Matemáticas Financieras: Tasas de interés instantáneas o Fuerza de Interés

Por Erick de la Rosa

Introducción

Hasta este momento se han abordado los modelos de interés simple y compuesto, y dentro de éstos, se ha introducido el concepto de tasas de interés efectivas, y nominales pagaderas $m$ veces al año.

En este apartado se profundizará un poco más el modelo de interés compuesto a través del estudio de la tasa de instantánea de interés o también conocido como fuerza de interés, el cual nos dice la forma en que varía el capital a cada instante.

Tasa instantánea de interés o fuerza de interés


Figura 1.11. Representación gráfica de una tasa instantánea de interés. Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 50.

En la imagen anterior se describe el comportamiento de una tasa instantánea de interés, donde:

  • El eje de las $X$ representa el tiempo, mientras que el eje de las $Y$, es el monto.
  • $t$ es el tiempo que le corresponde un $f(t)$ el cual puede ser interpretado como capital inicial.
  • Después de un tiempo de tamaño $h$, $t+h$ es el capital que ha ganado intereses y que en ése momento se convierte en un monto $M$.

Por otra parte, si se quiere calcular los intereses que se generaron a través del tiempo, lo que se tiene que hacer es: $I=M-K$ lo que es equivalente a realizar con una notación de funciones: $I=f(t+h)-f(t)$.

Luego, para calcular la tasa de interés efectiva en el segmento de tiempo h es:

$i=\frac{M-K}{K}$, o su equivalente escrito como funciones: $\frac{f(t+h)-f(t)}{f(t)}.$

De esta forma, se ha denotado el monto con la expresión $f(t+h)$, expresión que puede ser interpretada como la cantidad de dinero inicial más el lo que se acumula luego de haber transcurrido un tiempo $h$. $h>0$. Debido a lo anterior es que no es posible igualar a $i$, de la misma forma en que se hizo con la expresión obtenida cuando se manejó una tasa efectiva por periodo, la cual es:

$$i=\frac{M-K}{K}.$$

Suponiendo $h=1$ se está analizando una situación en particular, en cuyo caso se tendría lo siguiente:

Habría que dividir la expresión $f(t+h)-f(t)$ entre $h$ con la finalidad de obtener la variación de la función por unidad de tiempo (esto por dividir haber divido entre $h$ así como por unidad de capital (por haber dividido también entre $f(t)$. De esta forma se obtiene:
$$\frac{f(t+h)-f(t)}{hf(t)}.$$

Al realizar un análisis puntual de éste fenómeno, es necesario hacer uso de las herramientas del cálculo diferencial e integral. Con esto el segmento obtenido $h$ para hacerlo infinitamente pequeño, para así conocer qué sucede en cada punto de la curva, dicha situación es lo que representa o modela cada instante. En términos de matemáticas financieras, se estaría obteniendo la tasa instantánea de interés también conocida como fuerza de interés, la que nos muestra la variación que tiene el capital invertido en un lapso muy pequeño.

Partiendo de lo anterior y usando el concepto de limite, se puede hacer que $h$ tienda a cero se tiene la siguiente expresión:
$$lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{hf(t)}.$$

Otra herramienta, que es necesaria para este tema es el concepto de derivada como límite, el cual está dada por la siguiente expresión:

$$\frac{df(x)}{dx}=lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

Al aplicar dicha definición da como resultado:


$$lim_{h \to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{hf(t)}=\frac{1}{f(t)}lim_{h \to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$$
$$=\frac{1}{f(t)}\frac{df(t)}{dt}.$$

Se utiliza la siguiente propiedad al resultado anterior:
$$\frac{d lnU}{dx}=\frac{dU}{dx}\frac{1}{U}=\frac{D_xU}{U}$$
da como resultado:
$$\frac{1}{f(t)}lim_{h \to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{hf(t)}=\frac{1}{f(t)}\frac{df(t)}{dt}$$
$$=\frac{d ln f(t)}{dt}=\delta(t).$$

El resultado que se obtiene, es la función $\delta(t)$ la cual es la que va a denotar la tasa instantánea de interés.
$$\delta(t)=\frac{d ln f(t)}{dt}$$
de ésa expresión se despeja $dt$, lo cual resulta:
$$d ln f(t)=\delta(t) dt.$$

Al resolver ésta ecuación diferencial, se está considerando el momento en que el capital inicial $K$ no ha ganado intereses, a un momento en el que ha transcurrido un tiempo $t$, momento en el que ya ha ganado intereses y se convierte en la variable $M$.

