Las propiedades que caracterizan a la diferencial de $f$ en $x_0$ son dos.
Es una transformación lineal de la forma $h \rightarrow mh$
Es la única tal que el límite del cociente
$$\frac{|f(x_0 + h) – f(x_0) – mh|}{|h|}$$ es igual a cero.
La regla de correspondencia de la diferencial de $f$ en $x_0$ queda $df_{x_0}(h)= f’ (x_0)h$
Tratando de generalizar
$f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$
Diremos que $f$ es diferenciable en un punto $(x_0, y_0)$ si existe la diferencial de $f$ en $(x_0, y_0)$. La diferencial de $f$ en $(x_0, y_0)$ es la transformación lineal $(h, k) \rightarrow m_1h + m_2k$ que cumple la propiedad, de que
Para funciones de $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$:
(*) La derivada es la pendiente de la recta tangente.
(*) La diferencial es la transformación lineal $h \rightarrow mh$, donde $m$ es la pendiente de la recta tangente.
(*) La ecuación de la recta tangente está dada por $$ y = f (x_0) + f’ (x_0) (x \, – \, x_0)$$
Para funciones de $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$:
(*) La derivada de $f$ en $(x_0, y_0)$ es el vector gradiente ( o el vector de derivadas parciales) $$\nabla f (x_0, y_0)= \Big( \dfrac{\partial f}{\partial x} (x_0, y_0) , \dfrac{\partial f}{\partial y} (x_0, y_0)\Big)$$
(*) La diferencial de $f$ en $(x_0, y_0)$ es la función lineal $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} $ tal que a cada $$(h, k) \rightarrow \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) h \, + \, \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) k$$
(*) El plano tangente está dado por la ecuación $$z = f (x_0, y_0) + \dfrac{\partial f}{\partial x} (x_0, y_0) (x \, – \, x_0) + \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) (y \, – \, y_0)$$
Problema 1. Ecuación en dispersión de sustancias Una sustancia se dispersa linealmente con el tiempo según la ecuación $C(t) = 5t + 20$, donde $C$ es la concentración y $t$ el tiempo en minutos. a. ¿Cuánto tiempo pasará hasta que la concentración sea de 45 unidades? b. ¿En qué instante fue de 35 unidades?
Problema 2. Biomecánica de movimiento muscular Un músculo genera una fuerza proporcional al cuadrado de su estiramiento. Si la relación es $F = 3x^2 – 12x + 9$, donde $x$ es la distancia estirada: a. ¿En qué puntos la fuerza es cero? b. ¿Cuál es el valor mínimo de fuerza? c. ¿Para qué valor de x se obtiene ese mínimo?
Respuestas modelo
Problema 1. Ecuación en dispersión de sustancias a. $5t + 20 = 45 \Rightarrow 5t = 25 \Rightarrow t = 5$ minutos b. $5t + 20 = 35 \Rightarrow 5t = 15 \Rightarrow t = 3$ minutos
Problema 2. Biomecánica de movimiento muscular a. $3x^2 – 12x + 9 = 0 \Rightarrow x = \frac{12 \pm \sqrt{144 – 108}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{6} = \frac{12 \pm 6}{6}$ $x = 3,\ x = 1$ b. Completando cuadrados: $F = 3(x^2 – 4x + 3) = 3(x – 2)^2 – 3$ Mínimo: $F = -3$ c. El mínimo ocurre en $x = 2$
a. Desigualdades lineales simples 1. $2x < 8 \Rightarrow x < 4$ 2. $3x \geq 9 \Rightarrow x \geq 3$ 3. $-4x < -8 \Rightarrow x > 2$ (cambio de signo) 4. $-x > 4 \Rightarrow x < -4$ (cambio de signo) 5. $\frac{1}{2}x \leq 3 \Rightarrow x \leq 6$
b. Propiedades de las desigualdades (multiplicación o división negativa) 1. $x < -3$ 2. $-3x \leq -6 \Rightarrow x \geq 2$ 3. $-5x + 5 \geq 15 \Rightarrow -5x \geq 10 \Rightarrow x \leq -2$
c. Desigualdades cuadráticas 1. $x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)$ Solución: $x < -2$ o $x > 2$ 2. $(x – 3)(x + 2) \leq 0$ Solución: $-2 \leq x \leq 3$ 3. $(x + 1)^2 \geq 0$ Siempre verdadera, solución: todos los reales $\mathbb{R}$ 4. Solución entre raíces: $-2 < x < 1$ 5. $(x – 2)(x – 3) \geq 0$ Solución: $x \leq 2$ o $x \geq 3$
10. Logaritmos
Ejercicios
a. Definición de logaritmo Resuelve los siguientes logaritmos 1. $\log_2 8$ 2. $\log_5 125$ 3. $\log_{10} 100$ 4. $\log_3 81$ 5. $\log_4 64$
b. Logaritmos comunes y naturales Resuelve los siguientes logaritmos 1. $\log 1000$ 2. $\log 0.01$ 3. $\ln e$ 4. $\ln 1$ 5. $\ln e^5$
c. Propiedades de los logaritmos 1. Simplifica $\log_2 (8 \cdot 4)$ 2. Calcula $\log_3 \left( \frac{27}{3} \right)$ 3. Evalúa $\log_5 (25^3)$ 4. Resuelve $\log_7 1$ 5. Resuelve $\log_{10} 10$
d. Cambio de base 1. Calcula $\log_2 100$ usando logaritmos base 10. 2. Calcula $\log_4 20$ usando logaritmos naturales. 3. Expresa $\log_3 81$ como cociente de logaritmos naturales. 4. Calcula $\log_7 49$ usando logaritmos base 10. 5. Escribe una expresión equivalente para $\log_b a$ con base $e$.
Respuestas modelo
a. Definición de logaritmo 1. $\log_2 8 = 3$, porque $2^3 = 8$ 2. $\log_5 125 = 3$, porque $5^3 = 125$ 3. $\log_{10} 100 = 2$, porque $10^2 = 100$ 4. $\log_3 81 = 4$, porque $3^4 = 81$ 5. $\log_4 64 = 3$, porque $4^3 = 64$
Problema 1. Crecimiento poblacional con logaritmos Una población de bacterias sigue el modelo $P(t) = 200 \cdot e^{0.5t}$, donde $t$ está en horas. a. ¿Cuántas bacterias habrá después de 4 horas? b. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar las 1600 bacterias?
Problema 2. Cálculo del pH La concentración de iones de hidrógeno en una muestra de agua es de $[H^+] = 3.16 \times 10^{-5}$ mol/L. a. Calcula el pH de la muestra. b. ¿Es ácida o básica?
Respuestas modelo
Problema 1. Crecimiento poblacional con logaritmos a. $P(4) = 200 \cdot e^{0.5 \cdot 4} = 200 \cdot e^2 \approx 200 \cdot 7.389 = 1477.8$ b. $1600 = 200 \cdot e^{0.5t} \Rightarrow 8 = e^{0.5t} \Rightarrow \ln 8 = 0.5t \Rightarrow t = \frac{\ln 8}{0.5} \approx \frac{2.079}{0.5} = 4.158$ horas
Problema 2. Cálculo del pH a. $\text{pH} = -\log_{10} [H^+] = -\log(3.16 \times 10^{-5}) = -(\log 3.16 + \log 10^{-5}) = -(0.5 – 5) = 4.5$ b. Es una solución ácida porque $\text{pH} < 7$
a. Iteraciones simples con reglas lineales 1. Si $x_0 = 3$ y $x_{n+1} = x_n + 5$, calcula los primeros cinco términos de la sucesión. 2. Si $x_0 = -2$ y $x_{n+1} = x_n + 4$, encuentra $x_1$ hasta $x_5$. 3. Si $x_0 = 10$ y $x_{n+1} = x_n – 3$, calcula los primeros cinco valores. 4. Si $x_0 = 0$ y $x_{n+1} = 2x_n + 1$, determina los primeros cinco términos. 5. Si $x_0 = 5$ y $x_{n+1} = 0.5x_n$, encuentra $x_1$ hasta $x_5$.
b. Iteraciones con crecimiento exponencial o logístico 1. Si $P_0 = 100$ y $P_{n+1} = 2P_n$, halla $P_1$ a $P_5$. 2. Si $P_0 = 80$ y $P_{n+1} = 1.5P_n$, determina los primeros cinco valores. 3. Si $P_0 = 50$ y $P_{n+1} = P_n + 0.2P_n(1 – \frac{P_n}{500})$, encuentra $P_1$ hasta $P_5$.
