Álgebra Moderna I: Cuarto Teorema de Isomorfía

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

Deja un comentario

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta entrada veremos el Cuarto Teorema de Isomorfía, para entenderlo mejor es necesario ilustrarlo con diagramas de retícula.

Sean $G$ un grupo y $N$ un subgrupo normal de $G$. Recordemos que podemos escribir todos los subgrupos de $G$ en una retícula. Como estamos considerando a todos los subgruposde $G$, el subgrupo más pequeño es el conjunto que contiene sólo al neutro $\{e_G\}$. Así, $G$ va hasta arriba del diagrama y $\{e_G\}$ al final.

Por otro lado, como $H\unlhd G$, tiene sentido considerar otro diagrama, el del grupo $G/N$. De la misma manera que en el anterior, hasta abajo colocaríamos $\{e_{G/N}\}$ que es el conjunto unitario de $\{N\}$.

Diagramas de retícula de $G$ y de $G/N$.

Luego, como $N \unlhd G$. Podemos tomar un subgrupo $H$ de $G$ que contenga $N$ y colocarlos en el diagrama. Además, esto nos daría la existencia de $H/N \leq G/N$, entonces podríamos dar una correspondencia de $H \mapsto H/N$. Esto nos da una relación entre ambas retículas (la de $G$ y la de $G/N$):

\begin{align*}
G &\longmapsto G/N\\
H &\longmapsto H/N\\
N &\longmapsto \{e_G\} = \{N\}.
\end{align*}

La relación que existe entre la retícula desde $N$ a $G$ y la retícula de $G/N$ además de ser biyectica tiene otras propiedades, por ejemplo, si existe $N\leq K \unlhd H$, entonces $K/N \unlhd H/N$. Estas propiedades son las que veremos en el teorema que nos compete.

Diagramas de retícula de $G$ y de $G/N$ con correspondencia.

Enunciado y demostración del Teorema

A continuación veremos el Cuarto Teorema de Isomorfía (CTI), también conocido como Teorema de la Correspondencia.

Teorema. (Cuarto Teorema de Isomorfía)
Sea $G$ un grupo, $N$ subgrupo normal de $G$, $\pi: G \to G/N$ con $\pi(a) = aN$ (la proyección canónica) para toda $a\in G$. Consideremos

\begin{align*}
\text{Sub}_N^G &= \{H| N\leq H \leq G \}, \\
\text{Sub}_{ G/N} &= \{\mathcal{H} | \mathcal{H} \leq G/N\}.
\end{align*}

Entonces $\pi$ define una correspondencia biyectiva
\begin{align*}
F: \text{Sub}_N^G \to \text{Sub}_{ G/N}
\end{align*}
con $F(H) = \pi [H] = H/N$ para todo $H \in \text{Sub}_H^G$.

Además, si $H,K\in \text{Sub}_N^G$:

  1. $K\leq H$ si y sólo si $K/N \leq H/N$ y en este caso $[ H:K] = [H/N : K/N]$.
  2. $K \unlhd H$ si y sólo si $K/N \unlhd H/N$.
  3. $\left< H\cup K \right> / N = \left< H/N \cup K/N \right>$.
  4. $(H\cap K) / N = (H/ N) \cap (K/N)$.

Demostración.

Sean $G$ un grupo, $N\unlhd G$, $\pi:G\to G/N$ con $\pi(a) = aN$ para toda $a\in G$.
Sean
\begin{align*}
\text{Sub}_N^G &= \{H\,|\, N\leq H \leq G \}, \quad
\text{Sub}_{ G/N} = \{\mathcal{H} | \mathcal{H} \leq G/N\}.
\end{align*}

Definimos
\begin{align*}
F: \text{Sub}_N^G \to \text{Sub}_{ G/N}
\end{align*}
con $F(H) = \pi[ H] = H/N$ para todo $H \in \text{Sub}_H^G$. Donde $\pi[H]$ es la imagen directa de $H$ bajo $\pi$.

Como $\pi$ es un homomorfismo y $H\leq G$ entonces $\pi[H]\leq \pi[G ]$, es decir $H/N\leq G/N$, entonces $F$ está bien definida.

Veamos que $G$ es inyectiva, para ello probemos la primera parte del inciso 1.
Sean $H, K \in \text{Sub}_N^G$.
P.D. $K \leq H \Leftrightarrow K/N \leq H/N$.

$|\Rightarrow]$ Supongamos que $K \leq H$. Sea $x \in K/N, x = kN$ con $k\in K.$

Como $K\subseteq H$, $k\in H$ y así $x = kN \in H/N$. Por lo tanto $K/N \leq H/N$.

$[\Leftarrow|$ Supongamos que $K/N \leq H/N.$ Sea $k\in K$, tenemos las siguientes implicaciones:
\begin{align*}
k N \in K/N &\Rightarrow kN \in H/N &\text{pues } K/N \leq H/N \\
&\Rightarrow kN = hN \;\text{con } h\in H \\
& \Rightarrow k = hn\; \text{con } h\in H, n\in N &\text{por } k \in kN = hN\\
& \Rightarrow k \in H & \text{ya que } N \subseteq H.
\end{align*}

Por lo tanto $K \leq H$.

De este modo, si $H,K \in \text{Sub}_N^G $ son tales que $F(H) = F(K)$, entonces $H/N = K/N$, así
\begin{align*}
H/N \leq K/N &\Rightarrow H \leq K \\
K/N \leq H/N &\Rightarrow K \leq H,
\end{align*}

ambas implicaciones son consecuencia de lo que acabamos de probar del inciso 1 de CTI. Así, $H=K$.