Nótese que si se hace a $\delta(t)$ constante, ésta no depende de $t$, entonces al resolver la ecuación se tiene:
$$\int_0^{t}d lnf(t)=\delta\int_0^tdt.$$
Aplicando lo siguiente: $\int\frac{df(x)}{dx}=f(x)$ a la última expresión obtenida da como resultado:

$$lnf(t)|_0^t=\delta(t)|_0^t$$
$$lnf(t)-lnf(0)=\delta(t)-\delta(0).$$


Luego, por propiedades de los logaritmos:

$$ln(a)-ln(b)=ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
se tiene:

$$ln\left(\frac{f(t)}{f(0)}\right)=\delta t.$$
Por último, recordemos que la función exponencial es la función inversa del logaritmo, aplicándola al último resultado, se tiene:

$$exp\left(ln\frac{f(t)}{f(0)}\right)=exp(\delta(t))$$
donde:

$$\frac{f(t)}{f(0)}=\exp^{\delta t}$$

despejando $f(t)$ queda:

$$f(t)=f(0)\exp^{\delta t}$$

donde:

  • $f(0)$ es el capital inicial, equivalente a la variable del modelo de interés compuesto $K$.
  • $f(t)$ vendría ser el monto $M$.

Ahora, se va a sustituir dichas variables en el modelo con las expresiones que se acaban de obtener, esto es: $M=K\exp^{\delta t}.$

Es importante señalar que, aunque el nombre de la tasa de interés instantánea, hace referencia que se paga cada instante, esto no funciona así. Para dar respuesta a éste dilema, es necesario hacer uso de lo que en matemáticas financieras se conoce como la triple igualdad, que consiste en la siguiente expresión:

$$M=K(1+i)^t=K\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{mt}=K\exp^{\delta t}.$$

Al hacer uso de esto, se pueden encontrar el valor de cualquiera de las tasas que se han trabado (efectivas, nominales e instantáneas), partiendo de conocer el valor de alguna de ellas.

Es necesario establecer algunas reglas para su correcta aplicación:

  • M y K se escriban en unidades monetarias.
  • El valor de $\exp=2.718282$ será tomado con 6 decimales.
  • El valor de $\delta$, se determina en tanto por ciento y su valor en la ecuación se maneja al tanto por uno.
  • $t$, se mide en años y con esas unidades se sustituye en el modelo.
  • La triple igualdad, también sirve para calcular tasas equivalentes de la misma temporalidad o periodicidad, esto es cualquier tasa efectiva a partir de una tasa efectiva, lo mismo para tasas nominales, sólo es necesario no olvidar que la periodicidad de la tasa indica la unidad en la que se va a trabajar $t$.

Cabe hacer mención que, la tasa instantánea de interés, no tiene aplicación en la vida real, sólo fue utilizada con fines didácticos, sobre para poder establecer la relación que existe entre todas las tasas de interés que hasta este momento se han revisado, tema que a continuación será abordado.

Relación entre las tasas efectivas de interés, nominales, instantáneas, tasas equivalentes.

Con la expresión de la triple igualdad, se puede calcular cualquier combinación posible entre las tasas que se han estudiado, se puede ver de forma más clara en la siguiente imagen:

Figura 1.12. Relación entre las Tasas de Interés. Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 54.

Cabe hacer mención que, la única forma en que no se puede calcular una tasa equivalente es en el caso de las tasas instantáneas, no es posible obtener equivalencia entre una tasa instantánea y otra, debido a que su periodicidad sería la misma.

Una tasa es equivalente a otra si produce el mismo resultado, sin importar que su periodicidad de pago no sea la misma, considerando claro un mismo capital, un mismo monto, y un mismo tiempo.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Calcule la tasa efectiva mensual equivalente a 10% anual.

Solución

Se toma un capital de $K=\$1$, el cual lo acumulamos durante un mes, esto es:
$M=1.00(1+i)=1+i.$
Al trabajar con un monto de $\$1$, simplifica las expresiones, sobre todo el álgebra utilizada. Se sabe que $M$ debe ser igual al monto que se obtenga a una tasa del 10% anual durante un mes, considerando que la tasa es anual, implica que la variable $t$ debe ser medida en años, lo cual significa que $t=\frac{1}{12}$, porque deben de tener el mismo periodo de acumulación.
$M=(1+0.1)^{\frac{1}{12}}=1.007974.$
Luego se igualan ambas expresiones obtenidas, esto es:
$1+i=(1+0.1)^{\frac{1}{12}}$
$1+i=1.007974$
despejando $i$ se tiene: $i=1-1.007974=0.007974$, lo cual nos dice que la tasa efectiva mensual es de 0.79% equivalente a una tasa efectiva anual del 10%.
Dicho resultado puede comprobarse de la siguiente forma:
$t$=1 año y medio $K=\$250$
$250(1+0.1)^{1.5}=288.422433$

$250(1+0.007974)^{18}=288.422433$
Como ambos resultados coinciden, eso demuestra que ambas tasas son equivalentes.