Problema 1. Dinámica de una población en ambiente limitado Una población de insectos sigue el modelo logístico iterativo: $P_{n+1} = P_n + 0.1P_n\left(1 – \frac{P_n}{1000}\right)$ Si al inicio hay $P_0 = 100$ insectos, calcula $P_1$ a $P_5$.
Problema 2. Dilución de una sustancia Una sustancia disminuye su concentración en un 30% con cada paso de purificación. Si la concentración inicial es $C_0 = 120\ \text{mg/L}$, y se aplica la regla: $C_{n+1} = 0.7C_n$. Determina $C_1$ a $C_5$.
b. Función lineal 1. Grafica $f(x) = 2x + 1$ para $x = -2, -1, 0, 1, 2$ 2. Identifica la pendiente y ordenada al origen de $f(x) = -3x + 4$ 3. Determina si la recta $f(x) = 0.5x – 2$ es creciente o decreciente 4. Encuentra el punto de corte con el eje Y de $f(x) = -x + 6$ 5. Calcula $x$ cuando $f(x) = 0$ en la función $f(x) = 4x – 8$
c. Funciones no lineales 1. Cuadrática: Para $f(x) = x^2 – 6x + 8$, encuentra las raíces 2. Cuadrática: Halla el vértice de $f(x) = -2x^2 + 4x + 1$ 3. Exponencial: Evalúa $f(x) = 2 \cdot 3^x$ para $x = 0, 1, 2$ 4. Logarítmica: Si $f(x) = 2\log(x)$, encuentra $f(1)$, $f(10)$ 5. Racional: Para $f(x) = \frac{1}{x}$, determina $f(1)$, $f(-2)$, $f(0.5)$
d. Dominio y codominio 1. Determina el dominio de $f(x) = \sqrt{x – 2}$ 2. Encuentra el dominio de $f(x) = \frac{1}{x^2 – 4}$ 3. ¿Cuál es el dominio de $f(x) = \log(x+3)$? 4. Da un ejemplo de una función cuyo dominio sean todos los reales 5. Describe el codominio de $f(x) = x^2$ si $x \in [-3, 2]$
e. Coeficientes de correlación 1. Una correlación de r = 0.95 entre masa y altura sugiere qué tipo de relación? 2. Si r = –0.88 entre tiempo de ejercicio y frecuencia cardiaca, ¿cómo se interpreta? 3. ¿Qué indica r = 0 entre la cantidad de agua y la temperatura? 4. ¿Cuál valor de r indica una correlación lineal perfecta positiva? 5. Explica por qué una correlación alta no implica causalidad
e. Coeficientes de correlación 1. Fuerte correlación positiva: al aumentar la masa, también aumenta la altura 2. Fuerte correlación negativa: a más ejercicio, menor frecuencia cardiaca 3. No hay relación lineal entre agua y temperatura 4. r = 1 5. Porque pueden estar influenciadas por una tercera variable o por coincidencia estadística
Problemas
Problema 1. Crecimiento de células inmunes Durante una respuesta inmune, una población de células T se duplica cada 12 horas. a. Si se parte de 1000 células, ¿cuántas habrá en 24 horas? b. ¿Cuántas habrá después de 36 horas? c. ¿Después de cuántas horas se superarán las 32,000 células? Usa: $f(t) = 1000 \cdot 2^{t/12}$, donde $t$ está en horas.
Problema 2. Efecto de dosis de fármaco en respuesta fisiológica Una investigadora estudia el efecto de un fármaco, midiendo la respuesta como: $R(x) = 10 \cdot \log(x + 1)$ a. ¿Cuál es la respuesta cuando la dosis es de 1 mg? b. ¿Y cuando es de 9 mg? c. ¿Qué ocurre si se duplica la dosis de 4 mg a 8 mg?
Respuestas modelo
Problema 1. Células inmunes a. $f(24) = 1000 \cdot 2^{2} = 1000 \cdot 4 = 4000$ b. $f(36) = 1000 \cdot 2^{3} = 1000 \cdot 8 = 8000$ c. Buscamos $t$ tal que $1000 \cdot 2^{t/12} > 32000$ Dividiendo: $2^{t/12} > 32$ Como $2^5 = 32$, entonces $\frac{t}{12} > 5 \Rightarrow t > 60$ Respuesta: después de 60 horas
Problema 2. Dosis y respuesta a. $R(1) = 10 \cdot \log(2) \approx 10 \cdot 0.301 = 3.01$ b. $R(9) = 10 \cdot \log(10) = 10 \cdot 1 = 10$ c. $R(4) = 10 \cdot \log(5) \approx 10 \cdot 0.699 = 6.99$, $R(8) = 10 \cdot \log(9) \approx 10 \cdot 0.954 = 9.54$ La respuesta no se duplica, el crecimiento es más lento por la naturaleza logarítmica
13. Sistemas de ecuaciones lineales
Ejercicios
a. Tipos de soluciones Para cada sistema, indica el tipo de solución (única, infinitas o ninguna). 1. $\begin{cases} x + y = 4 \ x – y = 2 \end{cases}$ 2. $\begin{cases} 2x – y = 4 \ 4x – 2y = 8 \end{cases}$ 3. $\begin{cases} 3x + y = 7 \ 3x + y = 2 \end{cases}$ 4. $\begin{cases} y = 2x + 1 \ y = -x + 4 \end{cases}$ 5. $\begin{cases} 2x + 3y = 6 \ 4x + 6y = 12 \end{cases}$
b. Método gráfico Grafica cada sistema y determina visualmente su solución. 1. $\begin{cases} y = x + 1 \ y = -x + 5 \end{cases}$ 2. $\begin{cases} y = 2x – 3 \ y = 2x + 1 \end{cases}$ 3. $\begin{cases} x + y = 3 \ x – y = 1 \end{cases}$ 4. $\begin{cases} y = -x + 2 \ y = x – 4 \end{cases}$ 5. $\begin{cases} y = 0.5x \ y = -2x + 5 \end{cases}$
c. Método de sustitución Resuelve cada sistema usando sustitución. 1. $\begin{cases} x + y = 7 \ x – y = 1 \end{cases}$ 2. $\begin{cases} x = 2y \ x + y = 6 \end{cases}$ 3. $\begin{cases} y = 3x – 5 \ 2x + y = 7 \end{cases}$ 4. $\begin{cases} x = y + 4 \ x + y = 10 \end{cases}$ 5. $\begin{cases} y = -x + 2 \ 2x + y = 4 \end{cases}$
d. Método de igualación Resuelve cada sistema usando igualación. 1. $\begin{cases} y = 2x + 1 \ y = -x + 4 \end{cases}$ 2. $\begin{cases} y = x – 3 \ y = -2x + 6 \end{cases}$ 3. $\begin{cases} y = 3x + 2 \ y = x + 6 \end{cases}$ 4. $\begin{cases} y = \frac{1}{2}x + 4 \ y = -x + 1 \end{cases}$ 5. $\begin{cases} y = 4x – 5 \ y = 2x + 1 \end{cases}$
e. Método de reducción Resuelve cada sistema usando reducción (suma o resta). 1. $\begin{cases} x + y = 8 \ x – y = 2 \end{cases}$ 2. $\begin{cases} 3x + 2y = 12 \ 5x – 2y = 8 \end{cases}$ 3. $\begin{cases} 4x + y = 11 \ -4x + 2y = -6 \end{cases}$ 4. $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \ 4x + 6y = 14 \end{cases}$ 5. $\begin{cases} x – 2y = 1 \ 2x + y = 7 \end{cases}$
Respuestas modelo
a. Tipos de soluciones 1. Una única solución 2. Infinitas soluciones 3. Ninguna solución 4. Una única solución 5. Infinitas soluciones
b. Método gráfico (estimación visual) 1. Se cortan en (2, 3) 2. Son paralelas → ninguna solución 3. Se cortan en (2, 1) 4. Se cortan en (3, -1) 5. Se cortan en (2, 1)
Problema 1. Mezcla de soluciones En un laboratorio necesita preparar 10 litros de una solución al 40% de sal. Se tiene disponibles soluciones al 30% y al 60%. Sea x la cantidad (en litros) de solución al 30% e y la del 60%. a. ¿Cuántos litros de cada solución debe mezclar?
