MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Anteriormente definimos la integral de una función medible no negativa general, sin embargo, comentamos que existían dificultades técnicas a la hora de ver que $\int (f+g)\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda +\int g\mathrm{d}\lambda$ (algo bastante deseable a la hora de integrar).

En esta entrada enunciaremos y probaremos el Teorema de la Convergencia Monótona de Lebesgue, una de las herramientas más importantes en teoría de integración. Veremos también algunas de sus consecuencias, entre ellas la linealidad de la integral.

El teorema de la convergencia monótona

{Teorema (de Convergencia Monótona de Lebesgue). Sea $\{f_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ una sucesión creciente de funciones medibles no negativas sobre ${\mathbb{R}}^n$: $$0\le f_1\le f_2\le f_3\dots$$
Entonces $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f_k\mathrm{d}\lambda =\int \left(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k\right)\mathrm{d}\lambda$$

Demostración. Definamos $f=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k$. Observa que $f$ está bien definida pues en cada punto es el límite de una sucesión creciente y es medible al ser límite de funciones medibles.

Claramente $f_k\le f$ $\mathrm{\forall }k$, de donde $\int f_k\mathrm{d}\lambda \le \int f\mathrm{d}\lambda$ $\mathrm{\forall }k$, es decir, la sucesión ${\int f_k\mathrm{d}\lambda }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ es creciente, por lo que su límite existe (y es igual a su supremo, posiblemente $\mathrm{\infty }$). Tomando supremos se sigue:

$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f_k\mathrm{d}\lambda =\underset{k}{sup}\int f_k\mathrm{d}\lambda \le \int f\mathrm{d}\lambda .$$
Veamos la desigualdad opuesta. Para ello es suficiente probar que para cada núemro real $c<\int f\mathrm{d}\lambda$ se tiene $c\le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f_k\mathrm{d}\lambda$. Fijemos entonces algún $c<\int f\mathrm{d}\lambda$. Por definición de $\int f\mathrm{d}\lambda$, existe alguna función simple $s\in S$ tal que $0\le s\le f$ y $c<\int s\mathrm{d}\lambda$.

Al ser una función simple, $s$ admite una representación de la forma: $$s=\sum _{j=1}^m{\alpha }_j{\chi }_{A_j},$$ donde $0<{\alpha }_j<\mathrm{\infty }$ y los conjuntos $A_j$ son medibles ajenos. Dado $\epsilon <min({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)$, consideremos la función simple: $$s_{\epsilon }=\sum _{j=1}^m({\alpha }_j-\epsilon ){\chi }_{A_j}$$ Claramente $s_{\epsilon }\in S$ y podemos escoger $\epsilon$ suficientemente pequeño tal que $c<\int s_{\epsilon }\mathrm{d}\lambda$: Esto es obvio si alguno de los $A_j$ tiene medida infinita. Si todos los $A_j$ son de medida finita, esto es consecuencia de la continuidad de $\int s_{\epsilon }\mathrm{d}\lambda =\sum _{j=1}^m({\alpha }_j-\epsilon )\lambda (A_j)$ respecto a $\epsilon$.

Reemplazando a $s$ por $s_{\epsilon }$ de ser necesario, podemos entonces asumir que $s$ satisface:

• $0\le s\le f$,
• Si $f(x)>0⟹s(x)<f(x)$,
• $c<\int s\mathrm{d}\lambda$.

Definamos ahora los conjuntos $$E_k=\{x|f_k(x)\ge s(x)\}.$$

Estos son medibles (pues la función $f_k-s$ es medible). Como las $f_k$ son crecientes, claramente $$E_1\subseteq E_2\subseteq E_3\subseteq \dots$$
Más aún, notemos que $$\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_k={\mathbb{R}}^n.$$ Pues dado $x\in {\mathbb{R}}^n$, si $s(x)=0$, claramente $s(x)\le f_k(x)$ $\mathrm{\forall }k$, de donde $x\in E_k$ para todo $k$. Si $s(x)>0$ $⟹$ $f(x)>0$ $⟹$ $f(x)>s(x)$. Como $f_k(x)\uparrow f(x)$, existe algún $N$ tal que $f_N(x)>s(x)$ $⟹$ $x\in E_N$.

En particular, para cualquier $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ medible, se tiene $(A\cap E_1)\subseteq (A\cap E_2)\subseteq \dots$ y $A=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(A\cap E_k)$, de donde, por monotonía de la medida de Lebesgue: $$\lambda (A)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\lambda (A\cap E_k).$$

Ahora, usando que ${\chi }_{A\cap B}={\chi }_A{\chi }_B$, tenemos: $$f_k\ge f_k{\chi }_{E_k}\ge s_k{\chi }_{E_k}=\sum _{j=1}^m{\alpha }_j{\chi }_{A_j\cap E_k}$$ $$⟹\int f_k\mathrm{d}\lambda \ge \sum _{j=1}^m{\alpha }_j\lambda (A_j\cap E_k).$$
Haciendo tender $k⟶\mathrm{\infty }$ concluimos finalmente: $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f_k\mathrm{d}\lambda \ge \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{j=1}^m{\alpha }_j\lambda (A_j\cap E_k))=\sum _{j=1}^m{\alpha }_j\lambda (A_j)=\int s\mathrm{d}\lambda >c.$$ Lo que completa la demostración.

Corolario. Si $f,g:{\mathbb{R}}^n\to [0,\mathrm{\infty }]$, entonces son funciones medibles no negativas, entonces: $$\int (f+g)\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda +\int g\mathrm{d}\lambda .$$

Demostración. Como ya sabemos, podemos encontrar sucesiones crecientes en $S$ , digamos $\{s_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ y $\{t_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$, tales que $$s_k\uparrow f\text{y}{t}_k\uparrow g$$ De donde claramente $$(s_k+t_k)\uparrow f+g$$
Por el teorema de la convergencia monótona, aplicado a las sucesiones $\{s_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$, ${t_k}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$, $\{s_k+t_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ podemos concluir:

$$\begin{array}{rl}\int (f+g)\mathrm{d}\lambda & =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int (s_k+t_k)\mathrm{d}\lambda \\ & =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}(\int s_k\mathrm{d}\lambda +\int t_k\mathrm{d}\lambda )\\ & =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}(\int s_k\mathrm{d}\lambda )+\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}(\int t_k\mathrm{d}\lambda )\\ & =\int f\mathrm{d}\lambda +\int g\mathrm{d}\lambda .\end{array}$$

Pues ya sabemos que $\int (s+t)\mathrm{d}\lambda =\int s\mathrm{d}\lambda +\int t\mathrm{d}\lambda$ si $s,t\in S$.