Ejercicio. Calcule la tasa nominal pagadera 3 veces al año, equivalente a una tasa efectiva anual del 20%.

Solución

De forma análoga al ejercicio anterior, tomando como monto \$1.00, luego sustituimos datos en nuestra ecuación ya conocida

$$M=1.00\left(1+\frac{i^{(3)}}{3}\right)^3=\left(1+\frac{i^{(3)}}{3}\right)^3$$
$$M=(1+0.2)=1.2.$$

Posteriormente igualamos con la ecuación:
$$\left(1+\frac{i^{(3)}}{3}\right)^3=1.2$$
$$\left(1+\frac{i^{(3)}}{3}\right)^{\frac{(3)}{3}}=(1.2)^{\frac{1}{3}}.$$

Despejando $i^{3}$ se tiene:
$$i^{3}=3((1.2)^{\frac{1}{3}}-1)=3(1.062658-1)$$
$$=3(0.062658)=0.187975$$

Eso es igual a 18.1879%

Es en este momento que se aplica el modelo de la triple igualdad, al relacionar las tasas efectivas con las tasas nominales. De esta forma se tiene la siguiente expresión:
$M=1(1+0.2)^t=1(i+\frac{i^{(3)}}{3})^{(3)(1)}$
al igual que hace un momento, se despeja $i^{(3)}$, donde al realizar los cálculos indicados, se llega al mismo resultado.

Ejercicio. Calcule la tasa instantánea equivalente de una tasa efectiva del 20% anual.

Solución

De igual forma se toma el capital de $\$1$ el cual se sustituye en los modelos que ya se han presentado, lo cual queda de la siguiente manera:
$M=\exp^{\delta(t)}$

En el otro modelo quedaría: $(1+i)=(1+.2)=1.2$
De esta forma se obtiene:

$\exp^{\delta}=1.2.$
Aplicando propiedades de los logaritmos
$\delta=ln 1.2=0.182321$
lo cual implica que $\delta=18.2321\%.$

Más adelante…

En temas posteriores, se irán describiendo temas que poco a poco van a hacer que los conceptos que se han estado trabajando comiencen a fusionarse, para comenzar a generar cálculos más sofisticados que son muy importantes en las Matemáticas Financieras, por su gran aplicación para poder resolver muchos problemas en la práctica, algunos de ellos son las tasas de descuento, las anualidades, el valor presente, el concepto de amortización etc.

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Matemáticas Financieras: Tasas de interés nominales

Por Erick de la Rosa

Introducción

Son el tipo de tasas de interés que tienen una estrecha relación con los periodos anuales, ya que el periodo anual es de suma importancia en una gran variedad de fenómenos económicos, financieros, así como en muchas actividades del ser humano.

Tasas nominales de interés

Dichas tasas de interés se caracterizan por:

a) Hacen referencia al año, sin embargo no son tasas efectivas anuales
b) Permiten conocer cada cuándo, se van a pagar los intereses de dicha tasa y a cuánto ascienden dentro del periodo de un año.
c) Muestran la tasa de interés que se recibirá dentro del transcurso de un año, si los intereses no se reinvierten. (Esto aplica porque el inversionista puede decidir si retira sus intereses o los deja para que se reinviertan.
d) Se denotan como: $i^{(m)}$ y se lee «$i$ de $m$»para que no se confunda cuando se esté trabando con alguna potencia. En dicha expresión $m$ representa el apellido de la tasa, además de ser la variable que nos indicará el número de veces que se paga la tasa, (a este proceso será también mencionado como: pagadera, convertible o capitalizable) dentro del periodo de un año.

Por ejemplo, una tasa $i^{(2)}$ será pagadera semestralmente, una tasa $i^{(12)}$ será capitalizable mensualmente, $i^{(6)}$ bimestralmente, etc., todo dependerá del periodo que esté indicado. Nótese que $m$ puede tomar cualquier número entero. Éste tipo de tasas fueron creadas para hacer más fácil la comprensión de la forma en que se realiza el pago o cobro de los intereses dentro de una operación.