Problema 2. Nutrición celular Una célula requiere exactamente 12 mg de proteína y 18 mg de glucosa. Dos soluciones nutritivas ofrecen: • Solución A: 2 mg de proteína y 3 mg de glucosa por gota • Solución B: 4 mg de proteína y 3 mg de glucosa por gota ¿Cuántas gotas de cada solución se necesitan para satisfacer los requerimientos?
Respuestas modelo
Problema 1. Mezcla de soluciones Sistema: $\begin{cases} x + y = 10 \ 0.30x + 0.60y = 0.40 \cdot 10 = 4 \end{cases}$ Multiplicamos segunda por 100: $30x + 60y = 400$ Reducimos usando la primera: $x = 10 – y$ $30(10 – y) + 60y = 400 \Rightarrow 300 – 30y + 60y = 400 \Rightarrow 30y = 100 \Rightarrow y = \frac{10}{3}$ $x = \frac{20}{3}$ Solución: Mezclar $\frac{20}{3} \approx 6.67$ L de solución al 30% y $\frac{10}{3} \approx 3.33$ L de la del 60%.
Problema 2. Nutrición celular Sistema: $\begin{cases} 2x + 4y = 12 \ 3x + 3y = 18 \end{cases}$ Simplificamos segunda: $x + y = 6$ Primera: $2x + 4y = 12$ Multiplicamos segunda por 2: $2x + 2y = 12$ Restamos: $2x + 4y – (2x + 2y) = 12 – 12 \Rightarrow 2y = 0 \Rightarrow y = 0$ $x = 6$ Solución: 6 gotas de solución A y 0 gotas de B.
14. Matrices y determinantes
Ejercicios
a. Definición de matriz 1. Identifica $$a_{12}$ en la matriz $A = \begin{bmatrix} 7 & 8 & 9 \ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$ 2. Determina el tamaño de la matriz $$B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 5 & 6 \ 8 & 9 \end{bmatrix}$$ 3. ¿Cuánto vale $a_{31}$ en la matriz? $$C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ 5 & 6 \end{bmatrix}$$ 4. Da el valor de $a_{22}$ en la matriz $$D = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}$$ 5. ¿Qué posición ocupa el número 4 en la matriz? $$E = \begin{bmatrix} 1 & 4 \ 2 & 3 \end{bmatrix}$$
f. Resolución de sistemas con matrices 1. $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 2 & -1 \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 6 \ 3 \end{bmatrix},\ \det = -3$ $A^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} -1 & -1 \ -2 & 1 \end{bmatrix}$ $X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} 3 \ 3 \end{bmatrix}$ 2. $x = 3,\ y = 2$ 3. $x = 1,\ y = 2$ 4. $x = 0,\ y = \frac{8}{3}$ 5. $x = 3,\ y = 1$
Problemas
Problema 1. Transporte de proteínas Si se modela el flujo de proteínas entre dos compartimientos celulares con la matriz de transferencia: $A = \begin{bmatrix} 0.7 & 0.3 \ 0.4 & 0.6 \end{bmatrix}$ y la distribución inicial es $B = \begin{bmatrix} 100 \ 50 \end{bmatrix}$. a. ¿Cuál es la distribución luego de un ciclo? b. ¿Y luego de dos ciclos?
Problema 2. Ecuaciones químicas Un sistema de ecuaciones químicas está dado por: $\begin{cases} 2x + 3y = 16 \ 4x – y = 10 \end{cases}$ a. Escribe el sistema como $AX = B$ b. Encuentra $X$ usando matrices c. Interpreta el resultado si $x$ y $y$ representan cantidades de reactivos
Problema 2. Ecuaciones químicas a. $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 4 & -1 \end{bmatrix},\ X = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 16 \ 10 \end{bmatrix}$ b. $\det = 2(-1) – 3(4) = -2 – 12 = -14$ $A^{-1} = \frac{1}{-14} \begin{bmatrix} -1 & -3 \ -4 & 2 \end{bmatrix}$ $X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} 2 \ 4 \end{bmatrix}$ c. Se necesitan 2 unidades del primer reactivo y 4 del segundo para cumplir la reacción.
Ahora que ya has revisado la teoría, es momento de ejercitar para entender los nuevos conceptos. En esta sección encontrarás ejercicios para ayudarte a reforzar lo aprendido y, sobre todo, para que ganes confianza resolviendo problemas paso a paso. Cada conjunto de ejercicios está organizado para que vaya aumentando de dificultad progresivamente.
La idea no es que sepas todo desde el principio, sino que practiques, cometas errores, aprendas de ellos y sigas avanzando. También encontrarás problemas aplicados a la biología para que veas cómo estos conceptos matemáticos se conectan con las ciencias aplicadas.
Tú decides el ritmo: puedes resolver un par de ejercicios por día, retomar aquellos que se te dificulten o revisar las respuestas modelo cuando lo necesites. Este material está hecho para apoyarte en tu proceso de aprendizaje, no para evaluarte.
Recuerda: cada problema resuelto es un paso más hacia una mejor comprensión de los modelos que dan sentido a los fenómenos biológicos.
¡Sigue adelante, estás haciendo un gran trabajo!
Módulo 1
1. Fracciones
Ejercicios
a. Definición de fracción Indica en cada caso cuál es el numerador y cuál es el denominador. 1. En la fracción $\frac{3}{7}$: 2. En la fracción $\frac{9}{2}$: 3. En la fracción $\frac{5}{5}$:
b. Simplificación de fracciones Simplifica cada una de las siguientes fracciones: 1. $\frac{8}{12}$ 2. $\frac{15}{25}$ 3. $\frac{30}{45}$ 4. $\frac{21}{49}$ 5. $\frac{18}{27}$
c. Operaciones con fracciones • Suma y resta con distinto denominador 1. $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$ 2. $\frac{5}{12} – \frac{1}{8}$ 3. $\frac{2}{5} + \frac{3}{10}$ 4. $\frac{7}{15} – \frac{2}{9}$ 5. $\frac{3}{8} + \frac{1}{3}$
d. Fracciones equivalentes Escribe tres fracciones equivalentes a cada una de las siguientes: 1. $\frac{1}{3}$ 2. $\frac{2}{5}$ 3. $\frac{4}{7}$ 4. $\frac{3}{8}$ 5. $\frac{5}{6}$
e. Conversión de fracciones a decimales Convierte cada fracción a su forma decimal. 1. $\frac{1}{2}$ 2. $\frac{3}{4}$ 3. $\frac{2}{5}$ 4. $\frac{7}{8}$ 5. $\frac{5}{6}$
f. Decimales exactos y periódicos Clasifica cada uno de los siguientes decimales como exacto o periódico: 1. 0.25 2. $0.\overline{6}$ 3. 0.125 4. $0.\overline{1}$ 5. 0.75
g. Convertir decimales a fracciones Convierte los siguientes decimales finitos a fracción: 1. 0.4 2. 0.05 3. 0.125 4. 0.2 5. 0.375
h. Convertir decimales periódicos a fracciones Convierte los siguientes decimales periódicos a fracción: 1. $0.\overline{3}$ 2. $0.\overline{6}$ 3. $0.\overline{12}$ 4. $0.\overline{45}$ 5. $0.\overline{142857}$
Respuestas modelo
a. Definición de fracción 1. Numerador: 3, Denominador: 7 2. Numerador: 9, Denominador: 2 3. Numerador: 5, Denominador: 5
Problema 1. Conteo de células en una muestra En una muestra de tejido observada en microscopio se encuentra que $\frac{3}{8}$ de las células están en división activa, $\frac{1}{4}$ están en reposo, y el resto están muriendo o muertas. a. ¿Qué fracción del total representan las células muertas? b. ¿Qué porcentaje del total representan las células en reposo? c. Si hay 800 células en total, ¿cuántas están en cada estado?
