3.4. MATRIZ DE UNA COMBINACIÓN LINEAL DE TRANSFORMACIONES: ejemplos y propiedades

Por Jennyfer Paulina Bennetts Castillo

Deja un comentario

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Sabemos que toda transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita puede describirse mediante una matriz, siempre que fijemos bases en el dominio y el codominio. Lo verdaderamente valioso es que esta relación no solo asigna una matriz a cada transformación lineal, sino que establece una biyección entre ambas nociones. Esto significa que no hay pérdida de información al pasar de una descripción a la otra; cada transformación lineal tiene una única matriz asociada y cada matriz representa exactamente una transformación lineal. En otras palabras, estamos ante dos “lenguajes” distintos capaces de expresar la misma estructura.

Esta correspondencia no es accidental: surge de la manera en que una transformación lineal actúa sobre los vectores y, en particular, sobre las coordenadas de esos vectores respecto de una base.

Además, esta biyección respeta la estructura del espacio vectorial: suma de transformaciones corresponde a suma de matrices, y la multiplicación por escalares también se conserva. Así, podemos movernos libremente entre el enfoque geométrico y el algebraico según lo necesitemos. A partir de este punto, trabajar con transformaciones lineales o con matrices es, en esencia, trabajar con la misma entidad expresada desde dos perspectivas totalmente equivalentes.

Ejemplos

  • Sean $K=\mathbb{R}$, $V=\{ ax+bx^2+cx^3 | a,b,c \in \mathbb{R} \}$ y $W=\{ d+ex+fx^2 | d,e,f \in \mathbb{R} \}$.
    Sean $B = (x,x^2,x^3)$ y $\Gamma = (1,x,x^2)$.
    Sean $T,S \in \mathcal{L}(V,W)$ con $T(ax+bx^2+cx^3)=a+2bx+3cx^2$ y $S(ax+bx^2+cx^3)=(2a+b)+3bx-cx^2$
    $[ 3T+S ]_{B}^{\Gamma} = 3 [ T ]_{B}^{\Gamma} +[ S ]_{B}^{\Gamma}$

Justificación.

Por un lado, $(3T+S) \left( ax+bx^2+cx^3 \right) = 3T(ax+bx^2+cx^3)+S(ax+bx^2+cx^3)$ $=3[a+2bx+3cx^2]+ \left[ (2a+b)+3bx-cx^2 \right]$ $=(5a+b)+9bx+8cx^2$.
De donde $[ 3T+S ]_{B}^{\Gamma} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$.

Por otro lado $[ T]_{B}^{\Gamma} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ y $[ S ]_{B}^{\Gamma} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
De donde $3[ T ]_{B}^{\Gamma} + [ S]_{B}^{\Gamma} = 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$.

Veamos ahora que lo que ocurrió en el ejemplo anterior no es casualidad, probemos que el asignarle a una transformación lineal su matriz asociada se comporta bien con las operaciones de suma y producto por escalar:

Proposición (3.4.1.): Sean $V,W$ $K$ – espacios vectoriales de dimensión finita, $B, \Gamma$ bases ordenadas de $V$ y $W$ respectivamente, $T,S \in \mathcal{L}(V,W)$ y $\lambda \in K$.
Se cumple que $[ \lambda S + T ]_{B}^{\Gamma}$ $= \lambda [ S ]_{B}^{\Gamma} + [ T ]_{B}^{\Gamma}$.

Demostración: Sean $n$ la dimensión de $V$, $B= ( v_1, …, v_n )$ y $j \in \{ 1, …, n \}$.

$\begin{align*}
col_j [ \lambda S + T]_{B}^{\Gamma} &= [ (\lambda S + T)(v_j) ]_{\Gamma} \tag{Def. de suma y producto}\\
&= [ \lambda S(v_j) + T(v_j) ]_{\Gamma}\tag{Obs. entrada 3.1}\\
&= \lambda [ S(v_j) ]_{\Gamma} + [ T(v_j) ]_{\Gamma} \tag{Def. de matriz asociada}\\
&= \lambda col_j[ S ]_{B}^{\Gamma} + col_j [ T ]_{B}^{\Gamma} \tag{Suma de matrices}\\
&= col_j \left( \lambda [ S ]_{B}^{\Gamma} +[T ]_{B}^{\Gamma} \right) \tag{}\\
\end{align*}$

$\therefore col_j [\lambda S + T ]_{B}^{\Gamma} = col_j \left( \lambda [S ]_{B}^{\Gamma} + [ T ]_{B}^{\Gamma} \right)$

Al tratarse de una columna aleatoria, concluimos que todas las columnas de $[ \lambda S + T ]_{B}^{\Gamma}$ y $\lambda [ S ]_{B}^{\Gamma} + [ T ]_{B}^{\Gamma}$ son iguales y con ello, las matrices son idénticas.

Por lo tanto $[\lambda S + T ]_{B}^{\Gamma} = \lambda [ S ]_{B}^{\Gamma} + [ T]_{B}^{\Gamma}$.

Veamos ahora que la matriz asociada a una transformación lineal determina por completo a la transformación:

Proposición (3.4.2.): Sean $V,W$ $K$ – espacios vectoriales de dimensión finita, $B$ y $\Gamma$ bases ordenadas de $V$ y $W$ respectivamente, $T,S \in \mathcal{L}(V,W)$.
Si $[T ]_{B}^{\Gamma} = [ S ]_{B}^{\Gamma}$ entonces $T=S$.