Corolario. Si $f_1,f_2,f_3\dots$ es una sucesión de funciones medibles no negativas en ${\mathbb{R}}^n$, entonces $$\int \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k\mathrm{d}\lambda =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$

Demostración. Como las $f_k$ son no negativas, la sucesión de sumas parciales $$P_N=\sum _{k=1}^N{f}_k.$$ Es una sucesión creciente de funciones medibles no negativas. Así que su límite $$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k.$$ Existe y es una función medible (en cada punto es el límite de una sucesión creciente de números).

Como $f_k\ge 0$ $⟹$ $\int f_k\mathrm{d}\lambda$ para toda $k$, de modo que la sucesión de sumas parciales de integrales $\sum _{k=1}^N\int f_k\mathrm{d}\lambda$ es creciente y por lo tanto tiene un límite (posiblemente extendido): $$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$

Por el teorema de la convergencia monótona y el primer corolario:

$$\begin{array}{rl}\int \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k\mathrm{d}\lambda & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\int \sum _{k=1}^N{f}_k\mathrm{d}\lambda \\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^N\int f_k\mathrm{d}\lambda \\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int f_k\mathrm{d}\lambda \end{array}$$

Más adelante…

Veremos que, en general, las hipótesis del teorema de la convergencia monótona no se pueden «relajar mucho». Sin embargo, siempre podemos dar un estimado (desigualdad) con respecto a límites e integrales: El Lema de Fatou.

Tarea moral

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En la entrada pasada definimos el concepto de función simple y como es que estas se integran respecto a la medida de Lebesgue. En esta entrada definiremos la integral para funciones medibles más generales y veremos algunas de sus propiedades.

Integración de funciones no negativas

A modo de recordatorio, en la entrada pasada vimos un resultado interesante: Toda función medible no negativa se puede «aproximar» por una sucesión creciente de funciones simples. Es entonces natural definir la integral de una función medible (y no negativa) precisamente como una aproximación de integrales de funciones simples, que ya sabemos como integrar.

Definición. Supongamos que $f:{\mathbb{R}}^n\to [0,\mathrm{\infty }]$ es una función medible no negtaiva. Definimos la integral de $f$ respecto a la medida de Lebesgue como: $$\int f\mathrm{d}\lambda =sup\{\int s\mathrm{d}\lambda |s\le f,s\in S\}.$$

(Recuerda que $S$ denotaba el conjuntos de funciones simples medibles $s$ con $0\le s\le \mathrm{\infty }$). Observa que la integral está bien definida para cualquier función medible y no negativa al ser el supremo de un conjunto.

Otras notaciones que usaremos a menudo para denotar la integral (y que puedes encontrar en la bibliografía) son $$\int f,{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f,{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f\mathrm{d}\lambda ,\int f\mathrm{d}x,{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)\mathrm{d}x$$

Entre otras. En algunos textos, también se puede denotar como:
$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}\mathrm{d}\lambda f,{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\mathrm{d}xf(x).$$

Proposición (Propiedades de la integral de una función no negativa).

1. $0\le \int f\mathrm{d}\lambda \le \mathrm{\infty }$
2. Si $0\le c<\mathrm{\infty }$ es una constante, $\int cf\mathrm{d}\lambda =c\int f\mathrm{d}\lambda .$
3. Si $f\le g$, entonces $\int f\mathrm{d}\lambda \le \int g\mathrm{d}\lambda .$
4. Si $\int f\mathrm{d}\lambda =0$ $⟹$ $Z=x|f(x)>0$ es de medida cero.

Demostración. Todas son consecuencias sencillas de sus contrapartes para funciones simples y las propiedades del supremo.

es inmediato. Para 2. notemos simplemente que:

$$\begin{array}{rl}\int cf\mathrm{d}\lambda & =sup\{\int s\mathrm{d}\lambda |s\le cf,s\in S\}\\ & =sup\{\int ct\mathrm{d}\lambda |t\le f,t\in S\}\\ & =sup\{c\int t\mathrm{d}\lambda |t\le f,t\in S\}\\ & =csup\{\int t\mathrm{d}\lambda |t\le f,t\in S\}\\ & =c\int f\mathrm{d}\lambda \end{array}$$

Si $f\le g$, claramente

$$\{\int s\mathrm{d}\lambda |s\le f,s\in S\}\subseteq \{\int t\mathrm{d}\lambda |t\le g,t\in S\}$$

Tomando supremos se sigue 3.

Para 4. procedamos por contradicción: Supongamos que $\lambda (Z)>0$. Para cada $k$, definamos $Z_k=x|f(x)>\frac{1}{k}$. Es fácil ver que $Z_1\subseteq Z_2\subseteq Z_3\subseteq \dots$ son conjuntos medibles y $$Z=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{Z}_k.$$
Así que por monotonía de la medida de Lebesgue: $$\lambda (Z_k)\uparrow \lambda (Z).$$
En particular, podemos encontrar un $N$ suficientemente grande tal que $\lambda (Z_N)>0$. Consideremos ahora la función $s=\frac{1}{N}{\chi }_{Z_N}\in S$. Notemos que $s\le f$, entonces por definición $$0<\frac{1}{N}\lambda (Z_N)=\int s\mathrm{d}\lambda \le \int f\mathrm{d}\lambda$$ Que es una contradicción.

Por analogía al caso para integrales simples, uno podría esperar que $$\int (f+g)\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda +\int g\mathrm{d}\lambda$$ Esto es de hecho cierto. Por un análisis similar a los anteriores es sencillo probar que $\int (f+g)\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda +\int g\mathrm{d}\lambda$, aunque no es difícil convencerse de que la desigualdad opuesta requiere mucho más trabajo.

Para afrontar dificultades como la anterior, introduciremos uno de los teoremas más fundamentales de la teoría de integración de Lebesgue: El teorema de La convergencia monótona. Este nos dice que, bajo ciertas condiciones, podemos intercambiar límites con integrales.

Más adelante…

Enunciaremos y probaremos el Teorema de la Convergencia Monótona, una de las herramientas más importantes en la teoría de integración y veremos algunas de sus consecuencias.

