base de $V$.

Si $S$ es $l.d.$, por el lema existe $v_j\in S$ tal que $\langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle=\langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle=V.$

Si $\{ v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \}$ es $l.i.$, entonces es una base de $V$.

Si $\{ v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \}$ es $l.d.$ continuamos con este procedimiento (usando el lema) hasta obtener un subconjunto $\beta$ de $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ $l.i.$ y tal que $\langle \beta \rangle=V$. $\beta$ será entonces una base de $V$ contenida en $S$.

$\square$

Corolario

Sean $m\in \mathbb N$ y $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$ de dimensión $m$. Tenemos que:

$a)$ Cualquier conjunto generador de $V$ con $m$ elementos es una base de $V$.

$b)$ Cualquier conjunto linealmente independiente en $V$ con $m$ elementos es una base de $V$.

Demostración

La demostración se deja como tarea moral.

Teorema

Sean $V$ y $W$ subespacios de $\mathbb R^n$ con $W\subseteq V$.

$a)$ Toda base de $W$ se puede completar a una base de $V.$

$b)$ $dim\, W\leq dim\, V.$

$c)$ Si $dim\, W=dim\,V$, entonces $W=V.$

Demostración

Demostración de $a)$

Se deja al lector realizar la demostración adaptando el procedimiento mediante el que se probó que todo subespacio de $\mathbb R^n$ tiene una base en la nota anterior.

Demostración de $b)$

Sean $\gamma$ una base de $W$ y $\beta$ una base de $V$. Como $\gamma$ es $l.i.$ en $V$ y $\beta$ es un generador de $V$ por la una nota en la entrada anterior se tiene que $dim\,W=\#\gamma\leq \#\beta=dim\,V.$

Demostración de $c)$

Supongamos que $dim\, W=dim\,V=m.$

Sea $\gamma$ una base de $W$. Sabemos que $\gamma$ es $l.i.$ en $V$ con $dim\,W=m$. Por el corolario anterior $\gamma$ es una base de $V$ y entonces $W=\langle \gamma \rangle=V$.

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales y al subespacio:

$W=\langle (1,-7,-5), (2,10,2),(-3,-11,-1),(1,5,1) \rangle .$

Encuentra una base de $W$ reduciendo el conjunto generador dado.

$2.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales y los subespacios de $\mathbb R^3$ dados por:

i) $W=\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid y=-2x,z=-3x}$

ii) $V=\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x+2y=z}.$

En cada inciso encuentra una base para cada subespacio y determina la dimensión del subespacio..

$3.$ Demuestra el corolario de la presente nota.

Más adelante

Con esta nota terminamos la unidad 3, en la siguiente y última unidad haremos un estudio de las matrices y sus determinantes.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 31. Bases de $\mathbb R^n$.

Enlace a la nota siguiente. Nota 33. Matrices.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la presente nota veremos el concepto de base de un subespacio vectorial, es decir un conjunto de vectores linealmente independiente, cuyo generado nos da el subespacio vectorial. Este concepto es muy importante pues nos permite describir a los elementos de un subespacio a partir de algunos vectores en el subespacio de forma única.

Definición

Sean $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$ y $\beta$ un subconjunto de $V$. Decimos que $\beta$ es una base de $V$ si genera a $V$ y es linealmente independiente. Decimos que $V$ es de dimensión finita si tiene una base finita.

Ejemplos

$1.$ En este ejemplo obtendremos una base para el espacio vectorial $\mathbb R^n$. Considera el vector cuyas entradas son todas cero excepto la $i$-ésima que es uno:

$e_i=(0,\dotsc,1,\dotsc,0).$

Veamos que $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es $l.i.$ Sean $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n\in \mathbb R^n$ tales que:

$\lambda_1 e_1+\dotsc +\lambda_n e_n =\bar{0}.$

Entonces tenemos

$\lambda_1 (1,0,\dotsc, 0) + \lambda_2 (0,1,\dotsc, 0)+ \cdots + \lambda_n (0,0,\dotsc,0,1)= (0,0,\dotsc, 0).$

Desarrollando resulta que

$(\lambda_1,\lambda_2,\dotsc,\lambda_n)=(0,0,\dotsc, 0)$

y comparando coordenada a coordenada concluimos que

$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0.$

Por lo tanto $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es $l.i.$

Veamos que $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ genera a $\mathbb R^n$. Sabemos que $\langle \mathscr C \rangle \subseteq \mathbb R^n$ ya que $e_1,\dotsc,e_n\in \mathbb R^n$, y por lo tanto toda combinación lineal de ellos es un vector en $\mathbb R^n $.