Problema 2. Dilución de una sustancia Se necesita preparar una dilución de un antibiótico en un laboratorio. Se mezcla $\frac{2}{5}$ de solución con $\frac{3}{5}$ de agua destilada. a. Si se preparan 100 mL de la mezcla, ¿cuántos mL corresponden a agua y cuántos a antibiótico? b. Si la solución original tiene una concentración de 50 mg/mL, ¿cuál es la concentración final de antibiótico en la dilución?
Respuestas modelo
Problema 1. Conteo de células a. Total = 1 (unidad). Células en división: $\frac{3}{8}$ Células en reposo: $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$ Células muertas: $1 – \left( \frac{3}{8} + \frac{2}{8} \right) = \frac{3}{8}$ b. $\frac{1}{4} = 25%$ c. Total: 800 células En división: $\frac{3}{8}$ × 800 = 300 células En reposo: $\frac{1}{4}$ × 800 = 200 células Muertas: 800 – (300 + 200) = 300 células
Problema 2. Dilución a. 100 mL totales: Agua: $\frac{3}{5} \times 100 = 60$ mL Antibiótico: $\frac{2}{5} \times 100 = 40$ mL b. Solución madre: 50 mg/mL En los 40 mL: 50 × 40 = 2000 mg totales Disueltos en 100 mL → concentración final: $\frac{2000\ \text{mg}}{100\ \text{mL}} = 20\ \text{mg/mL}$
a. Definición de porcentajes Completa las siguientes oraciones con la fracción equivalente al porcentaje dado: 1. El 25 % de una cantidad es equivalente a $\frac{\quad}{100}$. 2. El 40 % de una muestra se puede expresar como $\frac{\quad}{100}$. 3. El 10 % de algo equivale a dividir entre ________. 4. El 100 % de una cantidad representa $\frac{\quad}{100} =$ ________. 5. Si tienes el 5 % de una población, eso representa una fracción de: ________.
b. Conversión de fracciones y decimales a porcentajes Convierte las siguientes fracciones y decimales a porcentajes: 1. $\frac{1}{5}$ 2. $\frac{2}{3}$ 3. $\frac{3}{8}$ 4. 0.45 5. 0.125
c. Conversión de porcentajes a decimales o fracciones Convierte los siguientes porcentajes a decimales y fracciones simplificadas: 1. 60 % 2. 25 % 3. 12.5 % 4. 75 % 5. 5 %
d. Operaciones con porcentajes Calcula el porcentaje indicado de la cantidad dada: 1. ¿Cuánto es el 20 % de 80? 2. ¿Cuánto es el 15 % de 200? 3. ¿Cuánto es el 60 % de 150? 4. ¿Cuánto es el 7.5 % de 400? 5. ¿Cuánto es el 2.5 % de 320?
d. Porcentaje de una cantidad 1. 20 % de 80 = 0.20 × 80 = 16 2. 15 % de 200 = 0.15 × 200 = 30 3. 60 % de 150 = 0.60 × 150 = 90 4. 7.5 % de 400 = 0.075 × 400 = 30 5. 2.5 % de 320 = 0.025 × 320 = 8
Problemas
Problema 1. Porcentaje de germinación Una investigadora siembra 240 semillas de una especie vegetal en condiciones controladas. Después de una semana, observa que el 62.5 % ha germinado. a. ¿Cuántas semillas han germinado? b. ¿Qué fracción del total representa este porcentaje? c. ¿Qué porcentaje de semillas no ha germinado?
Problema 2. Porcentaje de proteína en la dieta Una estudiante de biología analiza la dieta de un animal en cautiverio. Detecta que el 18 % del alimento es proteína, el 25 % grasa y el resto carbohidratos. a. ¿Qué porcentaje de la dieta corresponde a carbohidratos? b. Si el animal consume 500 gramos de alimento al día, ¿cuántos gramos de proteína consume? c. ¿Cuál es la fracción que representa la grasa en la dieta?
Respuestas modelo
Problema 1. Porcentaje de germinación a. 62.5 % de 240 = 0.625 × 240 = 150 semillas germinadas b. 62.5 % = $\frac{5}{8}$ c. 100 % – 62.5 % = 37.5 % no germinadas → 0.375 × 240 = 90 semillas
Problema 2. Porcentaje de proteína en la dieta a. 100% – (18 % + 25 %) = 57 % → carbohidratos b. 18% de 500 = 0.18 × 500 = 90 gramos de proteína c. 25 = $\frac{1}{4}$
a. Cálculo de proporciones Resuelve las siguientes proporciones utilizando el producto cruzado: 1. $\frac{3}{4} = \frac{6}{x}$ 2. $\frac{x}{5} = \frac{8}{10}$ 3. $\frac{7}{x} = \frac{21}{9}$ 4. $\frac{2}{x} = \frac{10}{25}$ 5. $\frac{x}{12} = \frac{6}{18}$
b. Proporciones directas e inversas Relaciona cada situación con proporción directa o inversa, y resuélvela si es posible: 1. Si 4 trabajadores construyen una cerca en 6 días, ¿cuántos días tomarán 2 trabajadores? 2. Una receta requiere 200 g de harina para 4 porciones. ¿Cuánta harina se necesita para 10 porciones? 3. Si un automóvil recorre 120 km en 2 horas, ¿cuántos km recorrerá en 5 horas a la misma velocidad? 4. Si 3 bombas vacían un tanque en 8 horas, ¿cuánto tardarán 6 bombas? 5. Si 6 estudiantes necesitan 12 libros, ¿cuántos libros necesitarán 9 estudiantes?
Respuestas modelo
a. Cálculo de proporciones 1. $3 × x = 4 × 6 \Rightarrow x = 8$ 2. $x = \frac{5 × 8}{10} = 4$ 3. $7 × 9 = 63 \Rightarrow x = 3$ 4. $2 × 25 = 10 × x \Rightarrow x = 5$ 5. $x = \frac{12 × 6}{18} = 4$
b. Proporciones directas e inversas 1. Inversa: $4 × 6 = 2 × x \Rightarrow x = 12$ días 2. Directa: $200 × \frac{10}{4} = 500$ g 3. Directa: $120 ÷ 2 = 60$ km/h × 5 = 300 km 4. Inversa: $3 × 8 = 6 × x \Rightarrow x = 4$ horas 5. Directa: $12 ÷ 6 = 2$ libros/estudiante → $2 × 9 = 18$ libros
Problemas
Problema 1. Cultivo de bacterias En un experimento de laboratorio, se cultivan bacterias en un medio durante 5 horas, observándose una relación directa entre el tiempo de cultivo y la población de bacterias. Si en 5 horas se observan 1 200 bacterias, ¿cuántas se esperan en 8 horas, suponiendo el mismo ritmo de crecimiento?
Problema 2. Dosis proporcional de medicamento Una veterinaria prescribe 15 mg de un fármaco por cada kg de peso corporal. ¿Cuántos mg necesita administrar a un animal que pesa 12 kg?
Problema 3. Proporción inversa en filtración Un filtro puede purificar un volumen de agua en 10 horas. Si se utilizan 4 filtros trabajando a la vez, ¿en cuántas horas se hará el mismo trabajo?
Respuestas modelo
Problema 1. Cutivo de bacterias Proporción directa: $\frac{1200}{5} = x / 8 \Rightarrow x = \frac{1200 \times 8}{5} = 1920$ bacterias
Problema 2. Dosis proporcional de medicamento 15 mg por kg → 15 × 12 = 180 mg necesarios
Problema 3. Proporción inversa en filtración Proporción inversa: 1 filtro → 10 horas 4 filtros: $1 \times 10 = 4 \times x \Rightarrow x = \frac{10}{4} = 2.5$ horas
c. Moda 1. Moda = 4 2. Modas = 3 y 4 (bimodal) 3. Moda = 5 4. No hay moda 5. Modas = 3 y 6 (ambas se repiten 3 veces)
Problemas
Problema 1. Longitud de hojas Una bióloga mide la longitud (en cm) de las hojas de una planta: 8.5, 9.0, 10.2, 9.5, 9.0 a. ¿Cuál es la media de las longitudes? b. ¿Cuál es la mediana? c. ¿Cuál es la moda?