Demostración: Supongamos que $[T ]_{B}^{\Gamma} =[ S ]_{B}^{\Gamma}$

Sean $n$ y $m$ las dimensiones de $V$ y $W$ respectivamente, $B= ( v_1, …, v_n )$ y $\Gamma = ( w_1, …, w_m )$.

Sea $j \in \{ 1,…,n \}$.
Debido a que $\Gamma$ es una base de $W$, existen $\lambda_{1j}, …, \lambda_{mj} \in K$ tales que $T(v_j) =\lambda_{1j}w_1 + … + \lambda_{mj}w_m$. Entonces,

$\begin{align*}
\begin{pmatrix} \lambda_{1j} \\ \vdots \\ \lambda_{mj} \end{pmatrix}&=[ T(v_j) ]_{\Gamma} \tag{}\\
&= col_j [T]_{B}^{\Gamma} \tag{}\\
&= col_j [ S ]_{B}^{\Gamma} \tag{$[ T]_{B}^{\Gamma} =[S ]_{B}^{\Gamma}$}\\
&= [ S(v_j) ]_{\Gamma} \tag{}\\
\therefore \begin{pmatrix} \lambda_{1j} \\ \vdots \\ \lambda_{mj} \end{pmatrix}&=[ S(v_j)]_{\Gamma}
\end{align*}$

Por lo tanto, $S(v_j) =\lambda_{1j}w_1 + … + \lambda_{mj}w_m = T(v_j)$.

Como se cumple para toda $j \in \{ 1, …, n \}$, entonces $T$ y $S$ coinciden al evaluarse en los elementos de una base y por el corolario 2.4.2 de la entrada 2.4 esto nos permite concluir que $T=S$.

Ejemplos

  • Sean $K = \mathbb{R}$ y $V=W= \mathbb{R}^3$.
    Sean $\mathcal{C} = (e_1, e_2, e_3)$ la base canónica de $V$ y $\Gamma = ((1,0,1), (1,1,0), (0,1,1))$ una base de $W$.
    Sean $T,S \in \mathcal{L}(V,W)$ tales que $[ T ]_{\mathcal{C}}^{\Gamma} =[ S ]_{\mathcal{C}}^{\Gamma} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \\ 8 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.
    Entonces $T(x,y,z)=S(x,y,z)=(3x-y+5z, 9x+2z, 10x+y+5z)$

Justificación.

$T(e_1) = S(e_1) = 2(1,0,1) + 1(1,1,0) + 8(0,1,1) = (3,9,10)$
$T(e_2) = S(e_2) = 0(1,0,1) – 1(1,1,0) + 1(0,1,1) = (-1,0,1)$
$T(e_3) = S(e_3) = 4(1,0,1) + 1(1,1,0)+ 1(0,1,1) = (5,2,5)$

Tenemos que $T(x,y,z) = T(xe_1 + ye_2 + ze_3)$ $= xT(e_1) + yT(e_2) + zT(e_3)$$=xS(e_1) + yS(e_2) + zS(e_3)$ $=S(xe_1 + ye_2 + ze_3)$ $=S(x,y,z)$.

Y como $xT(e_1) + yT(e_2) + zT(e_3)$ $= x(3,9,10) + y(-1,0,1) + z(5,2,5)$ $=(3x-y+5z,9x+2z,10x+y+5z)$, entonces $T(x,y,z)=S(x,y,z)=(3x-y+5z,9x+2z,10x+y+5z)$.

Tarea Moral

  1. Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión dos y $S, T \in \mathcal{L}(V,V)$.
    Sea $\Gamma$ base ordenada de $V$.
    Dadas $M_1 , M_2 \in \mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ y $\alpha_1 , \alpha_2 , \beta_1 , \beta_2 \in \mathbb{R}$, si se tiene que:
    $\begin{cases}
    [ \alpha_1 S + \beta_1 T ]_{\Gamma} = M_1\\
    [ \beta_2 S + \beta_2 T]_{\Gamma} = M_2\\
    \end{cases}$
    ¿Cómo crearías un sistema de ecuaciones para obtener $S$ y $T$?
    ¿Lo puedes adaptar para tres transformaciones si tuvieras tres ecuaciones matriciales inicialmente bien definidas? ¿Sería necesario ajustar en ese caso la dimensión de $V$? Justifica tus respuestas.
  2. ¿Qué te dice el hecho de que una misma transformación tenga distintas matrices según la base? ¿Eso cambia la esencia de la transformación? ¿Por qué sí o por qué no?
    Para responder, reflexiona en lo siguiente:
    Imagina que en un plano cartesiano estás parado con el Eje X (lado positivo), y un amigo está en el Eje Y (lado negativo) viendo simultánemante a un triángulo rotar. Sus descripciones en coordenadas serán diferentes, porque sus ejes son distintos… ¿eso significa que vieron distintas rotaciones?

Más adelante…

Veremos un resultado que junto con los dos de esta entrada darán lugar a un isomorfismo que quizás a algunos sorpenda y otros hayan visto venir… No por nada intervienen en él dos espacios vectoriales que hemos mencionado una y otra vez de modo tal que hemos tenido que recalcar que uno consiste de las representaciones de los elementos del otro. ¿Cuáles dos espacios crees que sean?

Entradas relacionadas

3.3. MATRICES DE UNA TRANSFORMACIÓN Y VECTORES DE COORDENADAS: relación entre sí

Por Jennyfer Paulina Bennetts Castillo

Deja un comentario

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Nos concentraremos en una igualdad que nos permite encontrar el transformado de un vector, o de modo más preciso: su codificación en términos de alguna base, a partir del producto de la matriz asociada a la transformación y el vector de coordenadas de dicho vector.
Nuestra principal motivación es que es más fácil manejar los vectores de coordenadas que los vectores mismos y las matrices en vez de las transformaciones lineales.