Ejemplo. Una persona desea invertir en un banco que le ofrece pagar una tasa del 24% pagadero 12 veces al año, lo que implica que los pagos serán de forma mensual.
Para poder saber cuál es la tasa mensual que le estará pagando el banco al inversionista se hace lo siguiente:
$\frac{i^{12}}{12}=\frac{24%}{12}=.02$.
lo cual implica que la tasa que el banco pagará de forma mensual es del 2%. Cabe hacer mención que con esto, no se debe interpretar que una tasa del 24%, con una tasa $i^{12}$, implica que el banco no va a pagar el 24% de interés cada mes, sino más bien el interés «real» que estará pagando el banco será del 2% mensual. Aunado a lo anterior si el inversionista desea al término de cada mes hacer el retiro de sus intereses, al término del año pactado el inversionista habrá recibido el 24% de intereses prometido por el banco. Y como es de esperarse, dicha operación que se acaba de calcular corresponde al modelo de interés simple, así tal cual estuvo descrita. Ahora bien, recordando que el modelo que se utiliza para hacer cualquier transacción es el modelo de interés compuesto, entonces se van a estar reinvirtiendo los intereses.
Por otra parte, para fines prácticos se estará manejando la siguiente notación:

$${\frac{i^{(m)}}{m}=i_{m}}.$$

Retomando el ejemplo anterior, si ahora el inversionista desea no retirar los intereses y reinvertirlos, en tal caso se estaría usando el modelo de interés compuesto, y la tasa se estaría tomando efectiva, por lo que tomando en cuenta un capital de \$3000, y reinvertir sus intereses por un periodo de 7 meses, entonces tendrá un capital acumulado de:

\begin{align*}
M&=3000\left(1+\frac{i^({12})}{12}\right)^7\\
&=3000\left(1+\frac{0.24}{12}\right)^7\\
&=3000(1+0.02)^7=3446.0570.
\end{align*}
Lo anterior, muestra que al estar utilizando el modelo de interés simple, si el inversionista tiene un capital de \$1, sólo obtendrá con una $i^{(12)}$ un rendimiento del 1% mensual, lo que vendría a ser la suma aritmética, sin embargo; al usar el modelo de interés compuesto, estará ganando un rendimiento de $12.68%$, éste resultado es obtenido de la siguiente forma:

\begin{align*}
M&=1.00\left(1+\frac{i^(12)}{12}\right)^{12}\\
&=1.00\left(1+\frac{0.01}{12}\right)^{12}\\
&=1.00(1+0.01)^{12}=1.1268.
\end{align*}
De esta forma, se está introduciendo un nuevo concepto, que se llama tasas de equivalencia, su nombre se debe a que a partir de una tasa nominal se puede obtener su tasa equivalente mensual, como fue calculado en el ejemplo anterior. Siguiendo ésta idea, se puede incorporar al modelo de interés compuesto las tasas nominales, proceso que será expuesto en el siguiente gráfico.

Fig. 1.9 Comportamiento del modelo de interés compuesto con tasas nominales durante el primer año. Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 44.

Tomando como base el modelo anterior, se obtiene el monto alcanzado del m-ésimo periodo, se calcula para el segundo año, los siguiente:

Fig. 1.10 Comportamiento del modelo de interés compuesto con tasas nominales durante el primer año. Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 44.

De forma análoga, observando el último término del primer año, con el último término del segundo año, se puede obtener la expresión para el periodo t-ésimo año, el cual queda:
$$M=K\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{mt}.$$

Para éste modelo es necesario establecer que la unidad de medición de $t$ es en años, debido a la forma en que se construyó, lo anterior es de suma importancia ya que recordemos que el modelo de interés compuesto, $t$ se medía de acuerdo al «apellido» de la tasa, el cual no necesariamente eran años.
$m$ indica el número de veces que la tasa se va a pagar durante el año.

Ejemplo. Suponga que en una operación se está trabajando con una tasa nominal $i^{12}=60\%$, lo que equivales a decir:
$i_{12}=\frac{i^{12}}{12}=\frac{0.60}{12}=0.05.$

Esto es una tasa efectiva mensual del 5%.
Por lo tanto, si tenemos un capital de \$1 y se quiere calcular el monto a dicha tasa, después de un año y 6 meses, esto es un plazo de 18 meses, el monto será de:
$M=1.00(1+i_m)^{18}=1.00(1+0.05)^{18}=\$2.4066.$
Es pertinente hacer mención que la tasa $i_m$ es mensual, por ése motivo $t$ debe de ser escrito de en meses, que en este caso son 18.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Un banco ofrece un rendimiento con una tasa de interés del 4.68% pagadera diariamente. Calcular el monto de que se obtendrá luego de haber transcurrido cinco meses, con un capital inicial de \$1500.