Problema 2. Conteo de semillas En un estudio de campo, se cuenta el número de semillas por fruto en una muestra de 7 frutos: 15, 18, 15, 19, 20, 15, 17 a. ¿Cuál es la media de semillas por fruto? b. ¿Cuál es la moda? c. ¿Cuál es la mediana?
Respuestas modelo
Problema 1. Longitud de hojas Datos: 8.5, 9.0, 10.2, 9.5, 9.0 a. Media: $(8.5 + 9.0 + 10.2 + 9.5 + 9.0)/5 = 46.2/5 = 9.24$ cm b. Mediana: Datos ordenados → 8.5, 9.0, 9.0, 9.5, 10.2 → Mediana = 9.0 cm c. Moda: 9.0 (aparece 2 veces)
a. Sucesiones aritméticas 1. Encuentra el término número 10 de la sucesión $4, 7, 10, 13, \dots$ 2. ¿Cuál es la razón y el término 15 de la sucesión $-3, 0, 3, 6, \dots$? 3. Si $a_1 = 12$ y $d = -4$, encuentra $a_6$. 4. Encuentra el valor de $n$ tal que $a_n = 31$ en la sucesión $1, 5, 9, 13, \dots$ 5. Determina los cinco primeros términos de una sucesión aritmética con $a_1 = 2$ y $d = 5$.
b. Sucesiones geométricas 1. Calcula el término número 6 de la sucesión $1, 2, 4, 8, \dots$ 2. Si $a_1 = 5$ y $r = 3$, encuentra $a_4$. 3. ¿Cuál es la razón y el valor de $a_7$ para la sucesión $729, 243, 81, \dots$? 4. Encuentra los cinco primeros términos de la sucesión geométrica con $a_1 = 2$ y $r = -2$. 5. Si $a_3 = 36$, $a_1 = 4$, encuentra la razón $r$.
c. Sucesiones especiales 1. Escribe los primeros 10 términos de la sucesión de Fibonacci. 2. Escribe los primeros 6 términos de la sucesión de cuadrados. 3. Determina si la sucesión $1, 2, 4, 7, 11, 16, \dots$ sigue un patrón. ¿Cuál es? 4. Escribe una sucesión que representa el doble de los números naturales. 5. En la sucesión de cubos $1, 8, 27, 64, \dots$, encuentra el término número 5.
Problema 1. División celular Una bacteria se divide en dos cada hora. Si comenzamos con una sola célula, ¿cuántas habrá después de 10 horas?
Problema 2. Longitud de una planta Una planta crece 3 cm por semana. Si mide 10 cm en la semana 1, ¿cuánto medirá en la semana 12?
Problema 3. Semillas en espiral Una flor presenta una espiral de semillas que sigue la sucesión de Fibonacci. Si el número de semillas en cada fila sigue esa regla, ¿cuántas semillas habrá en la 9ª fila?
a. Definición de potencia 1. $(-2)^5$ 2. $-2^5$ 3. $3^4$ 4. $5^{-3}$ 5. $2^{-5}$
b. Propiedades de las potencias 1. $\frac{4^7}{4^4}$ 2. $\frac{3^8}{3^5}$ 3. $(2^6)^2$ 4. $(2a^2b^3)(3a^4b^2)$ 5. $\left(\frac{2x^{3/4}y^2}{x^{1/2}y^{1/3}}\right)^2$
Problema 1. Crecimiento bacteriano En un cultivo de laboratorio, una cepa bacteriana se reproduce por mitosis, duplicando su cantidad cada hora. Si se empieza con 1 bacteria: a. ¿Cuántas bacterias habrá después de 6 horas? b. ¿Y después de 10 horas? c. ¿Después de cuántas horas habrá más de 1 000 bacterias? Pista: Usa la fórmula $N = 2^t$, donde $N$ es el número de bacterias y $t$ el tiempo en horas.
Problema 2. Concentración de una sustancia Una sustancia radiactiva utilizada en un experimento biológico se desintegra siguiendo la ley: $C(t) = C_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}$, donde: $C_0$ es la concentración inicial, $t$ es el tiempo en horas. Si $C_0 = 80$ mg/L, responde: a. ¿Cuál es la concentración después de 3 horas? b. ¿Y después de 6 horas? c. ¿Después de cuánto tiempo la concentración será menor a $10\ \text{mg/L}$?
Respuestas modelo
Problema 1. Crecimiento bacteriano a. $2^6 = 64$ bacterias b. $2^{10} = 1024$ bacterias c. Buscamos $t$ tal que $2^t > 1000$. Como $2^{10} = 1024$, la respuesta es después de 10 horas.
Problema 2. Sustancia radioactiva Dada la fórmula: $C(t) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}$ a. $C(3) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 80 \cdot \frac{1}{2} = 40\ \text{mg/L}$ b. $C(6) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 80 \cdot \frac{1}{4} = 20\ \text{mg/L}$ c. Buscamos $t$ tal que: $80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3} < 10 \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3} < \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{t}{3} > 3 \Rightarrow t > 9$ Entonces, la concentración será menor a $10\ \text{mg/L}$ después de 9 horas.
a. Simplifica las raíces 1. $\sqrt{72}$ 2. $\sqrt{50}$ 3. $\sqrt{98}$ 4. $\sqrt{200}$ 5. $\sqrt{432}$
b. Aplica las propiedades de raíces y simplifica 1. $\sqrt{8 \cdot 2}$ 2. $\sqrt{\frac{9}{16}}$ 3. $\sqrt{49x^2}$ 4. $\sqrt[3]{27x^3}$ 5. Escribe como potencia de exponente fraccionario y simplifica: $\sqrt[4]{16x^8}$
Problema 1. Transporte de nutrientes Un estudio calcula que la velocidad de absorción de nutrientes en una raíz sigue una relación proporcional a $\sqrt{t}$, donde $t$ es el tiempo en horas. Si después de 4 horas la velocidad es de 2 cm/h, ¿cuál sería la velocidad después de 9 horas?
Problema 2. Células bajo el microscopio La superficie visible de una célula vista al microscopio se modela con $\sqrt{A}$, donde $A$ es el área proyectada en $\mu m^2$. Si un biólogo observa dos células con áreas de 72 y 50 $\mu m^2$, ¿cuál es la diferencia entre sus superficies visibles simplificadas?
Respuestas modelo
Problema 1. Transporte de nutrientes La relación es proporcional a $\sqrt{t}$. Después de 4 horas: $\sqrt{4} = 2 \Rightarrow 2$ cm/h Después de 9 horas: $\sqrt{9} = 3 \Rightarrow 3$ cm/h Respuesta: La velocidad después de 9 horas es de 3 cm/h
Problema 2. Células bajo el microscopio Área 1: $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ Área 2: $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ Diferencia: $6\sqrt{2} – 5\sqrt{2} = \sqrt{2}$ Respuesta: La diferencia entre las superficies visibles es de $\sqrt{2} , \mu m$
Si estás leyendo esto, ya recorriste un buen tramo en el camino de Modelos Biomatemáticos I. En este segundo módulo encontrarás herramientas que te ayudarán a comprender conceptos más complejos, pero igual de interesantes, y así ampliar tu capacidad para modelar, interpretar y comprender fenómenos biológicos.
En este segundo módulo exploraremos contenidos esenciales como ecuaciones, logaritmos, desigualdades, iteraciones, funciones, sistemas de ecuaciones, matrices y más. Aunque algunos de estos temas pueden parecer desafiantes, no estás solo en este proceso: encontrarás aquí explicaciones claras, ejemplos aplicados y ejercicios pensados para ayudarte a conectar estos conceptos con situaciones reales en biología.
Tómate tu tiempo, explora, equivócate sin miedo y vuelve a intentar. Este es un espacio para aprender y seguir construyendo confianza.