Tarea moral

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En las entradas anteriores construimos la maquinaria teórica sobre la que podemos definir un nuevo concepto de integral: «La integral de Lebesgue». En esta entrada estudiaremos las funciones simples y cómo es que se pueden integrar.

Las funciones simples son simplemente aquellas que toman una cantidad finita de valores. Resultan ser «las funciones más sencillas que se pueden integrar».

Para el resto de la entrada $X$ denotara un conjunto arbitrario.

Funciones simples

Definición. Decimos que $s:X\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ es una función simple si toma solamente una cantidad finita de valores.

Si $s$ es simple, podemos escribir: $$s=\sum _{k=1}^m{\alpha }_k{\chi }_{A_k},$$ donde ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ son los distintos valores del rango de $s$ y $A_k=\{x\in X|f(x)={\alpha }_k\}$ son conjuntos ajenos. (Como es usual ${\chi }_A$ denota la función característica del conjunto $A$, i.e. ${\chi }_A(x)=1$ si $x\in A$ y ${\chi }_A(x)=0$ en otro caso).

Observación. Si $\mathcal{M}$ es una $\sigma$-álgebra sobre $X$, una función simple $s$ es $\mathcal{M}$-medible si y sólo si $A_k\in \mathcal{M}$ para todo $k$.

Antes de definir de lleno la integral de una función simple, veremos una proposición muy útil que, en general, nos dice que podemos aproximar cualquier función medible con funciones simples.

Teorema. Supongamos que $f:X\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ es $\mathcal{M}$ medible. Entonces existe una sucesión $s_1,s_2,\dots$ de funciones simples $\mathcal{M}$ medibles tales que $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_k=f.$$
Si $f\ge 0$, podemos tomar la sucesión de modo que $0\le s_1\le s_2\le \dots$ . O más generalmente, podemos tomar la sucesión de modo que $|s_1|\le |s_2|\le \dots$ . Si $f$ es acotada, podemos hacer que la convergencia sea uniforme.

Demostración. Supongamos primero que $f\ge 0$. La idea es sencilla: truncamos la función, cada vez más «finamente», cuidando que eventualmente podamos aproximar cualquier valor (por grande que sea) en el dominio de $f$.

Para cada $k\in \mathbb{N}$, definamos la función simple:

$$s_k(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{i-1}{2^k}& \text{si }\frac{i-1}{2^k}\le f(x)<\frac{i}{2^k};i=1,2,\dots ,2^{k}k\\ k& \text{si }k\le f(x).\end{array}$$

Como $f$ es $\mathcal{M}$ medible, los conjuntos $f^{-1}([\frac{i-1}{2^k},\frac{i}{2^k}))$ y $f^{-1}([k,\mathrm{\infty }])$ son elementos de $\mathcal{M}$, de donde $s_k$ es medible.

Sea $x\in X$. Por un sencillo trabajo por casos, es fácil ver que $s_k(x)\le s_{k+1}(x)$ $\mathrm{\forall }k$ (si $f(x)\in [\frac{2i-2}{2^{k+1}},\frac{2i-1}{2^{k+1}})\subseteq [\frac{i-1}{2^k},\frac{i}{2^k})$, $s_k(x)=s_{k+1}(x)$. En cualquier otro caso $s_k(x)<s_{k+1}(x)$).

Si $f(x)<\mathrm{\infty }$, existe algún entero $N$ tal que $f(x)\le N$. Luego, si $k\ge N$, por definición $f(x)\in [s_k(x),s_k(x)\frac{1}{2^k})$ $⟹$ $|f(x)-s_k(x)|<\frac{1}{2^k}$ para $k\ge N$, de donde $s_k(x)⟶f(x)$ cuando $k⟶\mathrm{\infty }$. Si $f(x)=\mathrm{\infty }$, $s_k(x)=k⟶\mathrm{\infty }$ cuando $k⟶\mathrm{\infty }$.

Como lo anterior se satisface para cualquier $x\in X$ concluimos que $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_k=f.$$
Y la sucesión $s_k$ es creciente.

Veamos ahora el caso general. Notemos que $f=f_{+}-f_{-}$. Tomemos sucesiones de funciones simples $0\le r_1\le r_2\le \dots$ y $0\le t_1\le t_2\le \dots$ que convergen puntualmente a $f_{+}$ y $f_{-}$ respectivamente definidas como en el caso anterior. Luego, para cada $k\in \mathbb{N}$, sea $$s_k=r_k-t_k.$$ Claramente es una sucesión de funciones simples tal que $s_k=r_k-t_k⟶f_{+}-f_{-}=f$ puntualmente cuando $k⟶\mathrm{\infty }$.

Dado $x\in X$, Si $f(x)\ge 0$, entonces, por construcción, $t_k(x)=0$ $\mathrm{\forall }k$ $⟹$ $0\le r_k(x)=s_k(x)$ $\mathrm{\forall }k$. Se sigue que la sucesión $|s_k(x)|=r_k(x)$ es creciente. Similarmente, si $f(x)<0$ se ve que $|s_k(x)|=t_k(x)$ es una sucesión creciente.

Por lo anterior concluimos que $$|s_1|\le |s_2|\le |s_3|\le \dots$$

Si $f$ es acotada, para $n>sup|f|$ suficientemente grande, tenemos por construcción: $$|f(x)-s_k(x)|\le |f_{+}(x)-r_k(x)|+|f_{-}(x)-t_k(x)|<\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2^{k-1}}$$
Para todo $x\in X$. Se sigue que en este caso la convergencia es uniforme.

Veamos una aplicación del resultado anterior. Como probamos anteriormente [ENLACE], los conjuntos Lebesgue medibles son «casi» Borel medibles. Es entonces esperable que las funciones Lebesgue medibles sean «casi» funciones Borel medibles.

Ejemplo. Sea $f:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ una función Lebesgue medible. Entonces existe una función $g:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ Borel medible tal que el conjunto $$\{x\in {\mathbb{R}}^n|f(x)\ne g(x)\}.$$ Es nulo.

