MATERIAL EN REVISIÓN
Introducción
En las siguientes entradas, comenzaremos a desarrollar de lleno la noción de integral de Lebsegue. Es entonces natural pensar en los conjuntos en donde una función $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ es «aproximadamente constante», es decir, para un $a\in \mathbb{R}$ arbitrario, conjuntos de la forma $$E=\{x\in \mathbb{R}^n \ | \ a\leq f(x)<a+\varepsilon \}.$$
De forma intuitiva, la contribución del conjunto $E$ a la integral debería ser aproximadamente $a\lambda(E)$. Para que esto tenga sentido, es necesaro que el conjunto $E$ sea medible. Si lo anterior se satisface para cualquier $a\in \mathbb{R}$ y $\varepsilon>0$ diremos (provisionalmente) que la función es medible.
Antes de continuar, será muy útil permitir que $f$ tome los valores «extendidos» $\infty$ y $-\infty$. Podemos pensar que $f(x)=\infty$ significa que $f$ «es arbitrariamente grande en $x$» mientras que $f(x)=-\infty$ significa que $f$ es «arbitrariamente negativa en $x$».
La ventaja principal de esta notación es que nos permite trabajar con límites (posiblemente infinitos) de una manera unificada. Por ejemplo, si $\{ f_k \}_{k=1}^{\infty}$ es una sucesión de funciones tales que $\lim_k f_k(x)$ existe para todo $x\neq 0$ y $f_k(0)=k$ para todo $k$, conviene pensar que la sucesión $\{ f_k \}_{k=1}^{\infty}$ converge puntualmente a una función $f$ con $f(0)=\infty$. A la hora de integrar, esto a veces nos permitirá lidiar con singularidades sencillas de sucesiones de funciones.
Para ello, hace falta extender nuestra noción de números reales y su aritmética a $-\infty$ e $\infty$.
Reales extendidos
Definición. Definimos el sistema de numeros reales extendidos: $$[-\infty,\infty]:=\mathbb{R}\cup\{ -\infty \}\cup \{\infty \}.$$
(De manera formal $\infty,-\infty$ son solamente símbolos, pero conviene pensarlos con su significado usual de cantidades arbitrariamente grandes y arbitrariamente negativas respectivamente. La diferencia es que ahora los pensamos como números sobre los que podemos definir operaciones aritméticas explícitas).
Trabajaremos con las siguientes convenciones (todas éstas son naturales y están formuladas para ser compatibles con las nociones clásicas de límites infinitos): Para cualesquiera $x\in \mathbb{R}$, $0<a\leq \infty$, $-\infty\leq b <0$ convenimos:
\begin{align*}
-\infty < x &< \infty, \\
x + \infty &= \infty, \\
\infty + \infty &= \infty, \\
a\cdot \infty &= \infty, \\
b\cdot \infty &= -\infty.
\end{align*}
Y similarmente
\begin{align*}
x – \infty &= -\infty, \\
-\infty – \infty &= -\infty, \\
a\cdot -\infty &= -\infty, \\
b\cdot -\infty &= \infty.
\end{align*}
Las expresiones $0\cdot \pm \infty$ y $\infty – \infty$ permanecen indefinidas (aunque ocasionalmente, conviene definir la primera como cero).
Dado $A$ un subconjunto de números reales extendidos, convenimos:
- $\sup A:=\infty$ si $\infty\in A$.
- $\sup A= -\infty$ si $A={ -\infty }$.
- $\sup A:= \sup (A\setminus { -\infty})$ si $\infty \notin A$ y $A\neq \{ -\infty\}$ (es decir, el supremo usual de un conjunto de números reales, posiblemente $\infty$ si el conjunto es no acotado).
Las convenciones para $\inf A$ son análogas.
Los límites se trabajan de forma idéntica. Dada una sucesión $\{ a_k\}_{k=1}^{\infty}$ de números reales extendidos:
- Decimos que $\lim_{k\to \infty}a_k=a$, $a\in \mathbb{R}$, si $a_k\in \mathbb{R}$ salvo una cantidad finita de $k$ y $\lim_{k\to \infty}a_k=a$ en el sentido usual (omitiendo los valores extendidos de la sucesión).