Ahora si $ (x_1,x_2,\dotsc, x_n)\in \mathbb R^n$

$(x_1,x_2,\dotsc,x_n)=x_1(1,0,\dotsc,0)+x_2(0,1,\dotsc,0)+\dotsc+x_n(0,0,\dotsc,1).$

Observa que $x_1(1,0,\dotsc,0)+x_2(0,1,\dotsc,0)+\dotsc+x_n(0,0,\dotsc,1)$ es una combinación lineal de los elementos de $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$, es decir $x_1(1,0,\dotsc,0)+x_2(0,1,\dotsc,0)+\dotsc+x_n(0,0,\dotsc,1)\in \langle \mathscr C \rangle$. Así, cualquier vector en $\mathbb R^n$ es un elemento en $ \langle \mathscr C \rangle$, es decir $\mathbb R^n \subseteq \langle \mathscr C \rangle$.

Concluimos que $\mathbb R^n = \langle \mathscr C \rangle$.

Como el conjunto $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es linealmente independiente y genera a $\mathbb R^n$, es una base de $\mathbb R^n$, se le llama la base canónica de $\mathbb R^n$.

$2.$ Consideremos el subespacio de $\mathbb R^3$ dado por $W=\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x-y+2z=0}$. Busquemos una base de $W$.

Notemos que si $(x,y,z)\in W$, entonces $ x-y+2z=0$, o bien $x=y-2z.$ Así,

$(x,y,z)=(y-2z,y,z)=y(1,1,0)+z(-2,0,1).$

Entonces

$W=\set{y(1,1,0)+z(-2,0,1)\mid y,z\in \mathbb R}=\langle (1,1,0), (-2,0,1) \rangle .$

Con ello hemos probado que el conjunto $S=\{(1,1,0),(-2,0,1)\}$ genera a $W$, así que sólo falta ver que es un conjunto linealmente independiente para verificar que es una base de $W$.

Para ver que $S$ es linealmente independiente veamos que la única manera de obtener al vector cero como combinación lineal de $(1,1,0),(-2,0,1)\in W$, es la trivial. Pero esto es cierto pues si $\lambda,\mu \in \mathbb R$ son tales que

$\lambda(1,1,0)+\mu(-2,0,1)=(0,0,0)$,

desarrollando tenemos que:

$(\lambda-2\mu,\lambda,\mu)=(0,0,0)$

y comparando coordenada a coordenada obtenemos que

$\begin{align} \lambda-2\mu &=0\\ \lambda &=0\\ \mu &=0.\\ \end{align}$

Por lo tanto $\lambda=\mu=0$.

Así, $S=\set{(1,1,0),(-2,0,1)}$ es $l.i.$

Concluimos que $S$ es un conjunto de vectores $l.i$ y $\langle S \rangle=W$, entonces $S$ es una base de $W$. Así, $S=\set{(1,1,0),(-2,0,1)}$ es una base de $W$.

Entendamos un poco más quién es $W$. Observamos que de hecho $W$ es un plano que pasa por el origen, y tanto $(1,1,0)$ como $(-2,0,1)$ son vectores en dicho plano. $W$ es entonces el plano definido por estos dos vectores. Notemos que cualquier combinación lineal de $(1,1,0)$ y $(-2,0,1)$ será también un vector en el plano $W$ y todo vector en $W$ se puede obtener como una combinación lineal de dichos vectores. Además, como $(1,1,0)$ y $(-2,0,1)$ no son colineales, por el lema de la nota previa forman un conjunto linealmente independiente.

Observa en el siguiente recurso que elaboré en Geogebra cómo cualquier combinación lineal de los vectores $(1,1,0),(-2,0,1)$, es un elemento del plano que pasa por el origen y la punta de los vectores $(1,1,0)$ y $(-2,0,1)$, que son los vectores en color rosa. Este plano está en color azul, mientras que el plano en color gris es el plano $xy$.

Puedes también mover los puntos $A$ y $B$ para cambiar el par de vectores con los que se construye el plano y ver cómo es el generado de esos vectores. Mueve $A$ y $B$ de manera que sean colineales y constata que el generado en ese caso se limita a una recta.

El siguiente resultado se puede probar usando sistemas de ecuaciones. El lector interesado puede escribir la demostración siguiendo las ideas del Teorema 7 en la página 181del libro de Anton que aparece en la bibliografía del curso.

