Introducción

En la entrada anterior comenzamos a resolver algunos sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Sin embargo como pudimos advertir, el método de eliminación de variables funciona para casos muy sencillos con pocas ecuaciones en el sistema. Además, necesitamos previo conocimiento de cómo resolver ecuaciones diferenciales de orden superior pues dicho método nos lleva a resolver una ecuación de este tipo. Por tanto, quisiéramos un nuevo método que nos permita resolver los mismos sistemas y algunos más complejos.

Antes de presentar tal método, lo que quisiéramos conocer es si existe una fórmula explícita para las funciones solución al problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q}$$ con condición inicial $\textbf{X}(t_{0})=\textbf{C}$, que sea muy parecida a la fórmula que encontramos para ecuaciones lineales de primer orden $\frac{dy}{dt}+p(t)y=q(t)$ con condición inicial $y(t_{0})=y_{0}$, la cual es de la forma $$y(t)=e^{-\int p(t) dt} \left[\int e^{\int p(t) dt}q(t)+k_{0}\right]$$ para cierta constante $k_{0}$. Intercambiando las respectivas funciones, nuestra hipotética solución al sistema quedaría de la forma $$\textbf{X}(t)=\textbf{e}^{-\int \textbf{A}(t) dt} \left[\int \textbf{e}^{\int \textbf{A}(t) dt}\textbf{Q}(t)+\textbf{B}\right]$$ con cierta matriz constante $\textbf{B}$. Por supuesto, no sabemos qué significa $\int \textbf{A}(t) dt$ ni mucho menos la exponencial de esta última expresión.

En esta entrada responderemos a estas preguntas. Daremos las definiciones auxiliares necesarias para construir el concepto de exponencial de una matriz cuadrada de tamaño $n \times n$ con coeficientes constantes, que denotaremos por $\textbf{e}^{\textbf{A}}$. Posteriormente, demostraremos las principales propiedades que cumple $\textbf{e}^{\textbf{A}}$, entre ellas su relación con los sistemas de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ con condición inicial $\textbf{X}(0)=\textbf{C}$. Finalmente, dado $t \in \mathbb{R}$ relacionaremos a la exponencial de $t \textbf{A}$ con la matriz fundamental de soluciones al sistema lineal homogéneo $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$.

¡Manos a la obra!

La exponencial de una matriz

En el primer video de esta entrada definimos la exponencial de una matriz $\textbf{A}$ de tamaño $n \times n$ con coeficientes constantes.

Propiedades de la exponencial de una matriz

En este video probamos las principales propiedades que satisface la exponencial de una matriz, entre ellas la relación que guarda con los sistemas lineales de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ con condición inicial $\textbf{X}(0)=\textbf{C}$.

La exponencial de una matriz $\textbf{A}$ y la matriz fundamental de soluciones de $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$

En el último video de esta entrada relacionamos el nuevo concepto de exponencial de una matriz $\textbf{A}$ con la matriz fundamental de soluciones al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

• Supongamos que $$\textbf{A}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.$$ Demuestra que $$\textbf{e}^{t \textbf{A}}=\begin{pmatrix} \cos{t} & \sin{t} \\ -\sin{t} & \cos{t} \end{pmatrix}.$$

• Considera las matrices $$\textbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{B}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ Muestra que $\textbf{A}\textbf{B} \neq \textbf{B}\textbf{A}$, calcula $\textbf{e}^{\textbf{A}+\textbf{B}}$ y $\textbf{e}^{\textbf{A}}e^{\textbf{B}}$. ¿Contradice este ejemplo el teorema 4 del segundo video?

• Calcula $\textbf{e}^{t \textbf{A}}$ si $$\textbf{A}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

• Supongamos que $\textbf{A}$ es una matriz diagonal, es decir, una matriz cuyos únicos coeficientes distintos de cero se encuentran en la diagonal. Prueba que $\textbf{e}^{t \textbf{A}}$ es una matriz diagonal.

• Supongamos que $\textbf{X}_{f}(t)$ es una matriz fundamental de soluciones al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$. Prueba que $\textbf{e}^{(t-t_{0}) \textbf{A}}=\textbf{X}_{f}(t)\textbf{X}^{-1}_{f}(t_{0})$.

Más adelante

Ahora que hemos definido a la exponencial de una matriz y visto sus principales propiedades, podremos enunciar y demostrar el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes. Dividiremos el teorema en dos casos: cuando nuestro sistema es homogéneo, es decir, el sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$; y cuando el sistema es no homogéneo, es decir, de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q}$ con su respectiva condición inicial $\textbf{X}(t_{0})=\textbf{C}$.

Esto es lo que haremos en la próxima entrada. ¡No se la pierdan!

Entradas relacionadas

• Ir a Ecuaciones Diferenciales I
• Entrada anterior del curso: Método de eliminación de variables
• Siguiente entrada del curso: Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes

• Notas escritas relacionadas con el tema: Exponencial de una matriz y matriz fundamental de soluciones

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»