- Como es usual, decimos que $\lim_{k\to \infty}a_k=\pm \infty$ si $\forall M\in \mathbb{R}$ positivo $\exists N\in \mathbb{N}$ tal que $\pm x_m>M$ $\forall m\geq N$.
Las convenciones para límites de funciones $\lim_{x\to a }f(x)$ son análogas.
Como consecuencia de nuestras convenciones, es inmediato verificar que los límites extendidos heredan las propiedades de sus contrapartes reales, por ejemplo las referentes a sumas y productos de límites.
El siguiente caso es particularmente frecuente. También es una muestra de las ventajas de adoptar la notación de números reales extendidos.
Observación. Toda sucesión monótona (creciente o decreciente) de números extendidos tiene un límite.
Demostración. En efecto, sea $a_1\leq a_2\leq a_3\leq \dots$ una sucesión monótona creciente de números extendidos. Si la sucesión es acotada y no todos los términos son $-\infty$, se reduce al caso real en el que sabemos que la sucesión converge (y de hecho, converge a su supremo). Si $a_k=-\infty $ para todo $k$, claramente $\lim_{k\to \infty} a_k=-\infty$. Si la sucesión no es acotada entonces $\lim_{k\to \infty} a_k=\infty$. El caso decreciente es similar.
$\square$
Ejemplo. Considera la sucesión de funciones $f_k=k\chi_{[-\frac{1}{k},\frac{1}{k}]}$ (donde $\chi_A$ representa la función característica del conjunto $A$). Para cualquier $x\neq 0$, eventualmente $f_k(x)=0$, así que $\lim_{k\to \infty} f_k(x)=0$. Como $f_k(0)=k$ para todo $k$, naturalmente $\lim_{k\to \infty} f_k(0)=\infty$. Concluimos que la sucesión converge puntualmente (en el sentido extendido) a la función
\begin{equation*}
f(x)=
\begin{cases}
0 & \text{si } x \neq 0 \\
\infty & \text{si } x=0 \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.
\end{cases}
\end{equation*}
Funciones medibles
Ya podemos dar una definición bastante general de función medible sobre conjuntos arbitrarios con alguna $\sigma$-álgebra asociada.
Definición. Sea $f:X\to[-\infty,\infty]$ donde $X$ es un conjunto. Dada $\mathcal{M}$ una $\sigma$-álgebra sobre $X$, decimos que $f$ es $\mathcal{M}$ medible si $\forall t\in [-\infty, \infty]$, el conjunto $$\{ x \ | \ f(x)\leq t\}=f^{-1}([-\infty,t])\in \mathcal{M}.$$
Es conveniente pensar en las funciones medibles como aquellas que «tienen la suficiente estructura como para ser integradas». Si bien definimos el concepto de función medible con toda generalidad (que es necesario para desarrollar nociones de integración sobre espacios «muy generales»), casi siempre trabajaremos con los siguientes dos casos:
- Si $X=\mathbb{R}^n$ y $\mathcal{M}=\mathcal{L}$ diremos que la función es Lebesgue medible o simplemente medible.
- Si $X=\mathbb{R}^n$ y $\mathcal{M}=\mathcal{B}$ diremos que la función es Borel medible.
Observación. Como $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{L}$, toda función Borel medible es Lebesgue medible.
En la entrada pasada [ENLACE] probamos que si $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ es continua y $A\in \mathcal{B}_1$ $\implies$ $f^{-1}(A)\in \mathcal{B}_n$. En particular, como cualquier intervalo $[-\infty,t]\in \mathcal{B}_1$ $\implies$ $f^{-1}([-\infty,t])\in \mathcal{B}_n$ es un conjunto de Borel. Esto es precisamente la definición de que $f$ sea (Borel) medible. Lo establecemos debajo como una proposición pues es un ejemplo muy importante de funciones medibles.
Proposición. Toda función continua $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ es Borel medible. En particular es Lebesgue medible.
Equivalencias
Hay varias definiciones equivalentes para función medible como veremos a continuación. Nos moveremos entre ellas con frecuencia.
Proposición. Sea $\mathcal{M}$ una $\sigma$-álgebra sobre $X$ y $f:X\to [-\infty,\infty]$. Entonces $f$ es medible si y sólo si cualquiera de las siguientes condiciones se satisface:
- $f^{-1}([-\infty,t])\in \mathcal{M}$ para todo $t\in[-\infty,\infty]$.