Demostración. Supongamos primero que $f\ge 0$. Por el teorema anterior, existe una sucesión $$0\le s_1\le s_2\le \dots$$ De funciones simples $\mathcal{L}$-medibles tales que $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_k=f.$$

Podemos escribir $$s_k=\sum _{j=1}^m{\alpha }_j^k{\chi }_{A_j^k}$$
Donde los ${\alpha }_j^k\in [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ son distintos dos a dos y los conjuntos $A_j^k$ son ajenos y $\mathcal{L}$-medibles.

Como probamos anteriormente, para cualesquiera $j,k$ admisibles, podemos descomponer $$A_j^k=E_j^k\cup N_j^k$$ Donde $E_j^k\in \mathcal{B}$ y $N_J^K$ tiene medida de Lebesgue cero.

Definamos entonces $${\sigma }_k=\sum _{j=1}^m{\alpha }_j^k{\chi }_{A_j^k}$$
Observemos que ${\sigma }_k$ es una función simple y $\mathcal{B}$ medible para todo $k$. Además, claramente $0\le {\sigma }_k\le s_k$ y ${\sigma }_k=s_k$ salvo en un conjunto de medida cero $N_k$ (a saber, $N_k=\bigcup _{j=1}^m{N}_j^k$).

Ahora, sean $$N=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{N}_k.$$ $$g=\underset{k}{sup}{\sigma }_k$$
Notemos que $N$ es nulo. Como $0\le {\sigma }_k\le s_k\le f$, tomando supremos se tiene $$0\le g\le f.$$ Más aún, para cualquier $x\notin N$, se cumple ${\sigma }_k(x)=s_k(x)$ $\mathrm{\forall }k$ $⟹$ $$g(x)=\underset{k}{sup}{\sigma }_k(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_k(x)=f(x)$$
Por lo que $f=g$ salvo un conjunto de medida cero ($N$). Notemos también que $g$ es $\mathcal{B}$-medible al ser el supremo de una sucesión de funciones $\mathcal{B}$-medibles. $g$ es entonces la función buscada.

Consideremos ahora el caso general. Podemos escribir $f=f_{+}-f_{-}$. Por lo anterior, existen funciones $\mathcal{B}$ medibles $g_{+},g_{-}$ tales que $0\le g_{+}\le f_{+}$, $0\le g_{-}\le f_{-}$ y $f_{+}=g_{+}$, $f_{-}=g_{-}$ salvo en conjuntos de medida cero. Luego $g=g_{+}-g_{-}$ es la función buscada. ($g$ no se «indetermina», pues en los puntos donde $g_{+}(x)=\mathrm{\infty }$, necesariamente $0\le g_{-}(x)\le f_{-}(x)=0$).

Integración de funciones simples

Ya estamos listos para definir la integral de una función simple (y finita). A manera de motivación, pensemos que $s=\alpha {\chi }_A$ ($\alpha >0$) es una función (muy) simple en alguna dimensión baja, por ejemplo ${\mathbb{R}}^2$. Entonces, ¿Cuál es el valor apropiado del «volumen bajo la gráfica» de $s$?. Geométricamente, la región «bajo la gráfica» es un cilindro generalizado con base $A$ y altura $\alpha$ como se observa en la figura. Por analogía con el cálculo de volúmenes de figuras sencillas (o incluso, por analogía con la integral de Riemann), lo más natural es pensar que dicho volúmen debe ser el «área de la base» multiplicado por la «altura». En este caso, por supuesto, podemos interpretar el área de la base como la medida de Lebesgue de $A$, de modo que $$\int s=\alpha \lambda (A)$$
Es la elección más natural para la integral. Similarmente si $s=\sum _{k=1}^m{\alpha }_k\lambda (A_k)$ (con ${\alpha }_j$ distintos y $A_k$ ajenos), invocando linealidad (o simplemente, «sumando el volúmen de los cilindros por separado») $$\int s=\sum _{k=1}^m{\alpha }_k\lambda (A_k)$$ Es la elección obvia para el valor de la integral.

Definición. Denotaremos por $S_n$ (o simplemente $S$) al conjunto de funciones simples ($\mathcal{L}$) medibles $s$ en ${\mathbb{R}}^n$ tales que $0\le s<\mathrm{\infty }$.
Dada $s\in S$, podemos expresarla como $$s=\sum _{k=1}^m{\alpha }_k\chi A_k,$$ donde $0\le {\alpha }_k<\mathrm{\infty }$ y los conjuntos $A_k$ son medibles y ajenos. Entonces, definimos su integral (respecto a la medida de Lebesgue) como: $$\int s\mathrm{d}\lambda :=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_k\lambda (A_k).$$

Nota. En esta definición, usamos la convención $0\cdot \mathrm{\infty }=0$.

A priori, el valor de la integral podría depender de la representación de $s$ que tomemos (en la definición no pedimos que los ${\alpha }_k$ sean distintos, ni los $A_k$ ajenos, así que puede haber una infinidad de representaciones distintas). Aunque como veremos más adelante, la integral está bien definida.

Veamos las primeras propiedades.

Proposición (Propiedades de la integral de una función simple).

1. $\int s\mathrm{d}\lambda$ está bien definida.
2. $0\le \int s\mathrm{d}\lambda \le \mathrm{\infty }.$
3. Si $0\le c<\mathrm{\infty }$ es una constante, $\int cs\mathrm{d}\lambda =c\int s\mathrm{d}\lambda .$
4. Si $s,t\in S$, entonces $\int (s+t)\mathrm{d}\lambda =\int s\mathrm{d}\lambda +\int t\mathrm{d}\lambda .$
5. Si $s,t\in S$ y $s\le t$, entonces $\int s\mathrm{d}\lambda \le \int t\mathrm{d}\lambda .$

Demostración. Asumiendo 1., los incisos 2. y 3. son inmediatos de la definición.

Probaremos 1. y 5. en el mismo argumento. Supongamos que $s,t\in S$ y $s\le t$. Entonces $s$ y $t$ tienen representaciones de la forma:

$$\begin{array}{rl}s& =\sum _{k=1}^m{\alpha }_k{\chi }_{A_k},\\ t& =\sum _{j=1}^l{\beta }_j{\chi }_{B_k}\end{array}$$

En la representación de $S$, los $A_k$ son disjuntos y medibles. Podemos asumir que $\bigcup _{k=1}^m{A}_k={\mathbb{R}}^n$ (de no ser así, podemos añadir el término $0\cdot {\chi }_{A^{\prime }}$ a la expresión de $s$, donde $A^{\prime }={\left(\bigcup _{k=1}^m{A}_k\right)}^c$,lo que no afecta el valor de la integral bajo esta representación).Similarmente supongamos que los $B_j$ son ajenos y $\bigcup _{j=1}^l{B}_j={\mathbb{R}}^n$.