Nota

Sean $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$ y $m$ un natural positivo. Si $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ es un conjunto con $m$ vectores que genera a $V$, todo conjunto $l.i$ de $V$ tiene a lo más $m$ elementos. En consecuencia todo conjunto $l.i$ de $\mathbb R^n$ tiene a lo más $n$ elementos.

Lema

Sean $m$ un natural positivo y $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ un conjunto $l.i$ con $m$ vectores en $\mathbb R^n$. Si $w\in \mathbb R^n$ es tal que $w\notin \langle v_1,\dotsc,v_m \rangle$ entonces $\set{v_1,\dotsc,v_m,w}$ es $l.i.$

Demostración

Sean $m$ un natural positivo y $\set{v_1,\dotsc,v_m}\subseteq \mathbb R^n$ un conjunto $l.i$con $m$ vectores y $w\in \mathbb R^n$ con $w\notin \langle v_1,\dotsc,v_m \rangle$.

Sean $\lambda_1,\dotsc, \lambda_{m+1}\in \mathbb R$ tales que

$\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_m v_m+\lambda_{m+1} w=\bar{0}.$

Si $\lambda_{m+1}\neq 0$ tendríamos que

$w=-\frac{\lambda_1}{\lambda_{m+1}}v_1-\cdots-\frac{\lambda_m}{\lambda_{m+1}}v_m,$

entonces $w$ sería una combinación lineal de los elementos del conjunto $\set{v_1,\dotsc,v_m}$, y por lo tanto $w\in \langle v_1,\dotsc,v_m \rangle$. Pero esto es una contradicción a nuestra hipótesis, así $\lambda_{m+1}=0$, de donde $\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_m v_m=\bar{0}$ y como $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ es $l.i.$ tenemos que $\lambda_1=\lambda_1=\cdots=\lambda_m=0$. Concluimos que $\lambda_1=\lambda_1=\cdots=\lambda_m= \lambda_{m+1}=0$ y por lo tanto $\set{v_1,\dotsc,v_m,w}$ es $l.i.$

$\square$

Teorema

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Existe $\beta$ una base de $V$.

Demostración

Sea $V\leq \mathbb R^n$. Si $V=\set{\bar{0}}$, $\emptyset $ es $l.i$ y $\langle \emptyset \rangle =\set{\bar{0}}=V$.

Si $V\neq \set{\bar{0}}$ existe $v_1\in V$ tal que $v_1\neq \bar{0}.$

Puede suceder que $\langle v_1 \rangle=V$ en cuyo caso $\set{v_1}$ es una base de $V$.

Si $\langle v_1 \rangle\subsetneq V$, sea $v_2\in V\setminus \langle v_1 \rangle$. Por el lema antes probado $\set{v_1,v_2}$ es $l.i.$

Si $\set{v_1,v_2}$ genera a $V$, $\set{v_1,v_2}$ es una base de $V$.

Si $\langle v_1,v_2 \rangle\subsetneq V$, sea $v_3\in V\setminus \langle v_1,v_2 \rangle$. Por el lema antes probado $\set{v_1,v_2,v_3}$ es $l.i.$

Continuando de este modo obtenemos conjuntos de la forma $\set{v_1,\dotsc,v_t}$, $ l.i. $ en cada paso. Por la nota anterior, en cada paso $t\leq n$ así que el proceso es finito y en algún momento (a lo mucho después de $n$ pasos), obtenemos un conjunto $\beta=\set{v_1,\dotsc,v_m}\subseteq V$, con $m\leq n$, un conjunto $l.i$ que genera a $V$ y sería entonces una base de $V$.

Por lo tanto $V$ tiene una base.

$\square$

Corolario

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Todo conjunto $l.i$ de $V$ se puede completar a una base de $V$, es decir, si $\beta$ es un conjunto $l.i$ de $V$, existe $\gamma$ con $\beta\subseteq \gamma$ tal que $\gamma$ es una base de $V$.

Demostración

Esta demostración queda como tarea moral.

Teorema

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Todas las bases de $V$ son finitas y tienen el mismo número de elementos.

Demostración

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$ y sean $\beta,\beta’ $ bases de $V$.

Por la nota que aparece en esta entrada $\beta$ y $\beta’ $ son finitas y además como:

$\beta $ es $l.i$ y $\beta’$ genera a $V$, entonces $\#\beta \leq \#\beta’$.

