18.1 Material en revisión: Cortes de nivel de una función

Por Mariana Perez

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Sea $f : R^{2} ⟶ R$

$f (x, y) = {\begin{array}{rcl} \frac{y}{x} & s i & x \neq 0 \\ 0 & s i & x = 0 \end{array}$

Queremos saber:

¿En qué puntos $f$ tiene límite?
¿En qué puntos $f$ no tiene límite?
¿Cómo es la gráfica de $f$ ?

Analicemos diferentes cortes para poder responder estas preguntas.

1. Cortes paralelos al plano $y z$

$x = x_{0}$ constante.

$f (x_{0}, y) = {\begin{array}{rcl} \frac{y}{x_{0}} & s i & x_{0} \neq 0 \\ 0 & s i & x_{0} = 0 \end{array}$

Corte especial para $x = 0$

para $x = x_{0} = 0$

$f (0, y) = 0$

En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $x_{0}$ .

https://www.geogebra.org/classic/vaquauek

2. Cortes con el plano $x = 1$

$z = f (1, y) = \frac{y}{1}$

https://www.geogebra.org/classic/mt9rgkzj

3. Cortes paralelos al plano $x z$

$y = y_{0}$ constante.

$f (x, y_{0}) = {\begin{array}{rcl} \frac{y_{0}}{x} & s i & x \neq 0 \\ 0 & s i & x = 0 \end{array}$

Corte especial para $y = 0$

para $y = y_{0} = 0$

$f (x, 0) = 0$

$f (x, 0) = {\begin{array}{rcl} 0 & s i & x \neq 0 \\ 0 & s i & x = 0 \end{array}$

En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $y_{0}$ .

https://www.geogebra.org/classic/cmppwyss

32. Material en revisión: Conjuntos Conexos

Por Mariana Perez

2 respuestas

Definición:

Se dice que un subconjunto $A \subseteq R^{n}$ es disconexo

si existen dos abiertos ajenos $U_{1}; U_{2}$ ,

tales que:

$A \subseteq U_{1} \cup U_{2}$

y

$A \cap U_{1} \neq \emptyset$

$A \cap U_{2} \neq \emptyset$

Decimos que $A$ es conexo si no es disconexo.

Teorema:

Si $f : A \subseteq R^{n} \to R^{m}$ es una función continua, y $A$ es conexo entonces, $f (A)$ también es conexo.

Demostración:

Supongamos que $f (A)$ no es conexo.

Entonces existen $V_{1}, V_{2} \subseteq R^{m}$ abiertos, ajenos, tales que $f (A) \subseteq V_{1} \cup V_{2}$ $f (A) \cap V_{1} \neq \emptyset$ $f (A) \cap V_{2} \neq \emptyset$

Como $f$ es continua, entonces $f^{- 1} (V_{1})$ y $f^{- 1} (V_{2})$ son abiertos.

Afirmación: $f^{- 1} (V_{1}) \cap f^{- 1} (V_{2}) = \emptyset$

Supongamos que la intersección no es el conjunto vacío.

Entonces existe $\vec{x} \in f^{- 1} (V_{1}) \cap f^{- 1} (V_{2})$ por lo que se cumple que $f (\vec{x}) \in V_{1}$ y $f (\vec{x}) \in V_{2}$ por lo tanto $V_{1} \cap V_{2} \neq \emptyset$ (CONTRADICCIÓN: ya que los supusimos ajenos).

Entonces $A \subseteq f^{- 1} (V_{1}) \cup f^{- 1} (V_{2}) .$

Sea $\vec{x} \in A$ . Calculamos $f (\vec{x}) \in f (A) .$

Entonces $f (A) \subseteq V_{1} \cup V_{2}$ , es decir, se tiene que $\vec{x} \in V_{1}$ o $\vec{x} \in V_{2}$ , por lo tanto $\vec{x} \in f^{- 1} (V_{1}) o \vec{x} \in f^{- 1} (V_{2})$

Si $f (\vec{x}) \in V_{1}$ entonces $\vec{x} \in f^{- 1} (V_{1}) .$

Si $f (\vec{x}) \in V_{2}$ entonces $\vec{x} \in f^{- 1} (V_{2}) .$

Por lo tanto, $\vec{x} \in f^{- 1} V_{1} \cup f^{- 1} (V_{2}) .$

Falta ver que $A \cap f^{- 1} (V_{1}) \neq \emptyset$ $A \cap f^{- 1} (V_{2}) \neq \emptyset$