Más allá de lo útil que es la proposición que veremos a continuación, la demostración nos permite comprender la estructura, paso a paso, que permite esta igualdad.

Resulta importante recordar que las matrices pasaron de ser tan solo un ejemplo de espacio vectorial a la forma en que se manejan las transformaciones en lugar de la regla de correspondencia usualmente ocupada en funciones.

Las propiedades lineales de las matrices cobran protagonismo en la demostración de la siguiente proposición por lo que se sugiere tenerlas presentes y revisarlas si es que se considera necesario . Es importante dedicarle a este resultado el suficiente tiempo y atención pues nos será de mucha utilidad tanto en la teoría como en los ejercicios posteriores.

Proposición (3.3.1.): Sean $V$ y $W$ $K$ – espacios vectoriales de dimensión finita con bases ordenadas $B$ y $\Gamma$ y $T\in \mathcal{L}(V,W)$.
Entonces para todo $v\in V$ se cumple que $[ T(v) ]_{\Gamma} = [ T ]_{B}^{\Gamma} [ v ]_{B}$.

Demostración: Sea $v\in V$.

Notemos primero que el resultado se cumple cuando $v$ es uno de los vectores de la base $B$. Digamos que $\B = (v_1,v_2,…,v_n)$ con $v_1,v_2,…,v_n\in V$.

Af. 1. Para toda $j\in\{1,2,…,n\}$ se cumple que $[T]_B^{\Gamma} [v_j ]_{B} =[T(v_j) ]_{\Gamma}$

Justificación. Sea $j\in \{ 1,2,…,n\}$.

Como $v_j= 0v_1+…+1v_j+…+0v_n$:

$[ T ]_{B}^{\Gamma} [ v_j  ]_{B}$ $=[T ]_{B}^{\Gamma} \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$ $= col_j [T ]_{B}^{\Gamma}$ $=[ T(v_j) ]_{\Gamma}.$

Ahora bien, sea $v\in V$. Sabemos que existen $\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n\in K$ tales que $v=\sum_{j=1}^{n} \lambda_j v_j $. Recordemos que, de acuerdo a la observación de la entrada 3.1, el vector de coordenadas abre sumas y saca escalares. Así,

$\begin{align*}
[ T(v) ]_{\Gamma}&=\left[ T \left( \sum_{j=1}^{n} \lambda_j v_j \right) \right]_{\Gamma} \tag{$v=\sum_{j=1}^{n} \lambda_j v_j $}\\
&=\left[ \sum_{j=1}^{n} \lambda_j T(v_j) \right]_{\Gamma} \tag{$T\in\mathcal{L}(V,W)$}\\
&=\sum_{j=1}^{n} \lambda_j [ T(v_j) ]_{\Gamma}\tag{Obs. entrada 3.1}\\
&=\sum_{j=1}^{n} \left( \lambda_j [ T ]_{B}^{\Gamma}[v_j ]_{B} \right)\tag{Af. 1}\\
&=[ T ]_{B}^{\Gamma} \left( \sum_{j=1}^{n} \left( \lambda_j[ v_j ]_{B} \right) \right) \tag{prop. matriz}\\
&=[ T]_{B}^{\Gamma} \left[ \sum_{j=1}^{n}\lambda_j v_j \right]_{B} \tag{Obs. entrada 3.1}\\
&=[ T ]_{B}^{\Gamma} [ v ]_{B}\tag{$v=\sum_{j=1}^{n} \lambda_j v_j $}\\
\therefore [T(v) ]_{\Gamma}=[ T ]_{B}^{\Gamma}[v ]_{B}.
\end{align*}$

Ejemplos

  • Sean $B = ((1,2),(1,1))$ y $\Gamma = ((3,1),(-1,2))$ bases ordenadas de $\mathbb{R}^2$.
    Sea $T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^2)$ tal que $[ T ]_{B}^{\Gamma}=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.
    Entonces: $[T(x,y) ]_{\Gamma} = \begin{pmatrix} 2y \\ 5x-3y \end{pmatrix}.$

Sea $(x,y)\in\mathbb{R^2}$:
$(x,y)= \lambda (1,2) + \mu (1,1)=(\lambda + \mu , 2\lambda + \mu)$ para algunos $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$.
Así:
$\lambda + \mu = x$ $…(1)$
$2\lambda + \mu = y$ $…(2)$

Restando$(1)$ a $(2)$ tenemos que $\lambda = y-x$ $…(3)$.
De sustituir $(3)$ en $(1)$ y despejar $\mu$ obtenemos que $\mu =2x-y$.
Por lo tanto, $[(x,y) ]_{B}= \begin{pmatrix} y-x \\ 2x-y \end{pmatrix}$.

Por la proposición 3.3.1, $[T(x,y) ]_{\Gamma} = [T ]_{B}^{\Gamma}$$[ (x,y) ]_{B}=$$\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y-x \\ 2x-y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2y \\ 5x-3y \end{pmatrix}$.

Además, de lo anterior concluimos que $T(x,y)=2y(3,1)+(5x-3y)(-1,2)$$=(6y,2y)+(-5x+3y,10x-6y)$$=(-5x+9y,10x-4y)$.