Veamos que $F$ es suprayectiva. Se $\mathcal{H} \in \text{Sub}_{G/N}$, es decir $\mathcal{H} \leq G/N$. Como $\pi: G \to G/N$ es un homomorfismo y $\{N\}\leq \mathcal{H} \leq G/N$, entonces $N \leq \pi^{-1}[\mathcal{H}] \leq G$.

Diagrama de la imagen inversa de $\mathcal{H} = \pi^{-1}[\mathcal{H}]$.

Nos vamos a fijar en el subgrupo $\pi^{-1} [\mathcal{H}]$, porque nos va a servir para probar la suprayectividad que buscamos.
Entonces apliquemos $F$: $$F(\pi^{-1} [\mathcal{H} ]) = \pi [\pi^{-1}[\mathcal{H}]]= \mathcal{H}$$ pues $\pi$ es suprayectiva. Así, $F$ es suprayectiva.

Probaremos ahora la segunda parte del inciso 1).
Sean $H,K\in \text{Sub}_N^G$, con $K\leq H$.
P.D. $[H: K ] = [H/N: K/N]$.

Recordemos que $[H/N : K/N]$ es la cardinalidad de $\{(hN)K/N \,|\, hN \in H/N\}$.

Para simplificar, denotaremos a $K/N$ por $K^*$ y como $\pi (h) = hN$, entonces $[H/N : K/N ]$ es la cardinalidad de $\{\pi(h)K^* | h\in H\}.$

P.D. $\{hK | h \in H \}$ y $\{\pi(h)K^*|h\in H\}$ tienen la misma cardinalidad.

Sea $f: \{hK | h \in H\} \to \{\pi(h)K^*| h\in H\}$ definida por $f(hK) = \pi(h)K^*$ para toda $h\in H$. Demostraremos que es una función biyectiva.
Primero, veamos que $f$ está bien definida. Tomemos $h, \tilde{h} \in H$. Tenemos las siguientes implicaciones:

\begin{align*}
hK = \tilde{h}K &\Rightarrow h^{-1}\tilde{h} \in K \\
&\Rightarrow h^{-1}\tilde{h} N \in K/N = K^*\\
&\Rightarrow \pi(h^{–1}\tilde{h}) \in K^* & \text{definición de }\pi\\
&\Rightarrow \pi(h)^{-1} \pi(\tilde{h}) \in K^* & \pi\text{ es homomorfismo}\\
&\Rightarrow \pi(h)K^* = \pi(\tilde{h})K^*.
\end{align*}
Por lo tanto, $f$ está bien definida.

Ahora veamos que $f$ es inyectiva. Sean $hK,\tilde{h}K$ con $h,\tilde{h}\in H$, tales que $f(hK) = f(\tilde{h}K)$. Seguiremos las siguientes implicaciones,

\begin{align*}
f(hk) = f(\tilde{h}K) & \Rightarrow \pi(h)K^* = \pi(\tilde{h})K^* &\text{definición de }f \\
&\Rightarrow \pi(h)^{-1}\pi(\tilde{h}) \in K^* \\
&\Rightarrow \pi(h^{–1}\tilde{h}) \in K^* &\pi\text{ es homomorfismo}\\
&\Rightarrow h^{–1}\tilde{h}N\in K^*&\text{definición de }\pi\\
&\Rightarrow h^{-1}\tilde{h}N = kN \text{ con } k \in K & \text{porque }K^* = K/N\\
&\Rightarrow h^{-1}\tilde{h} = kn, k\in K, n\in N &\text{porque } h^{-1}\tilde{h}\in h^{-1}\tilde{h}N \\
&\Rightarrow h^{-1}\tilde{h}\in K &\text{pues } N\subseteq K \\
&\Rightarrow hK = \tilde{h}K.
\end{align*}
Por lo tanto $f$ es inyectiva.

Además, si tenemos $\pi(h)K^*$ con $h\in H$, entonces $\pi(h)K^* = f(hK) \in \text{Im}f$. Por lo tanto $f$ es suprayectiva.

Así,
\begin{align*}
[H:K] &= \# \{hK | h \in H\} \\
&= \#\{\pi(h)K^* | h \in H\} = [H/N:K/N].
\end{align*}

Ahora, demostraremos el inciso 2.

Sean $H,K\in \text{Sub}_N^G$.
P.D. $K \unlhd H \Leftrightarrow K/N \unlhd H/N.$

El inciso 1 (que acabamos de probar) ya nos da que $K \leq H \Leftrightarrow K/N \leq H/N.$ Entonces lo que nos resta probar es que son subgrupos normales.

$|\Rightarrow]$ Supongamos que $K\unlhd H$. Sean $x\in H/N, y \in K/N$, entonces $x = hN, y = kN$ con $h\in H, k\in K$.

Lo que queremos es considerar el conjugado $xyx^{-1}$, es decir, ver que si tomamos un elemento de $K$ módulo $N$ (al que llamamos $y$) y lo conjugamos con cualquier elemento de $H$ módulo $N$ (en este caso $x$), vuelvo a tener un elemento en $K$ módulo $N$. Esto se ve de la siguiente manera:
\begin{align*}
x y x^{-1} = (hN)(kN)(hN)^{-1} = (hN)(kN)(h^{-1}N) = hkh^{-1}N.
\end{align*}

Como $k \in K, h \in H$ y $K\unlhd H$, se tiene que $hkh^{-1} \in K$.

Así, $xyx^{-1} = hkh^{-1} N \in K/N$. Por lo que $K/N \unlhd H/N$.