Como $f (A) \cap V_{1} \neq \emptyset$ entonces, existe $\vec{a_{1}} \in A$ tal que $f^{- 1} (\vec{a_{1}}) \in V_{1}$ es decir $\vec{a_{1}} \in f^{- 1} (\vec{a_{1}}) \cap A \neq \emptyset .$

Análogamente, como $f (A) \cap V_{2} \neq \emptyset$ entonces, existe $\vec{a_{2}} \in A$ tal que $f^{- 1} (\vec{a_{2}}) \in V_{2}$ es decir $\vec{a_{2}} \in f^{- 1} (\vec{a_{2}}) \cap A \neq \emptyset .$ $_{}$

CASO PARTICULAR

$f : A \subseteq R^{n} ⟶ R$

Teorema del valor intermedio.

Si $A$ es conexo y $f$ es continua, y existen $\vec{x_{1}}$ , $\vec{x_{2}}$ $\in A$ tales que $f (\vec{x_{1}}) < f (\vec{x_{2}})$

Para todo $c$ tal que $f (\vec{x_{1}}) < c < f (\vec{x_{2}})$ existe un $\vec{x_{c}} \in A$ tal que $f (\vec{x_{c}}) = c$

Por el teorema que acabamos de probar $f (A) \subseteq R$ es un conjunto conexo.

Si no existiera $\vec{x_{c}} \in A$ tal que $f (\vec{x_{c}}) = c$ entocnes consideremos

$V_{1} = (- \infty, c)$

$V_{2} = (c, \infty)$ , abiertos y ajenos.

Por lo que, como $\vec{x_{1}} \in A \Rightarrow f (\vec{x_{1}}) \in f (A)$ pero $f (\vec{x_{1}}) \in V_{1}$ entonces $f (A) \cap V_{1} \neq \emptyset$

Análogamente, como $\vec{x_{2}} \in A \Rightarrow f (\vec{x_{2}}) \in f (A)$ pero $f (\vec{x_{2}}) \in V_{2}$ entonces $f (A) \cap V_{2} \neq \emptyset$

Luego $f (A)$ sería disconexo. (CONTRADICCIÓN)

$∴$ existe $\vec{x_{c}} \in A$ tal que $f (\vec{x_{c}}) = c$ $_{}$

Definición:

Sea $A \subseteq R^{n}$

Se dice que $A$ es conexo por trayectorias (c.p.t.) si para todo par de puntos $\vec{p}, \vec{q} \in A$ existe una curva poligonal tal que une $\vec{p}$ con $\vec{q}$ y está contenida en $A .$

Ejemplo:

$A = R^{n} ∖ {(x, y) \in R^{2} | x \leq 0, y = 0}$

Ejemplo:

$C = {(x, y) \in R^{2} | x \neq 0; y = \sin (\frac{1}{x})} \cup U = {(x, y) \in R^{2} ∣ x = 0, - 1 \leq y \leq 1}$

$C$ es conexa pero $C$ no es conexa por trayectorias poligonales.

Geometría Moderna II: Haces de líneas en Involución

Por Armando Arzola Pérez

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Introducción

A partir de la involución en una hilera de puntos y sus puntos conjugados relacionados con la razón cruzada, es que nace el concepto de haces de líneas en involución. Muchos de los resultados que se muestran son gracias al principio de dualidad.

Haces de líneas en involución

Definición. Dado un haz de rectas correlacionadas por parejas y donde los puntos de intersección de los pares con cualquier transversal que no pase por el vértice del haz son pares conjugados de una involución de puntos.

Ejemplo: Sean el haz con las rectas correlacionadas por pares $a, a^{'}, b, b^{'}, c$ y $c^{'}$ . Tracemos una recta que corte al haz de rectas y que no pase por $O^{'}$ , se tienen las intersecciones $A, A^{'}, B, B^{'}, C$ y $C^{'}$ y donde estos son pares de puntos conjugados de una involución. De esta forma se tiene un haz de rectas en involución.