$\beta’ $ es $l.i$ y $\beta$ genera a $V$, entonces $\#\beta’ \leq \#\beta$.

Por lo tanto $\#\beta =\#\beta’$.

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales y el subconjunto de $\mathbb R^3$ indicado en cada inciso. Encuentra una base de $\mathbb R^3$ que contenga a $S$:

$i)$ $S=\set{(1,0,1)}.$

$ii)$ $S=\set{(-2,1,5),(3,0,2)}.$

$2.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Encuentra al menos tres bases para el subespacio $W=\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x-3y+4z=0}$. ¿Cuántos elementos tienen estas bases?

$3.$ Encuentra bases para los siguientes subespacios del correspondiente $\mathbb R^n$ visto como espacio vectorial sobre los reales:

$i)$ $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid 3x-2y+5z=0}$

$ii)$ $\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid x=y+w}$

Más adelante

En la siguiente nota veremos el concepto de dimensión de un espacio vectorial.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 30. Dependencia e independencia lineal

Enlace a la nota siguiente. Nota 32. Dimensión de un $\mathbb R-$ espacio vectorial

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota veremos qué significa que un conjunto de vectores en $\mathbb R^n$ sea linealmente dependiente o linealmente independiente y veremos que esta idea está íntimamente relacionada a distinguir cuándo un conjunto de vectores tiene entre sus elementos algún vector que sea combinación lineal de los otros.

Definición

Sean $m\in\mathbb N$, $m>0$, $S=\set{v_1,\dotsc,v_m}\subseteq \mathbb R^n$ con $m$ vectores.

El conjunto $S$ es linealmente dependiente si existen $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$ no todos nulos tales que:

$\lambda_1 v_1+\dotsc +\lambda_m v_m=\bar{0}.$

Decimos que $S$ es linealmente independiente en caso contrario, es decir, si se tiene que

$\lambda_1 v_1+\dotsc +\lambda_m v_m=\bar{0}$ con $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$, implica que $\lambda_1=\cdots=\lambda_m=0$.

En otras palabras, $S$ es linealmente independiente si la única manera de obtener una combinación lineal de esos vectores igual al vector cero, es si en ella todos los vectores están multiplicados por cero.

Abreviaremos $l.d$ o $l.i$ respectivamente.

Ejemplos

$1.$ Sean $v_1=(2,4),v_2=(-1,5),v_3=(-2,-4)$ vectores de $\mathbb R^2$.

Como $(0,0)=v_1+v_3=1 v_1+0 v_2+1 v_3+0 v_4$, el conjunto $\set{v_1,v_2,v_3,v_4}$ es $l.d.$

$2.$ Sean $v_1=(-1,2,4),v_2=(1,8,8),v_3=(1,3,2)$ vectores de $\mathbb R^3$.

Como $(0,0)=v_1-v_2+2 v_3 =1 v_1+(-1) v_2+2 v_3$, el conjunto $\set{v_1,v_2,v_3}$ es $l.d.$

$3.$ Sean $v_1=(-2,1,0,1),v_2=(1,0,-1,0),v_3=(0,1,3,2)$ vectores de $\mathbb R^4$. ¿Es $\set{v_1,v_2,v_3}$ linealmente independiente?

Sean $\lambda,\mu, \nu \in \mathbb R$ tales que:

$\lambda (-2,1,0,1)+\mu (1,0,-1,0)+\nu (0,1,3,2)=(0,0,0,0).$

Desarrollando la expresión anterior obtenemos que:

$(-2\lambda+\mu,\lambda+\nu,-\mu+3\nu,\lambda+2 \nu)=(0,0,0,0)$

Comparando coordenada a coordenada obtenemos:

$\begin{align} -2\lambda+\mu &=0\\ \lambda+\nu &=0\\-\mu+3\nu &=0\\ \lambda+2 \nu &=0 \end{align}$

Restando la ecuación $2$ a la $4$ tenemos que $\nu=0$, y entonces por la ecuación $3$ tenemos que $\mu=3\nu=3\cdot 0=0$. Además, de la ecuación $2$ sabemos que $\lambda=-\nu=-0=0$, de forma que $\lambda=\mu=\nu=0$ y por lo tanto el conjunto $\set{v_1,v_2,v_3}$ es linealmente independiente.