$[\Leftarrow|$ Supongamos que $K/N \unlhd H/N$. Sean $k\in K, h\in H$.

Veamos qué sucede con la clase $hkh^{-1}N$:
\begin{align*}
hkh^{-1} N = (hN)(kN)(h^{-1}N) = (hN)(kN)(hN)^{-1}
\end{align*}

Es otras palabras, estamos conjugando un elemento de $kN\in K/N$ con un elemento de $kN\in K/N$. Luego, como sabemos que $K/N \unlhd H/N$ obtenemos que esta conjugación sigue estando en $K/N$. Es decir, $hkn^{-1}N\in K/N$.

Podríamos reescribir $hkh^{-1}N = \tilde{k}N$ con $\tilde{k} \in K$. Así,

\begin{align*}
hkh^{-1}N &= \tilde{k}N & \text{con }\tilde{k} \in K\\
\Rightarrow hkh^{-1} &= \tilde{k}n, \tilde{k}\in K, n\in N & \text{por } hkh^{-1} \in hkh^{-1}N = \tilde{k}N \\
\Rightarrow hkh^{-1}&\in K &\text{pues } N\subseteq K.
\end{align*}

Por lo tanto $K\unlhd H$.

$\blacksquare$

Ejemplo de CTI

Ejemplo. Tomemos el grupo diédrico (todas las simetrías de un cuadrado) $D_{2(4)} = \left<a,b \right>$, donde $a$ la rotación de $\frac{\pi}{2}$ y $b$ es la reflexión respecto al eje $x$.

Construyamos la retícula de $D_{2(4)}$: comenzamos con $D_{2(4)}$ hasta arriba, este tiene orden de 8. En el siguiente nivel colocamos los subgrupos:
\begin{align*}
\left<a^2,b\right> &= \{\text{id}, a^2, b, a^2b\}\\
\left<a\right> &= \{\text{id}, a, a^2, a^3\} \\
\left<a^2,ab\right> &= \{\text{id}, a^2, ab, a^3b\}.
\end{align*}

Cada uno de esos subgrupos tiene orden 4, en realidad esos son los únicos subgrupos de $D_{2(4)}$ que tienen orden 4. Siéntete libre de confirmar las cuentas.

Luego podemos colocar en el tercer nivel los subgrupos de orden 2:
\begin{align*}
\left< b\right> &= \{\text{id}, b\}\\
\left< a^2b\right> &= \{\text{id}, a^2b\}\\
\left< a^2\right> &= \{\text{id}, a^2\}\\
\left< ab\right> &= \{\text{id}, ab\}\\
\left< a^3b\right> &= \{\text{id}, a^3b\}.
\end{align*}

Por último, hasta abajo tenemos al unitario de la identidad $\{\text{id}\}$. Si verificamos las operaciones, nos daremos cuenta que hemos construido todo el diagrama de retícula de $D_{2(4)}$.

Para poder usar el CTI, consideremos $\left<a^2\right> \unlhd D_{2(4)}$ y concentremos nuestra atención en la parte de la retícula que se encuentra entre esos dos (marcada con rojo en la imagen).

Ahora, dibujaremos el diagrama de retícula de $D_{2(4)}/\left<a^2\right>$, éste va hasta arriba. Colocamos los cocientes respectivos en el siguiente nivel, siguiendo esta correspondencia:

\begin{align*}
\left<a^2,b\right> &\longmapsto \left<a^2,b\right> / \left<a^2\right>\\
\left<a\right> &\longmapsto \left<a\right>/ \left<a^2\right>\\
\left<a^2,ab\right> &\longmapsto \left<a^2,ab\right>/ \left<a^2\right>.
\end{align*}

Haciendo las cuentas veremos que:
\begin{align*}
\left<a^2,b\right> / \left<a^2\right> = \left<b \left<a^2\right>\right>\\
\left<a\right>/ \left<a^2\right> = \left<a \left<a^2\right>\right>\\
\left<a^2,ab\right>/ \left<a^2\right> = \left<ab \left<a^2\right>\right>.
\end{align*}

Construcción de los diagramas de retícula

Por último, haremos una observación. Si tomamos el subgrupos $\left< a^3b\right>$ de orden 2 igual podríamos aplicarle la regla de correspondencia de $F$ y seguirían cayendo en elementos de la retícula de $D_{2(4)}/\left<a^2\right>$ es decir:
\begin{align*}
F(\left< a^3b\right>)=\pi[\left< a^3b\right>] = \{\text{id}\left<a^2\right>, a^3b\left<a^2\right>\} = \left<ab\left<a^2\right>\right>.
\end{align*}

En ese contexto la función con la regla de correspondencia de $F$ no sería biyectiva ya que $F(\left< a^3b\right>)=F(\left< ab\right>)$, pero esto no contradice el Teorema de la Correspondencia porque en realidad $\left< a^3b\right>$ ni siquiera está contemplado en el dominio de $F$ porque no forma parte de la retícula entre $D_{2(4)}$ y $\left<a^2\right>$.

Diagrama de retícula completo.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Prueba los incisos 3 y 4 del Teorema de la correspondencia (Cuarto Teorema de Isomorfía).
  2. Encuentra la retícula de sugrupos de $\z$ que contienen a $24\z$.
    • Encuentra la retícula de subgrupos de $\z/24\z$.
    • Compara ambas retículas.
  3. Usando el diagrama reticular de subgrupos de $\z_{36}$ encuentra el de $\z_{36}/N$ donde $N = \{\bar{0}, \overline{12}, \overline{24}\}$.