$△$

Propiedades

Al igual que en las hileras de puntos dobles, entonces las rectas del haz que pasan por estos puntos se les llamaran rectas dobles de la involución

Las dos rectas que pertenecen al mismo par se llaman rectas conjugadas.
De la misma forma en que se tienen los dos tipos de involución hiperbólica y elíptico, estos serán usados con haces de líneas en involución en el mismo sentido que el uso con hileras de puntos en involución.
Del teorema de razón cruzada en la involución, el cual dice «La razón cruzada de cualesquiera cuatro puntos de una involución en la cual están presentes tres pares conjugados, es igual a la razón cruzada de sus cuatro conjugados» nos da la siguiente propiedad si un haz de líneas corta cualquier transversal en una involución, cortará cualquier transversal que no pase por su vértice en una involución.

Ejemplo. Se tiene la razón cruzada y la igualdad ${A C A^{'} B} = {A^{'} C^{'} A B^{'}}$ y como se tiene el haz en involución, entonces cuando corte a la transversal $l^{'}$ se tendrán las siguientes igualdades de razón cruzada:
${A C A^{'} B} = {A_{1} C_{1} A_{1}^{'} B_{1}}$ y ${A^{'} C^{'} A B^{'}} = {A_{1}^{'} C_{1}^{'} A_{1} B_{1}^{'}}$
Y por la igualdad de ${A C A^{'} B} = {A^{'} C^{'} A B^{'}}$ , entonces ${A_{1} C_{1} A_{1}^{'} B_{1}} = {A_{1}^{'} C_{1}^{'} A_{1} B_{1}^{'}}$ .
Lo cumple el teorema de razón cruzada con involución, por lo tanto, los puntos de $l^{'}$ están en involución respecto al punto $O_{1}^{'}$ .

$△$

Haz en involución y el vértice en la circunferencia

Teorema. Sea un haz de rectas en involución donde se tienen los pares conjugados $a, a^{'}, b, b^{'}, c, c^{'}$ y que tienen su vértice en una circunferencia, y si estas rectas cortan la circunferencia nuevamente en $A, A^{'}, B, B^{'}, C, C^{'}$ respectivamente, entonces las rectas $A A^{'}, B B^{'}, C C^{'}$ son concurrentes.

Demostración. Tracemos una recta $l$ que corte al haz y no pase por $Q$ , nos da las intersecciones $A_{1}, B_{1}, C_{1}, A_{1}', B_{1}', C_{1}^{'}$ .

Haces de líneas en circunferencia e hilera en involución

Como los haces de líneas está en involución y cualquier recta que corte al haz nos da una hilera de puntos en involución, por el teorema de razón cruzada con hilera de puntos nos da la siguiente igualdad.

${A_{1} A_{1}^{'} B_{1} C_{1}} = {A_{1}^{'} A_{1} B_{1}^{'} C_{1}^{'}}$

Por propiedades de razón cruzada se cumple:

${a a^{'} b c} = {a^{'} a b^{'} c^{'}}$

Se puede decir que la propiedad de razón cruzada también se cumple para haz de rectas en involución, es decir, que cualesquiera cuatro rectas que tiene de esa involución la razón cruzada va a ser a la de sus correspondientes.
Observemos que estos haces salen a partir del punto $Q$ y pasan por los puntos de intersección con la circunferencia. Entonces se puede poner el haz desde $Q$ :

$Q {A A^{'} B C} = Q {A^{'} A B^{'} C^{'}}$

Y va a ser lo mismo si cambiamos $Q$ por $B^{'}$ y $C$ :

$B^{'} {A A^{'} B C} = C {A^{'} A B^{'} C^{'}}$

Tracemos las rectas $A A^{'}$ , $B B^{'}$ y $C C^{'}$ , y tracemos la recta $B^{'} C$ , donde se tienen las intersecciones con $A A^{'}$ que son $X, Y$ y $Z$ . Por demostrar que $X = Y$ .