Tarea Moral

  1. Sean $K=\mathbb{R}$, $T:\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})\longrightarrow\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ con $T(A)=A^t$ y $B=\Gamma = (E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})$ la base canónica. Considera $v= \begin{pmatrix} -7 & \frac{1}{2} \\ \pi & 0 \end{pmatrix}$. Calcula $[ T ]_{B}^{\Gamma}$ y úsala para encontrar $[ T(v) ]_{\Gamma}$.
  2. Sean $K=\mathbb{R}$, $V=\{ a+bx+cx^2|a,b,c \in \mathbb{R} \}$, $T: V \longrightarrow V$ con $T(f(x))=3(f'(x))(2-x)+4f(x)$, $B=(1,x,x^2)$ la base canónica y $\Gamma = (1+2x+3x^2,-1+4x+2x^2,-2+x+x^2)$.
    Considera $v=-5+11x-2x^2$. Calcula $[ T ]_{B}^{\Gamma}$ y úsala para encontrar $[T(v) ]_{\Gamma}$.

Más adelante…

Ahora que hemos entendido cómo es la matriz asociada a una transformación lineal recordemos que las transformaciones lineales se pueden multiplicar por escalares y se pueden sumar entre sí. Es natural entonces preguntarse: ¿cómo se relaciona la matriz asociada a una transformación con la matriz asociada al producto de dicha transformación con algún escalar?, ¿cómo se relacionan las matrices asociadas a dos transformaciones lineales con la matriz asociada a la suma de dichas transformaciones?

Pequeño adelanto: resultará igual realizar la operación de la(s) transformación(es) y después fijarse en la matriz asociada, que tomar la(s) matriz(ces) asociada(s) a la(s) transformación(es) y posteriormente realizar las operaciones correspondientes en las matrices.

Entradas relacionadas

3.2. MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL: definición y ejemplos

Por Jennyfer Paulina Bennetts Castillo

Deja un comentario

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Cuando aprendimos sobre transformaciones lineales, vimos cómo una regla sencilla puede convertir un vector en otro dentro de un espacio. Pero, ¿cómo podemos representar esa transformación de manera compacta, ordenada y útil para hacer cálculos? Aquí es donde entra la matriz asociada a una transformación lineal: una herramienta poderosa que traduce la acción de transformar en un lenguaje que ya conocemos muy bien.

Además de ayudarnos a manejar las transformaciones lineales, las matrices nos permiten ingresar las instrucciones a los ordenadores

Relacionar una transformación lineal con una matriz nos permite aprovechar todas las ventajas del álgebra matricial: sumar, multiplicar, invertir, y entender cómo se comportan los vectores al pasar por la transformación. Descubrir que detrás de cada transformación hay una matriz que la representa es como encontrar el “manual de instrucciones” que hace el trabajo detrás de escena. Ahora aprenderemos cómo construir ese manual y por qué es tan útil.

Si este video te gustó, podrías después investigar cómo se relacionan la geometría proyectiva, los videojuegos y el álgebra lineal.

Nota: Dada $A=\begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{m \times n}(K)$ con $K$ un campo, la columna $j$ de $A$ se denotará por $col_j(A)= \begin{pmatrix} a_{1j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix}$.

MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Definición: Sean $V,W$ $K$-espacios vectoriales de dimensión finita, $B = (v_1,v_2,…,v_n)$, $\Gamma = (w_1,w_2,…,w_m)$ bases ordenadas de $V$ y $W$ respectivamente y $T\in\mathcal{L}(V,W)$. Llamamos matriz de $T$ respecto a $B$ y $\Gamma$ a la matriz $[ T ]^{\Gamma}_{B}$$\in\mathcal{M}_{m\times n}(K)$ donde para toda $j\in \{ 1,2,…n \}$ tenemos que $col_j( [ T ]^{\Gamma}_{B} )=[ T(v_j) ]_{\Gamma}$.

Observación: Si $[ T ]^{\Gamma}_{B}= \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1j} & … & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & … & a_{mj} & … & a_{mn} \end{pmatrix}$, entonces $T(v_j)= a_{1j}w_1 + … + a_{mj}w_m$.

Ejemplos

  • Sean $V=\{ a+bx+cx^2 + dx^3 | a,b,c,d\in\mathbb{R} \}$, $W=\{ e+fx+gx^2 | e,f,g\in\mathbb{R} \}$ y $T:V\longrightarrow W$ donde $\forall p(x)\in V (T(p(x))=p'(x)$.
    Sean $B =(1,x,x^2,x^3)$, $\Gamma =(1,x,x^2)$ bases ordenadas de $V$ y $W$ respectivamente.
    Entonces se cumple que:
    $[T ]^{\Gamma}_{B}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ y $\forall p(x)\in V \;([ T(p(x))]_{\Gamma} = [ T]^{\Gamma}_{B} [ p(x) ]_{B})$

Justificación. Tenemos que:
$T(1)=1’=0$. Así, $T(1)=(0)1+0x+0^2$.
$T(x)=x’=1$. Así, $T(x)=(1)1+0x+0x^2$.
$T(x^2)=(x^2)’=2x$. Así, $T(x^2)=(0)1+2x+0x^2$.
$T(x^3)=(x^3)’=3x^2$. Así, $T(x^3)=(0)1+0x+3x^2$.

$[T ]^{\Gamma}_{B} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}_{3 \times 4}$

Ahora bien, sea $p(x)=a + bx + cx^2 + dx^3 \in V$.
Entonces $[p(x)]_{B} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}$ y $T(p(x))=p'(x)=b+2cx+3dx^2$.

Por lo tanto, $[T ]^{\Gamma}_{B} [ p(x) ]_{B} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 2c \\ 3d \end{pmatrix} =[ T(p(x))]_{\Gamma}$.