Más adelante…

Con esta entrada concluimos la Unidad 3. En la siguiente unidad comenzaremos a ver cómo es posible ver a cualquier grupo como un subgrupo de permutaciones. ¿Puedes imaginártelo?

Entradas relacionadas

Álgebra Moderna I: Tercer Teorema de Isomorfía

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

Deja un comentario

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Alguna vez te haz preguntado: ¿qué ocurre con un cociente de cocientes? Comencemos con un ejemplo para crear intuición.

Digamos que queremos que el siguiente cociente tenga sentido:
\begin{align*}
(G/K) \Big/ (H/T).
\end{align*}
Para ello, necesitamos que $K\unlhd G$, $T\unlhd H$ y además $H/T \unlhd G/K$. Lo último nos indica en particular que $H/T$ debe ser un subconjunto de $ G/K$. Como los elementos de $H/T$ son de la forma $hT$con $h\in H$ y los de $G/K$ de la forma $gK$ con $g\in G$, para que $H/T\subseteq G/K$ necesitamos primero que las clases se formen con respecto al mismo subgrupo, es decir requerimos que $T=K$. Además, todo $h\in H$ debería ser elemento de $G$, por lo que $H\subseteq G.$

Volvamos a escribir el cociente ahora con $T=K$,
\begin{align*}
(G/K) \Big/ (H/K).
\end{align*}
También actualicemos las necesidades:

  1. $K\unlhd G$,
  2. $K\unlhd H$ y
  3. $H/K\unlhd G/K$ con $H\subseteq G.$

Notemos que $K \subseteq H \subseteq G$ y la primera condición, $K \unlhd G$, nos da la segunda, $K\unlhd H$. También podemos pedir que $H\unlhd G$ y de esto obtendríamos la tercera necesidad, $H/K\unlhd G/K$. Además, al pedir que $H\unlhd G$ podríamos considerar al cociente $G/H$.

En esta entrada, demostraremos el Tercer Teorema de Isomorfía, el cual nos respalda en afirmar, bajo las condiciones ya establecidas, que
\begin{align*}
G/H \cong (G/K) \Big/ (H/K).
\end{align*}

De esto podemos concluir que, cuando se tiene un cocientes de cocientes existe una manera de reducirlo ya que es isomorfo a un cociente más sencillo.

Enunciado del Teorema

Comenzaremos enunciando y demostrando el teorema. Como ya dijimos en la entrada del Primer Teorema de Isomorfía, aquí volveremos a usarlo para probar el Tercero.

Diagrama de retícula que representa que $H\unlhd G$ y $K\unlhd G$.

Teorema. (Tercer Teorema de Isomorfía)
Sean $G$ un grupo, $H$ y $K$ subgrupos normales de $G$ con $K\leq H$. Entonces $H/K \unlhd G/K$ y
\begin{align*}
(G/K)\, \Big/\, (H/K) \cong G/H.
\end{align*}

Demostración.
Sean $G$ un grupo, $H\unlhd G$, $K\unlhd G$ con $K \leq H$.
Como $K\unlhd G$, al conjugar elementos de $K$ con cualquier elemento de $G,$ obtenemos elementos de $K$. En particular, si conjugamos elementos de $K$ con cualquier elemento de $H,$ obtenemos elementos de $K$. Así obtenemos que $K\unlhd H$.

Ahora, usaremos el Primer Teorema de Isomorfía para probar el isomorfismo buscado, para ello bastaría definir una $\varphi$ tal que $\text{Núc } \varphi = H/K$ y $\text{Im }\varphi = G/H$.

Sea $\varphi: G/K \to G/H$ con $\varphi(gK) = gH$ para toda $g\in G$.

Primero, veamos que $\varphi$ está bien definida.
Tomemos $a,b \in G$.
\begin{align*}
aK = bK &\Rightarrow b^{-1}a \in K \\
&\Rightarrow b^{-1}a\in H &\text{Porque } K \subseteq H\\
&\Rightarrow aH = bH.
\end{align*}
Esto nos dice que debido a la contención $K\subseteq H$, dos clases que son iguales con respecto a $K$, seguirán siendo iguales con respecto a $H$. Así, $\varphi$ está bien definida.

Ahora veamos que $\varphi$ es un homomorfismo. Sean $a,b\in G$
\begin{align*}
\varphi(aKbK) = \varphi(abK) = ab H = aHbH = \varphi(aK)\varphi(bK)
\end{align*}
entonces $\varphi$ es un homomorfismo.

Ahora sí, comencemos a analizar su núcleo:
\begin{align*}
\text{Núc }\varphi &= \{gK\in G/K \,:\, \varphi(gK) = e_{G/H}\} & \text{Definición de núcleo} \\ &= \{gK\in G/K \,:\, gH = H \} &\text{Definición de $\varphi$ y neutro del cociente}\\
&= \{gK \in G/K \,:\, g\in H\} & gH = H \Leftrightarrow g\in H \\
&= H/K
\end{align*}

Así, $\text{Núc }\varphi =H/K$ y en consecuencia $H/K \unlhd G/K.$

Veamos ahora que $\varphi$ es suprayectiva.
Sea $x\in G/H$, $x = gH$ con $g\in G$. Por definición de $\varphi$ tenemos,
\begin{align*}
x = gH = \varphi(gK) \in \text{Im }\varphi.
\end{align*}
Como siempre sucede que $\text{Im }\varphi \subseteq G/H$. Entonces $\text{Im }\varphi = G/H$.