La razón cruzada de $B^{'} {A A^{'} B C} = B^{'} {A A^{'} X Z}$ y, por otro lado, $C {A^{'} A B^{'} C^{'}} = C {A^{'} A Z Y}$ , entonces ${A A^{'} X Z} = {A^{'} A Z Y}$ . De esta igualdad se tienen tres puntos iguales $A^{'}, A$ y $Z$ , y el cuarto punto $X$ y $Y$ deben ser iguales, ya que si intercambiamos dos puntos de esta razón cruzada, los otros dos también deben intercambiarse, para que se conserve la razón cruzada entonces se tiene la igualdad:

${A A^{'} X Z} = {A A^{'} Y Z}$

Por lo cual $X = Y$ y se concluye que las rectas $A A^{'}$ , $B B^{'}$ y $C C^{'}$ son concurrentes.

Del resultado anterior se puede generar la duda de que pasa si la involución es hiperbólica o elíptica, por ende se debe definir de manera más formal.

Definición. Sea $a, a^{'}, b, b^{'}, c, c^{'}$ los haces de líneas en involución y una recta $l$ que no pase por el vértice $Q$ del haz, la cual generara intersecciones con el haz, las cuales son $A, A^{'}, B, B^{'}, C, C^{'}$ respectivamente.

Si $A, A^{'}, B, B^{'}, C, C^{'}$ es una involución elíptica, se dice que el haz está en involución elíptica.
Si $A, A^{'}, B, B^{'}, C, C^{'}$ es una involución hiperbólica, se dice que el haz está en involución hiperbólica.

Rectas Conjugadas en ángulos rectos

Teorema. En un haz de rectas en involución siempre hay un par de rectas conjugadas perpendiculares entre sí, por otra parte, si existe más de un par de rectas conjugadas en ángulos rectos, entonces todos los pares conjugados son perpendiculares entre sí y la involución es elíptica.

Demostración. Sea un haz de rectas en involución $a, a^{'}, b, b^{'}, c, c^{'}$ con $Q$ vértice, tracemos una circunferencia con centro $O$ que pase por $Q$ y el haz corte a la circunferencia en los puntos $A, A^{'}, B, B^{'}, C, C^{'}$ respectivamente al orden que se mencionó las rectas.
Por el teorema anterior se afirma que las rectas $A A^{'}, B B^{'}, C C^{'}$ son concurrentes en $X$ . Tracemos la recta $X O$ , la cual corta a la circunferencia en dos puntos $D$ y $D^{'}$ los cuales son puntos extremos del diámetro $D D^{'}$ . Si trazamos las rectas $D Q$ y $D^{'} Q$ nos forma un ángulo recto $∠ D Q D^{'}$ .

Por demostrar que las rectas $D Q$ y $D^{'} Q$ son un par conjugado de la involución. Tracemos una recta $l$ que corte al haz $a, a^{'}, b, b^{'}, c, c^{'}$ en involución en los puntos $A_{1}, A_{1}', B_{1}, B_{1}', C_{1}, C_{1}^{'}$ respectivamente, además corta a las rectas $Q D$ y $Q D^{'}$ en $D_{1}$ y $D_{1}^{'}$ respectivamente.

Tenemos que ver que los pares $D_{1}$ y $D_{1}^{'}$ están en la hilera de puntos en involución, entonces supongamos que $D_{1}$ tiene su par conjugado en la involución $D_{1}^{'}$ $^{'}$ , se quiere demostrar que $D_{1}^{'} = D_{1}^{'}$ $^{'}$ . Por teorema de razón cruzada en involución se tienen las siguientes igualdades:

${A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}} = {A_{1}^{'} B_{1}^{'} C_{1}^{'} D_{1}^{'}$ $^{'}}$ y ${A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}} = Q {A B C D}$ .

Ahora en razón cruzada nos dice que si cuatro secantes que pasan por un punto $X$ y al observar la razón cruzada del haz formado por un punto $Q$ en la circunferencia con los puntos $A, B, C, D$ debe ser la misma razón cruzada del haz con los puntos correspondientes de la secante ósea $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}$ , lo cual da la igualdad:

$Q {A B C D} = Q {A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}$ y ademas $Q {A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = {A_{1}^{'} B_{1}^{'} C_{1}^{'} D_{1}^{'}}$ .