Observa que lo que hemos tratado de exhibir en estos ejemplos para probar si un conjunto de vectores $v_1,\dotsc,v_m \in \mathbb R^n$ distintos, es $l.d$ o $l.i$, consiste en ver si existen $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m \in \mathbb R$ no todos nulos tales que $\lambda_1 v_1+\dotsc+\lambda_m v_m=\bar{0}$, o si la única forma de que $\lambda_1 v_1+\dotsc +\lambda_m v_m=\bar{0}$, es que $\lambda_1=\dotsc=\lambda_m =0$. En el primer caso el conjunto es $l.d$ y en el segundo $l.i.$

Observación 1

Sean $S$ y $S’$ subconjuntos finitos de $\mathbb R^n $ con $S’\subseteq S$.

$a)$ Si $S’$ es $l.d$, entonces $S$ es $l.d$.

$b)$ Si $S$ es $l.i$, entonces $S’$ es $l.i$.

Demostración de $a)$.

Sean $S’\subseteq S\subseteq \mathbb R^n$ con $S$ y $S’$ finitos. Entonces los conjuntos son de la forma

$S=\set{v_1,\dotsc,v_t}$

$S’=\set{v_1,\dotsc,v_t,v_{t+1},\dotsc,v_m},$

para algunos $t,m$ naturales positivos con $t\leq m$. Supongamos que $S’$ es $l.d$. Así, existen $\lambda_1,\dotsc,\lambda_t\in\mathbb R$ no todos nulos tales que $\lambda_1 v_1+\dotsc+\lambda_t v_t=\bar{0}$.

Tenemos entonces que $\lambda_1 v_1+\dotsc+\lambda_t v_t+0 v_{t+1}+\dotsc+0 v_m =\bar{0}$ con $\lambda_1,\dotsc,\lambda_t,0\in \mathbb R$ no todos nulos, por lo tanto $S$ es $l.d.$

Demostración de $b)$.

Es la contrapuesta de $a)$.

$\square$

Observación 2

Dos vectores en $\mathbb R^n $ forman un conjunto $l.d$ si y sólo si uno es múltiplo del otro.

Demostración

$\Longrightarrow$ Demostración de la implicación de ida

Supongamos que $\set{u,v}$ es $l.d$. Entonces existen $\lambda, \gamma \in \mathbb R$ no ambos nulos tales que $\lambda u+\gamma v=\bar{0}$. Si $\lambda \neq 0$ tenemos que $u=-\frac{\gamma}{\lambda} v$, y si $\gamma \neq 0$ tenemos que $v=-\frac{\lambda}{\gamma} u$.

$\Longleftarrow$ Demostración de la implicación de regreso

Sin pérdida de generalidad supongamos que $u=\mu v$ con $\mu\in \mathbb R$, entonces $1u+(-\mu)v=\bar{0}$ con $1\neq 0$. Así, $\set{u,v}$ es $l.d$.

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Determina si los siguientes conjuntos son $l.i$.

$i.$ $\set{(1,2,4),(0,0,3),(0,1,7)}$

$ii.$ $\set{(2,1,1),(-1,1,1),(1,0,0)}$

$2.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^2$ sobre el campo de los reales. ¿Para qué valores de $k$ el conjunto $\set{(3k,2),(-k,k+1)}$ es $l.i$?.

$3.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Sea $S=\set{v_1,v_2,v_3}$ un subjconjunto de $\mathbb R^3$ tal que ningun vector en él es múltiplo de otro. ¿Es $S$ linealmente independiente?

$4.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^n$ sobre el campo de los reales. Sea $S=\set{v_1,\dotsc,v_m}$ un subjconjunto de $\mathbb R^n$ tal que todo subconjunto de $S$ con $m-1$ vectores es linealmente independiente. ¿Es $S$ linealmente independiente?

Más adelante.

En la siguiente nota estudiaremos el concepto de base del espacio vectorial $\mathbb R^n$ y de base de un subespacio de $\mathbb R^n$.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 29. Subespacio generado

Enlace a la nota siguiente. Nota 31. Bases de $\mathbb R^n$

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la nota anterior vimos que si consideramos las combinaciones lineales de un conjunto $S\subseteq \mathbb R^n$, este conjunto al que denotamos $\mathscr C(S)$ tiene estructura de subespacio vectorial. En la presente nota continuaremos con el estudio de subespacios vectoriales y definiremos lo que es un subespacio generado por un conjunto de vectores.

Definición

Sea $S$ un subconjunto de $\mathbb R^n$. El subespacio de $\mathbb R^n$ generado por $S$ es el conjunto de combinaciones lineales de $S$, si $S\neq \emptyset$, o bien $\set{\bar{0}}$, si $S=\emptyset$.