Espero que este material te siga acompañando y ayudando a ver las matemáticas no solo como una asignatura más, sino como una herramienta para seguir navegando en el mundo biomatemático. Vamos paso a paso… pero ya estás mucho más cerca de dominarlo.
¡Ánimo!
Módulo 2
8. Ecuaciones y factorización
a. Definición de ecuación
Una ecuación es una igualdad que contiene una o más variables, y representa una condición que debe cumplirse.
Ejemplo:$2x + 3 = 7$
Resolver una ecuación significa encontrar el valor o los valores de la variable que hacen verdadera la igualdad.
b. Ecuaciones lineales (primer grado)
Las ecuaciones lineales de primer grado tienen la forma general: $ax + b = c$.
Para resolver: Paso 1. Agrupar términos semejantes. Paso 2. Aislar la variable. Paso 3. Despejar.
c. Resolución de ecuaciones cuadráticas (segundo grado)
Las ecuaciones de segundo grado tienen la forma general: $ax^2 + bx + c = 0$, donde $a \neq 0$, b y c son constantes.
Factorización Factorizar una expresión algebraica es reescribirla como un producto de factores más simples. Esto es muy útil para resolver ecuaciones y simplificar expresiones.
Casos comunes:
■ Factor común: $abx^2 + acx = ax(bx + c)$
Se saca el mayor factor que todos los términos tienen en común.
Ejemplo: $4x^4 + 8x^3 = 4x^3(x + 2)$
■ Diferencia de cuadrados: $a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)$
Fórmula general La fórmula general permite resolver cualquier ecuación cuadrática:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a},$$ donde a, b, y c son los coeficientes de la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$. El término $b^2 – 4ac$ se llama discriminante, y nos indica que:
○ si $b^2-4ac > 0$, hay dos soluciones reales distintas, ○ si $b^2-4ac = 0$, hay una solución real doble, ○ si $b^2-4ac < 0$, no hay soluciones reales (son complejas).
$$x = \frac{4 \pm 8}{4} \Rightarrow x = \frac{12}{4} = 3, \quad x = \frac{-4}{4} = -1$$
Completando el cuadrado Este método transforma un trinomio cuadrático en el cuadrado de un binomio, útil en geometría analítica, física y más.
Se procede de la siguiente manera:
Paso 1. Asegúrate de que el coeficiente de $x^2$ sea 1. Si no lo es, divide toda la ecuación. Paso 2. Toma la mitad del coeficiente de x, elévalo al cuadrado. Paso 3. Súmalo y réstalo en la expresión. Paso 4. Agrupa el trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplo:
$x^2 + 6x + 5$
Tomamos la mitad de 6 → $\frac{6}{2} = 3$, al cuadrado: 9
Una desigualdad es una relación matemática que compara dos expresiones usando los símbolos de menor que (<), mayor que (>), menor o igual que (≤) y mayor o igual que (≥).
Ejemplos: • $3 < 5$ • $x + 2 \geq 10$ A diferencia de las ecuaciones, que tienen soluciones exactas, las desigualdades representan conjuntos de soluciones que satisfacen una condición.
b. Propiedades de las desigualdades
Suma y resta: Si $a < b$, entonces $a + c < b + c$. Es análogo para la resta: Si $a < b$, entonces $a – c < b – c$.
Multiplicación o división por un número positivo: Si $a < b$ y $c > 0$, entonces $ac < bc$.
Multiplicación o división por un número negativo: Si $a < b$ y $c < 0$, entonces $ac > bc$. Ojo: ¡El signo de desigualdad se invierte!
Ejemplo 1. Desigualdad lineal simple
Resolviendo: $2x – 3 < 5$ Paso 1. Sumar 3 a ambos lados: $2x < 8$ Paso 2.Dividir entre 2: $x < 4$ Solución: Todos los x menores que 4.
Representación gráfica: Una línea numérica con un círculo abierto en 4 y una flecha hacia la izquierda.
Ejemplo 2. Desigualdad con cambio de signo
Resolviendo: $-3x + 5 \geq 2$ Paso 1. Restar 5 $\Longrightarrow -3x \geq -3$ Paso 2: Dividir entre $-3 \Longrightarrow x \leq 1$ Solución: Todos los x menores o igual que 1.
Representación gráfica: Una línea numérica con un círculo cerrado en 1 y una flecha hacia la izquierda.
c. Desigualdades cuadráticas
Para resolver desigualdades del tipo $x^2 – 5x + 6 > 0$ se procede:
Las soluciones de desigualdades se pueden expresar en:
• Forma verbal: Todos los números mayores que 5. • Notación con desigualdades: $x > 5$ • Notación de intervalo: $(5, \infty)$ Recuerda: Si usas aréntesis ( ), se excluye el número y se llama intervalo cerrado; y si usas corchetes [ ], se incluye el número y se llama intervalo abierto.
10. Logaritmos
a. Definición de logaritmo
Un logaritmo es el exponente al que hay que elevar una base para obtener un número dado. Se expresa como:
$\log_b a = x$ si y solo si $b^x = a$,
donde b es la base del logaritmo (debe ser positiva y distinta de 1), a es el argumento (el número del que tomamos el logaritmo), x es el resultado, es decir, el exponente que buscamos.
Ejemplos:
• $\log_2 8 = 3$, porque $2^3 = 8$ • $\log_{10} 1000 = 3$, porque $10^3 = 1000$
b. Logaritmos comunes y naturales
• Logaritmo común
Si la base es 10 $\Longrightarrow \log a = \log_{10} a$
• Logaritmo natural
Si la base es e (número de Euler, aprox. 2.718) $\Longrightarrow \ln a = \log_e a$
c. Propiedades de los logaritmos
• Producto: $$\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y$$
• Cociente: $$\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x – \log_b y$$
• Potencia: $$\log_b (x^r) = r \cdot \log_b x$$
• Logaritmo de 1:
$\log_b 1 = 0$ cualquier número elevado a 0 da 1.
• Logaritmo de la base: $$\log_b b = 1$$
d. Cambio de base
A veces necesitamos calcular un logaritmo con una base distinta a la que tenemos disponible (por ejemplo, en una calculadora). La fórmula es:
$$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$$
Usualmente se usa la base 10 o e (logaritmo común o natural).
La fórmula del pH es: $\text{pH} = -\log_{10} [\text{H}^+]$
Si la concentración de iones hidrógeno $1 \times 10^{-7}$, entonces:
$\text{pH} = -\log_{10}(10^{-7}) = 7$
11. Iteración
a. Definición de iteración
Una iteración es un proceso que consiste en aplicar repetidamente una misma regla o fórmula, donde el valor siguiente depende del valor anterior. Se representa generalmente como:
$$x_{n+1} = f(x_n)$$
Ejemplo: Comienza con el número 1 y suma 2 en cada paso: $1, 3, 5, 7, 9, \dots$ Aquí cada número se obtiene sumando 2 al anterior. La regla es: $x_{n+1} = x_n + 2$
b. Propiedades de las iteraciones
• Condición inicial:toda iteración necesita un valor de partida. A partir de él, se generan los siguientes valores. Por ejemplo $x_0 = 1$. • Regla de cambio:es la fórmula o relación que se aplica en cada paso. Por ejemplo $x_{n+1} = 2x_n$. • Dependencia del tiempo o pasos:iterar es como avanzar en el tiempo, en cada paso, el sistema cambia según la regla dada.
Ejemplo: Si $x_0 = 1$ y la regla es $x_{n+1} = 2x_n$, la secuencia será: $1, 2, 4, 8, 16, \dots$
Ejemplo aplicado: Una población de bacterias se duplica cada hora. Si al inicio hay 100 bacterias:
Algunas iteraciones incluyen otros elementos, como tasas de crecimiento, disminución, o límites. Por ejemplo:
$$x_{n+1} = x_n + r x_n (1 – \frac{x_n}{K})$$
Esta es una forma iterativa del modelo logístico, usado para describir poblaciones con límite ambiental.
12. Funciones y sus gráficas
a. Definición de función
Una función es una relación matemática entre dos variables, donde a cada elemento del conjunto variables independientes (dominio) le corresponde exactamente un elemento del conjunto de variables dependientes (rango).