Por lo cual da la igualdad:

${A_{1}^{'} B_{1}^{'} C_{1}^{'} D_{1}^{'}$ $^{'}} = {A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}} = Q {A B C D} = Q {A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = {A_{1}^{'} B_{1}^{'} C_{1}^{'} D_{1}^{'}}$

Entonces ${A_{1}^{'} B_{1}^{'} C_{1}^{'} D_{1}^{'}$ $^{'}} = {A_{1}^{'} B_{1}^{'} C_{1}^{'} D_{1}^{'}}$ por ende $D_{1}^{'} = D_{1}^{'}$ $^{'}$ , se concluye que $D Q$ y $D^{'} Q$ son un par conjugado perpendicular de la involución.

Ahora, si existe otro par de rectas conjugadas en ángulos rectos, las cuales supongamos que son $b$ y $b^{'}$ , esto nos diría que sus puntos $B$ y $B^{'}$ son diametralmente opuestos, por lo cual, las rectas $D D^{'}$ y $B B^{'}$ se cortan en el centro $O$ .
Y como se tiene el haz de rectas conjugadas en involución $a, a^{'}, D Q, D^{'} Q, b, b^{'}$ entonces las rectas $A A^{'}, D D^{'}$ y $B B^{'}$ son concurrentes, pero como $D D^{'}$ y $B B^{'}$ se cortan en $O$ entonces también $A A^{'}$ pasa por $O$ . Se concluye que todos los pares conjugados son perpendiculares entre sí y la involución es elíptica.

Teoremas relacionados con los haces de líneas en involución

Se mencionarán tres teoremas, los cuales se dejaran como ejercicios a resolver.

Teorema. Dado un cuadrángulo completo, sus tres pares de lados opuestos son intersecados por cualquier transversal que no pasa por un vértice en tres pares de puntos conjugados de una involución.

Teorema. Sea un cuadrángulo inscrito en una circunferencia, cualquier recta que no pase por un vértice, corta a la circunferencia y los pares de lados opuestos del cuadrángulo en una involución.

Teorema. Si dos pares de lados opuestos de un cuadrángulo completo son ortogonales, el tercer par es también ortogonal.

Más adelante…

Se dejarán los ejercicios correspondientes a esta unidad de Razón Cruzada.

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Matemáticas Financieras: Tasas efectivas de interés

Por Erick de la Rosa

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Introducción

Este apartado se presentara el concepto de tasa efectiva de interés, sus características y la forma en que se puede aplicar, tanto al modelo de interés simple como al compuesto, para evidenciar su uso.

Definición

Se entiende como tasa efectiva de interés o también tasa efectiva por periodo, a la proporción de intereses ganados por unidad de capital de tiempo. El llamarla efectivo mensual o efectiva, dentro de las matemáticas financieras, para especificar la tasa de la que se está hablando, esto es la tasa que corresponde a la que se pagará por unidad de capital y de tiempo.

Desarrollo

La periodicidad de la tasa es la que nos va a indicar cada cuando se tienen que pagar los intereses. Éstos pueden ser pagados con la periodicidad que se desee, esto es; en años, meses, días, semanas, etc. Bastará con hacer mención que la tasa es efectiva por día, por semana, por mes, etc. Es necesario hacer mención que la tasa de interés siempre tendrá que contar con el lapso o periodicidad con la que se esté trabajando, ya que con esto se da a conocer cada cuando se harán los pagos de los intereses.

El hecho de que éste tipo de tasas se les agregue la palabra «efectiva» hace posible que se eviten confusiones con otro tipo de tasas, como las nominales, las instantáneas, las cuales se verán más adelante.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. En el modelo de interés simple se nos pide que se calcule Los intereses generados por un capital de $100 con una tasa efectiva mensual del 15% en un plazo de 5 meses

Solución

Ejercicio. Haciendo uso del modelo de interés simple, calcula los intereses generados por una tasa efectiva trimestral de 22%, en un plazo de 10 meses con un capital de $500

Solución

Ejercicio. Usando el modelo de interés compuesto calcula los intereses generados por una tasa efectiva anual del 6.5%, luego de 2 años 6 meses, con un monto de $300.

Solución

Más adelante…

Se estarán analizando los diferentes tipos de tasas con las que operan las matemáticas financieras, para conocer e identificar sus características así como sus diferencias.