Se denota por $\langle S \rangle$ (en algunos textos lo denotan por $Span(S)$.

Decimos que $S$ genera a $\langle S\rangle $ o que $S$ es un conjunto generador de $\langle S \rangle $.

Notación

Sean $m$ un natural positivo y $v_1,\dotsc,v_m\in \mathbb R^n.$

$\langle \set{v_1,\dotsc,v_m}\rangle$ se denota por $\langle v_1,\dotsc,v_m\rangle .$

Ejemplos

$1.$ Consideremos $\mathbb R^3$

$S=\set{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}=\set{e_1,e_2,e_3}.$

Claramente $\langle S\rangle \subseteq \mathbb R^3$. Además, si $(a,b,c)\in \mathbb R^3$

$(a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,01)\in \langle S\rangle .$

Concluimos que $\langle S\rangle =\mathbb R^3$ y decimos entonces que $S$ genera a $\mathbb R^3$.

$2.$ ¿El vector $(7,5,9)$ se encuentra en el generado por el conjunto $S=\set{(2,1,3),(1,1,1)}$?, es decir

¿$(7,5,9)\in \langle (2,1,3),(1,1,1)\rangle $?

Veamos si existen $\lambda, \mu\in \mathbb R$ tales que:

$(7,5,9)=\lambda (2,1,3)+\mu (1,1,1).$

En otras palabras buscamos $\lambda, \mu\in \mathbb R$ tales que:

$(7,5,9)= (2 \lambda+\mu,\lambda+\mu,3\lambda+\mu).$

Comparando coordenada a coordenada obtenemos que:

$2 \lambda+\mu=7$

$ \lambda+\mu=5$

$3\lambda+\mu=9.$

Esto lo resolvemos restando a la ecuación $1$ la $2$, y obtenemos que:

$\lambda=2,$

y como $ \lambda+\mu=5$, entonces $\mu=5-\lambda=5-2=3$.

Además con estos valores de $\lambda$ y de $\mu$ se satisface la ecuación $3$, pues $3\lambda+\mu=3\cdot 2+3=9.$

Tenemos entonces que:

$(7,5,9)=2 (2,1,3)+3 (1,1,1)$ y por lo tanto $(7,5,9)\in \langle (2,1,3),(1,1,1)\rangle $.

$3.$ ¿$(1,1,2,3)\in \langle (1,1,1,4),(1,-1,1,5)\rangle $?

Buscamos $\lambda, \mu\in \mathbb R$ tales que:

$(1,1,2,3)=\lambda (1,1,1,4)+\mu (1,-1,1,5)$

Desarrollando obtenemos:

$(1,1,2,3)=(\lambda+\mu,\lambda-\mu,\lambda+\mu,4\lambda+5 \mu).$

Comparando coordenada a coordenada obtenemos que:

$\lambda+\mu=1$

$\lambda-\mu=1$

$\lambda+\mu=2$

$4 \lambda+5 \mu=3.$

Observamos que si esto ocurriera tendríamos que $\lambda+\mu=1$ y al mismo tiempo $\lambda+\mu=2$, y por lo tanto $1=2$ lo cual es una contradicción. De modo que no existen $\lambda, \mu\in \mathbb R$ que satisfagan esas condiciones y así $(1,1,2,3)\notin \langle (1,1,1,4),(1,-1,1,5)\rangle .$

$4.$ Consideremos $\mathbb R^3$ y $S=\set{(1,1,1),(1,-1,0),(1,0,0)}.$

¿Será acaso que $\langle S\rangle =\mathbb R^3$?

Sabemos que $\langle S\rangle \subseteq \mathbb R^3$. Ahora si $(a,b,c)\in \mathbb R^3$, ¿$(a,b,c)\in \langle S\rangle $?, ¿existirán $\lambda, \mu,\nu \in \mathbb R$ tales que:

$(a,b,c)=\lambda (1,1,1)+\mu (1,-1,0)+\nu (1,0,0) $?

Siupongamos que sí existen $\lambda, \mu,\nu \in \mathbb R$ tales que:

$(a,b,c)=\lambda (1,1,1)+\mu (1,-1,0)+\nu (1,0,0)$.