Por el Primer Teorema de Isomorfía:
\begin{align*}
(G/K)\,\Big/\, \text{Núc }\varphi \cong \text{Im }\varphi
\end{align*}
entonces, de acuerdo a lo que analizamos,
\begin{align*}
(G/K)\,\Big/\, (H/K) \cong G/H.
\end{align*}

$\blacksquare$

Ejemplo

Veamos ahora un ejemplo del Tercer Teorema de Isomorfía.

Tomemos $G = (\r, +), H= (\z, +)$. Consideremos $n\in\z$ y $K = \left< n\right> = n\z$.

Diagrama que representa $\left< n\right>\unlhd \r$ y $\z \unlhd \r$.

Sabemos que $\z\unlhd\r$ y que $\left< n\right>\unlhd \r$ ya que $\r$ es abeliano.
Por el 3er Teorema de Isomorfía,
\begin{align*}
(\r/\left<n\right>)\,\Big/\, (\z/\left< n\right>) \cong \r/\z.
\end{align*}

Veamos cómo es $\z / \left<n\right>$. Sea $\varphi:\z\to\z_n$ con $\varphi(m) = \bar{m}$ para todo $m\in\z$. Por lo que tenemos estudiado de Álgebra Superior II, sabemos que $\varphi$ es un epimorfismo con $\text{Núc }\varphi = \left<n\right>$ y por el 1er Teorema de Isomorfía
\begin{align*}
\z/\left<n\right> \cong \z_n.
\end{align*}

Analicemos ahora el cociente $\r/\left<n\right>$. Sea $\psi:\r \to \mathbb{C}^*$ con $\psi(x) = e^{\frac{2\pi ix}{n}}$ para toda $x\in \r$. Tenemos que $\psi$ es un homomorfismo con
\begin{align*}
\text{Núc }\psi &= \{x\in \r : \psi(x) = 1\} = \{x\in\r : e^{\frac{2\pi ix}{n}} = 1\}\\
&= \{nk : k\in\z\} = \left< n\right>.\\\\
\text{Im }\psi &= \{\psi(x) : x\in \r\} = \{e^{\frac{2\pi ix}{n}}: x\in \r\}\\
&=\{z \in \mathbb{C}:|z|=1\} = \s^1.
\end{align*}
Por el 1er Teorema de Isomorfía aplicado a $\psi$ obtenemos que $\r/\left<n\right> \cong \s^1$.

Por último, veamos cómo es $\r/\z$. Sea $F:\r\to\mathbb{C}^*$ con $F(x) = e^{2\pi ix}$ para toda $x\in\r$. Tenemos que $F$ es un homomorfismo con
\begin{align*}
\text{Núc }F &= \{x\in\r : F(x) = 1\} = \{x\in\r : e^{2\pi ix} = 1\}\\
&= \{x : x\in\z\} = \z.\\\\
\text{Im }F &= \{F(x) : x\in\r\} = \{e^{2\pi ix}: x\in \r\}\\
&= \{z\in\mathbb{C} : |z| = 1\} = \s^1.
\end{align*}

Así, $\r/\z \cong \s^1$ por el 1er Teorema de Isomorfía.

Recapitulando, hemos visto que
\begin{align*}
\s^1 &\cong \r/\left<n\right> \\
\z_n &\cong \z/\left<n\right>.
\end{align*}

Entonces, retomando el cociente con el que iniciamos:
\begin{align*}
(\r/\left<n\right>) \,\Big/\, (\z/\left<n\right>) \cong \r/\z \cong \s^1.
\end{align*}

donde $\s^1\cong \r/\left<n\right>$ y $\z_n\cong \z/\left<n\right>.$ Entonces, un cociente de $\s^1$ módulo un subgrupo suyo no trivial (que es isomorfo a $\z_n$), resulta ser isomorfo a $\s^1$.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sea $G$ un grupo, $H$ y $K$ subgrupos normales de $G$ con $K$ un subgrupo de $H$. Describe cómo son en general los elementos del cociente $(G/K)/(H/K)$.
  2. Sea $\z_{12}$, considera sus subgrupos $H = \langle\bar{2}\rangle$ y $K = \langle\bar{4}\rangle$.
    • Determina en este caso qué pasa al aplicar el Tercer Teorema de Isomorfía.
    • Describe cómo son los cocientes $\z_{12}/K$ y $H/K$ encontrando explícitamente su orden, el orden de sus elementos y su tabla de multiplicar.

Más adelante…

Ya vamos 3/4 de los teoremas. ¡Qué emoción! En la próxima entrada veremos el más largo de los Teoremas de Isomorfía.

Entradas relacionadas

Álgebra Moderna I: Segundo Teorema de Isomorfía 

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

Deja un comentario

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Comencemos introduciendo la idea del Segundo Teorema de Isomorfía. Para ello tomemos $H,K$ dos subgrupos de $G$ tales que $H\unlhd G$. Por favor, apóyate en el diagrama de retícula.

Diagrama de retícula para explicar el Segundo Teorema de Isomorfía.

Observemos el cociente $HK/H$, este es posible porque $H\unlhd HK$ (como se hizo notar en la entrada anterior y esto se indica en el diagrama). Por nuestra experiencia manejando fracciones, podríamos pensar que es posible cancelar la $H$ y obtener que $HK/H \cong K$. Sin embargo, esto no es cierto porque $K$ puede tener elementos en común con $H$. Por ejemplo, si tomamos el caso cuando $H=K$ el isomorfismo $HK/H \cong K$ ya no se cumple.