Solución

Como la tasa es pagadera diariamente, eso implica que se trata de una tasa nominal $i^{365}$, aplicando el modelo de tasa nominal se tiene:
$\frac{i^{365}}{365}=\frac{0.0468}{365}=0.0012821$,
esto es equivalente a una tasa efectiva $i_{365}$ de 0.12821%.
También es necesario tomar en cuenta que para fines prácticos, los meses se toman en general con 30 días, por lo que en 6 meses hay 180 días. Por consiguiente el valor de $t$ es el siguiente: $t=\frac{180}{365}.$
Sustituyendo cada variable en el modelo, se tiene:
\begin{align*}
M&=K\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{mt}\\
M&=1500\left(1+\frac{i^{(365)}}{365}\right)^{365(\frac{180}{365})}\\
&=1500\left(1+\frac{0.0468}{365}\right)^{180}\\
&=1500(1+0.0012821)^{180}\\
&=1500(1.259393)\\
&=1889.0901.
\end{align*}

Ejercicio. Una persona tiene 2 tarjetas de crédito; una bancaria con un saldo a la fecha de \$30,000 y la otra emitida por una tienda de ropa con un saldo de \$25,000. La tarjeta bancaria está cobrando comisión con una tasa de interés del 25% pagadero mensualmente, mientras que la tarjeta de ropa maneja una tasa del 4% efectivo mensual. Al día siguiente ésta persona se entera que una tienda de autoservicio está manejando una tarjeta de crédito con una tasa del 20% anual pagadero diariamente. Se desea saber si conviene o no adquirirla. Explique el ¿por qué?

Solución

Lo importante en ésta situación, es determinar cuál de las opciones tiene el menor costo, esto es la menor tasa de interés. Sin embargo, como todas tienen diferente periodicidad, no es posible realizar una comparación entre ellas de forma directa, luego entonces, se van a calcular las tasas equivalentes que permitan compararlas. Para ello se va a tomar como base, la tasa pagadera mensual del $25\%$ que pertenece al banco. Esto implica una tasa $i^{12}=\frac{0.25}{12}=0.02083$
lo que quiere decir que es una tasa efectiva mensual del $2.083\%$, cantidad que es mayor a la tasa de la tienda de ropa que es del $4\%$. Por lo tanto conviene más la tarjeta de la tienda de ropa que la bancaria.
Por último se calculará la tasa que ofrece la tienda de autoservicio que es de $20\%$ pagadero diariamente, la cual se representa: $i^{365}=20$
lo que es igual a una tasa efectiva diaria:
$i_{365}=\frac{20}{365}=0.0005479452$.
Lo que sería una tasa del $0.0547945\%$ pero como su periodicidad es diaria, es necesario convertirla a su tasa equivalente mensual. Esto se hace de la siguiente forma:
$M=1.00(1+0.0005479452)^{30}=1.016569$.
De ésta forma se acaba de calcular la tasa equivalente mensual, que es igual al $1.6569\%$ que resulta ser menor que la tarjeta de crédito bancaria y menor que la tarjeta de crédito de la tienda de ropa.
Por lo tanto, la tasa que más conviene es la de la tienda de autoservicio.

Es importante resaltar que las tasas pueden ser pactadas fijas durante la duración de la operación, sin embargo; también hay ocasiones en las que algunos contratos de crédito, por ejemplo, manejan tasas de referencias, en México, dichas tasas pueden ser la Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio (TIIE), la tasa que da los Certificados de la Tesorería (CETES), el Costo Porcentual Promedio (CPP), etc., todas ellas regularmente son tasas nominales pagaderas diariamente.

Más adelante…

Se abordarán temas en los que se analiza cómo se va dando la relación de las tasas de interés, incluso se estudiarán los métodos en que pueden ser equivalentes aunque sean de distinta periodicidad.

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Matemáticas Financieras: Valor presente

Por Erick de la Rosa

Introducción

Es de vital importancia conocer el modelo de interés compuesto, así como su fenómeno de acumulación que es el que lo caracteriza, pero también es igual de importante poder conocer la forma en que se puede calcular el valor de hoy, el valor presente de una obligación futura, saber cuánto se deberá pagar en un futuro cierta deuda adquirida el día de hoy, nos permite conocer cuánto se debe de ahorrar el día de hoy para garantizar el pago de dicha obligación. Por ejemplo, si una persona desea adquirir algún bien, una casa, por ejemplo, o una empresa si desea después de cierto tiempo hacer cambio de su mobiliario o de su maquinaria, o de su equipo de cómputo. Todo lo anterior son ejemplo de la utilidad que tiene el saber calcular el valor presente, que como se observa a simple vista, permite encontrar una solución ante todas éstas situaciones.