Desarrollando, esto implicaría que:

$(a,b,c)= (\lambda+\mu+\nu ,\lambda-\mu,\lambda).$

Comparando coordenada a coordenada obtendríamos que:

$\lambda+\mu+\nu =a$

$\lambda-\mu=b$

$\lambda=c$

Así, $\lambda=c$. despejando $\mu$ de la segunda ecuación tenemos que $\mu=\lambda-b$, entonces $\mu=c-b.$ Finalmente, despejando $\nu$ de la primera ecuación y sustituyendo los valores de $\lambda=c$ y $\mu=c-b$ obtenemos que:

$\nu=a-\mu-\lambda=a-(c-b)-c=a-c+b-c=a+b-2c.$

Así:

$(a,b,c)=c (1,1,1)+(c-b) (1,-1,0)+(a+b-2c)(1,0,0)$.

Concluimos que $\mathbb R^3\subseteq \langle S\rangle $ y por lo tanto $\langle S\rangle =\mathbb R^3$. Decimos entonces que $S$ es un generador de $ \mathbb R^3$.

Importante

Si $W\subseteq \langle S\rangle $ pero $W\neq \langle S\rangle $, entonces el generado de $S$ no es $W$.

Por ejemplo:

Si $W=\set{(a,a)\mid a\in \mathbb R}$ y $S=\set{(1,0),(0,1)}$, el generado de $S$, es $\mathbb R^2=\langle S\rangle $, observa que $W\subseteq \langle S\rangle $, pero $S$ no genera a $W$, si no a algo más amplio que es $\mathbb R^2$.

Tarea Moral

$1.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Determina si el vector $v$ pertenece al subespacio $W$ dado.

$i)$ $v=(2,-3,7)$ y $W=\langle (1,0,0),(1,-1,0),(1,-1,-1)\rangle .$

$ii)$ $v=(1,-4,3,-1)$ y $W=\langle (1,1,1,0),(1,0,1,1)\rangle .$

$2.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Describe al subespacio $W=\langle (3,1,2),(-4,-5,1)\rangle .$

Más adelante

En la siguiente nota veremos los conceptos de dependencia e independencia lineal.

Enlaces relacionados

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Nota anterior. Nota 28 Combinaciones lineales.

Nota siguiente. Nota 30. Dependencia e independencia lineal.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la presente nota definiremos lo que son las combinaciones lineales de los elementos de un subconjunto de $\mathbb R^n$, veremos que si iniciamos con cualquier subconjunto no vacío de $\mathbb R^n$ y consideramos todas sus combinaciones lineales, este conjunto será siempre un subespacio vectorial de $\mathbb R^n$.

Iniciemos con la definición de combinaciones lineales.

Definición

Sean $m\in \mathbb N$ con $n>0$ y $v_1,\dotsc,v_m\in \mathbb R^n$. Una combinación lineal de $v_1,\dotsc,v_m$ es una expresión de la forma:

$\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_m v_m$

con $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.

De modo más general, si $S$ es un subconjunto de $\mathbb R^n$, una combinación lineal de vectores de $S$ es un vector de la forma:

$\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_m v_m$,

con $m\in \mathbb N$, $n>0$, $v_1,\dotsc,v_m\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.

Ejemplos

$1.$ Considera al conjunto $S=\set{(1,0,0),(1,-1,0),(1,1,-1)}.$

$2(1,0,0)-(1,-1,0)+5(1,1,-1)=(6,6,-5)$

$-3(1,0,0)+0(1,-1,0)+(1,1,-1)=(-2,1,-1)$

$0(1,0,0)+(1,-1,0)+5(1,1,-1)=(6,4,-1)$

son combinaciones lineales de vectores de $S.$

$2.$ Considera al conjunto $S=\set{ (1,2,0,5),(-1,3,2,-\frac{1}{2}) }.$

$4(1,2,0,5)+9(-1,3,2,-\frac{1}{2})=(-5,35,18,\frac{31}{2})$

es una combinación lineal de vectores de $S$.

$3.$ Considera al conjunto $S=\set{(\frac{1}{n},\frac{1}{n})\mid n\in \mathbb N, n>0}$. Observa que

$S=\set{(1,1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2}),(\frac{1}{3},\frac{1}{3})\dotsc}.$

Entonces

$2(\frac{1}{2} , \frac{1}{2})+3(\frac{1}{6} ,\frac{1}{6} )-4(\frac{1}{12}, \frac{1}{12})=(\frac{7}{6} , \frac{7}{6})$

es una combinación lineal de vectores de $S$.

Importante

Aunque el conjunto $S$ sea infinito, en una combinación lineal sólo se usa una cantidad finita de vectores de $S$.