¡Pero no temais! porque sí existe un isomorfismo para $HK/H$, en esta entrada el Segundo Teorema de Isomorfía nos dice que $$HK/H \cong K/(H\cup K).$$

Cabe notar que en la literatura suelen mezclarse el Segundo y el Tercer Teorema de Isomorfía entre sí. El Primer Teorema de Isomorfía siempre es el que enunciamos en la entrada pasada, pero a veces el Segundo puede ser el Tercero y viceversa. Esto lo aclaramos por si el teorema que tratamos en esta entrada no es el que te esperabas.

Segundo Teorema de Isomorfía

El segundo Teorema de isomorfía también es llamado del Teorema del Diamante por la forma del diagrama de retícula asociado.

Diagrama de retícula del STI.

Teorema. (2do Teorema de Isomorfía)
Sean $G$ un grupo, $H,K$ subgrupos de $G$ con $H\unlhd G$. Entonces $HK\leq G$, $H \unlhd HK$, $H\cap K \unlhd K$ y
\begin{align*}
HK/H \cong K/(H\cap K).
\end{align*}

Demostración.
Sean $G$ un grupo, $H \unlhd G$, $K \leq G$.
Como $H \unlhd G$, entonces $HK \leq G$. Tenemos que $H\leq HK$ y como $H \unlhd G$, entonces $H \unlhd HK$.

En esta demostración queremos usar el Primer Teorema de Isomorfía. Para ello bastaría construir un homomorfismo cuyo núcleo sea $H\cap K$ y cuya imagen sea $HK/H$. Comencemos definiendo dicho homomorfismo:

Sea
\begin{align*}
\varphi: K \to HK/H
\end{align*}
con $\varphi(k) = kH, \forall k\in K$.

P.D. $\varphi$ es un homomorfismo.

Sean $k, \tilde{k} \in K$,
\begin{align*}
\varphi(k\tilde{k}) = k\tilde{k}H = kH\tilde{k}H = \varphi(k)\varphi(\tilde{k}).
\end{align*}
Así, $\varphi$ es un homomorfismo.

Ahora veamos quién es el núcleo de $\varphi$:
\begin{align*}
\text{Núc }\varphi &= \{ k\in K | \varphi(k) = e_{HK/H} \} \\
&= \{k \in K | kH = H\} \\ &= \{k\in K|k\in H\} = H\cap K.
\end{align*}
De este modo, $H\cap K = \text{Núc }\varphi \unlhd K$.

Veamos ahora que $\varphi$ es suprayectiva.
Sea $x\in HK/H$, $x = hk H$ con $h\in H, k \in K$.
\begin{align*}
x = hk H = (kk^{-1})hk H = k(k^{-1}hk) H = kH
\end{align*}
ya que $k^{-1}hk\in H$ pues $H\unlhd G$.

Entonces $x = kH = \varphi(k) \in \text{Im }\varphi$. Por lo que $\varphi$ es suprayectiva y además, $\text{Im }\varphi = HK/H$.

Por el 1er Teorema de Isomorfía,
\begin{align*}
K/\text{Núc }\varphi \cong \text{Im }\varphi
\end{align*}
entonces
\begin{align*}
K/(H\cap K) \cong HK/H.
\end{align*}

$\blacksquare$

Un ejemplo para reforzar del STI

Consideremos $G = GL(2,\c), H = \{zI_2| z \in\c^*\}$ y $K = SL(2,\c)$. Recordemos que $K$ es el grupo lineal especial.

Dado $z \in\c^*$ y $A\in GL(2,\c)$,
\begin{align*}
A(zI_2)A^{-1} = zAI_2A^{-1} = zI_2.
\end{align*}
Así $H \unlhd G$.

Además,
\begin{align*}
H\cap K &= \{zI_2|\det(zI_2) = 1\}\\ &= \left\{ \begin{pmatrix}
z & 0\\0 & z \end{pmatrix} : z^2 = 1\right\}\\
& = \left\{\left( \begin{array}{rr}1 & 0\\0 & 1 \end{array}\right), \left( \begin{array}{rr}
-1 & 0\\0 & -1 \end{array}\right) \right\} = \{I_2, -I_2\}.
\end{align*}

Por el Segundo Teorema de Isomofía,
\begin{align*}
HSL(2,\c)/ H \cong SL(2,\c)/ \{I_2, -I_2\}.
\end{align*}

Diagrama que describe las relaciones entre los grupos del ejemplo.

Analicemos qué pasa con $HSL(2,\mathbb{C})$. Primero $HSL(2,\c) \leq GL(2, \mathbb{C})$, y si $A \in GL(2,\mathbb{C})$.
\begin{align*}
A = \left(\sqrt{\det A} \;I_2 \right) \left(\frac{1}{\sqrt{\det A}}\right)A.
\end{align*}

Como el primer término está en $H$ y el segundo está en $SL(2,\c),$ entonces $A \in H\,SL(2,\c)$.
Así, tenemos que $H\,SL(2,\c) = GL(2,\mathbb{C})$.

Reescribiendo lo que nos dice el Segundo Teorema de Isomorfía obtenemos:
\begin{align*}
GL(2,\mathbb{C})/H \cong SL(2,\mathbb{C})/\{I_2, -I_2\}.
\end{align*}

Diagrama actualizado

Analicemos ahora cómo es $GL(2,\c)/H$. Tomemos $A,B \in GL(2,\mathbb{C})$,
\begin{align*}
AH = BH &\Leftrightarrow A^{-1}B\in H\\ &\Leftrightarrow A^{-1}B = \begin{pmatrix}z & 0 \\ 0 & z\end{pmatrix} \quad \text{con }z\in \c^* \\
&\Leftrightarrow B = A \begin{pmatrix} z & 0 \\ 0 & z \end{pmatrix} = z A \quad \text{con }z\in \c^*
\end{align*}

es decir, en el cociente identificamos a matrices que difieren por un escalar no nulo.