Valor Presente

Aunque anteriormente ya se había hecho uso, el modelo que describe el fenómeno de valor presente, es el siguiente:

$K=\frac{M}{(1+i)^t}=M(1+i)^{-t}.$
Lo anterior se puede expresar de esa forma porque, recordando una de las leyes de los exponentes $\frac{1}{a^x}=a^{-x}.$
Por lo tanto, el modelo que se va a estudiar es:

$$K=M(1+i)^{-t}.$$

Es una ecuación que ya había sido deducida directamente del modelo de interés compuesto, en el tema anterior, y al ser parte de dicho modelo, las reglas que rigen a la fórmula de interés compuesto, rigen de igual forma a ésta expresión. Es importante señalar que la expresión que se acaba de presentar como Valor Presente, es fundamental en muchos cálculos que se estarán obteniendo, es por ésa razón que a continuación se va a establecer una forma más simplificada de expresarla, la cual es la siguiente:

$$v_1=\frac{1}{1+i}$$

esto es una expresión cuando $t=1.$

Ahora cuando expresamos $t$ de forma general, la expresión queda:
$v_i^t=\frac{1}{(1+i)^t}=(1+i)^{-t}.$

Por último, sustituyendo dicha expresión en el modelo de valor presente:
$$K=Mv_i^{t}.$$

El motivo de usar una $v.$

Fig. 1.7 Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, Fundamentos y Aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 36

De acuerdo con la imagen, el valor presente es la función inversa del proceso de acumulación de capital, de manera tal que, mantienen una relación que consiste en, que a mayor tasa de interés corresponde una mayor disminución del valor presente del monto. Además, la imagen anterior muestra el proceso de acumulación en comparación al del valor presente, cada una con sus respectivas expresiones algebraicas que los definen.

Tabla de equivalencias entre periodos

A lo largo de estos temas, se puede hacer notar que cada uno de los negocios, convenios, pactos, préstamos, inversiones, etc. tienen en común que tienen una fecha de vencimiento, una fecha de pago, una fecha de cobro, etc. Entre otras cosas, también aparecen las condiciones en las que se realizará sea cual sea la operación, que como ya se ha visto son: tasa de interés, monto inicial, periodo de tiempo, cada cuando se realizaran los pagos. Debido a lo anterior, es necesario establecer ciertos «convenios» en lo que se refiere a la periodicidad de los pagos, con la finalidad de hacer los cálculos de la forma consistente y que sea aplicable a la realidad que describe el fenómeno que se está estudiando.
Con base a lo ya dicho, se presenta a continuación, la siguiente tabla:

Tabla 1.1 Establece la equivalencia en tiempo, con el que se va a estar usando la periodicidad, para fines prácticos.
Elaboración propia, basada en Cánovas T. Matemáticas Financieras, Fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 38.

En la tabla anterior, se establece de forma general el tiempo, para dar a conocer la forma en que se van a estar usando con fines prácticos, sin embargo; es pertinente señalar que cuando se trate de inversiones, por ejemplo, las que manejan los bancos, es necesario hacer uso del total de días que tiene el mes, esto es, 30 o 31 días en algunos meses, ó 28 o 29 en el caso del mes de febrero, esto debido a que los tipos de inversión consideran el pago de intereses el último día de cada mes.

También, es necesario establecer el número de decimales con el cual se estará realizando los cálculos, estos son al menos 5 decimales, con éste último redondeado. Y el resultado final se deberá ser presentado sólo con dos decimales.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Calcular el valor presente o traer a valor presente, a la fecha de hoy, la cantidad de \$2000 que deberán pagarse dentro de un año a una tasa de interés efectiva semestral del 7%.

Solución

Haciendo uso del modelo de valor presente: $v_i^{t}$,
Sustituyendo los datos, se tiene:
$X=(2000)\frac{1}{(1+.07)^2}$
lo que también es equivalente a escribir:

$X=2000(1+0.07)^{-2}$
Lo que resulta \$1746.8774, una cantidad que es menor a \$2000, esto se debe a que está representando su valor presente, pero de igual forma, si invertimos la cantidad de \$1746.8774 durante un año, justamente se obtendrá el valor de \$2000.
Es pertinente hacer mención que no necesariamente el valor presente se debe calcular a la fecha del día de hoy, éste puede ser calculado en cualquier fecha siempre y cuando sea antes de la fecha de vencimiento o del pago de la obligación.

Ejercicio. Para este ejemplo, se va a suponer que el día de hoy es 2 de octubre, y una empresa de ropa tiene contemplado saldar la deuda de un pagaré con un valor de \$85000, con fecha de vencimiento 30 de mayo, del siguiente año. En dicha deuda se acordó una tasa efectiva del 10% anual. Dicha empresa se propone saldar su deuda, aprovechando la temporada decembrina que tiene ventas e ingresos extras, para el día 30 de diciembre.

Solución

Fig. 1.8 Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, Fundamentos y Aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 37

Suponemos también que no existe ningún tipo de penalización por liquidar la deuda de forma anticipada, en tal caso la ecuación queda:
\begin{align*}
X&=85000(v_{0.10}^{\frac{5}{12}})\\
X&=85000(1+0.10)^{-\frac{5}{12}}\\
X&=81690.5788\\
\end{align*}
Por lo tanto, para liquidar la deuda, se tiene que hacer un pago de \$81690.5788 el 30 de diciembre.