  • Sean $V=\{ a+bx+cx^2 + dx^3 | a,b,c,d\in\mathbb{R} \}$, $W=\{ e+fx+gx^2 | e,f,g\in\mathbb{R} \}$.
    Sean $B =(1,x,x^2,x^3)$, $\Gamma =(1,x,x^2)$ bases ordenadas de $V$ y $W$ respectivamente. Si $S\in \mathcal{L}(V,W)$ es tal que $[S ]^{\Gamma}_{B} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, entonces $\forall a+bx+cx^2+dx^3\in V \;(S(a+bx+cx^2+dx^3)$$=(a-b+4d)+(b+2c+d)x+(a+c+2d)x^2)$

Justificación. Sea $a+bx+cx^2+dx^3\in V$.
$S(1)=1(1)+0x+1x^2=1+x^2$
$S(x)=-1(1)+1x+0x^2=-1+x$
$S(x^2)=0(1)+2x+1x^2=2x+x^2$
$S(x^3)=4(1)+1x+2x^2=4+x+2x^2$

Entonces $S(a+bx+cx^2+dx^3)=aS(1)+bS(x)+cS(x^2)+dS(x^3)$$=a(1+x^2)+b(-1+x)+c(2x+x^2)+d(4+x+2x^2)$$=a+ax^2-b+bx+2cx+cx^2+4d+dx+2dx^2$$=(a-b+4d)+(b+2c+d)x+(a+c+2d)x^2$

  • Sea $T:\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ donde $\forall (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 (T(x,y,z)=(2x+y,x-y+3z))$.
    Sean $B = ((1,2,0),(0,3,4),(1,-1,0))$ y $\mathcal{C}_3=(e_1,e_2,e_3)$ bases ordenadas de $\mathbb{R}^3$
    Sean $\Gamma = ((1,-1),(0,1))$ y $\mathcal{C}_2=(e_1,e_2)$ bases ordenadas de $\mathbb{R}^2$.
    Entonces $[T ]^{\mathcal{C}_2}_{B} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ -1 & 9 & 2 \end{pmatrix}_{2 \times 3}$
    $[ T ]^{\mathcal{C}_2}_{\mathcal{C}_3} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}_{2 \times 3}$
    $[T ]^{\Gamma}_{B} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 3 & 12 & 3 \end{pmatrix}_{2 \times 3}$
    $[ T ]^{\Gamma}_{\mathcal{C}_3} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}_{2 \times 3}$

Justificación. Calculemos una a una:

$T(1,2,0)=(4,-1)=4e_1-1e_2$
$T(0,3,4)=(3,9)=3e_1+9e_2$
$T(1,-1,0)=(1,2)=1e_1+2e_2$
Entonces $[ T ]^{\mathcal{C}_2}_{B} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ -1 & 9 & 2 \end{pmatrix}$

$T(e_1)=(2,1)=2e_1+1e_2$
$T(e_2)=(1,-1)=1e_1-1e_2$
$T(e_3)=(0,3)=0e_1+3e_2$
Entonces $[ T ]^{\mathcal{C}_2}_{\mathcal{C}_3} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

$T(1,2,0)=(4,-1)=4(1,-1)+3(0,1)$
$T(0,3,4)=(3,9)=3(1,-1)+12(0,1)$
$T(1,-1,0)=(1,2)=1(1,-1)+3(0,1)$
Entonces $[ T]^{\Gamma}_{B} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 3 & 12 & 3 \end{pmatrix}$

$T(e_1)=(2,1)=2(1,-1)+3(0,1)$
$T(e_2)=(1,-1)=1(1,-1)+0(0,1)$
$T(e_3)=(0,3)=0(1,-1)+3(0,1)$
Entonces $[ T ]^{\Gamma}_{\mathcal{C}_3} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

Tarea Moral

  1. Sea $T: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n$ con $T(x_1,x_2,…,x_n)=(x_n,x_{n-1},…,x_1)$
    Sea $B=\Gamma = (e_1,e_2,…,e_n)$ la base canónica
    Calcula $[T]^{\Gamma}_{B}.$
  2. Sea $T: \mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})\longrightarrow \mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ con $T(A)=A^t$.
    Sean $B=\Gamma=(E_{11},E_{1,2},E_{2,1},E_{22})$ la base canónica y
    $v=\begin{pmatrix} -7 & \frac{1}{2} \\ \pi & 0 \end{pmatrix}.$
    Calcula $[ T ]^{\Gamma}_{B}$ y $[ v ]_{B}$. Calcula $[ T(v)]_{\Gamma}$ y $[ T ]_{B}^{\Gamma} [ v ]_{B}$ y compáralos.

Más adelante…

En la siguiente entrada nos centraremos en un único resultado:
Sean $V,W$ $K$ – espacios vectoriales de dimensión finita con $B$ y $\Gamma$ bases ordenadas de $V$ y $W$ respectivamente y $T\in \mathcal{L}(V,W)$.
Entonces para todo $v\in V$ se cumple que $[ T(v)]_{\Gamma} =[ T ]_{B}^{\Gamma} [ v ]_{B}.$

Entradas relacionadas

3.1. BASE ORDENADA Y VECTOR DE COORDENADAS: definiciones y ejemplos

Por Jennyfer Paulina Bennetts Castillo

Deja un comentario

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Cuando trabajamos con transformaciones lineales, elegir una base ordenada es como elegir el lenguaje en el que vamos a describir lo que ocurre. Un mismo objeto puede nombrarse diferente si se dice en español, inglés o en otro idioma, pero sigue siendo el mismo objeto. De manera similar, un vector o una transformación lineal puede representarse de distintas formas dependiendo de la base, y sin embargo su esencia no cambia.