Luego, por la aditividad de la medida de Lebesgue y la definición:

$$\begin{array}{rl}\int s\mathrm{d}\lambda & =\sum _{k=1}^m{\alpha }_k\lambda (A_k)=\sum _{k=1}^m\sum _{j=1}^l{\alpha }_k\lambda (A_k\cap B_j)\\ \int t\mathrm{d}\lambda & =\sum _{j=1}^l{\beta }_j\lambda (B_j)=\sum _{j=1}^l\sum _{k=1}^m{\beta }_j\lambda (A_k\cap B_j)\end{array}$$

Si $\lambda (A_k\cap B_j)>0$, en particular $A_k\cap B_j\ne 0$, así que podemos tomar un $p\in A_k\cap B_j$. Pero como $s\le t$: $${\alpha }_k=s(p)\le t(p)={\beta }_j.$$
De donde $${\alpha }_k\lambda (A_k\cap B_j)\le {\beta }_j\lambda (A_k\cap B_j).$$
Si $\lambda (A_k\cap B_j)=0$, la desigualdad anterior se da de manera trivial, así que podemos concluir: $$\int s\mathrm{d}\lambda \le \int t\mathrm{d}\lambda$$ (Al tomar cualesquiera expresiones de $s$ y $t$). Esto demuestra 5. pero también demuestra 1. pues si tomamos dos expresiones distintas de $s$, la desigualdad $s\le s$ implica desigualdades simétricas sobre las integrales definidas por las distintas expresiones, lo que resulta en su igualdad.

Ahora veamos 4. Usando la misma notación que en el inciso anterior podemos escribir:
$$s+t=\sum _{k=1}^m\sum _{j=1}^l({\alpha }_k+{\beta }_j){\chi }_{A_k\cap B_j}.$$

Luego:

$$\begin{array}{rl}\int (s+t)\mathrm{d}\lambda & =\sum _{k=1}^m\sum _{j=1}^l({\alpha }_k+{\beta }_j)\lambda (A_k\cap B_j)\\ & =\sum _{k=1}^m\sum _{j=1}^l{\alpha }_k\lambda (A_k\cap B_j)+\sum _{k=1}^m\sum _{j=1}^l{\beta }_j\lambda (A_k\cap B_j)\\ & =\int s\mathrm{d}\lambda +\int t\mathrm{d}\lambda .\end{array}$$

Más adelante…

Definiremos la integral de una función medible y no negativa en general, usando fuertemente las ideas de aproximación por funciones simples y las propiedades de la integral de funciones simples.

Tarea moral

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En esta entrada continuaremos nuestro estudio de las funciones medibles. Empezaremos repasando los conceptos de límite superior e inferior que serán de gran utilidad en nuestros desarrelos. Posteriormente veremos también que las funciones medibles son cerradas bajo una gran cantidad de operaciones aritméticas y de toma de límites.

Límite superior e inferior

Antes de continuar, conviene dar un breve recordatorio sobre los conceptos de límite superior e inferior de una sucesión que nos encontraremos a menudo en las siguientes entradas. A grandes rasgos, el límite inferior es el «menor punto de acumulación» que admite una sucesión; mientras que el límite superior es el «mayor punto de acumulación» que admite una seucesión. De manera precisa:

Definición. El límite inferior de una sucesión de numeros reales extendidos $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ se define como:
$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{x}_k=lim sup{x}_k:=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}(\underset{m\ge k}{inf}{x}_m)$$

El límite superior se define como:
$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{x}_k=lim sup{x}_k:=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}(\underset{m\ge k}{sup}{x}_m)$$

Observación. Ambos límites siempre existen (aunque son posiblemente infinitos) pues son límites de sucesiones monótonas crecientes y decrecientes respectivamente (¿Cuáles?). Por esta misma razón podemos escribir: $$lim sup{x}_k=\underset{j\ge 1}{inf}(\underset{k\ge j}{sup}{x}_k);lim inf{x}_k=\underset{j\ge 1}{sup}(\underset{k\ge j}{inf}{x}_k).$$

Observación. Notemos que $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ converge a $x$ si y sólo si $\underset{k}{lim inf}{x}_k=\underset{k}{lim sup}{x}_k=x$.

Demostración. ($⟸$) Si $lim inf{x}_k=lim sup{x}_k=x$, entonces, por definición, las sucesiones:
$$y_k:=\underset{m\ge k}{inf}{x}_m{z}_k:=\underset{m\ge k}{sup}{x}_m$$
Convergen a $x$. Sin embargo, tenemos que:
$$y_m\le x_m\le z_m\mathrm{\forall }m\in \mathbb{N}$$

De donde $x_m⟶x$ cuando $m⟶\mathrm{\infty }$. (Observa que este argumento es válido incluso cuando $x=\pm \mathrm{\infty }$).

($⟹$) Supongamos que $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_k=x$.

Los casos $x=\pm \mathrm{\infty }$ son sencillos. Los detalles se dejan como tarea moral. Así que supongamos que $-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$.

Por definición, dado $\epsilon >0$ existe $N\in \mathbb{N}$ tal que: $$x-\epsilon <x_m<x+\epsilon \mathrm{\forall }m\ge N$$

Definiendo las sucesiones $\{y_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ y $\{z_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ como en el inciso anterior, al tomar ínfimos, la condición anterior implica que:
$$x-\epsilon \le y_N$$
Como la sucesión $\{y_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ es monótona creciente, y por definición $y_m\le x_m\le x+\epsilon$ $\mathrm{\forall }m\ge N$, podemos concluir que:
$$x-\epsilon \le y_N\le y_m<x+\epsilon \mathrm{\forall }m\ge N.$$

Como lo anterior se cumple para cualquier $\epsilon >0$, concluimos que $y_m⟶x$ cuando $m⟶\mathrm{\infty }$. Por un argumento totalmente análogo podemos ver que $z_m⟶x$ cuando $m⟶\mathrm{\infty }$ que es lo mismo que: $\underset{k}{lim inf}{x}_k=\underset{k}{lim sup}{x}_k=x$.