Es importante hacer mención que si no ha transcurrido tiempo en alguna operación, el monto y el valor presente del dinero no sufre cambios, cuando se quiere a traer a valor presente en la misma fecha que debe ser pagado, es decir; Si el día de hoy 26 de septiembre de 2005 (por ejemplo), nos prestan \$10 pesos, y calculamos el valor presente en ésa misma fecha, el resultado será igual \$10.

Ejercicio. Se quiere calcular el monto de una cantidad $X$ durante un tiempo cero, $t=0$ con una tasa de interés $i.$

Solución

Aplicando el modelo de interés compuesto se tiene:
$M=X(1+i)^0.$
Recordamos que cualquier potencia elevada a cero nos da un resultado igual a 1, esto es: $a^0=1$, o lo que aplica a nuestro modelo: $(1+i)^0$
Lo cual implica que: $M=X(1+i)^0=X(1)$
$$M=X.$$

Lo anterior, se sigue cumpliendo si ahora queremos calcular el valor presente con los mismos supuestos de un tiempo cero. Esto es:
$Xv_i^{t=0}=X(1+i)^0=X(1)=X.$

Más adelante…

A lo largo de estos temas se ha estudiado cómo el dinero modifica su valor con el paso del tiempo, en particular los dos casos que acaban se ser abordados, proceso de acumulación y valor presente. Se ha visto el comportamiento de las tasas efectivas de interés, dentro del modelo de interés simple como de interés compuesto. Un aspecto importante que no se debe de restar importancia, es al fenómeno en el que queremos calcular el valor presente en un tiempo cero, esto es, el mismo día que se emite el préstamo, fecha en la que cual el monto y el valor presente son el mismo. Lo anterior adquiere mucha importancia sobre todo, cuando se construya una ecuación de valor, tema que pronto será abordado.

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Geometría Moderna II: Unidad 4 Razón Cruzada

Por Armando Arzola Pérez

Introducción

Ya se ha visto que en una hilera armónica se tienen cuatro puntos colineales $A,B,C,D$, donde el segmento $AB$ está dividido por $C$ y $D$ en razones cuya razón es:
$\hspace{15em} \frac{AC}{CB} / \frac{AD}{DB} = -1.$
En este caso $A$ y $B$ están separados armónicamente por $C$ y $D$, pero que pasaría si estos cuatro puntos estuvieran en posiciones cualesquiera en la recta que se encuentran, es aquí donde entra la definición de razón cruzada.

Razón cruzada para hilera y haces

Definición. (Razón Cruzada) Dados cuatro puntos colineales distintos $A,B,C,D$ en una recta, diremos que la razón cruzada es:

$\frac{AC}{CB} / \frac{AD}{DB} = \{ ABCD \} = k$ con $k \neq -1.$

Lo denotaremos $\{ ABCD \} $.

También se le conoce como razón anarmónica y razón doble.

Observación. Si los cuatro puntos son armónicos, entonces $\{ ABCD \} = -1 $, de igual forma inversamente.

Definición. (Razón Cruzada con líneas concurrentes) Sean cuatro rectas concurrentes $OA$, $OB$, $OC$ y $OD$ en un punto $O$, que no se forme un haz armónico, entonces la razón cruzada es:

$\frac{sen (AOC)}{sen (COB)} / \frac{sen (AOD)}{sen (DOB)} $,

se denotará como $O \{ ABCD \} $. De igual forma, la razón cruzada de cuatro líneas concurrentes $a,b,c,d$ se denotará $\{ a,b,c,d \} $.

Observación. Dados cuatro puntos colineales $A,B,C, D$ se tienen estos casos:

1) $\{ ABCC \} =1$ esto, ya que $\{ ABCC \} =\frac{AC}{CB} / \frac{AC}{CB} = \frac{AC * CB}{CB * AC} =1$.

2) $\{ ABCB \} =0$ esto ya que $\{ ABCB \} =\frac{AC}{CB} / \frac{AB}{BB} = \frac{AC * BB}{CB * AB} =0$.

3) $\{ ABCA \} =\infty $ esto ya que $\{ ABCA \} =\frac{AC}{CB} / \frac{AA}{AB} = \frac{AC * AB}{CB * AA} =\infty $.

Por lo cual se puede demostrar que si la razón cruzada de cuatro puntos tiene uno de los valores $1,0, \infty $ entonces dos de los puntos coinciden.