Nuestro cerebro no se queda sólo con las palabras: al escucharlas o leerlas, activa áreas relacionadas con la memoria, los sentidos y la experiencia, creando imágenes mentales que dan sentido al mensaje.
Esta interpretación va más allá del idioma y así pasa cuando comprendemos el espacio vectorial más allá de su base.

Los vectores de coordenadas nos permiten expresar con precisión a cualquier vector respecto a una base específica, igual que las palabras nos permitirán describir una idea según el idioma que usamos. La gran ventaja de ello es que con los vectores de coordenadas codificamos a cualquier vector en un espacio vectorial de dimensión finita como una $n$-ada, donde $n$ es la dimensión del espacio vectorial en que se encuentra y de esta forma podemos entender a un espacio de dimensión finita sobre un campo $K$ a través del espacio vectorial $K^n$.

BASE ORDENADA DE UN ESPACIO VECTORIAL

Definición: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$. Una base ordenada de $V$ es una $n$ – ada de vectores de $V$ $(v_1,v_2,…,v_n)$, con $v_1,v_2,…,v_n\in V$ distintos, tal que $\{ v_1,v_2,…,v_n\}$ es una base de $V$.

Nota: En ocasiones la base ordenada $(v_1,v_2,…,v_n)$ se denota simplemente por $\{ v_1,v_2,…,v_n\}$, haciendo la convención de que los subíndices de dichos vectores indican el orden en que se van a considerar.

VECTOR DE COORDENADAS RESPECTO A UNA BASE

Definición: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$. Sean $\beta =(v_1,v_2,…,v_n)$ una base ordenada de $V$ y $v\in V$. Si $v=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+…+\lambda_nv_n$ tenemos que el vector de coordenadas de $v$ respecto a $\beta$ es:


$[ v ]_{\beta} = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n\times 1} (K).$

o bien,

$[v]_\beta=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n)^t.$

Observación: Para cualesquiera $u\in V$ y $\lambda\in K$ tenemos que $[ u+\lambda v ]_{\beta} =[ u ]_{\beta} + \lambda [ v ]_{\beta}$.
Justificación. Como $v=\sum_{i=1}^{n}\mu_iv_i$ y para ciertos $\mu_1,\mu_2,…,\mu_n\in K$ y $u=\sum_{i=1}^{n}\gamma_iv_i$ para ciertos $\gamma_1,\gamma_2,…,\gamma_n\in K$, tenemos que $u+\lambda v=\sum_{i=1}^{n}(\gamma_i+\lambda\mu_i)v_i$.
Así, por la definicion de vector de coordenadas $[ u+\lambda v ]_\beta$ es

$[u+\lambda v]_\beta=(\gamma_1+\lambda\mu_1,\gamma_1,\cdots ,\gamma_n+\lambda\mu_n)^t=(\gamma_1,\cdots ,\gamma_n)^t+\lambda(\mu_1,\cdots ,\mu_n)^t=[u]_\beta+\lambda [v]_\beta.$

Ejemplos

  • Sean $V=K^n$ con $K$ un campo.
    Sea $\mathcal{C}$ la base canónica.
    Dado $v = (x_1, x_2, …, x_n)\in K^n$.
    $[ v ]_\mathcal{C} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$

Justificación. $v = (x_1,x_2,…,x_n) = x_1 e_1 + x_2 e_2 + … + x_n e_n$.

  • Sean $V=\{ a+bx+cx^2|a,b,c\in K \}$.
    Sean $\mathcal{C}=(1,x,x^2)$, $\mathcal{\beta_1} = (x, x^2,1)$ y $\mathcal{\beta_2} = (1,1-x,1+x-x^2)$ bases ordenadas.
    Dado $p(x)=a+bx+cx^2\in V$.
    $[ p(x) ]_\mathcal{C} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$
    $[ p(x) ]_\mathcal{\beta_1} = \begin{pmatrix} b \\ c \\ a \end{pmatrix}$
    $[ p(x) ]_\mathcal{\beta_2} = \begin{pmatrix} a+b+2c \\ -b-c \\ -c \end{pmatrix}$

Justificación. Tenemos que $p(x)=a1+bx+cx^2$.
Luego $p(x)=bx+cx^2+a1$.
Y $p(x)=(a+b+2c)1+(-b-c)(1-x)-c(1+x-x^2)$.

  • Sean $V=\{ a+bx+cx^2|a,b,c\in K \}$.
    Sea $\beta = (3,3+x,3+x^2)$.
    Sea $q(x)\in V$ tal que $[ q(x) ]_\beta = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}$.
    Entonces $q(x)=63+3x+6x^2$.

Justificación. Tenemos que $q(x)=(12)3+3(3+x)+6(3+x^2)$ $=63+3x+6x^2$.

Tarea Moral

  1. Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$ con una base ordenada $\beta$.
    a) Demuestra que la transformación lineal $\phi_{\beta} : V \longrightarrow K^n$ definida para todo $x \in V$ como $\phi_{\beta} (x) = [x]_{\beta}$ es un isomorfismo de $V$ con respecto a la base $\beta$. Reflexiona acerca de cómo este resultado ayuda a estudiar al espacio vectorial $V$ a partir del espacio de $n$-adas $K^n$.
  2. Considera $K=\mathbb{R}$ y $V=\{ a+bx+cx^2|a,b,c\in K \}$ y $\beta$ la base ordenada $\beta=(x^2,-x^2+x,-x+1)$. Encuentra $[p(x)]_\beta$ para $p(x)=a+bx+cx^2\in V.$
  3. Considera $K=\mathbb{R}$ y $V=\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ y $\beta$ la base ordenada $\gamma=(A,B,C,D)$ con $A=\begin{pmatrix}1&-2\\1&1\end{pmatrix}$,$B=\begin{pmatrix}0&2\\1&-3\end{pmatrix}$,$C=\begin{pmatrix}-3&6\\-2&1\end{pmatrix}$ y $D=\begin{pmatrix}1&-2\\1&5\end{pmatrix}$. Encuentra $[E]_\gamma$ para $E=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&1\end{pmatrix}$.