- $f^{-1}([-\infty,t))\in \mathcal{M}$ para todo $t\in(-\infty,\infty]$.
- $f^{-1}([t,\infty])\in \mathcal{M}$ para todo $t\in[-\infty,\infty]$.
- $f^{-1}((t,\infty])\in \mathcal{M}$ para todo $t\in[-\infty,\infty)$.
- $f^{-1}({ \pm \infty } )\in \mathcal{M}$ y $f^{-1}(E)\in \mathcal{M}$ para cualquier conjunto de Borel $E\subseteq\mathbb{R}$.
Demostración. Las equivalencias 1$\iff $4 y 2$\iff $3 son inmediatas al tomar complementos.
Notemos que $f(x)<t$ si y sólo si existe algún número racional $r\in \mathbb{Q}$ tal que $f(x)\leq r <t$, de donde $$f^{-1}([-\infty,t))=\bigcup_{r\in \mathbb{Q},r<t}f^{-1}([-\infty,r]).$$ Por la cerradura bajo uniones numerables en $\mathcal{M}$, se sigue la implicación 1$\implies$2.
Análogamente podemos ver que $$f^{-1}([-\infty,t])=\bigcap_{r\in \mathbb{Q},r>t}f^{-1}([-\infty,r)).$$
Lo que demuestra similarmente que 2$\implies$1. Esto concluye las equivalencias 1 $\iff$ 2 $\iff$ 3 $\iff$ 4.
La implicación 5$\implies$1 es obvia pues $E=[-\infty,t]$ es de Borel para todo $t$.
Veamos entonces que las condiciones 1-4 implican la condición 5.
Al tomar $t=-\infty$ en 1, se sigue que $f^{-1}({ -\infty})\in \mathcal{M}$. Similarmente al tomar Al tomar $t=\infty$ en 3, se sigue que $f^{-1}({ \infty})\in \mathcal{M}$.
Definamos $\mathcal{S}$ como $$\mathcal{S}=\{ E\subseteq \mathbb{R} \ | \ f^{-1}(E)\in \mathcal{M}\}.$$
Procediendo idénticamente a la primera parte de la prueba de que las funciones continuas son Borel medibles [ENLACE], podemos ver que $\mathcal{S}$ es una $\sigma$-álgebra. Para lo que resta, es suficiente probar que $\mathcal{S}$ contiene a los conjuntos abiertos de $\mathbb{R}$, pues en ese caso se tendría $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{S}$ lo que completa la implicación.
Observemos primero que cualquier abierto de $\mathbb{R}$ es unión numerable de intervalos abiertos. En efecto, dado $U\subseteq \mathbb{R}$ abierto y $s\in
U$, podemos encontrar números racionales $p_s,q_s$ tales que $s\in(p_s,q_s)\subseteq U$. Luego $$U=\bigcup_{s\in U}(p_s,q_s).$$ Es unión numerable de intervalos abiertos.
Por lo anterior y la cerradura de $\sigma$-álgebras bajo uniones numerables, es suficiente probar que los intervalos abiertos son elementos de $\mathcal{S}$. Esto es inmediato pues podemos expresar:
$$f^{-1}((a,b))=f^{-1}([-\infty,b)])\cap f^{-1}((a,\infty]).$$
Que resulta un elemento de $\mathcal{M}$ pues $f^{-1}([-\infty,b)])$ y $f^{-1}((a,\infty])$ son elementos de $\mathcal{M}$ por las condiciones 2 y 4.
$\square$
Ejemplo. Si $f:\mathbb{R}\to [-\infty,\infty]$ es una función monótona (creciente o decreciente), entonces $f$ es medible.
Demostración. En efecto, si $f$ es monótona, la imágen inversa de cualquier semirrecta $[t,\infty]$ es algún intervalo, posiblemente abierto, cerrado, semiabierto o semicerrado; pero en todo caso un conjunto de Borel.
$\square$
Más adelante…
Veremos más propiedades de las funciones medibles. En particular veremos que la clase de funciones medibles es cerrada bajo una cantidad de operaciones aritméticas y tomas de límite,