Se representa generalmente como: $f(x) = y$, donde x es la variable independiente (entrada), y es la variable dependiente (salida), f es la regla que asigna a cada x un único valor y.
Una función lineal tiene la forma general $f(x) = mx + b$, donde m es la pendiente (indica el crecimiento), b es la ordenada al origen (el valor de y cuando $x = 0$).
Análisis gráfico: • La gráfica de una función lineal es una línea recta. • La pendiente m determina si la recta sube (m > 0) o baja (m < 0). • El valor b indica el punto donde la recta corta al eje Y.
Ejemplo: Una planta crece 2 cm por día, con una altura inicial de 5 cm:
$f(x) = 2x + 5$ (5 cm de altura inicial) Graficar
c. Funciones no lineales
No todas las relaciones son lineales. Muchas veces en biología hay curvas, aceleraciones o desaceleraciones.
￭ Cuadrática Tiene la forma general $f(x) = ax^2 + bx + c$
Análisis gráfico: • La gráfica es una parábola tal que si a > 0, se abre hacia arriba, si a < 0, se abre hacia abajo. • El vértice es el punto de mínimo (si a > 0) o máximo (si a < 0). • Las raíces (o ceros) de la función son los valores de x donde $f(x) = 0$, y se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática.
Puntos importantes: • Vértice: punto máximo o mínimo. • Raíces: valores de x que hacen que $f(x) = 0$ (pueden calcularse con la fórmula cuadrática).
Ejemplo:
$f(x) = -2x^2 + 4x + 1$ Esta parábola se abre hacia abajo. El vértice y las raíces permiten analizar cómo varía la función con el tiempo, por ejemplo en procesos de crecimiento que luego disminuyen.
￭ Exponencial Tiene la forma general $f(x) = a \cdot b^x$, donde a es el valor inicial, si b > 1 hay crecimiento exponencial, si 0 < b < 1 hay decaimiento exponencial.
Análisis gráfico: • Crece o decrece rápidamente. • Siempre es positiva si a > 0. • A medida que $x \to \infty$, f(x) crece si b > 1; si b < 1, decrece hacia 0.
￭ Logarítmica Tiene la forma general $f(x) = a \cdot \log(x)$, donde se define sólo para x > 0, y a ajusta la escala.
Análisis gráfico: • Crece, pero muy lentamente conforme x aumenta. • Tiene una asíntota vertical en x = 0 (no puede tomar valores negativos).
Ejemplo: Respuesta fisiológica a un estímulo, como percepción del sonido o intensidad de luz.
￭ Racionales Su forma general es $f(x) = \frac{1}{x}$.
Análisis gráfico: • Tiene dos ramas (una en cada lado del eje y), • No está definida en x = 0, • Tiene una asíntota vertical en x = 0 y una asíntota horizontal en y = 0.
Ejemplo: Relaciones inversas como velocidad y tiempo: a mayor velocidad, menor tiempo.
￭ Potencial o alométrica Su forma general es $y = a \cdot x^k$, donde a es una constante de proporcionalidad, k puede ser positivo o negativo, entero o fraccionario.
Análisis gráfico: • Si k > 1: crecimiento acelerado. • Si 0 < k < 1: crecimiento desacelerado. • Si k < 0: decrecimiento.
Ejemplo: Relación entre masa corporal y tasa metabólica: $f(x) = 70 \cdot x^{0.75}$ Este tipo de función describe cómo cambia una variable fisiológica en función del tamaño corporal.
d. Dominio y codominio
• Dominio: conjunto de todos los posibles valores de entrada x que hacen que la función esté bien definida.
• Codominio: conjunto de todos los posibles valores de salida y.
Ejemplo: Para $f(x) = \sqrt{x}$, el dominio es $x \geq 0$, porque no se puede tomar la raíz cuadrada de un número negativo (en los reales).
e. Coeficientes de correlación
Cuando se tiene un conjunto de datos empíricos o experimentales (por ejemplo, mediciones de dos variables en una muestra), es útil saber qué tan fuertemente están relacionadas.
El coeficiente de correlación (r) mide la intensidad y dirección de una relación lineal entre dos variables, es decir, permite cuantificar qué tan bien se ajustan a una función lineal.
$-1 \leq r \leq 1$
• $r \approx 1$: correlación positiva fuerte (ambas variables aumentan juntas). • $r \approx -1$: correlación negativa fuerte (una aumenta mientras la otra disminuye). • $r \approx 0$: no hay relación lineal.
Ejemplo: Si midieras la longitud del ala y el peso de aves, podrías obtener un r cercano a 0.8, indicando una fuerte relación positiva.
Otro ejemplo: Una investigadora mide la concentración de glucosa en sangre en función del tiempo después de una comida. Si los datos tienen r = −0.92, se puede decir que la concentración de glucosa disminuye de forma lineal conforme pasa el tiempo.
Importante recordar: Correlación no implica causalidad. Que dos variables estén relacionadas no significa que una cause la otra.
13. Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con dos o más incógnitas. Resolver un sistema significa encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente.
a. Solución de un sistema
Una solución puede ser un par ordenado $(x, y)$ que satisfaga todas las ecuaciones del sistema.
Tipos de soluciones:
• Una única solución (sistema compatible determinado) Las rectas se cortan en un único punto, por lo que el sistema tiene solución única.
• Infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado) Las rectas son la misma recta (coinciden totalmente), entonces todas las soluciones de una son soluciones de la otra.
• Ninguna solución (sistema incompatible) Las rectas son paralelas y no se cortan, entonces no hay valores que satisfagan las ecuaciones a la vez.
b. Métodos de resolución
￭ Método gráfico Consiste en graficar ambas ecuaciones en el plano cartesiano y observar el punto (si existe) donde se cruzan las rectas.
Ejemplo:
$$\begin{cases} x + y = 4 \\ x – y = 2 \end{cases}$$
• Primera recta: $y = -x + 4$ • Segunda recta: $y = x – 2$ Graficando, se cruzan en el punto (3, 1). Esa es la solución del sistema.
￭ Método de sustitución
Paso 1. Se despeja una variable en una de las ecuaciones. Paso 2. Se sustituye en la otra ecuación. Paso 3. Se resuelve y luego se reemplaza para encontrar la otra variable.
Ejemplo:
$$\begin{cases} x + y = 4 \\ x – y = 2 \end{cases}$$
Paso 1. De la primera ecuación, despejamos $x = 4 – y$ Paso 2. Sustituimos en la segunda
$(4 – y) – y = 2 \Rightarrow 4 – 2y = 2 \Rightarrow y = 1$
Paso 3. Reemplazamos en $x = 4 – y$
$x = 4 – 1 = 3$
Solución: (3, 1)
￭ Método de igualación
Paso 1. De despeja la misma variable en ambas ecuaciones. Paso 2. De igualan las expresiones. Paso 3. De resuelve la ecuación resultante.
Ejemplo:
$$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases}$$
Paso 1. Como ya están ambas ecuaciones igualadas a y, se continúa al siguiente paso. Paso 2. Se igualan ambas ecuaciones
Paso 3: se resuelve que $y = 2(1) + 1 = 3$ Solución: (1, 3)
￭ Método de reducción (o suma y resta)
Paso 1. Se multiplican las ecuaciones (si es necesario) para que, al sumarlas o restarlas, una variable se elimine. Paso 2. Se resuelve la variable restante y luego se reemplaza.
Ejemplo:
$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x – y = 1 \end{cases}$$
Esta es una matriz de 2 filas y 3 columnas, o matriz $2 \times 3$ (se dice “dos por tres”). En este caso se puede observar que $a_{11} = 1$ y $a_{23} = 6$.
b. Tipos de matrices
Las matrices se pueden clasificar según su forma y contenido.
• Multiplicación de matrices Solo se puede multiplicar una matriz $A_{m \times n}$ por una matriz $B_{n \times p}$: las columnas de la primera deben coincidir con las filas de la segunda. El resultado será una matriz $C_{m \times p}$.
El determinante es un número asociado a una matriz cuadrada. Es importante para saber si un sistema de ecuaciones tiene solución única, calcular la inversa de una matriz.