Más propiedades de funciones medibles

Antes de enunciar el resultado principal de esta entrada, conviene establecer algo de notación que estaremos usando a menudo.

Notación. Si tenemos una sucesión de funciones $\{f_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$, denotaremos a su límite puntual (si existe) como $lim{f}_k=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k$, que recordemos, tiene como regla $(lim{f}_k)(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k(x)$ (el límite actúa punto a punto). Adoptaremos convenciones similares para $sup$, $inf$, $lim sup$, $lim inf$, etc. Cuando no genere mayor problema, para aligerar la notación omitiremos los subíndices $\{k\to \mathrm{\infty }\}$ y similares.

Proposición. Sea $\mathcal{M}$ una $\sigma$-álgebra sobre $X$. Sean $f,g:X\to \mathbb{R}$ $\mathcal{M}$ medibles, $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$. Entonces:

1. Si $\varphi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es Borel medible, entonces $\varphi \circ f$ es $\mathcal{M}$ medible.
2. Si $f\ne 0$, entonces $\frac{1}{f}$ es $\mathcal{M}$ medible.
3. Dado $0<p<\mathrm{\infty }$, entonces $|f{|}^p$ es $\mathcal{M}$ medible.
4. $f+g$ es $\mathcal{M}$ medible.
5. $\alpha f$ es $\mathcal{M}$ medible.
6. $fg$ es $\mathcal{M}$ medible.
7. Si $f_k:X\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ es una sucesión de funciones $\mathcal{M}$ medibles entonces cada una de las siguientes funciones es $\mathcal{M}$ medible. (en el caso de la última, condicionada a que esté bien definida).

$$\begin{array}{rlr}\underset{k}{sup}{f}_k& ,& \underset{k}{inf}{f}_k,\\ \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{f}_k& ,& \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{f}_k,\\ \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k& \end{array}$$

Demostración.

1. Si $E\subseteq R$ es de Borel, entonces ${\varphi }^{-1}(E)$ es de Borel ($\varphi$ es Borel medible), luego $(\varphi \circ f{)}^{-1}(E)=f^{-1}({\varphi }^{-1}(E))\in \mathcal{M}$ ($f$ es medible).
2. Definamos
   $$h(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}& \text{si }x\ne 0\\ 0& \text{si }x=0\end{array}$$
   Es fácil verificar directamente que $h$ es Borel medible. Como $f\ne 0$, $h\circ f=\frac{1}{f}$. Del inciso 1 se sigue que $\frac{1}{f}=h\circ f$ es $\mathcal{M}$ medible.
3. Como la función $P(x)=|x{|}^p$ es continua, en automático es Borel medible. Luego, por el inciso 1, $|f{|}^p=P\circ f$ es $\mathcal{M}$ medible.
4. Notemos que $f(x)+g(x)<t$ $⟺$ $f(x)<t-g(x)$ $⟺$ existe $r\in \mathbb{Q}$ tal que $f(x)<r<t-g(x)$. Luego, $$\{x|f(x)+g(x)<t\}=\bigcup _{r\in \mathbb{Q}}{f}^{-1}((-\mathrm{\infty },r))\cap g^{-1}((-\mathrm{\infty },t-r)).$$
   Como $f,g$ son medibles y $\mathcal{M}$ es $\sigma$-álgebra, se sigue que dicho conjunto pertenece a $\mathcal{M}$.
5. La función $h(x)=\alpha x$ es continua y por tanto Borel medible. Luego, por el inciso 1, $\alpha f=h\circ f$ es $\mathcal{M}$ medible.
6. Combinando los incisos 3-5 se sigue que la función $$fg=\frac{1}{4}(f+g{)}^2-\frac{1}{4}(f-g{)}^2$$ es $\mathcal{M}$ medible.
7. Es fácil ver que $$\{x|\underset{k}{sup}{f}_k(x)\le t\}=\bigcap _k\{x|f_k(x)\le t\}$$
   Éste último conjunto pertenece a $\mathcal{M}$ (pues $f$ es medible y $\mathcal{M}$ es $\sigma$-álgebra). Se sigue que $sup{f}_k$ es medible. Similarmente, como $$\{x|\underset{k}{inf}{f}_k(x)\ge t\}=\bigcap _k\{x|f_k(x)\ge t\}$$
   Se sigue que $inf{f}_k$ es $\mathcal{M}$ medible.
   Por lo anterior, para cada $j\in \mathbb{N}$ la función $\underset{k\ge j}{sup}{f}_k$ es $\mathcal{M}$ medible, de donde la función $$lim sup{f}_k=\underset{j\ge 1}{inf}(\underset{k\ge j}{sup}{f}_k)$$ Es $\mathcal{M}$ medible. Análogamente se ve que $lim inf{f}_k$ es medible.
   Si $lim{f}_k(x)$ está definida en cada punto, entonces $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}f=lim sup{f}_k=lim inf{f}_k$$ Es $\mathcal{M}$ medible.

Como una consecuencia inmediata del último inciso tenemos que:

Corolario. Si $f,g:X\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ son funciones medibles, entonces $max(f,g)$ y $min(f,g)$ son medibles.

La siguiente definición aparecerá a menudo así que es conveniente recordarla.

Definición. Dado $a\in [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$, definimos la parte positiva y negativa de $a$ como:

$$\begin{gathered} a_{+}=\{\begin{array}{ll}a& \text{si }a\ge 0\\ 0& \text{si }a<0\end{array}; \\ {a}_{-}=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }a\ge 0\\ -a& \text{si }a<0\end{array} \end{gathered}$$

Respectivamente.

Corolario. Si $f:X\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ es $\mathcal{M}$ medible, entonces la parte positiva y negativa de $f$, $f_{+}$ y $f_{-}$ son también $\mathcal{M}$ medibles.

Demostración. Simplemente notemos que $f_{+}(x)=max(f(x),0)$ y $f_{-}(x)=max(-f(x),0)$ y apliquemos el corolario anterior.

Más adelante

Estudiaremos la definición de función simple: las funciones medibles «más sencillas». Veremos cómo es que aproximan a las demás funciones medibles (lo que a futuro será vital para definir la integral de Lebesgue) y definiremos su integral.