Ahora, analicemos el cociente $SL(2,\c)/\{I_2, -I_2\}$. Tomemos $A,B\in SL(2,\c)$,
\begin{align*}
A\{I_2, -I_2\} = B\{I_2,-I_2\} &\Leftrightarrow A^{-1}B \in \{I_2, -I_2\}\\ &\Leftrightarrow A^{-1}B = \pm I_2 \\
&\Leftrightarrow B = \pm A
\end{align*}
es decir, identificamos a los matrices que difieren a lo mucho por su signo.

Versión intuitiva del ejemplo

Veamos ahora el ejemplo de una manera más intuitiva (con dibujos) para entender por qué esos cocientes son isomorfos.

Lo que hicimos fue tomar el grupo general lineal $GL(2,\c)$ y hacer un cociente respecto a $H$, que consiste en todas las matrices escalares con escalares no nulos. Esto hace que cada matriz $A$ se identifique con cualquier otra de la forma $zA$, con $z$ un escalar no nulo.

Diagrama de lo que sucede en $GL(2,\c).$

En el caso del grupo especial lineal $SL(2,\c)$, hicimos un cociente con $H\cap K$ que consta solamente de la identidad $I_2$ y de su inverso aditivo $-I_2$. De acuerdo con lo que analizamos, las clases de equivalencia tienen 2 elementos. Cada matriz $A$ se identifica con su inverso aditivo $-A$.

Diagrama de lo que sucede en $SL(2,\c).$

Luego, regresando a $GL(2,\c)$, si nos tomamos la matriz dada por $\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A$, ésta está en la misma clase de equivalencia que $A$ ya que es de la forma $zA$ con $z=\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}}$ un escalar no nulo. Pero además, $\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A$ es de determinante igual a 1. Entonces, en la misma clase de equivalencia dos matrices con determinante 1:

\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A, \quad -\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A.
\end{align*}

Diagrama de que $\pm\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A$ están en $GL(2,\c).$

Además, éstas son las únicas dos opciones con determinante 1. Esto sucede porque ya $\text{det}(zA) = z^2 \text{det }A$ debido a las propiedades del determinante. Entonces si queremos que $zA$ sea de determinante uno, obtendríamos:
\begin{align*}
1 = \text{det}(zA) = z^2 \text{det }A &\Leftrightarrow z^2 = \frac{1}{\text{det }A} \\
&\Leftrightarrow z = \pm \frac{1}{\sqrt{\text{det }A}}.
\end{align*}

Entonces, podemos usar alguna de esas dos matrices de determinante uno como representante de la clase de equivalencia de $A$. De la misma manera $I_2, -I_2 \in H$ tienen determinante uno, por lo que podríamos usar alguna de ellas como representante de la clase $H$.

Al trabajar en el contexto de $SL(2,\c)$ consideraríamos sólo las matrices con determinante uno, así que en la clase $H\cap K$ sólo quedarían $I_2$ y $-I_2$. De modo más general, en $GL(2,\c)$ módulo $H$ cada matriz $A$ se identifica con cualquiera de la forma $zA$, y sabemos que sólo $\pm \frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A$ tienen determinante uno, así que al trabajar ahora en $SL(2,\c)$ la clase de cada matriz $A$ en $SL(2,\c)$ consistirá sólo de $\pm \frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A$, y como $\text{det }A=1$, en cada clase tendríamos sólo a la matriz y a su inverso aditivo $\pm A$ .

Diagrama completo.

Esto es lo hay de fondo cuando decimos que los cocientes son isomorfos:

\begin{align*}
GL(2,\mathbb{C})/H \cong SL(2,\mathbb{C})/\{I_2, -I_2\}.
\end{align*}

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sea $G$ un grupo finito, $H$ y $K$ subgrupos de $G$ con $H$ normal en $G$. ¿Cuál es la cardinalidad de $HK$ en términos de la de $H$ y de la de $K$? ¿Qué sucede si $H$ no es normal?
  2. Sea $G$ un grupo finito, $S$ y $T$ subconjuntos de $G$. ¿Cuál es la cardinalidad de $ST$ en términos de la de $S$ y la de $T$?
  3. Da otra prueba del 2do Teorema de Isomorfía encontrando un homomorfismo adecuado $\varphi: HK \to K/(H\cap K)$.
  4. Sean $G= Q$ el grupo de los cuaternios, $H = \left< i \right>$, $K = \left< k \right>$. Calcula los cocientes $HK/H$ y $K/(H\cap K)$ encontrando explícitamente su orden, el orden de sus elementos y su tabla de multiplicar, y a partir de ello compara ambos cocientes.
  5. Sean $G = \z \times \z \times \z$ con la suma entrada a entrada, $H = \z\times\z\times \{0\}$, $K = \{0\}\times\z\times\z$.
    • Analiza cómo es el cociente $(H+K)/H$ entendido qué se requiere para que $(a,b,c) + H = (d,f,g) + H$.
    • Analiza cómo es el cociente $K/(H\cap K)$ entendiendo qué se requiere para que $(a,b,c)+H\cap K = (d,f,g)+ H\cap K$.
    • Encuentra un homomorfismo $\varphi: \{0\}\times\z\times\z \to \z$ que te permita entender cómo es el cociente $K/(H\cap K)$.

Más adelante…

Ahora ya conocemos al que llamaremos el Segundo Teorema de Isomorfía, a diferencia del PTI, éste no se usa para probar el Tercero, pero igual lo ocupando en las unidades siguientes.