Se denota como $\det(A)$ o $|A|$.
• Determinante de una matriz 2×2
$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \Rightarrow \det(A) = ad – bc$$
• Determinante de una matriz 3×3 (Regla de Sarrus) La regla de Sarrus permite calcular de forma rápida el determinante de una matriz 3×3. Dada una matriz
e. Matriz inversa La inversa de una matriz A (si existe), denotada $A^{-1}$, es aquella tal que:
$$A \cdot A^{-1} = I$$
Solo existen inversas para matrices cuadradas y no singulares (es decir, cuyo determinante no es cero).
f. Resolución de sistemas de ecuaciones con matrices Un sistema lineal puede escribirse como $AX = B$, donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz columna de incógnitas y B es la matriz de resultados. Si A es invertible, se cumple que $X = A^{-1} \cdot B$.
Ejemplo: Sea el sistema
$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x – y = 4 \end{cases}$$
¡Hola! Si estás leyendo esto, probablemente te estás preparando para cursar Modelos Biomatemáticos I, una asignatura que puede parecer desafiante si no sientes familiaridad con los números.
Este material fue diseñado pensando en ti. Aquí encontrarás explicaciones claras y concisas, acompañadas de ejemplos y ejercicios prácticos que te ayudarán a repasar y fortalecer conceptos fundamentales como fracciones, porcentajes, proporciones, potencias, sucesiones y más.
El objetivo con estas notas es que descubras cómo las matemáticas son un lenguaje que te permitirá describir y analizar fenómenos biológicos de forma precisa.
Tómate tu tiempo, resuelve los ejercicios, equivócate, vuelve a intentar. Este es un espacio seguro para aprender, repasar y ganar confianza. Espero que estas páginas te acompañen como una herramienta útil en tu camino hacia una comprensión más sólida, no solo de la asignatura, sino también del papel que tienen las matemáticas en tu formación como estudiante de biología.
¡Ánimo y adelante!
Módulo 1
1. Fracciones
a.Definición de una fracción
Una fracción es una forma de representar una parte de un todo. Se representa como
$$\frac{a}{b},$$
donde a es el numerador, que indica cuántas partes tomamos; b es el denominador, que indica en cuántas partes se divide el todo.
b.Cómo simplificar fracciones
Para simplificar una fracción, la sugerencia siempre es buscar el máximo común divisor (MCD) entre el numerador y el denominador. En algunos casos, esto implica descomponer ambos números en sus factores primos. Una vez que se tiene el MCD, se dividen ambas partes de la fracción entre ese número.
Ejemplo: para simplificar $\frac{18}{24}$
Los factores primos de 18 son 2 × 3 × 3.
Los factores primos de 24 son 2 × 2 × 2 × 3.
El MCD es 2 × 3 = 6.
Entonces, $\frac{18}{24}$ se simplifica dividiendo ambos números entre 6:
$$\frac{18÷6}{24÷6} = \frac{3}{4}$$
c. Operaciones con fracciones
Suma y Resta
Si los denominadores son iguales, simplemente se realiza la suma o resta de los numeradores.
Si los denominadores son diferentes, necesitas un denominador común.
Ejemplo:
Para sumar $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ un denominador común es 12. Convertimos las fracciones: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}, \frac{1}{4} = \frac{3}{12}$; por lo tanto $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$.
Multiplicación
Se multiplican numerador por numerador y denominador por denominador.
Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad, aunque el numerador y el denominador sean diferentes. Para encontrar fracciones equivalentes se multiplica o divide el numerador y el denominador por el mismo número.
Ejemplo:
$\frac{1}{2}$ es equivalente a $\frac{2}{4}, \frac{3}{6}, \frac{5}{10}$
e. Conversión de fracciones a decimales
Para convertir una fracción a decimal, divide el numerador entre el denominador.
Ejemplo:
$$\frac{3}{4} = 3 ÷ 4 = 0.75$$
f. Reconocer decimales exactos y periódicos
Decimal exacto: es un decimal que termina después de un número finito de decimales, por ejemplo 0.5 o 0.75.
Decimal periódico: es un decimal que tiene una parte decimal que se repite infinitamente, por ejemplo $\frac{1}{3} = 0.\overline{3}$, donde el 3 se repite indefinidamente.
g. Cómo expresar un decimal en fracción
Para convertir un decimal a fracción, si el decimal tiene una cantidad finita de dígitos, se escribe el número como fracción sobre 10, 100, 1000, etc., dependiendo de la cantidad de decimales.
Ejemplo:
Para convertir 0.75 a fracción se sigue que $0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
h. Para convertir un número decimal infinito periódico a fracción
Paso 1. Identificar el período: sea x un número decimal periódico $x = 0.\overline{a}$, donde a es el dígito o grupo de dígitos que se repite, es decir, el período.
Por ejemplo, si tenemos $x = 0.\overline{3}$, entonces a = 3.
Paso 2. Multiplicar por una potencia de 10: se multiplican ambos lados de la ecuación por la potencia de 10 que corresponda a la cantidad de dígitos del período para desplazar el punto decimal.
Si el período tiene un solo dígito (como en el caso del ejemplo), se multiplica por 10: $10x = 10(0.\overline{3}) = 3.\overline{3}$.
Paso 3. Restar la ecuación original de la ecuación multiplicada: ahora se resta la ecuación original de la ecuación recién obtenida. Esto eliminará la parte decimal periódica.
En el caso del ejemplo se resta: $10x-x = 3.\overline{3} – 0.\overline{3} \Longrightarrow 9x = 3$.
Paso 4. Resolver para x: finalmente se resuelve la ecuación para x.
En el caso del ejemplo, dividiendo ambos lados entre 9:
$$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$. Por lo tanto, $0.\overline{3}$ es igual a $\frac{1}{3}$.
Ejemplo: con un número decimal periódico más largo
Sea un número decimal $x= 0.\overline{142857}$.
Se identifica el período: el grupo de dígitos que se repite, o período de
$x= 0.\overline{142857}$ es 142 857.
Se multiplica por una potencia de 10: como el período tiene seis dígitos, se multiplica ambos lados de la ecuación por $10^6 = 1000000$:
donde $x_i$ son los valores de los datos y n es la cantidad de datos.
Ejemplo: Supongamos que medimos el número de hojas en 5 plantas: 8, 10, 12, 10, 10.
La media es: $\frac{8 + 10 + 12 + 10 + 10}{5} = \frac{50}{5} = 10$.
b. Mediana
La mediana es el valor que se encuentra en el centro de un conjunto de datos ordenados. Si hay un número impar de datos, es el valor central. Si hay un número par, es el promedio de los dos valores centrales.
La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos.
Ejemplo:
Datos: 3, 4, 4, 5, 6, 4, 7
→ La moda es 4, porque se repite tres veces.
Importante recordar: Puede haber más de una moda (moda bimodal o multimodal), o ninguna si todos los datos aparecen solo una vez.
5. Sucesiones
Una sucesión es una lista ordenada de números, llamados términos, que siguen una regla o patrón. Estos números pueden representar fenómenos naturales que cambian con el tiempo, como el crecimiento de una población, la cantidad de bacterias en una placa, o la altura de una planta en distintas semanas.
a. Definición de sucesión
Una sucesión es una secuencia de números dispuestos en un orden específico. Cada número tiene una posición que se indica con un subíndice:
$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$, donde $a_1$ es el primer término, $a_2$ el segundo, y así sucesivamente hasta $a_n$ para cualquier n en los naturales.
b. Fórmulas generales de sucesiones
Algunas sucesiones siguen reglas simples que nos permiten encontrar cualquier término sin tener que listar todos los anteriores.
• Sucesión aritmética: se forma sumando una cantidad fija llamada razón.
Fórmula general:
$a_n = a_1 + (n – 1) \cdot d$, donde d es la diferencia común.
Estas propiedades son válidas sólo si los números involucrados están definidos en el conjunto de los números reales (por ejemplo, no se puede extraer raíz par de un número negativo en los reales).
c. Simplificación de raíces cuadradas
Para simplificar una raíz cuadrada, se busca el mayor cuadrado perfecto que divida al radicando.