Tarea moral…

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En las siguientes entradas, comenzaremos a desarrollar de lleno la noción de integral de Lebsegue. Es entonces natural pensar en los conjuntos en donde una función $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ es «aproximadamente constante», es decir, para un $a\in \mathbb{R}$ arbitrario, conjuntos de la forma $$E=\{x\in {\mathbb{R}}^n|a\le f(x)<a+\epsilon \}.$$

De forma intuitiva, la contribución del conjunto $E$ a la integral debería ser aproximadamente $a\lambda (E)$. Para que esto tenga sentido, es necesaro que el conjunto $E$ sea medible. Si lo anterior se satisface para cualquier $a\in \mathbb{R}$ y $\epsilon >0$ diremos (provisionalmente) que la función es medible.

Antes de continuar, será muy útil permitir que $f$ tome los valores «extendidos» $\mathrm{\infty }$ y $-\mathrm{\infty }$. Podemos pensar que $f(x)=\mathrm{\infty }$ significa que $f$ «es arbitrariamente grande en $x$» mientras que $f(x)=-\mathrm{\infty }$ significa que $f$ es «arbitrariamente negativa en $x$».

La ventaja principal de esta notación es que nos permite trabajar con límites (posiblemente infinitos) de una manera unificada. Por ejemplo, si $\{f_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ es una sucesión de funciones tales que $\underset{k}{lim}{f}_k(x)$ existe para todo $x\ne 0$ y $f_k(0)=k$ para todo $k$, conviene pensar que la sucesión $\{f_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ converge puntualmente a una función $f$ con $f(0)=\mathrm{\infty }$. A la hora de integrar, esto a veces nos permitirá lidiar con singularidades sencillas de sucesiones de funciones.

Para ello, hace falta extender nuestra noción de números reales y su aritmética a $-\mathrm{\infty }$ e $\mathrm{\infty }$.

Reales extendidos

Definición. Definimos el sistema de numeros reales extendidos: $$[-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]:=\mathbb{R}\cup \{-\mathrm{\infty }\}\cup \{\mathrm{\infty }\}.$$

(De manera formal $\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }$ son solamente símbolos, pero conviene pensarlos con su significado usual de cantidades arbitrariamente grandes y arbitrariamente negativas respectivamente. La diferencia es que ahora los pensamos como números sobre los que podemos definir operaciones aritméticas explícitas).

Trabajaremos con las siguientes convenciones (todas éstas son naturales y están formuladas para ser compatibles con las nociones clásicas de límites infinitos): Para cualesquiera $x\in \mathbb{R}$, $0<a\le \mathrm{\infty }$, $-\mathrm{\infty }\le b<0$ convenimos:

$$\begin{array}{rl}-\mathrm{\infty }<x& <\mathrm{\infty },\\ x+\mathrm{\infty }& =\mathrm{\infty },\\ \mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }& =\mathrm{\infty },\\ a\cdot \mathrm{\infty }& =\mathrm{\infty },\\ b\cdot \mathrm{\infty }& =-\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Y similarmente

$$\begin{array}{rl}x–\mathrm{\infty }& =-\mathrm{\infty },\\ -\mathrm{\infty }–\mathrm{\infty }& =-\mathrm{\infty },\\ a\cdot -\mathrm{\infty }& =-\mathrm{\infty },\\ b\cdot -\mathrm{\infty }& =\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Las expresiones $0\cdot \pm \mathrm{\infty }$ y $\mathrm{\infty }–\mathrm{\infty }$ permanecen indefinidas (aunque ocasionalmente, conviene definir la primera como cero).

Dado $A$ un subconjunto de números reales extendidos, convenimos:

• $supA:=\mathrm{\infty }$ si $\mathrm{\infty }\in A$.
• $supA=-\mathrm{\infty }$ si $A=-\mathrm{\infty }$.
• $supA:=sup(A\setminus -\mathrm{\infty })$ si $\mathrm{\infty }\notin A$ y $A\ne \{-\mathrm{\infty }\}$ (es decir, el supremo usual de un conjunto de números reales, posiblemente $\mathrm{\infty }$ si el conjunto es no acotado).

Las convenciones para $infA$ son análogas.

Los límites se trabajan de forma idéntica. Dada una sucesión $\{a_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ de números reales extendidos:

• Decimos que $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_k=a$, $a\in \mathbb{R}$, si $a_k\in \mathbb{R}$ salvo una cantidad finita de $k$ y $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_k=a$ en el sentido usual (omitiendo los valores extendidos de la sucesión).
• Como es usual, decimos que $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_k=\pm \mathrm{\infty }$ si $\mathrm{\forall }M\in \mathbb{R}$ positivo $\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}$ tal que $\pm x_m>M$ $\mathrm{\forall }m\ge N$.

Las convenciones para límites de funciones $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ son análogas.

Como consecuencia de nuestras convenciones, es inmediato verificar que los límites extendidos heredan las propiedades de sus contrapartes reales, por ejemplo las referentes a sumas y productos de límites.

El siguiente caso es particularmente frecuente. También es una muestra de las ventajas de adoptar la notación de números reales extendidos.

Observación. Toda sucesión monótona (creciente o decreciente) de números extendidos tiene un límite.

Demostración. En efecto, sea $a_1\le a_2\le a_3\le \dots$ una sucesión monótona creciente de números extendidos. Si la sucesión es acotada y no todos los términos son $-\mathrm{\infty }$, se reduce al caso real en el que sabemos que la sucesión converge (y de hecho, converge a su supremo). Si $a_k=-\mathrm{\infty }$ para todo $k$, claramente $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_k=-\mathrm{\infty }$. Si la sucesión no es acotada entonces $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_k=\mathrm{\infty }$. El caso decreciente es similar.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Ejemplo. Considera la sucesión de funciones $f_k=k{\chi }_{[-\frac{1}{k},\frac{1}{k}]}$ (donde ${\chi }_A$ representa la función característica del conjunto $A$). Para cualquier $x\ne 0$, eventualmente $f_k(x)=0$, así que $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k(x)=0$. Como $f_k(0)=k$ para todo $k$, naturalmente $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k(0)=\mathrm{\infty }$. Concluimos que la sucesión converge puntualmente (en el sentido extendido) a la función

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }x\ne 0\\ \mathrm{\infty }& \text{si }x=0\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}.\end{array}$$

Funciones medibles

Ya podemos dar una definición bastante general de función medible sobre conjuntos arbitrarios con alguna $\sigma$-álgebra asociada.