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Matemáticas Financieras: Tasas Equivalentes

Por Erick de la Rosa

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Introducción

En este apartado se abordará el tema de tasas equivalentes, el cual nos proporciona de una herramienta bastante útil, ya que nos permites poder obtener cualquier combinación posible de una tasas de interés efectiva a una nominal o a una instantánea. En pocas palabras, cualquier combinación posible

Definición de Tasa Equivalente

Una tasa equivalente es aquella que genera la misma cantidad de dinero, en el mismo tiempo, dicho con otras palabras, producen el mismo efecto de acumulación, después de un tiempo determinado, sin importar la periodicidad de pago, es decir, no importa que la periodicidad de pago no sea la misma.

Reglas de aplicación

Para poder aplicar éste concepto se hará sus de la triple igualdad, y en la siguiente imagen se muestra una descripción de todas las combinaciones posibles que se pueden realizar:

Elaboración propia, basado en Fundamentos de Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 84.

Para poder obtener tasa equivalentes hay que hacer uso del modelo de la triple igualdad

Debe cumplir que con una misma cantidad de dinero, se debe obtener el mismo monto acumulado, una vez transcurrido en el mismo tiempo, sin importar que la periodicidad de la tasa sea diferente.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Calcule la tasa efectiva mensual que sea equivalente a una tasa del 18% efectiva anual.

Solución

Lo que se necesita es obtener una tasa efectiva que sea equivalente a otra efectiva, con distinta periodicidad. Para hacerlo se realiza lo siguiente:

Se toma como capital inicial la cantidad de un peso, el cual lo vamos a acumular por un mes a una tasa $i$ mensual, lo cual se traduce en la siguiente expresión:

$M = 1 (1 + i) = (1 + i)$

Como la tasa que que nos dan es efectiva anual, y buscamos la tasa equivalente efectiva mensual que produzca el mismo monto durante un mes. Como la tasa que nos dan es anual, entonces $t$ debería ser medida en años, y se sabe que un año está formado por 12 meses, de tal forma que la variable $t = \frac{1}{12}$ . Entonces tenemos la siguiente ecuación:

$M = (1 + 0.18)^{\frac{1}{12}} = 1.013888$

Ahora se iguala ambas expresiones para encontrar la tasa equivalente que se quiere obtener.

$(1 + i) = 1.01388$

de dicha expresión se despeja $i$ y se obtiene:

$i = 1 - 1.013888 = 0.013888$

Por lo tanto la tasa equivalente es del 1.1888%, la cual es la tasa efectiva mensual equivalente a 18% efectiva anual.

Comprobando la definición de tasa equivalente, se calculara el monto que producen ambas tasas con un capital de $200 en un tiempo de 18 meses.

Primero se calcula con la tasa efectiva anual del 18%

$200 (1 + 0.18)^{1.5} = 256.3615$

Ahora se calcula con la tasa equivalente encontrada:

$200 (1 + 0.13888)^{18} = 256.3615$

Lo cual comprueba que se generan los mismos montos, por lo tanto las tasas son equivalentes.

Ejercicio. Calcule la tasa nominal pagadera 4 veces al año, es decir trimestral, equivalente a una tasa efectiva anual, del 15%

Solución

Aplicamos el mismo procedimiento:

Usando la triple igualdad se tiene:

$M = K (1 + i)^{t} = K {(1 + \frac{i^{(m)}}{m})}^{m t}$

Luego:

$M = 1 {(1 + \frac{i^{(4)}}{4})}^{4} = {(1 + \frac{i^{(4)}}{4})}^{4}$

El monto acumulado es del 1.15% anual

$M = (1 + .15) = 1.15$

Luego, igualar ambas ecuaciones se tiene:

${(1 + \frac{i^{(4)}}{4})}^{4} = 1.15$

Despejamos $i^{4}

${(1 + \frac{i^{(4)}}{4})}^{\frac{4}{4}} = (1.15)^{\frac{1}{4}}$

$i^{4} = 4 ((1.15)^{0.25} - 1) = 4 (1.03555 - 1) = 0.035558 = 0.142232$

Por lo tanto, la tasa equivalente que se busca es: 14.2232%

Más adelante…

Se continuará abordando, temas de aplicación y combinación de herramientas como la que se vio en éste tema, para una mejor comprensión de la relevancia que van adquiriendo cada uno de los conceptos abordados.

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Más adelante…

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