Más adelante…

Al introducir bases que requieren un orden y recordar que toda transformación lineal está definida por el efecto que tiene en una base de su dominio, podemos lograr nuestro objetivo: introducir matrices para representar nuestras transformaciones.

Las matrices pasan entonces de ser solo un ejemplo de espacio vectorial a ser la herramienta esencial para el manejo de las transformaciones lineales. De hecho, son la herramienta que permite usar transformaciones lineales en informática.

Entradas relacionadas

Geometría Analítica I: Repaso de conceptos geométricos elementales

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Deja un comentario

Introducción

En esta entrada empezamos a hacer un repaso de algunos conceptos geométricos elementales que probablemente has encontrado a lo largo de tu formación. Por un lado, esto puede ayudarte a recordar objetos geométricos específicos y resultados con los que ya te has encontrado. Además, es importante revisar nuevamente estos conceptos pues a partir de ahora necesitamos ser muy precisos con el lenguaje. Por ejemplo, será necesario que distingamos apropiadamente los segmentos, rectas y rayos entre ellos. Finalmente, esta entrada te ayudará a acostumbrarte a la notación que usamos en geometría, es decir, qué tipos de etiquetas le ponemos a cada tipo de objeto geométrico.

Antes de comenzar, hay una aclaración importante por hacer. El repaso que haremos de geometría es un repaso intuitivo. Más adelante, cuando asignemos coordenadas al plano y comencemos a hablar de vectores, entonces ahora sí ya estaremos definiendo nuestros conceptos geométricos de manera formal y tendremos que ser más cuidadosos con la argumentación lógica.

Objetos geométricos básicos

Puedes pensar a un punto como lo que obtienes al colocar la punta del lapiz sobre el papel. Es una figura que tiene una única posición. A los puntos usualmente los denotaremos con letras mayúsculas: $A$, $B$, $C$, $P$, $Q$, $R$, etc.

Un segmento es lo que se obtiene al unir dos puntos directamente el uno al otro. Otra manera de pensarlo es que se tiene que ir de un punto al otro de la manera «más rápida» o «más derecha» posible. A los dos puntos les llamamos los extremos del segmento. Si los nombres de los extremos de un segmento son $A$ y $B$, entonces al segmento lo nombramos $\overline{AB}$. En caso de tener que referirnos al segmento sin usar sus extremos, le podemos dar nombre con letra minúscula, por ejemplo $r, s, t$, etc.

Cuando extendemos un segmento indefinidamente más allá de los dos puntos que lo definen, obtenemos una recta. Una recta queda definida por cualesquiera dos puntos distintos en ella. Si una recta tiene a los puntos distintos $A$ y $B$, entonces llamamos $AB$ a la recta. Aunque sea imposible de apreciarlo en el papel, en pizarrón o en la pantalla de una computadora, las rectas se extienden indefinidamente. Cuando no queremos usar puntos para referirnos a las rectas, las podemos llamar con letras minúsculas como $a,b,c,\ell$, etc.

Si sólo extendemos el segmento más allá de sólo uno de los puntos que lo definen, entonces a la figura que obtenemos le llamamos un rayo. Observa que si tenemos dos puntos $A$ y $B$, entonces es distinto el rayo que extiende al segmento más allá de $B$, que el que extiende al segmento más allá de $A$. Al primero le llamamos el rayo desde $A$ por $B$ (como el que se muestra en la figura). Al segundo le llamamos el rayo desde $B$ por $A$. A los rayos, como a los segmentos, los podemos llamar con letras minúsculas como $r,s,t$,etc.

Cuando dos rectas, segmentos o rayos pasan por un mismo punto, decimos que se intersectan en dicho punto. En la siguiente figura, las rectas $\ell$ y $m$ se intersectan en el punto $P$.

Si $P$ es un punto de intersección de dos rectas distintas $\ell$ y $m$, entonces alrededor de $P$ se forman cuatro regiones. A cada una de las $4$ aperturas entre ambas rectas les llamamos un ángulo entre ellas. De manera similar podemos definir ángulos entre segmentos o rayos que se intersecten, o cualquier mezcla de estos objetos. Los ángulos usualmente los denotamos con letras griegas, como $\alpha, \beta, \gamma, \theta$, etc. (alpha, beta, gamma, theta, etc.).

También podemos referirnos a ellos mediante un punto $A$ en $\ell$, el punto $B$ de intersección y un punto $C$ en $m$, en cuyo caso nos referiremos al ángulo como $\angle ABC$.

Triángulos

Es sumamente inusual que al colocar tres puntos $A$, $B$ y $C$ suceda que haya una misma recta que pase por los tres. Cuando esto pasa, decimos que los puntos están alineados o que son colineales.