Definición. Sea $f:X\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ donde $X$ es un conjunto. Dada $\mathcal{M}$ una $\sigma$-álgebra sobre $X$, decimos que $f$ es $\mathcal{M}$ medible si $\mathrm{\forall }t\in [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$, el conjunto $$\{x|f(x)\le t\}=f^{-1}([-\mathrm{\infty },t])\in \mathcal{M}.$$

Es conveniente pensar en las funciones medibles como aquellas que «tienen la suficiente estructura como para ser integradas». Si bien definimos el concepto de función medible con toda generalidad (que es necesario para desarrollar nociones de integración sobre espacios «muy generales»), casi siempre trabajaremos con los siguientes dos casos:

• Si $X={\mathbb{R}}^n$ y $\mathcal{M}=\mathcal{L}$ diremos que la función es Lebesgue medible o simplemente medible.
• Si $X={\mathbb{R}}^n$ y $\mathcal{M}=\mathcal{B}$ diremos que la función es Borel medible.

Observación. Como $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{L}$, toda función Borel medible es Lebesgue medible.

En la entrada pasada [ENLACE] probamos que si $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ es continua y $A\in {\mathcal{B}}_1$ $⟹$ $f^{-1}(A)\in {\mathcal{B}}_n$. En particular, como cualquier intervalo $[-\mathrm{\infty },t]\in {\mathcal{B}}_1$ $⟹$ $f^{-1}([-\mathrm{\infty },t])\in {\mathcal{B}}_n$ es un conjunto de Borel. Esto es precisamente la definición de que $f$ sea (Borel) medible. Lo establecemos debajo como una proposición pues es un ejemplo muy importante de funciones medibles.

Proposición. Toda función continua $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ es Borel medible. En particular es Lebesgue medible.

Equivalencias

Hay varias definiciones equivalentes para función medible como veremos a continuación. Nos moveremos entre ellas con frecuencia.

Proposición. Sea $\mathcal{M}$ una $\sigma$-álgebra sobre $X$ y $f:X\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$. Entonces $f$ es medible si y sólo si cualquiera de las siguientes condiciones se satisface:

1. $f^{-1}([-\mathrm{\infty },t])\in \mathcal{M}$ para todo $t\in [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$.
2. $f^{-1}([-\mathrm{\infty },t))\in \mathcal{M}$ para todo $t\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$.
3. $f^{-1}([t,\mathrm{\infty }])\in \mathcal{M}$ para todo $t\in [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$.
4. $f^{-1}((t,\mathrm{\infty }])\in \mathcal{M}$ para todo $t\in [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$.
5. $f^{-1}(\pm \mathrm{\infty })\in \mathcal{M}$ y $f^{-1}(E)\in \mathcal{M}$ para cualquier conjunto de Borel $E\subseteq \mathbb{R}$.

Demostración. Las equivalencias 1$⟺$4 y 2$⟺$3 son inmediatas al tomar complementos.

Notemos que $f(x)<t$ si y sólo si existe algún número racional $r\in \mathbb{Q}$ tal que $f(x)\le r<t$, de donde $$f^{-1}([-\mathrm{\infty },t))=\bigcup _{r\in \mathbb{Q},r<t}{f}^{-1}([-\mathrm{\infty },r]).$$ Por la cerradura bajo uniones numerables en $\mathcal{M}$, se sigue la implicación 1$⟹$2.

Análogamente podemos ver que $$f^{-1}([-\mathrm{\infty },t])=\bigcap _{r\in \mathbb{Q},r>t}{f}^{-1}([-\mathrm{\infty },r)).$$
Lo que demuestra similarmente que 2$⟹$1. Esto concluye las equivalencias 1 $⟺$ 2 $⟺$ 3 $⟺$ 4.

La implicación 5$⟹$1 es obvia pues $E=[-\mathrm{\infty },t]$ es de Borel para todo $t$.

Veamos entonces que las condiciones 1-4 implican la condición 5.

Al tomar $t=-\mathrm{\infty }$ en 1, se sigue que $f^{-1}(-\mathrm{\infty })\in \mathcal{M}$. Similarmente al tomar Al tomar $t=\mathrm{\infty }$ en 3, se sigue que $f^{-1}(\mathrm{\infty })\in \mathcal{M}$.

Definamos $\mathcal{S}$ como $$\mathcal{S}=\{E\subseteq \mathbb{R}|f^{-1}(E)\in \mathcal{M}\}.$$

Procediendo idénticamente a la primera parte de la prueba de que las funciones continuas son Borel medibles [ENLACE], podemos ver que $\mathcal{S}$ es una $\sigma$-álgebra. Para lo que resta, es suficiente probar que $\mathcal{S}$ contiene a los conjuntos abiertos de $\mathbb{R}$, pues en ese caso se tendría $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{S}$ lo que completa la implicación.

Observemos primero que cualquier abierto de $\mathbb{R}$ es unión numerable de intervalos abiertos. En efecto, dado $U\subseteq \mathbb{R}$ abierto y $s\in U$, podemos encontrar números racionales $p_s,q_s$ tales que $s\in (p_s,q_s)\subseteq U$. Luego $$U=\bigcup _{s\in U}(p_s,q_s).$$ Es unión numerable de intervalos abiertos.

Por lo anterior y la cerradura de $\sigma$-álgebras bajo uniones numerables, es suficiente probar que los intervalos abiertos son elementos de $\mathcal{S}$. Esto es inmediato pues podemos expresar:
$$f^{-1}((a,b))=f^{-1}([-\mathrm{\infty },b)])\cap f^{-1}((a,\mathrm{\infty }]).$$
Que resulta un elemento de $\mathcal{M}$ pues $f^{-1}([-\mathrm{\infty },b)])$ y $f^{-1}((a,\mathrm{\infty }])$ son elementos de $\mathcal{M}$ por las condiciones 2 y 4.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Ejemplo. Si $f:\mathbb{R}\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ es una función monótona (creciente o decreciente), entonces $f$ es medible.

Demostración. En efecto, si $f$ es monótona, la imágen inversa de cualquier semirrecta $[t,\mathrm{\infty }]$ es algún intervalo, posiblemente abierto, cerrado, semiabierto o semicerrado; pero en todo caso un conjunto de Borel.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Más adelante…

Veremos más propiedades de las funciones medibles. En particular veremos que la clase de funciones medibles es cerrada bajo una cantidad de operaciones aritméticas y tomas de límite,

Tarea moral