Introducción
Durante las dos últimas entradas conocimos un poco de la geometría de las soluciones a ecuaciones diferenciales de primer orden, aún sin conocerlas explícitamente. En esta entrada resolveremos por primera vez de manera analítica algunas de ellas. En particular, resolveremos ecuaciones del tipo $a_{0}(t)\frac{dy}{dt}+a_{1}(t)y=0$, que llamaremos ecuaciones homogéneas. Primero encontraremos la solución a la ecuación de forma general, y posteriormente resolveremos algunos ejemplos particulares.
Ecuaciones lineales homogéneas
En el primer video resolvemos la ecuación lineal homogénea de primer orden en su forma general.
En el segundo video ponemos en práctica lo aprendido en el video anterior para resolver un par de ecuaciones diferenciales.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Encuentra la solución general a la ecuación $\frac{dy}{dt}+e^{t}y=0$.
- Resuelve el problema de condición inicial $t^2\frac{dy}{dt}+\sqrt{t}y=0$ ; $y(0)=5$. Encuentra el intervalo donde la solución está definida.
- Antes de resolver analíticamente, esboza las soluciones a la ecuación $\frac{dP}{dt}=kP$, con $k>0$, $P(t) \geq 0, \forall t \in \mathbb{R}$, que modela el crecimiento de una población. (Para mayor referencia a esta ecuación revisa la primer entrada de este curso). Si no recuerdas cómo hacerlo, te recomiendo revisar la entrada anterior.
- Encuentra la solución general a la ecuación anterior.
- Compara las soluciones que dibujaste en el tercer ejercicio con las soluciones que encontraste en el cuarto ejercicio. ¿Qué observas?
Más adelante
Ya sabemos cómo resolver ecuaciones homogéneas. Ahora vamos a ver el otro lado de la moneda, es decir, vamos a resolver ecuaciones no homogéneas.
En la siguiente entrada estudiaremos dos métodos para resolver éste tipo de ecuaciones: primero por medio de una función que llamaremos factor integrante, y más adelante por el método de variación de parámetros en el cual las ecuaciones homogéneas nos serán de mucha ayuda.
Nos vemos en la próxima entrada!
Entradas relacionadas
- Ir a Ecuaciones Diferenciales I
- Entrada anterior del curso: Ecuaciones autónomas, soluciones de equilibrio, línea fase y esbozo de soluciones
- Siguiente entrada del curso: Ecuaciones lineales no homogéneas. Solución por factor integrante y por variación de parámetros
- Notas escritas relacionadas con el tema: Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»