Entradas relacionadas

Geometría Moderna II: Ejercicios Unidad 1

Por Armando Arzola Pérez

Deja un comentario

Introducción

Una vez estudiado los temas de esta primera unidad, se dejarán a continuación Ejercicios para reforzar, investigar y pensar distintos problemas relacionados con lo ya visto en esta unidad.

Potencia de un Punto Ejercicios

1.- Dados dos círculos A y A’. Encontrar el lugar de los puntos cuya suma de Potencias respecto a A y A’ es constante.

2.- El lugar geométrico de un punto, cuya diferencia de potencias con respecto a dos circunferencias no concéntricas es constante, es una línea recta paralela a su eje radical.

Eje radical de dos circunferencias Ejercicios

3.- Construir el eje radical de dos circunferencias sin hacer uso de los centros o la línea de los centros de las circunferencias.

4.- Encontrar el eje radical del circuncirculo y el círculo de los nueve puntos de un triángulo dado.

Circunferencias Ortogonales Ejercicios

5.- Determinar cuando es posible para el centro de una de dos circunferencias ortogonales estar en la otra circunferencia.

6.- Dadas dos circunferencias y un punto, trace una circunferencia que sea ortogonal a las dos y que contenga al punto.

Familias Coaxiales Ejercicios

7.- Dos circunferencias distintas dadas, son miembro de uno y solo un conjunto de circunferencias coaxiales.

8.- Demuestra que si cada uno de dos puntos fijos tiene potencias iguales con respecto a tres o más circunferencias, estas son coaxiales.

9.- Demuestra que los ejes radicales de un círculo y cada una de las circunferencias de un conjunto coaxial son concurrentes.

10.- Demuestra que todas las circunferencias cuyos centros son colineales y tales que son ortogonales a una circunferencia dada, son coaxiales.

Circunferencia de Similitud Ejercicios

11.- Demuestre que dos circunferencias y su circunferencia de similitud son coaxiales.

Aplicaciones al Cuadrilátero Completo Ejercicios

12.- Demuestra que las circunferencias cuyos diámetros son las diagonales de un cuadrilátero completo son coaxiales.

Más Adelante…

Se abordará el tema de Inversión respecto a su teoría con distintos temas relacionados.

Entradas relacionadas

Geometría Moderna II: Aplicación al cuadrilátero completo

Por Armando Arzola Pérez

Deja un comentario

Introducción

Una vez analizado las circunferencias coaxiales es necesario ver la Aplicación al Cuadrilátero Completo.

Cuadriláteros completos

Recordemos que un cuadrilátero completo se define:

Definición. Un cuadrilátero completo es una figura que consiste de 4 líneas, tres de las cuales no pasan por el mismo punto y los seis puntos determinados por la intersección de estas líneas.

Cuadrilátero Completo Definición

Observaciones.

  • Las cuatro líneas son sus lados y los seis puntos son sus vértices. En este caso a, b, c y d son los lados y los puntos $a \cap c, b \cap c, c \cap d, d \cap b, a \cap d$ y $a \cap b$ son los vértices.
  • Se dice que dos vertices son vertices opuestos si ellos no estan en el mismo lado. En un cuadrilatero completo hay 3 pares de vertices opuestos. Son [$c \cap d $y$ a \cap b$], [$b \cap c$ y $a \cap d$] y [$a \cap c$ y $d \cap b$].
  • Las 3 líneas determinadas por los pares de vértices opuestos de un cuadrilátero completo, son sus diagonales, y el triángulo determinado por estas 3 líneas, es un triángulo diagonal. Las rectas son p, q y r son las rectas diagonales y pqr es el triángulo diagonal.

Una aplicación de la teoría de circunferencias coaxiales, es el siguiente teorema:

Teorema. Las circunferencias, cuyos diámetros son las diagonales de un cuadrilátero completo, son coaxiales.

Cuadrilátero Completo Aplicación Teorema 1

Demostración. Se tiene el cuadrilátero completo con lados p, q, r y s, donde se puede sacar el ortocentro $H_1$ del $\triangle ABC$ y $A’, B’ $y$ C’$ los pies de las alturas $A, B $y$ C$.

Puesto que $A, C, C’, A’$ y $ B, C, C’, B’$ son conjuntos de puntos conciclicos. Entonces $H_1A \cdot H_1A’=H_1B \cdot H_1B’=H_1C \cdot H_1C’$.

Ahora $AA’, BB’, CC’$ cuerdas de las circunferencias que tiene como diámetros a $AF, BE$ y $CD$ respectivamente. Y por las ecuaciones anteriores $H_1$ tiene la misma potencia respecto a cada una de estas circunferencias.

Y al saber que $H_1$ tiene las mismas potencias, entonces se concluye que las circunferencias son coaxiales. $\square$

Corolario. Los ortocentros de los cuatro triángulos determinados por los cuatro lados del cuadrilátero tomados tres a un tiempo son colineales.

Demostración. Por la demostración anterior, se puede demostrar que los ortocentros de los triángulos $ADE, BDF, CEF$ tiene cada uno iguales potencias con respecto a estas tres circunferencias. Por lo cual las tres circunferencias son coaxiales, los cuatro ortocentros están en el eje radical y los centros o puntos medios de las diagonales, están en una línea recta.

Además, la línea en la que están los cuatro ortocentros, es perpendicular a la línea que pasa por los puntos medios de las diagonales. $\square$

Más adelante…

Una vez visto y estudiado esta primera unidad se pondrán ejercicios para practicar en la siguiente entrada.

Entradas relacionadas