Proposición

Sea $S$ un subconjunto no vacío de $\mathbb R^n$. El conjunto de todas las combinaciones lineales de $S$, que denotamos por $\mathscr C(S)$, cumple lo siguiente:

$i)$ Es un subespacio de $\mathbb R^n$, es decir $\mathscr C(S)\leq \mathbb R^n$.

$ii)$ Contiene al conjunto $S$, es decir $S\subseteq \mathscr C(S)$.

$iii)$ El conjunto $\mathscr C(S)$ está contenido en cualquier subespacio $W$ de $\mathbb R^n$ que contenga a $S$.

Demostración

Demostración de $i)$.

Por demostrar que $\mathscr C(S)\leq \mathbb R^n$.

Como $S\neq \emptyset$, sea $v\in S$. Tenemos que $\bar{0}=0v\in \mathscr C(S).$

Sean $v,w\in \mathscr C(S)$, por demostrar que $v+w\in \mathscr C(S).$

Como $v,w\in \mathscr C(S)$ tenemos que

$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_t$, con $t\in \mathbb N$, $n>0$, $v_1,\dotsc,v_t\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_t\in \mathbb R$, y

$w= \mu_1 w_1+\dotsc+ \mu_m w_m$, con $m\in \mathbb N$, $n>0$, $w_1,\dotsc,w_m\in S$ y $\mu_1,\dotsc,\mu_m\in \mathbb R$.

Entonces

$v+w=(\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_t v_t) + (\mu_1 w_1+\dotsc+ \mu_m w_m)$

por lo cual la suma $v+w$ es otra combinación lineal de elementos de $S,$ y por lo tanto $v+w\in \mathscr C(S)$.

Sean $v\in \mathscr C(S)$ y $\gamma\in \mathbb R.$

Por demostrar que $\gamma v\in \mathscr C(S).$

Como $v\in \mathscr C(S)$ tenemos que

$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_m$, con $m\in \mathbb N$, $n>0$, $v_1,\dotsc,v_m\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.

Observa entonces que:

$\gamma v=\gamma (\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_m v_m)=(\gamma \lambda_1) v_1+\dotsc+ (\gamma \lambda_m )v_m$

que también es una combinación lineal de los elementos de $S$ y por lo tanto $\gamma v\in \mathscr C(S)$.

Como $\bar{0}\in \mathscr C(S)$, $v+w\in \mathscr C(S)$ para todos $v,w\in \mathscr C(S)$, y $\gamma v\in \mathscr C(S)$ para todo $\gamma \in \mathbb R$ y todo $ v\in \mathscr C(S)$, concluimos que $\mathscr C(S)$ es un subespacio de $\mathbb R^n$.

Demostración de $ii)$

Por demostrar que $S\subseteq \mathscr C(S)$.

Sea $v\in S$, por demostrar que $v\in \mathscr C(S)$.

Como $v=1v$, entonces $v$ es una combinación lineal de vectores de $S$ y por tanto $v\in \mathscr C(S)$.

Así, $S\subseteq \mathscr C(S)$.

Demostración de $iii)$

Sea $W$ un subespacio de $\mathbb R^n$ que contiene a $S$, es decir tal que $S\subseteq W$.

Por demostrar que $\mathscr C(S)\subseteq W.$

Sea $v\in \mathscr C(S).$ Sabemos que

$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_m v_m$, con $m\in \mathbb N$, $n>0$, $v_1,\dotsc,v_m\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.

Para cada $i$, $v_i\in S$, y $S\subseteq W$, entonces $v_i\in W$ para todo $i$.

Como $W$ es un subespacio vectorial el producto por escalares es cerrado y entonces $\lambda_i v_i\in W$ para todo $i$, además la suma es cerrada en $W$ por lo que:

$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n\in W$.

Por lo tanto $\mathscr C(S)\subseteq W$.

Tarea Moral

$1.$ Sea $S=\set{(1,1,1),(-4,-4,-4)}$. En caso de ser posible, halla $3$ subespacios de $\mathbb R^3$ que contengan a $S$, si no es posible explica por qué.

$2$. Sea $S=\set{(2,-5,3),(4,-1,0)}$. En caso de ser posible, encuentra $3$ subespacios de $\mathbb R^3$ que contengan a $S$, si no es posible explica por qué.

Más adelante

En la siguiente entrada veremos cómo construir un subespacio a partir de un subconjunto de vectores dado, usando como herramienta el concepto de combinación lineal que acabamos de estudiar.

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