Si tomamos tres puntos no alineados $A$, $B$ y $C$, entonces podemos dibujar tres segmentos $BC$, $CA$ y $AB$. A la figura conformada por los tres puntos y los tres segmentos le llamamos un triángulo y usualmente lo denotamos por $\triangle ABC$. A $A$, $B$ y $C$ les llamamos los vértices del triángulo. A los segmentos $BC$, $CA$ y $AB$ les llamamos los lados del triángulo. Usualmente nombramos a estos lados $a,b,c$ para que cada lado use la misma letra que el vértice opuesto (pero en minúscula). A los ángulos dentro del triángulo en $A$, $B$ y $C$ les llamamos usualmente $\alpha, \beta, \gamma$.

Si quisiéramos insistir en llamar triángulo al caso en el que $A$, $B$ y $C$ están una misma recta, insistiremos en llamarlo un triángulo degenerado. En este caso, el triángulo está «apachurrado» y los segmentos que definen los puntos se enciman entre sí.

Mediciones

Parte de la raiz etimológica de la palabra geometría está relacionada con medir. En geometría, nos interesan ciertas magnitudes geométricas asociadas a objetos geométricos. Por el momento, apelaremos a la intuición que has desarrollado con anterioridad para definir estos conceptos pero, como mencionamos arriba, más adelante los formalizaremos.

La distancia entre dos puntos $A$ y $B$ es una magnitud que mide qué tan alejados están los puntos entre sí. Mientras más alejados, mayor distancia entre ellos. Un punto $A$ está a distancia $0$ de sí mismo. Es lo que solías medir con una regla: si colocas un punto en el $0$ de la regla y el otro cae en el número $d$ de la regla, entonces la distancia entre ambos puntos será $d$. Podemos referirnos a la distancia con la letra $d$ y haciendo referencia a los puntos así: $d(A,B)$.

Una magnitud estrechamente relacionada con la distancia es la longitud de un segmento, y se puede pensar exactamente como la distancia entre sus extremos. Mientras más largo sea un segmento (intuitivamente, mientras más tengamos que dibujar para hacerlo), mayor será su longitud. Nos referiremos a la longitud de un segmento $AB$ con la expresión $|AB|$.

Otra medida importante es la de ángulo, que nos indica qué tan abierta la región del msimo nombre definida por dos rectas (o segmentos, o rayos), como la definimos arriba. A mayor apertura en el vértice del ángulo, mayor será la magnitud que le asociamos. Así, típicamente no hacemos distinción entre la región y su apertura, ni en nombre, ni en notación.

Finalmente, también nos interesa una medida de qué tan grande es la región contenida en una figura geométrica en el plano. A esta medida le llamamos el área de la región.

Transformaciones geométricas

Otra noción muy importante en la geometría analítica es la de «transformación». Esto se refiere a alterar nuestros objetos geométricos de alguna manera. Típicamente, esta manera es «amigable» en algún sentido, por ejemplo, respeta distancias o proporciones. Las siguientes son las transformaciones geométricas con las que debes estar más familiarizado de manera intuitiva.

Las traslaciones consisten en mover un objeto de lugar, pero simplemente desplazándolo, sin girarlo.

Las rotaciones consisten en girar un objeto geométrico alrededor de un punto que llamamos el centro de rotación. Para saber cuánto rotamos, usamos un ángulo de rotación. En la siguiente figura puedes ver una rotación con centro $O$ y ángulo $\alpha$.

Las reflexiones consisten en tomar una recta $\ell$ y usarla como espejo, para reflejar en él el objeto que nos interesa.

También consideraremos los reescalamientos, que pueden ser expansiones o contracciones. Tras aplicarlas, obtenemos un objeto geométrico más grande o más pequeño, pero que preserva las proporciones. Para definirlas, usualmente necesitamos un centro de reescalamiento $O$ y un factor de reescalamiento $r$. A continuación se muestran algunos ejemplos con con reescalamientos $2$, $1/2$ y $-1$, con la figura de sombreado claro como el objeto original. ¡El reescalamiento de $-1$ voltea la figura alrededor de $O$!

Hay más transformaciones geométricas, como las proyecciones o cizallamientos. Sin embargo, por ahora no hablaremos de ellas.

Aunque ahora hemos platicado lo que le hace una transformación a un objeto geométrico particular, usualmente nos interesará lo que le hace a todo el plano.

Más adelante…

En esta entrada repasamos varias nociones básicas de la geometría de una manera intuitiva. Es importante que tengas esta entrada como referencia, pues los nombres que usamos ahora para objetos geométricos, propiedades geométricas y transformaciones, serán los que usaremos más adelante. En las siguientes entradas continuaremos con un repaso de los resultados geométricos principales. Este repaso seguirá siendo intuitivo. Más adelante introduciremos formalidad en nuestro estudio de la geometría analítica.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Repasa la diferencia entre rectas, segmentos y rayos.
  2. Explora la interfaz de GeoGebra para asegurarte de que sepas trazar todo lo que hemos platicado. En caso de que no encuentres la funcionalidad, averigua cómo hacerlo mediante una búsqueda en línea o mediante algún video explicativo.
  3. Copia la siguiente figura en una hoja de papel. Luego, realiza manualmente una rotación de 90 grados alrededor del punto $O$.
  1. Copia la siguiente figura en una hoja de papel. Luego, realiza manualmente una reflexión de la figura con respecto a la recta $\ell$.
  1. Ahora vamos a trasladar al gato y a la casa. Pero tienes que hacerlo repetidamente. Haz la figura en tu cuaderno de modo que quede dentro de un cuadrado de 4cm de lado. Luego, repetidamente traslada ese cuadrado 5cm a la derecha para poner todas las copias que puedas de la figura hasta que se te acabe la hoja. Entonces, las transformaciones geométricas las podemos aplicar una y otra vez.

Entradas relacionadas