Teorema. (Razón Cruzada) Si se tienen cuatro puntos distintos $A,B,C,D$ en una recta y $O$ un punto (no está en la recta) entonces:

$\{ ABCD \} =O \{ ABCD \} .$

Demostración. Para demostrar el teorema se usará lo siguiente, si dos puntos finitos $A$ y $B$ distintos en una recta, sea $P$ otro punto de la misma recta y $C$ un punto que no está en la recta, entonces

$\frac{AP}{PB}=\frac{CA*sen (ACP)}{CB*sen (PCB)}$

Entonces usando lo anterior:

$\frac{AC}{CB}=\frac{OA*sen (AOC)}{OB*sen (COB)}$ y $\frac{AD}{DB}=\frac{OA*sen( AOD)}{OB*sen (DOB)}$

$\{ ABCD \} = \frac{AC}{CB} / \frac{AD}{DB}=\frac{OA*sen(AOC)}{OB*sen(COB)} / \frac{OA*sen(AOD)}{OB*sen(DOB)}=\frac{sen(AOC)}{sen(COB)} / \frac{sen(AOD)}{sen( DOB)}=O \{ ABCD \}.$

Razón cruzada

$\square$

Corolario. Sean dos rectas transversales a cuatro líneas de un haz, de las cuales ninguna pasa por el vértice, cortan a estas líneas en $A,B,C,D$ y $A’,B’,C’,D’$ respectivamente, entonces $\{ ABCD \} = \{ A’B’C’D’ \} $.

Demostración. $\{ ABCD \} = O\{ ABCD \} = O\{ A’B’C’D’ \} =\{ A’B’C’D’ \}.$

$\square$

Corolario. Sean dos haces con vertices en $O$ y $O’$ son subtendidos por la misma hilera de puntos $A,B,C,D$ entonces $O\{ ABCD \} = O’\{ ABCD \}$.

Demostración. $O\{ ABCD \} = \{ ABCD \}=O’\{ ABCD \}.$

$\square$

Corolario. Sean $l$ y $l’$ dos rectas en posición cualquiera y sean $A,B,C,D \in l$ y $A’,B’,C’,D’ \in l’$. Si $\{ ABCD \} = \{ A’B’C’D’ \} $ y $O$ y $O’$ son colineales con $A$ y $A’$, entonces las intersecciones $OB$ y $O’B’$, $OC$ y $O’C’$, $OD$ y $O’D’$ son colineales.

Demostración. Sea $l’$$’$ la recta que contiene a $B’$$’$ y $C’$$’$, y sean $A’$$’=l’$$’ \cap OO’$, $D’$$’=OD \cap O’D’$ y sea $D^*=l’$$’ \cap O’D’$.
Tenemos que $\{ ABCD \} = \{ A’B’C’D’ \} $ entonces $\{ A’B’C’D’ \} = \{ A’$$’B’$$’C’$$’D^* \} $.
$\Rightarrow $ $\{ ABCD \} = \{ A’$$’B’$$’C’$$’D^* \} $
$\Rightarrow $ $O\{ ABCD \} = \{ A’$$’B’$$’C’$$’D^* \} $
$\Rightarrow $ $D’$$’=D^*.$

$\square$

Más adelante…

Se seguirá abordando unas propiedades de la razón cruzada y además se construirá un cuarto elemento dada una razón.

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Geometría Moderna II: Ejercicios Unidad 3 Polos y Polares

Por Armando Arzola Pérez

Introducción

Una vez visto el tema de Polos y Polares y todos los subtemas que conlleva este, es hora de realizar unos ejercicios que se dejaran a continuación, todo con el objetivo de practicar y fortalecer el tema visto.

Ejercicios

1.- Demuestre que cualquier punto en la circunferencia es conjugado a todos los puntos de la tangente en ese punto.

2.- Dados P y Q los polos de dos rectas conjugadas p y q respectivamente, entonces demostrar que el polo de la recta PQ es el punto donde intersecan p y q.

3.- Sean tres puntos no colineales, construir la polar de un cuarto punto con respecto a la circunferencia determinada por los tres puntos dados, sin dibujar la circunferencia o cualquier arco de ella.

4.- Encontrar el lugar geométrico de un punto cuyas polares con respecto a dos circunferencias dadas forman un ángulo fijo entre ellas.

5.- Dados tres puntos colineales A, B y D se deberá encontrar el punto C tal que {ABCD} = -1 usando polos y polares.

6.- Demuestre que dadas dos rectas conjugadas que se intersecan en el exterior de una circunferencia, una es secante y la otra no.

7.- Dado un triángulo con circunferencia polar, el inverso de uno de sus lados con respecto a la circunferencia polar, es la circunferencia cuyo diámetro es la recta que une el vértice opuesto con el ortocentro.

8.- Dado un triángulo autopolar uno de sus vértices está dentro de la circunferencia y los otros dos fuera de esta, demostrarlo.

9.- Resolver el problema 7 de los 10 problemas de Apolonio.

10.- Resolver el Problema 10 de Apolonio usando polos y polares.

Más adelante…

La unidad siguiente es Razón Cruzada.

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